Le principe de correspondance Equation de Schrödinger

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Le principe de correspondance
2 mai 2014
Nous pouvons considérer que la Théorie Classique est correcte lorsqu’elle
est appliquée aux objets macroscopiques, c.à.d. lorsque nous pouvons
considérer les discontinuités quantiques comme des infiniment petits.
Dans tous ces cas “à la limite”, les prévisions de la Théorie quantique
doivent coı̈ncider avec celles de la Théorie classique : c’est une condition
très restrictive que l’on impose à la Théorie quantique. (C’est ce que nous
avons explicitement invoqué dans le problème du corps noir (voir page 73).)
Pour réaliser cette condition aux limites, on pose en principe qu’il existe
une analogie formelle entre Théorie quantique et Théorie classique.
Un exemple de ce principe de correspondance est la “traduction”
quantique du fait que l’énergie totale de la particule est égale à la
somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle : l’équation de
Schrödinger. On y arrive avec les règles de correspondance suivantes
(à une dimension) :
E → i h̄
∂
∂t
p →
h̄ ∂
i ∂x
Equation de Schrödinger
Equation d’onde. Nous avons recherché une équation d’onde pour
les ondes de matière qui satisfasse aux équations de de Broglie E = h̄ω
et p = h̄k, qui soit linéaire pour la fonction d’onde ψ(x, t) et qui montre
explicitement que l’énergie totale de la particule est égale à la somme de
son énergie cinétique et de son énergie potentielle. A une dimension :
−
h̄2 ∂ 2 ψ(x, t)
2m
∂x2
+ V (x, t) ψ(x, t) = i h̄
∂ψ(x, t)
∂t
La densité de probabilité de trouver la particule en x à l’instant t est
P (x, t) = ψ ? (x, t) · ψ(x, t) = | ψ(x, t) | 2
Max Born
1926
Si le potentiel V (x, t) est indépendant du temps, on peut “séparer” les
variables et obtenir l’équation de Schrödinger indépendante du temps :
−
h̄2 d2 u(x)
2m
dx2
+ V (x) u(x) = E u(x)
Résolution de l’équation indépendante du temps :
nous l’avons fait pour quelques cas particuliers à une dimension. Dans
cette résolution, il convient de s’assurer que la fonction d’onde soit
toujours de carré sommable, c.à.d. que l’intégrale de u?(x) · u(x) sur
tout l’espace soit fini et que la fonction et sa dérivée soient continues en
tout point de x.
Rappel :
a) Dans la région où l’énergie de la particule est inférieure au potentiel, nous
avons à résoudre une équation différentielle de la forme
d2 u
− β 2u = 0 avec β 2 > 0
2
dx
Les solutions sont des exponentielles : u = A exp(βx) + B exp(−βx)
b) Dans la région où l’énergie de la particule est plus grande que le potentiel,
l’équation différentielle à résoudre est
d2 u
+ α2 u = 0 avec α2 > 0
dx2
Les solutions sont des sinus et cosinus : u = A cos αx + B sin αx
Pour un “puits de potentiel” : l’exigence du raccordement de la
fonction et de sa dérivée aux limites du “puits”, ainsi que celle d’avoir
une fonction de carré sommable font que les niveaux d’énergie
sont quantifiés.
Pour une “barrière de potentiel”, même si l’énergie cinétique de la
particule incidente sur la barrière est inférieure à la hauteur de cette
dernière, une partie de l’onde est transmise au travers de la barrière et
une partie réfléchie : c’est l’effet tunnel.
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