Maths TSI 1re année

K. Commault • É. Mercier • S. Passerat • E. Tournesac
MATHS
TSI 1
re année
VUIBERT
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CONFORME
AU PROGRAMME

Avant-propos
Cet ouvrage vous propose, en un seul volume, toutes les clés nécessaires pour réussir votre
année de Mathématiques en première année de TSI :
Cours complet
Rigoureusement conforme aux nouveaux programmes, il contient tous les outils pour acquérir
les connaissances et les savoir-faire indispensables.
Fiches de synthèse
Pour une révision efficace avant les khôlles ou les épreuves, l’essentiel du cours est présenté
de manière synthétique sous forme de fiches de révision.
Vrai/faux
Première étape vers l’entraînement, des vrais/faux sont proposés pour permettre de tester
rapidement la compréhension du cours.
Exercices guidés
Ces exercices, de difficulté croissante, fournissent de nombreux conseils visant à vous aider à
démarrer dans la résolution de l’exercice. Ils sont assortis d’un corrigé détaillé.
Exercices d’approfondissement corrigés.
Pour se mettre en situation d’épreuves, de nombreux exercices vous sont proposés. Chacun à
un niveau de difficulté clairement identifié : •, • • ou •••.
Tous ces exercices sont intégralement corrigés.
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Table des matières
Chapitre 1. Pratique calculatoire ........................................ 5
1. Nombres et fonctions 5 – 2. Résoudre des équations 11 – 3. Résoudre des inéquations 20
– 4. Dérivée, primitives d’une fonction 22 – 5. Déterminer une limite 26 – 6. Raisonner par
récurrence 29 –Synthèse et méthodes 33 –Exercices 35 –Corrigés 38
Chapitre 2. Nombres complexes ........................................ 43
1. Ensemble C des nombres complexes 43 – 2. Ensemble U des nombres complexes de module
1 49 – 3. Arguments d’un nombre complexe non nul 51 – 4. Exponentielle complexe 54 –
5. Équation du second degré dans C54 – 6. Racines nièmes 57 – Synthèse et méthodes 60 –
Exercices 62 –Corrigés 65
Chapitre 3. Étude globale d’une fonction d’une variable réelle à valeurs réelles ........ 73
1. Généralités sur les fonctions d’une variable réelle à valeurs dans R73 – 2. Dérivation 81 –
3. Étude d’une fonction 84 – 4. Fonctions usuelles 85 – Synthèse et méthodes 98 – Exercices 100
–Corrigés 103
Chapitre 4. Géométrie élémentaire du plan ................................ 111
1. Repérage dans le plan 111 – 2. Produit scalaire 118 – 3. Déterminant dans une base orthonor-
mée directe 120 – 4. Droites 123 – 5. Cercles 128 – Synthèse et méthodes 130 – Exercices 132
–Corrigés 136
Chapitre 5. Géométrie élémentaire de l’espace .............................. 145
1. Repérage dans l’espace 145 – 2. Produit scalaire 149 – 3. Produit vectoriel dans l’espace
orienté 151 – 4. Produit mixte dans l’espace orienté 152 – 5. Plans et droites 154 – 6. Sphères 162
–Synthèse et méthodes 164 –Exercices 166 –Corrigés 170
Chapitre 6. Équations différentielles ..................................... 179
1. Équations différentielles linéaires du premier ordre 179 – 2. Équations différentielles linéaires
du second ordre à coefficients constants 188 – 3. Résolutions approchées d’équations différen-
tielles avec la méthode d’Euler 195 – Synthèse et méthodes 198 – Exercices 200 – Corrigés 203
Chapitre 7. Dénombrement ........................................... 211
1. Cardinal d’un ensemble fini 211 – 2. Dénombrement 214 – Synthèse et méthodes 216 –
Exercices 217 –Corrigés 220
Chapitre 8. Systèmes linéaires ......................................... 225
1. Introduction aux matrices 225 – 2. Systèmes linéaires 228 – 3. Résolution d’un système
linéaire 232 – 4. Éléments d’algèbre de Rn241 – Synthèse et méthodes 247 – Exercices 249 –
Corrigés 252
2

Table des matières
Chapitre 9. Réels – Suites numériques .................................... 259
1. Nombres réels 259 – 2. Généralités sur les suites réelles 266 – 3. Limite d’une suite réelle 272
– 4. Théorèmes d’existence d’une limite 277 – 5. Comparaison de suites 280 – Synthèse et
méthodes 284 –Exercices 286 –Corrigés 289
Chapitre 10. Limites et continuité ....................................... 297
1. Limite finie ou infinie en un point ou en ±∞ 297 – 2. Théorèmes d’existence d’une limite 304
– 3. Comparaison de fonctions 305 – 4. Continuité 310 – Synthèse et méthodes 320 – Exer-
cices 322 –Corrigés 325
Chapitre 11. Dérivabilité ............................................. 331
1. Nombre dérivé, fonction dérivée 331 – 2. Opérations sur les fonctions dérivables 334 – 3. Pro-
priétés des fonctions dérivables 336 – 4. Fonctions de classe Ck341 – Synthèse et méthodes 343
–Exercices 345 –Corrigés 349
Chapitre 12. Intégration sur un segment .................................. 359
1. Intégrale d’une fonction continue sur un segment 359 – 2. Calcul intégral 365 – 3. Formule
de Taylor avec reste intégral 368 –Synthèse et méthodes 371 –Exercices 373 –Corrigés 378
Chapitre 13. Développements limités .................................... 389
1. Introduction 389 – 2. Généralités 390 – 3. Propriétés des développements limités 393 –
4. Application des développements limités 398 – Synthèse et méthodes 403 – Exercices 405 –
Corrigés 408
Chapitre 14. Polynômes ............................................. 415
1. Polynômes à une indéterminée 415 – 2. Arithmétique dans K [ X ] 422 – 3. Dérivation dans
K [ X ] 426 – 4. Racines d’un polynôme 429 – 5. Décomposition en facteurs irréductibles 434
– 6. Relations coefficients-racines 438 – Synthèse et méthodes 440 – Exercices 442 – Corri-
gés 445
Chapitre 15. Matrices ............................................... 451
1. Généralités sur les matrices 451 – 2. Opérations sur les matrices 452 – 3. Matrices carrées 456
– 4. Matrices carrées inversibles 458 – 5. Manipuler des matrices à l’aide du module Numpy 461 –
6. Application linéaire canoniquement associée à une matrice 462 – Synthèse et méthodes 466
–Exercices 468 –Corrigés 471
Chapitre 16. Espaces vectoriels .........................................477
1. Espaces et sous-espaces vectoriels 477 – 2. Sous-espaces vectoriels 481 – 3. Familles finies de
vecteurs 487 –Synthèse et méthodes 493 –Exercices 495 –Corrigés 498
Chapitre 17. Espaces vectoriels de dimension finie ........................... 505
1. Espace vectoriel de dimension finie 505 – 2. Sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel de
dimension finie 510 – 3. Rang d’une famille finie de vecteurs 512 – Synthèse et méthodes 514
–Exercices 515 –Corrigés 518
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