Le principe de correspondance Equation de Schrödinger

Le principe de correspondance 2 mai 2014
Nous pouvons consid´erer que la Th´eorie Classique est correcte lorsqu’elle
est appliqu´ee aux objets macroscopiques, c.`a.d. lorsque nous pouvons
consid´erer les discontinuit´es quantiques comme des infiniment petits.
Dans tous ces cas “`a la limite”, les pr´evisions de la Th´eorie quantique
doivent co¨ıncider avec celles de la Th´eorie classique : c’est une condition
tr`es restrictive que l’on impose `a la Th´eorie quantique. (C’est ce que nous
avons explicitement invoqu´e dans le probl`eme du corps noir (voir page 73).)
Pour r´ealiser cette condition aux limites, on pose en principe qu’il existe
une analogie formelle entre Th´eorie quantique et Th´eorie classique.
Un exemple de ce principe de correspondance est la “traduction”
quantique du fait que l’´energie totale de la particule est ´egale `a la
somme de l’´energie cin´etique et de l’´energie potentielle : l’´equation de
Schr¨odinger. On y arrive avec les r`egles de correspondance suivantes
(`a une dimension) :
E→i¯h∂
∂t p→¯h i
∂
∂x
Equation de Schr¨odinger
Equation d’onde. Nous avons recherch´e une ´equation d’onde pour
les ondes de mati`ere qui satisfasse aux ´equations de de Broglie E= ¯hω
et p= ¯hk, qui soit lin´eaire pour la fonction d’onde ψ(x, t) et qui montre
explicitement que l’´energie totale de la particule est ´egale `a la somme de
son ´energie cin´etique et de son ´energie potentielle. A une dimension :
−¯h2
2m
∂2ψ(x, t)
∂x2+V(x, t)ψ(x, t) = i¯h∂ψ(x, t) ∂t
La densit´e de probabilit´e de trouver la particule en x`a l’instant test
P(x, t) = ψ?(x, t)·ψ(x, t) = |ψ(x, t)|2Max Born 1926

Si le potentiel V(x, t) est ind´ependant du temps, on peut “s´eparer” les
variables et obtenir l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps :
−¯h2
2m
d2u(x)
dx2+V(x)u(x) = E u(x)
R´esolution de l’´equation ind´ependante du temps :
nous l’avons fait pour quelques cas particuliers `a une dimension. Dans
cette r´esolution, il convient de s’assurer que la fonction d’onde soit
toujours de carr´e sommable, c.`a.d. que l’int´egrale de u?(x)·u(x) sur
tout l’espace soit fini et que la fonction et sa d´eriv´ee soient continues en
tout point de x.
Rappel :
a) Dans la r´egion o`u l’´energie de la particule est inf´erieure au potentiel, nous
avons `a r´esoudre une ´equation diff´erentielle de la forme
d2u
dx2
−β2u= 0 avec β2>0
Les solutions sont des exponentielles : u=Aexp(βx) + Bexp(−βx)
b) Dans la r´egion o`u l’´energie de la particule est plus grande que le potentiel,
l’´equation diff´erentielle `a r´esoudre est
d2u
dx2+α2u= 0 avec α2>0
Les solutions sont des sinus et cosinus : u=Acos αx +Bsin αx
Pour un “puits de potentiel” : l’exigence du raccordement de la
fonction et de sa d´eriv´ee aux limites du “puits”, ainsi que celle d’avoir
une fonction de carr´e sommable font que les niveaux d’´energie
sont quantifi´es.
Pour une “barri`ere de potentiel”, mˆeme si l’´energie cin´etique de la
particule incidente sur la barri`ere est inf´erieure `a la hauteur de cette
derni`ere, une partie de l’onde est transmise au travers de la barri`ere et
une partie r´efl´echie : c’est l’effet tunnel.