MATHÉMATIQUES I : Algèbre linéaire et calcul MAT102

MATHÉMATIQUES I :
Algèbre linéaire et calcul
MAT102
VIRGINIE CHARETTE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Hiver 2009
Remarques sur le texte.
Voici un extrait des notes de cours utilisées en MAT102 durant les sessions d’automne
2005, 2006 et 2007.
Il s’agit de notes de cours écrites par Bernard Marcos (pour le cours GCH103) et que
nous avons modifiées conjointement.
Nous nous servirons des chapitres pertinents de ces notes pour la partie du cours portant
sur l’algèbre linéaire, ainsi que pour la revision du calcul différentiel et intégral à une
variable.
À propos de la présentation :
1- Les définitions principales et les théorèmes sont encadrés. Certaines définitions ne
sont pas encadrées; mais en principe, quand un nouveau terme est introduit, il est en
caractères gras et italiques.
2- La fin d'un exemple est indiqué par le symbole ♦.
1
1. RAPPELS : LIMITES, CONTINUITÉ ET
DÉRIVÉES
Tous les problèmes de génie chimique ou biotechnologique conduisent à la pose et à la
manipulation de fonctions f qui relient une variable x à une autre variable y = f(x). Par
exemple, les courbes d’équilibre liquide vapeur relient la fraction massique x dans la
phase liquide à la fraction massique y = f(x) dans la phase vapeur. La forme de la
fonction f peut être simple ou complexe. Plusieurs mécanismes fondamentaux en génie
chimique ou biotechnologique sont représentés sous la forme d’un taux élémentaire de
variation d’une fonction qui correspond généralement à la dérivée d’une fonction par
rapport à une variable. Par exemple, la loi de Fourier indique que le taux de transfert de
chaleur est proportionnel à la dérivée de la température par rapport à la distance. De
même, la loi de Fick indique que le taux de transfert de masse est proportionnel à la
dérivée de la concentration par rapport à la distance. Enfin le taux de réaction chimique
correspond à la dérivée de la concentration au cours du temps.
Cette section présente des notions sur les fonctions et les limites et énonce la définition et
les propriétés principales de la dérivée d’une fonction par rapport à une variable.
1.1 Fonctions
Définition (fonction).
Une fonction est une relation qui relie un élément x (appelé antécédent) d’un ensemble A
à un seul élément y (appelé image), noté f(x), d’un ensemble B.
a
f(a)
b
f(b)
B
A
L’ensemble A est appelé le domaine. L’ensemble des valeurs de f(x) ayant un antécédent
x est appelé l'image par rapport à f; x est appelée la variable indépendante et y est
appelée la variable dépendante car elle dépend de x.
La fonction f est déterminée si on précise le domaine A et l’ensemble des couples (x,
f(x)) où x est n’importe quel élément de A. En génie chimique, la fonction f correspond
à des fonctions usuelles comme des polynômes, des fractions rationnelles, ex, cos(x),
ln(x), etc.
2
Exemple 1.
La fonction y = ex a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels car elle
est définie pour tout nombre réel x; l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels
strictement positifs car ex est toujours un nombre positif.
♦
Exemple 2.
La fonction y = sin(x) a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels car
elle est définie pour tout nombre réel x; l’ensemble image est l’ensemble des nombres
réels compris entre –1 et 1, dénoté [-1,1], car sin(x) est compris inclusivement entre –1 et
1.
♦
Exemple 3.
La fonction y = ln(x) a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels
strictement positifs car elle est définie pour tout nombre réel x strictement positif;
l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels.
♦
Exemple 4.
La fonction y = tg(x) a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels
différents de (2k+1)π/2 car elle est définie pour tout nombre réel x, sauf lorsque
cos(x)=0; l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels.
♦
La représentation graphique d’une fonction est le graphique de l’ensemble des points de
coordonnées (x, f(x)).
Définition (fonction strictement croissante, décroissante).
Une fonction est dite strictement croissante si x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1).
Une fonction est dite strictement décroissante si x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1) .
Exemple 1.
La fonction ex est strictement croissante.
♦
Exemple 2.
La fonction -ex est strictement décroissante pour tous x1, x2.
♦
Une fonction f peut être croissante pour certaines valeurs de x et décroissante pour
d’autres valeurs de x. Par exemple, la fonction cos(x) est décroissante pour x compris
entre 0 et π et croissante pour x compris entre π et 2π.
3
1.2 Limites
Définition (limite) (idée).
La fonction f(x) a une limite L lorsque x tend vers a, si les valeurs de f(x) sont aussi
proches de L que l’on veut en prenant x suffisamment proche de a (mais différent de a).
On note cette définition : f(x) → L quand x → a ou bien :
lim f (x) = L.
x "a
Théorème.
Si la limite L existe, elle est unique.
La limite L est!
normalement un nombre réel fini; on peut cependant étendre la notion de
limite à une limite infinie. Dans le cas où f(x) devient aussi grand que l'on veut quand x
approche a, on dit que f(x) tend vers l’infini et on note de la manière suivante :
f(x) → ∞ quand x → a ou bien lim f (x) = ∞ .
x "a
Parallèlement, on peut chercher la limite d’une fonction lorsque la variable indépendante
x devient aussi grande que nécessaire; dans ce cas, si la limite existe, on dit que f(x) tend
!
vers L si x tend vers l’infini et on note de la manière
suivante :
f(x) → L quand x → ∞ ou bien lim f (x) = L.
x "a
La définition de la limite n'est pas toujours pratique pour calculer explicitement la valeur
L. Les théorèmes suivants peuvent faciliter les calculs.
!
Théorème.
Si lim f (x) et lim g(x) existent, alors:
x "a
•
x "a
lim[ f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)
x "a
x "a
x "a
• lim[c f (x)] = c lim f (x)
x "a
x "a
•! lim[ f (x) # g(x)] = lim f (x) # lim g(x)
!
x "a
!
•
x "a
x "a
lim[ f (x) g(x)] = lim f (x) lim g(x) si lim g(x) # 0.
x "a
x "a
x "a
x "a
!
!
Pour certaines fonctions particulières, on a les résultats suivants obtenus à partir de la
!
définition de la limite :
•
Pour la fonction f(x) = c (constante) : lim f (x) = c pour toute valeur de a.
x "a
!
4
•
Pour la fonction f(x) = x : lim f (x) = a pour toute valeur de a.
x "a
Exemple 1. Calculer lim f (x) pour f(x) = 2x2 – 3x + 4 :
x "1
Le théorème sur la somme des limites permet d’écrire :
!
lim[2x 2 # 3x + 4 ] = lim 2x 2 # lim 3x + lim 4.
!
x "1
x "1
x "1
x "1
Le théorème sur le produit des limites permet d’écrire :
( )
lim 2x 2 = lim 2 # lim x
!
x "1
x "1
2
x "1
lim 3x = lim 3# lim x.
x "1
x "1
x "1
Les résultats sur la fonction
constante et la fonction identité permettent d’écrire :
!
!
lim 2 = 2
x "1
lim 3 = 3
x "1
lim x = 1 .
x "1
!
En reportant ces résultats
dans la première ligne, on obtient :
!
!
lim[2x 2 # 3x + 4 ] = 2 # 3 + 4 = 3.
x "1
Dans ce cas, la limite de f(x) est égale à la valeur de f au point x =1. Ce résultat est
prévisible car la fonction f est définie au point x = 1 et la fonction f est continue en ce
!
point.
♦
2
x "1
Exemple 2. Calculer la limite pour g(x) =
:
x "1
Dans ce cas, la fonction g(x) n’est pas définie pour x = 1; le domaine de définition est
l’ensemble des nombres réels différents de 1, soit A = R – {1}. On ne peut pas appliquer
le théorème sur le quotient des limites car le dénominateur tend vers zéro.
!
Pour trouver la !
limite de g(x) , on peut remarquer que :
x 2 "1 = ( x + 1)( x "1) .
Il s’ensuit que :
!
lim
!
x "1
x 2 #1
(x #1)(x + 1)
= lim
= lim(x + 1) = 2.
x "1
x #1 x "1
x #1
♦
1# x 2 + 1
:
x "0
x
!
Exemple 3. Calculer
lim
!
5
La fonction n’est pas définie pour x=0; le domaine de définition est l’ensemble des
nombres réels différents de 0, soit A = R – {0}. On ne peut pas appliquer le théorème sur
le quotient des limites car le dénominateur tend vers zéro. Pour trouver la limite, on peut
remarquer que :
(1"
)(
)=
x 2 + 1 1+ x 2 + 1
(
2
)
x 1+ x + 1
1" ( x 2 + 1)
(
2
)
x 1+ x + 1
Il s’ensuit de la dernière expression que lim
x "0
!
(1"
=
)(
).
x 2 + 1 1+ x 2 + 1
(
2
)
x 1+ x + 1
1# x 2 + 1
=0.
x
♦
x
.
x "0
x
La fonction f(x) n’est pas définie pour x=0; le domaine de définition est l’ensemble des
nombres réels différents de 0, soit A = R – {0}. On ne peut pas appliquer le théorème sur
le quotient des limites car le dénominateur tend vers zéro. On peut remarquer que :
!
• si x < 0,!
f(x) = -1
• si x > 0, f(x) = 1.
Il s’ensuit que :
• f(x) → 1 quand x → 0+ (x tend vers zéro par valeurs positives) et
• f(x) → - 1 quand x → 0- (x tend vers zéro par valeurs négatives).
Exemple 4. Calculer lim f (x)!pour f (x) =
Dans ce cas, la fonction f a une limite à gauche (-1) et une limite à droite (1) mais n’a pas
de limite car la limite à gauche et à la limite à droite ne sont pas égales.
♦
Pour certaines fonctions usuelles, les limites à l’infini sont les suivantes :
• lim x n = # (avec n entier positif)
x "#
•
!
!
•
•
!
•
•
•
!
•
!
!
•
!
!
1
=0
x
1
lim = #
x "0 x
lim e x = #
lim
x "#
x "#
lim e$x = 0
x "#
lim ln(x) = #
x "#
lim ln(x) = #$
x "0
pas de limite de sin(x), cos(x) quand x → ∞
ex
lim = # .
x "# x
6
1.3 Continuité
Définition (fonction continue).
La fonction f (x) est continue au point a si :
lim f (x) = f (a) .
x "a
Pour qu’une fonction soit continue au point a, il faut :
• qu’elle soit définie au point a,
• que la limite !
existe au point a,
• que cette limite soit égale à f(a).
Une fonction qui n’est pas continue est dite discontinue.
Exemple 1. f(x) =
x2 ! 1
:
x !1
Cette fonction n’est pas continue au point x =1, car elle n’est pas définie au point 1; on
peut cependant définir g(x) tel que :
• g(x) = f(x) pour x ≠ 1
• g(1) = 2
La fonction g est alors continue au point x = 2.
♦
Exemple 2. f(x) = E(x), la partie entière de x :
Cette fonction a pour domaine de définition A = R; elle est discontinue aux entiers.
♦
Théorème.
Si f(x) et g(x) sont des fonctions continues alors :
1. [f(x) + g(x)] est continue;
2. c f(x) est continue;
3. [f(x) g(x)] est continue;
4. f(x)/g(x) est continue si g(x) ≠ 0.
Les fonctions polynômes, trigonométriques, exponentielle et logarithmiques sont
continues sur leur domaine de définition.
Théorème.
Si f est continue au point b et si :
lim g(x) = b
x "a
alors :
lim f (g(x)) = f (b).
x "a
!
!
7
1.4 Dérivées
Définition (dérivée):
La dérivée d’une fonction f(x) au point a est la limite (si elle existe) :
lim
h "0
f ( a + h) ! f ( a )
= f’(a).
h
La dérivée est le rapport de la variation f(a+h) – f(a) de la fonction sur la variation h de la
!
variable.
Par généralisation la fonction dérivée f’(x) est donnée par la limite suivante (si elle
existe) :
lim
h "0
f ( x + h) ! f ( x )
= f’(x).
h
Il existe un grand nombre d’applications de la dérivée.
-
Tangente !
Si l’on trace la courbe f(x) en fonction de x, la dérivée f’(a) est la pente de la
tangente à la courbe f(x) au point x =a.
-
Vitesse et accélération d’un véhicule
Si la distance x parcourue par un véhicule est fonction du temps t, et le véhicule
circule sur une route droite, la dérivée x’(t) est la vitesse instantanée v(t) du
véhicule. De plus, la dérivée v’(t) de la vitesse est l’accélération instantanée du
véhicule.
Une fonction f est dérivable au point a :
- si a appartient au domaine de définition A de la fonction f,
- si f est continue au point a,
- si la limite donnant la dérivée existe.
Exemple 1. Calculer la dérivée f’(x) pour f(x) = x :
D’après la définition de la dérivée :
lim
h "0
f ( x + h) ! f ( x )
( x + h) ! ( x )
h
= lim
= lim = 1.
h "0
h "0 h
h
h
Il s’ensuit que f’(x) = 1.
!
!
!
♦
8
Exemple 2. Calculer la dérivée f’(x) pour f(x) = x2 :
Nous avons :
f ( x + h) ! f ( x )
( x + h) 2 ! ( x ) 2
x 2 + 2xh + h 2 ! x 2 2xh + h 2
=
=
=
= 2x+h.
h
h
h
h
D’après la définition de la dérivée :
lim
h "0
f ( x + h) ! f ( x )
= lim (2x+h) = 2x.
h "0
h
Il s’ensuit que f’(x) = 2x.
!
♦
!
Exemple 3. Pour f(x) = x , calculer la dérivée f’(x) pour x appartenant au domaine
de définition de la fonction f :
Nous avons :
f ( x + h) ! f ( x )
=
h
=
( x + h) ! ( x )
h
( x + h) ! x
h( ( x + h) + ( x ) )
=
=
( ( x + h) ! ( x ) )( ( x + h) + ( x ) )
h( ( x + h) + ( x ) )
h
h( ( x + h) + ( x ) )
=
1
( ( x + h) + ( x ) )
.
D’après la définition de la dérivée :
lim
h "0
1
f ( x + h) ! f ( x )
1
= lim
=
.
h "0 ( ( x + h) + ( x ) )
h
2 x
1
Il s’ensuit que f’(x) =
pour x > 0; au point x = 0, la dérivée n’est pas définie.
2 x
!
!
♦
Exemple 4. Si f(x) = |x|, calculer la dérivée f’(x) pour x appartenant au domaine
définition de la fonction f :
Nous avons :
| x+h|!| x|
f ( x + h) ! f ( x )
=
.
h
h
•
Si x >0, | x +h | = x + h; il s’ensuit que :
f ( x + h) ! f ( x )
( x + h) ! ( x )
h
=
= = 1.
h
h
h
9
•
Si x < 0, | x +h | = - (x + h); il s’ensuit que :
f ( x + h) ! f ( x )
!( x + h) ! ( ! x )
!h
=
=
= - 1.
h
h
h
Par conséquent, si x > 0, f’(x) = 1 et pour x < 0, f’(x) = -1. Pour x =0, la fonction n’a pas
de dérivée; elle a cependant une dérivée à droite (1) et à gauche (-1).
♦
Les principales fonctions ont les dérivées suivantes :
• f(x) = c ⇒ f’(x) = 0;
• f(x) = x ⇒ f’(x) = 1;
• f(x) = xn ⇒ f’(x) = n xn-1 pour n entier positif;
• f(x) = ex ⇒ f’(x) = ex ;
• f(x) = log(x) ⇒ f’(x) = 1/x ;
• f(x) = sin(x) ⇒ f’(x) = cos(x) ;
• f(x) = cos(x) ⇒ f’(x) = -sin(x) .
Théorème.
Si f et g sont deux fonctions dérivables, alors :
• (c f(x))’ = c f’(x);
• [f(x) + g(x)]’ = f(x)’ + g(x)’;
• [f(x)g(x)]’ = f ’(x)g(x) + f(x)g’(x);
•
(
f (x)
)'
g( x )
=
f ' ( x )g( x ) ! f ( x )g' ( x )
g2 (x)
, si g(x) ≠ 0.
Exemple 1. Pour f(x) = x ex , calculer la dérivée f '(x) :
Comme f(x) est une fonction produit des deux fonctions x et ex, on va utiliser le théorème
sur la dérivée d’un produit :
(x ex )’ = (x)’ (ex ) + (x) ( ex )’.
D’après les dérivées des fonctions usuelles, on a :
(x)’ = 1
( ex )’ = ex
(x ex )’ = 1 (ex ) + (x) ( ex ) = (1+x) ex.
Il s’ensuit que f '(x) = (1+x) ex .
♦
Exemple 2. Pour f(x) =
x +1
, calculer la dérivée f '(x).
x!2
Comme f(x) est une fonction quotient des deux fonctions x + 1 et x - 2 , on va utiliser le
théorème sur la dérivée d’un quotient :
10
( x + 1) ' ( x ! 2) ! ( x + 1)( x ! 2)'
x +1
)’ =
.
x!2
( x ! 2) 2
(
D’après les dérivées des fonctions usuelles, on a
(x + 1)’ = 1
(x - 2 )’ = 1
(
Il s’ensuit que f '(x) =
1( x ! 2) ! ( x + 1)1
!3
x +1
)’ =
=
.
2
x!2
( x ! 2)
( x ! 2) 2
!3
.
( x ! 2) 2
♦
Exemple 3. Pour f(x) = x ln(x) , calculer la dérivée f '(x) :
Comme f(x) est une fonction produit des deux fonctions x et ln(x), on va utiliser le
théorème sur la dérivée d’un produit :
(x ln(x) )’ = (x)’ (ln(x) ) + (x) (ln(x )’.
D’après les dérivées des fonctions usuelles, on a :
(x)’ = 1
( ln(x) )’ = 1/x
(x ln(x) )’ = 1 (ln(x) ) + (x) (1/x ) = ln(x) + 1.
Il s’ensuit que f '(x) = ln(x) + 1.
♦
Exemple 4. Pour f(x) = tg x =
sin x
, calculer la dérivée f '(x) :
cos x
Comme f(x) est une fonction quotient des deux fonctions sin x et cos x , on va utiliser le
théorème sur la dérivée d’un quotient :
(
(sin x ) ' (cos x ) ! (sin x )(cos x )'
sin x
)’ =
.
cos x
(cos x ) 2
D’après les dérivées des fonctions usuelles, on a :
(sin x )’ = cos x
(cos x )’ = -sin x.
Donc :
(
(cos x )(cos x ) ! (sin x )( ! sin x ) (cos x )(cos x ) + (sin x )(sin x )
sin x
)’ =
=
.
cos x
(cos x ) 2
(cos x ) 2
11
Comme cos2 x + sin2 x = 1 :
(cos x )(cos x ) + (sin x )(sin x )
(cos x ) 2
Il s’ensuit que f '(x) =
1
(cos x )
2
=
1
(cos x ) 2
.
= 1 + tg2 x.
♦
1.5 Dérivation d’une fonction composée
Pour certaines fonctions, les règles précédentes ne permettent pas de trouver facilement la
dérivée. Par exemple, f(x) = sin (1 + x2) est une fonction composée ou une fonction de
fonction. Dans cet exemple, on pose g(x) = 1 + x2 et u = g(x) et il s’ensuit que f(u) =
sin(u).
Théorème.
Si f et g sont deux fonctions dérivables, la dérivée de la fonction f(g(x)) est donnée par :
f ’(g(x)) = f ’ (u) g ’ (x) où u = g(x).
Dans l’exemple précédent :
f ’(u) = cos(u) = cos ( 1 + x2)
g ’(x) = 2 x
f ’(x) = f ’(u) g ’(x) = cos ( 1 + x2) (2x) = 2x cos ( 1 + x2).
Exemple. Calculer la dérivée de la fonction f(x) = ex+sin x :
Cette fonction est une fonction composée. On pose g(x) = x+sin x et u = g(x). D’après le
théorème sur la dérivée de la somme de deux fonctions, on peut écrire :
g’(x) = (x + sin x )’ = (x)’ + (sin x)’.
D’après les dérivées des fonctions usuelles, on peut écrire :
(x)’ = 1
(sin x)’ = cos x.
Il s’ensuit que :
g’(x) = (x + sin x )’ = (x)’ + (sin x)’ = 1 + cos x.
Comme f (u) = eu, on peut écrire d’après les dérivées des fonctions usuelles :
12
(eu )’ = eu.
En remplaçant u , f ’(u) et g ’(x) par leur expression, on obtient :
f ’(x) = f ’(u) g’(x) = ex+sin x (1 + cos x).
♦
Notation différentielle
Comme énoncé plus haut, la définition de la dérivée est :
f ’(x) = lim
h "0
f ( x + h) ! f ( x )
.
h
En notant Δf = f (x+h) – f(x) et Δx = h, la définition de la dérivée s’écrit :
!
f ’(x) = lim
h "0
df
!f
=
.
dx
!x
df
En génie, la dérivée f ’(x) est très souvent notée
; cette notation n’est pas le quotient
dx
!
de df par dx , car df et dx ne peuvent pas être considérés séparément ici. Il arrive
cependant que certaines règles de calcul les considèrent séparément.
1.6 Formes indéterminées
Lorsque l’on calcule des limites d’expressions complexes, il arrive que l’on doive traiter
des expressions de la forme lim
h "0
f (x)
g( x )
où f(a) = g(a) = 0. On a alors affaire à une forme
indéterminée de type 0/0. Les autres formes indéterminées sont ∞ / ∞ et 0⋅∞. Dans ce
cas, il faut lever l’indétermination pour trouver la limite, si elle existe.
!
La règle de l’Hospital est un théorème qui permet de lever l’indétermination si les
conditions d’application du théorème sont remplies.
Théorème de l’Hospital.
Si f et g sont deux fonctions dérivables et g’(x) ≠ 0 (sauf en a), et si :
lim f (x) = lim g(x) = 0 ,
x "a
x "a
alors :
! f (x) ! f '(x)
lim
= lim
(si cette limite existe).
x "a g(x)
x "a g'(x)
!
13
sin(x)
:
x "0
x
Dans ce cas sin(x) et x tendent vers 0; il y a donc une forme indéterminée de type 0/0.
Avec f(x) = sin (x), f ’(x) = cos(x); avec g(x) = x, g’(x) = 1. Il s’ensuit que :
Exemple. Calculer lim
!
lim
x "0
sin(x)
cos(x)
= lim
= cos(0) = 1.
x
"0
x
1
♦
!
14
2. RAPPELS : INTÉGRALES
Comme indiqué précédemment, les applications en génie chimique ou biotechnologique
utilisent des fonctions f qui relient une variable x à une autre variable y = f(x). Plusieurs
de ces applications requièrent de faire la somme de ces fonctions pour toutes les valeurs
de la variable x comprises entre une borne a et une borne b. Par exemple, le travail
mécanique d’une force P qui se déplace sur une ligne droite entre un point a et un point b
est la somme de cette force P le long de ce chemin compris entre a et b. Cette somme
comprenant un nombre infini de termes f(x) est appelée l’intégrale de la fonction f entre
la valeur a et la valeur b. Cette section montre comment calculer cette intégrale lorsque
l’on connaît la fonction f.
2.1 Intégrale et aire
Il existe plusieurs manières d’introduire la notion d’intégrale. La plus intuitive est celle
qui est reliée au calcul de l'aire sous une courbe y = f(x).
y
y= f(x)
a
x1
x2
x3 x4 b
x
Il n’est pas immédiat de calculer l'aire sous la courbe y = f(x) entre les valeurs a et b. Une
approximation de cette aire S est fournie par la somme des aires des 5 rectangles. L'aire
S1 du premier rectangle est égale à S1 = f(a) (x1 – a); l'aire du deuxième rectangle est
égale à S2 = f(x1) (x2 – x1). Il s’ensuit que :
Approximation de S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5
Approximation de S = f(a) (x1 – a)+ f(x1) (x2 – x1) + f(x2) (x3 – x2)
+ f(x3) (x4 – x3) + f(x4) (b – x4)
Si les points xi sont régulièrement espacés, on peut noter d la distance entre deux points et
l’approximation de l'aire a pour expression :
15
Approximation de S = f(a) d + f(x1) d + f(x2) d + f(x3) d + f(x4) d
Approximation de S = [f(a) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) ] d.
L’approximation avec 5 rectangles n’est peut-être pas assez précise. On peut alors choisir
10 rectangles et la somme précédente va contenir 10 termes avec une distance d deux fois
plus petite qu’avec 5 rectangles car la distance d est donnée par d = (b-a)/10.
L’approximation a pour expression :
Approximation de S = [f(a) + f(x1) + f(x2) + . . . + f(x9) ] d
Approximation de S = [f(a) + f(x1) + f(x2) + . . . + f(x9) ] (b – a)/10.
Si l’on choisit n rectangles, la distance d est donnée par d = (b-a)/n et l’approximation de
l'aire a pour expression :
Approximation de S = [f(a) + f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn-1) ] (b – a)/n .
La somme contient n termes f(xi); lorsque n devient grand, la somme contient de plus en
plus de termes mais elle est multipliée par d = (b-a)/n qui devient de plus en plus petit. Il
s’ensuit que :
S = lim [f(a) + f(x1) + f(x2) + . . . + f(xn-1) ] (b – a)/n .
n "#
En posant Δx = d = (b-a) /n, l’expression précédente s’écrit :
!
S = lim
n "!
i =n
! f ( x )"x
i
i =0
Définition (intégrale définie).
Étant donnée une fonction f définie sur un intervalle [a,b], l’intégrale définie de la
fonction f entre les bornes a et b est la limite suivante:
lim
n "!
i =n
! f ( x )"x ,
i
i =0
b
si cette limite existe. Cette limite est notée
! f ( x)dx .
a
Cette limite, si elle existe, est un nombre réel. On utilise le terme "définie" car les bornes
a et b ont été précisées. Le nom de la variable sous le signe de l’intégrale n’a pas
d’importance; on peut donc remplacer f(x)dx par f(y)dy et on dit que la variable x est la
variable muette de l’intégrale.
16
Théorème.
Si f et g sont 2 fonctions intégrables sur l’intervalle [a,b] , c un nombre réel compris
entre a et b et α une constante, on a les propriétés suivantes :
b
•
b
! [ f ( x) + g ( x)]dx =
a
b
•
b
!
f ( x)dx +
a
! g ( x)dx
a
b
! "f ( x)dx = α ! f ( x)dx
a
a
b
•
f(x) > g(x) pour tout x entre a et b ⇒
!
b
f ( x)dx >
a
b
•
c
! g ( x)dx
a
b
! f ( x)dx = ! f ( x)dx + ! f ( x)dx
a
a
c
a
•
! f ( x)dx
= 0.
a
Malgré ces propriétés, beaucoup d’intégrales sont difficiles à calculer à partir de la
définition. Le théorème suivant va aider à résoudre cette difficulté.
Théorème fondamental du calcul.
Si f est une fonction intégrable sur l’intervalle [a,b] et supposons qu'il existe une fonction
F définie sur [a,b] telle que F'=f. Alors :
b
! f ( x)dx = F(a) – F(b).
a
La fonction F est appelée primitive de la fonction. Il s’ensuit que déterminer la primitive
d’une fonction f est l’opération inverse de la dérivée.
Par extension, on note
! f ( x)dx = F(x) et on parle alors d’intégrale indéfinie. On peut
aussi noter qu’une primitive d’une fonction donnée est définie à une constante près.
2.2 Primitives usuelles
Les principales fonctions ont les primitives suivantes :
-
f(x) = 0 ⇒
! f ( x)dx = C
-
f(x) = 1 ⇒
! f ( x)dx = x+C
17
2
! f ( x)dx = x /2+ C
-
f(x) = x ⇒
-
f(x) = xn ⇒
! f ( x)dx = x
-
f(x) = ex ⇒
! f ( x)dx = e
-
f(x) = 1/x ⇒
-
f(x) = sin(x) ⇒
-
f(x) =
-
f(x) =
n+1
x
/(n+1) + C
+C
! f ( x)dx = log(|x|)
! f ( x)dx = - cos(x)
1
⇒
x +1
2
1
+C
! f ( x)dx = Arctg(x)
⇒
1! x2
+C
+C
! f ( x)dx = Arcsin(x)
+C.
2
Exemple. Pour f(x) = x + sin x, calculer l’intégrale de f(x) :
! [x
!x
2
2
+ sin x] dx =
!x
2
dx + ! sin x dx car l’intégrale est un opérateur linéaire;
3
dx = x /3 d’après les tables des primitives;
! sin x dx = - cos x d’après les tables des primitives.
3
Il s’ensuit que ! [x 2 + sin x] dx = x /3 - cos x + C.
♦
2.3 Intégration des taux de variation
De nombreuses applications en génie chimique ou biotechnologique utilisent des taux de
variation qui représentent une grandeur physique d’importance comme la vitesse dx/dt où
x est la distance, le taux de réaction chimique dC/dt où C est la concentration d’un
produit.
Le théorème suivant est une conséquence du théorème fondamental du calcul.
18
Théorème.
L’intégrale du taux de variation entre a et b est égale à la variation totale entre a et b :
b
! F' (x) dx = F(b) – F(a).
a
Exemple 1.
Si F’(t) est la vitesse linéaire dx/dt , on obtient :
t1
t1
dx
" F'(t)dt = " dt dt = x(t1) – x(t0).
t0
t0
♦
!
Exemple 2. !
Si F’(t) est le taux de réaction chimique dC/dt , on obtient :
t1
t1
dC
=
F'(t)dt
"
" dt dt = C(t1) – C(t0).
t0
t0
♦
!
!
2.4 Quelques techniques d'intégration
Lorsque la primitive à évaluer est complexe, les tables de primitives ne sont pas
suffisantes. On doit alors utiliser des techniques de résolution pour obtenir la primitive
recherchée.
2.4.1Changement de variable
Théorème.
Si g(x) est une fonction dérivable et f est une fonction intégrable, alors :
! f(g(x)) g' (x) dx = ! f(u) du .
Dans le cas d'une intégrale définie :
b
" f(g(x)) g'(x) dx =
a
g(b )
" f(u)du.
g(a )
Ainsi, on peut faire le changement de variable u=g(x). Alors du/dx=g'(x), ce que l'on
réécrit de la manière!suivante : du=g'(x)dx.
19
Exemple 1. Calculer ! xe ( x
2
+1)
dx :
2
Dans ce cas, on remarque que la fonction 2x est la dérivée de la fonction x + 1. On
pose:
2
u=x +1
et alors du/dx = 2x ou:
du = 2xdx.
Il s’ensuit que x dx =du/2 et on obtient :
2
! xe
( x 2 +1)
e x +1
eu
eu
dx = ! du =
+C =
+C .
2
2
2
♦
2
Exemple 2. Calculer !
3x
dx :
x3 + 1
3
3
On remarque que la fonction 3x2 est la dérivée de la fonction x + 1; on pose u = x + 1 et
alors du/dx = 3x2 ou du = 3x2dx. On obtient donc:
3x 2
1
3
! x 3 + 1 dx = ! u du = ln |u| +C =ln |x + 1| +C.
♦
" /3
Exemple 3. Calculer
# tg x dx :
0
Dans ce cas, on remarque que la fonction tg(x) = sin(x)/cos(x) et que la fonction sin(x)
est égale à moins la dérivée de cos x; on pose u = cos x et on obtient du/dx = -sin x que
l’on peut récrire formellement du = - sin x dx; et on obtient :
1/ 2
! " /3
1/ 2
1
tg
x
dx
"
=
#
# u du = "ln u 1 = "ln(1/2).
0
1
♦
2.4.2 Intégration par parties
!
!
On a vu dans la section sur les dérivées que si f et g sont 2 fonctions dérivables :
[f (x) g(x)]’ = f(x) g’(x) + f ’(x) g(x) .
En intégrant les 2 parties de l’équation on obtient :
f(x) g(x) =
! f ( x) g ' ( x) dx + ! f ' ( x) g ( x) dx .
20
Théorème.
Si f et g sont deux fonctions dérivables :
! f ( x) g ' ( x) dx
= f(x) g(x) -
! f ' ( x) g ( x) dx .
Dans le cas d'une intégrale définie :
b
b
"
f (x)g'(x) dx = f (x)g(x) |a +
a
On fait!cette démarche si
! f ' ( x) g ( x) dx
b
"
f '(x)g(x)dx.
a
est plus facile à calculer que
! f ( x) g ' ( x) dx .
Exemple 1. Calculer ! ln x dx :
Dans ce cas, on pose f(x) = ln (x) et g’(x) = 1; il s’ensuit que f’(x) = 1/x et g(x) = x ; il
s’ensuit que :
1
" ln(x) dx = ln(x) ⋅ x - ! x xdx = x ln(x) - ! dx = x ln(x) – x +C.
♦
Exemple 2. Calculer ! xe x dx :
!
x
x
On pose f(x) = x et g’(x) = e ; donc f ’(x) = 1 et g(x) = e . Il s’ensuit que :
! xe
x
x
x
x
x
dx = x e - ! 1e x dx = x e - ! e x dx = x e – e +C.
♦
Exemple 3. Calculer ! arctg x dx :
On pose f(x) = arctg x et g’(x) = 1; donc f ’(x) =
! arctg x dx = x arctg x - ! x
Pour calculer
!x
2
2
1
1 et g(x) = x. Il s’ensuit que :
x +1
2
x
dx .
+1
x
2
dx , on fait le changement de variable u = x + 1; donc
+1
du = 2 x dx et :
21
x
! x 2 + 1 dx =
ln x 2 + 1
ln u
1
! 2u du = 2 +C = 2 +C.
Nous avons donc :
2
ln
!
!x + 1
! arctg x dx = x arctg x - 2 +C.
♦
!
22