P. 227 Ex n°13 Système étudié : goutte d`eau de volume V et de

P. 227 Ex n°13
Système étudié : goutte d’eau de volume V et de masse m.
3
3
4rV
π == 4,2.10-18 m3
m = ρeau ×V = 4,2.10-15 kg
Référentiel terrestre considéré comme galiléen.
a) Bilan des forces : le poids : P = mg = 4,1.10-14 N
Poussée d’Archimède : Π = ρair × V × g = 5,3.10-17 N
Force de frottement fluide du à l’air : f = 6 π r η v
Π
P≈ 800 > 100 donc la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids.
b) La 2ème loi de Newton s’écrit Fma=
∑rr donc Pf ma+=
r
r
r
.
Par projection sur un axe (Oz) vertical descendant, on obtient :
P – 6 π r η v = m a = m dv
dt
La vitesse limite vlim est atteinte lorsque v devient constante, donc dv
dt =0.
On peut alors écrire : P – 6 π r η vlim = 0
D’où lim 6P
vr
π
η
=
c) vlim = 14
10
4,1.10
3,4.10
−
−= 1,2.10-4 m.s-1.
d) Cette vitesse est très faible donc un nuage tombe très lentement dans
l’atmosphère.
e) On reprend le calcul de vlim avec r’ = 250 r.
On obtient v’lim = 7,6 m.s-1.
Lorsque les gouttelettes microscopiques qui constituent les nuages
s’agglomèrent, elles forment des gouttes de plus en plus grosses qui tombent
plus vite que l’ensemble du nuage. En tombant elles agglomèrent d’autres
gouttelettes et grossissent donc accélèrent. Il y a formation de pluie.
P. 227 Ex n°15
a) Le raisonnement est le même que pour l’exercice 13.
La masse de la gouttelette vaut m = ρ×V = 6,5.10-8 kg.
On démontre que : mg – 6 π r η v = m a = m dv
dt
En simplifiant par m on obtient : a = dv
dt = g - 6rv m
π
η
A.N. a = 9,81 – 1,3×v (1)
La vitesse vlim est atteinte lorsque dv
dt = 0, donc lim 9,81
1, 3
v== 7,5 m.s-1.
b) Par définition dv
adt =. On fait l’approximation que l’accélération reste
constante pendant une petite durée Δt.
Alors v
at
Δ
=Δ
Le mouvement du système est découpé en intervalles de durée Δt.
Si l’on considère deux points successifs notés Mn et Mn+1 parcourus avec
des vitesses vn et vn+1 alors l’accélération moyenne sur le trajet [Mn Mn+1]
peut s’écrire : 1nn
nvv
at
+−
=Δ.
D’où vn+1 = vn + an×Δt. (2).
L’expression de l’accélération est donnée par (1) que l’on peut reporter
dans (2) : vn+1 = vn + (9,81 – 1,3×vn)×Δt.
Choisissons un pas d’itération Δt = 0,1 s.
Alors : vn+1 = vn + 0,981 – 0,13×vn
vn+1 = 0,981 + 0,87 vn
t (s) v(m.s-1) a (m.s-2)
0 0,00 9,81
0,1 0,98 8,53
0,2 1,83 7,43
0,3 2,58 6,46
0,4 3,22 5,62
0,5 3,78 4,89
0,6 4,27 4,25
0,7 4,70 3,70
0,8 5,07 3,22
v(m.s
-1
)
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
0123456
t(s)
τ

c) Mesure du temps caractéristique de la chute : τ.
On trace la tangente à la courbe à l’origine puis l’asymptote.
Le point d’intersection entre ces 2 droites a pour abscisse τ = 0,7 s.
Le régime permanent (mouvement uniforme) est atteint au bout de
5τ = 3,5 s
P. 227 Ex n°16
a) Bilan des forces : poids P
r
; poussée d’Archimède F
r
et force de
frottement : fr.
b) En projetant la 2ème loi de Newton sur un axe vertical descendant on
obtient : dv
PFf m
dt
−−=
La vitesse limite est atteinte lorsque dv
dt = 0, soit lim 0PF v
α
−
−=
D’où lim PF
v
α
−
=
c) De l’expression précédente on tire : lim
PF
v
α
−
== lim
mg Vg
v
ρ −
A.N. 0,0697 0,0082
1, 8
α
−
== 0,034 N.s.m-1
d) Comme α = 6π r η , alors 3
0,034
666.10 r
α
ηππ
−
==
×= 0,30 N.s.m-2.