MATHÉMATIQUES I : Algèbre linéaire et calcul MAT102

MATHÉMATIQUES I :
Algèbre linéaire et calcul
MAT102
VIRGINIE CHARETTE
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ DE SHERBROOKE
Hiver 2009

1
Remarques sur le texte.
Voici un extrait des notes de cours utilisées en MAT102 durant les sessions d’automne
2005, 2006 et 2007.
Il s’agit de notes de cours écrites par Bernard Marcos (pour le cours GCH103) et que
nous avons modifiées conjointement.
Nous nous servirons des chapitres pertinents de ces notes pour la partie du cours portant
sur l’algèbre linéaire, ainsi que pour la revision du calcul différentiel et intégral à une
variable.
À propos de la présentation :
1- Les définitions principales et les théorèmes sont encadrés. Certaines définitions ne
sont pas encadrées; mais en principe, quand un nouveau terme est introduit, il est en
caractères gras et italiques.
2- La fin d'un exemple est indiqué par le symbole ♦.

2
1. RAPPELS : LIMITES, CONTINUITÉ ET
DÉRIVÉES
Tous les problèmes de génie chimique ou biotechnologique conduisent à la pose et à la
manipulation de fonctions f qui relient une variable x à une autre variable y = f(x). Par
exemple, les courbes d’équilibre liquide vapeur relient la fraction massique x dans la
phase liquide à la fraction massique y = f(x) dans la phase vapeur. La forme de la
fonction f peut être simple ou complexe. Plusieurs mécanismes fondamentaux en génie
chimique ou biotechnologique sont représentés sous la forme d’un taux élémentaire de
variation d’une fonction qui correspond généralement à la dérivée d’une fonction par
rapport à une variable. Par exemple, la loi de Fourier indique que le taux de transfert de
chaleur est proportionnel à la dérivée de la température par rapport à la distance. De
même, la loi de Fick indique que le taux de transfert de masse est proportionnel à la
dérivée de la concentration par rapport à la distance. Enfin le taux de réaction chimique
correspond à la dérivée de la concentration au cours du temps.
Cette section présente des notions sur les fonctions et les limites et énonce la définition et
les propriétés principales de la dérivée d’une fonction par rapport à une variable.
1.1 Fonctions
Définition (fonction).
Une fonction est une relation qui relie un élément x (appelé antécédent) d’un ensemble A
à un seul élément y (appelé image), noté f(x), d’un ensemble B.
B
A
L’ensemble A est appelé le domaine. L’ensemble des valeurs de f(x) ayant un antécédent
x est appelé l'image par rapport à f; x est appelée la variable indépendante et y est
appelée la variable dépendante car elle dépend de x.
La fonction f est déterminée si on précise le domaine A et l’ensemble des couples (x,
f(x)) où x est n’importe quel élément de A. En génie chimique, la fonction f correspond
à des fonctions usuelles comme des polynômes, des fractions rationnelles, ex, cos(x),
ln(x), etc.
a
b
f(a)
f(b)

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Exemple 1.
La fonction y = ex a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels car elle
est définie pour tout nombre réel x; l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels
strictement positifs car ex est toujours un nombre positif.
♦
Exemple 2.
La fonction y = sin(x) a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels car
elle est définie pour tout nombre réel x; l’ensemble image est l’ensemble des nombres
réels compris entre –1 et 1, dénoté [-1,1], car sin(x) est compris inclusivement entre –1 et
1.
♦
Exemple 3.
La fonction y = ln(x) a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels
strictement positifs car elle est définie pour tout nombre réel x strictement positif;
l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels.
♦
Exemple 4.
La fonction y = tg(x) a pour domaine de définition l’ensemble R des nombres réels
différents de (2k+1)π/2 car elle est définie pour tout nombre réel x, sauf lorsque
cos(x)=0; l’ensemble image est l’ensemble des nombres réels.
♦
La représentation graphique d’une fonction est le graphique de l’ensemble des points de
coordonnées (x, f(x)).
Définition (fonction strictement croissante, décroissante).
Une fonction est dite strictement croissante si x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1).
Une fonction est dite strictement décroissante si x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1) .
Exemple 1.
La fonction ex est strictement croissante.
♦
Exemple 2.
La fonction -ex est strictement décroissante pour tous x1, x2.
♦
Une fonction f peut être croissante pour certaines valeurs de x et décroissante pour
d’autres valeurs de x. Par exemple, la fonction cos(x) est décroissante pour x compris
entre 0 et π et croissante pour x compris entre π et 2π.

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1.2 Limites
Définition (limite) (idée).
La fonction f(x) a une limite L lorsque x tend vers a, si les valeurs de f(x) sont aussi
proches de L que l’on veut en prenant x suffisamment proche de a (mais différent de a).
On note cette définition : f(x) → L quand x → a ou bien :
!
lim
x"af(x)=L.
Théorème.
Si la limite L existe, elle est unique.
La limite L est normalement un nombre réel fini; on peut cependant étendre la notion de
limite à une limite infinie. Dans le cas où f(x) devient aussi grand que l'on veut quand x
approche a, on dit que f(x) tend vers l’infini et on note de la manière suivante :
f(x) → ∞ quand x → a ou bien
!
lim
x"af(x)
= ∞ .
Parallèlement, on peut chercher la limite d’une fonction lorsque la variable indépendante
x devient aussi grande que nécessaire; dans ce cas, si la limite existe, on dit que f(x) tend
vers L si x tend vers l’infini et on note de la manière suivante :
f(x) → L quand x → ∞ ou bien
!
lim
x"af(x)
= L.
La définition de la limite n'est pas toujours pratique pour calculer explicitement la valeur
L. Les théorèmes suivants peuvent faciliter les calculs.
Théorème.
Si
!
lim
x"af(x)
et
!
lim
x"ag(x)
existent, alors:
•
!
lim
x"af(x)+g(x)
[ ]
=lim
x"af(x)+lim x"ag(x)
•
!
lim
x"ac f(x)
[ ]
=clim
x"af(x)
•
!
lim
x"af(x)#g(x)
[ ]
=lim
x"af(x) #lim x"ag(x)
•
!
lim
x"af(x)g(x)
[ ]
=lim
x"af(x) lim x"ag(x) si lim x"ag(x)#0.
Pour certaines fonctions particulières, on a les résultats suivants obtenus à partir de la
définition de la limite :
• Pour la fonction f(x) = c (constante) :
!
lim
x"af(x)=c
pour toute valeur de a.