PHYS-H-200 Physique quantique et statistique Chapitre 3: l

PHYS-H-200 Physique quantique et statistique
Chapitre 3: l’´ equation de Schr¨ odinger
Jean-Marc Sparenberg
Universit ´ e Libre de Bruxelles
2011-2012
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1´
Equations d’ondes libres : lumi` ere/mati` ere
2´
Equation de Schr¨ odinger d’une particule dans un puits potentiel
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´
Equations d’ondes libres : lumi` ere/mati` ere
´
Electromagn´ etisme : formulation relativiste
Unification ´ electricit ´ e et magn´ etisme en relativit´ e restreinte :
quadrivecteur potentiel A≡V
c,~
A
~
E=−~ ∇V−∂~
A
∂t,~
B=~ ∇ × ~ A
Quadrigradient ou d´
eriv ´ ee covariante ∇ ≡ ∂
c∂t,~
∇
Quadrilaplacien ou d’Alembertien ≡ ∇2
=∂
c∂t,~
∇◦∂
c∂t,~
∇=∂2
c2∂t2−∆ = 0µ0∂2 ∂t2−∂2 ∂x2−∂2 ∂y2−∂2 ∂z2
´
Equations d’ondes ~ B=0,0µ0∂2
∂t2−∂2 ∂x2−∂2 ∂y2−∂2 ∂z2~
B=0
Iinvariantes relativistes ⇒invariance cdans le vide
Ivectorielles (idem pour ~
E) et r´ eelles
Ilin´
eaires ⇒combinaison lin´ eaire de solutions = solution
Iaux d´
eriv ´ ees partielles ⇒r´ esolution par transform´ ee de Fourier
(phaseurs), ~ k=nombre d’onde, ω=fr´ equence angulaire/pulsation
~
B~
k(~r,t)=Re ~
B0ei~
k·~r−ωt
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´
Equations d’ondes libres : lumi` ere/mati` ere
´
Electromagn´ etisme : ondes planes et paquets d’ondes
Transform´ ee Fourier : ∂
∂t→ ×(−iω),~
∇→×i~ k
´
equation d´ eriv ´ ees partielles →´ equation alg´ ebrique (rel. dispersion)
~ B=0→ − ω2
c2+k2=0⇐⇒ ω(k)=kc ⇐⇒ ν=c
λ
Solutions particuli` eres (s´ eparables, factorisables) : ondes planes
infinies, monochromatiques, vitesse de phase vϕ=ω(k)
k=c
~
B~
k~r,t=Re ~
B0~ kei~
k·~r−kct
[Citizendium]
Solution g´ en´ erale : paquet d’onde = combili ondes planes
localis´ e, polychromatique, vitesse de groupe vg=dω(k)
dk =c
~
B~r,t=Zd~ k~ B~
k~r,t=Re "Zd~
k B0~ kei~
k·~r−kct#
Dans le vide, pas de dispersion (rel. disp. lin´ eaire) : vg=vϕ=c
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´
Equations d’ondes libres : lumi` ere/mati` ere
´
Equations d’onde d’une particule libre
Particule libre : dans le vide, aucune interaction ext´ erieure
Masse nulle :photon ↔onde ´ electromagn´ etique
´
energie-impulsion ⇐⇒ relation dispersion ⇐⇒ ´ equation d’onde
E2−p2c2=0⇐⇒ ω2−k2c2=0⇐⇒ ~ B~r,t=0
⇒sugg` ere la r` egle de correspondance E→i~∂
∂t, ~p→ −i~~
∇
Masse non nulle relativiste :´ equation d’onde de Klein-Gordon (1927)
E2−p2c2=m2c4⇐⇒ −~2ψ~r,t=m2c2ψ~r,t
Masse non nulle non relativiste :´ equation de Schr¨ odinger (1925)
E≈p2
2m⇐⇒ i~∂ψ ~r,t ∂t
=−~2
2m
∆ψ~r,t
Iz´
ero des ´ energies = ´ energie de masse
I´
equation lin´ eaire et complexe,ψ=fonction d’onde
Ipremier ordre en t⇒g´
en´ eralisation relativiste par Dirac (1928)
⇒spin 1/2 de l’´ electron, pr´ ediction antimati` ere
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