Support de cours - Semestre 3

Définition 3.3
CHAPITRE I
Dénombrement
Un arrangement avec répétitions de k éléments de E un ensemble
ordonné de k éléments de E non nécessairement distincts.
Cela revient à prendre k objets dans E en tenant compte de l’ordre
dans lequel on les choisit, et en pouvant prendre plusieurs fois le
même.
Proposition 3.4
1. Cardinal
Le nombre de k-arrangements avec répétitions de E est égal à
Définition 1.1
Un ensemble A non vide est dit fini s’il existe un entier n et une bijection de f1; 2; : : : ; ng sur A.
Lorsqu’il existe, l’entier n est unique et est noté Card A.
C’est le cardinal ou le nombre d’éléments de A
nk
4. Combinaisons
Définition 4.1
Une combinaison de k éléments de E est un sous-ensemble de E
formé de k éléments.
Un ensemble A est dit dénombrable s’il existe une bijection de N sur
Cela revient à prendre k objets dans E sans tenir compte de l’ordre
A.
dans lequel on les choisit.
Un ensemble A est dit infini non dénombrable s’il n’est ni fini, ni dénombrable.
Proposition 4.2
Le nombre de k-combinaisons d’un ensemble à n éléments E est :
Proposition 1.3
!
Soit A et B deux ensembles finis. Alors
Ak
n
nŠ
k
D n
Cn D
D
1) Card.A [ B/ D Card A C Card B Card.A \ B/ ;
.n k/Š kŠ
kŠ
k
Définition 1.2
2) si A \ B D ;, Card.A [ B/ D Card A C Card B ;
3) Card.A B/ D .Card A/ .Card B/.
Remarque
Pour dénombrer des situations :
lorsqu’on fait un choix ou un autre : on ajoute les nombres de
cas de chaque choix.
lorsqu’on fait un choix puis un autre : on multiplie les nombres
de cas de chaque choix.
2. Permutations
Soit E un ensemble fini à n éléments.
Définition 4.3
Une combinaison avec répétitions de k éléments de E est un ensemble
non ordonné de k éléments non nécessairement distincts de E.
Cela revient à prendre k objets dans E sans tenir compte de l’ordre
dans lequel on les choisit, et en pouvant prendre plusieurs fois le
même.
Proposition 4.4
Le nombre de k-combinaisons avec répétitions de E est
!
nCk 1
k
CnCk 1 D
k
5. Propriétés
Définition 2.1
Une permutation de E est un arrangement (ordonné) des n éléments
Proposition 5.1
de E.
On a les propriétés suivantes :
Cela revient à prendre les n éléments de E en tenant compte de l’ordre
1) n0 D nn D 1 et n1 D n n 1 D n
dans lequel on les choisit.
2) pn D n np
Proposition 2.2
nC1
n
Le nombre de permutations d’un ensemble E à n éléments est :
3) pC1
D pC1
C pn .
nŠ D 1 2 .n
1/ n
3. Arrangements
Soit k 2 N et E un ensemble fini à n éléments.
4) .x C y/n D
5)
n
P
pD0
n
p
n
P
pD0
n
p
xp yn
p
(Binôme de Newton)
D 2n .
Théorème 5.2
Un arrangement de k éléments de E est un sous-ensemble ordonné Soit E un ensemble fini à n éléments et P .E/ l’ensemble des parties
de E. Alors
de k éléments (distincts) de E.
Card P .E/ D 2n
Cela revient à prendre k objets dans E en tenant compte de l’ordre
dans lequel on les choisit.
Définition 3.1
Proposition 3.2
Le nombre de k-arrangements d’un ensemble à n éléments est
Akn D Pnk D
nŠ
.n k/Š
Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – I. Dénombrement
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La probabilité P est unique et est définie par
X
P .A/ D
pi
8A 2 F
CHAPITRE II
!i 2A
Calcul des probabilités
Equiprobabilité
On a équiprobabilité lorsque les événements élémentaires
!1 ; : : : ; !n ont la même probabilité de se produire :
1. Introduction
Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le
résultat.
1
p1 D D pn D
Issue, éventualité, résultat : résultat d’une expérience aléatoire,
n
noté !.
Univers des possibles : ensemble des résultats d’une expérience On a alors
aléatoire, noté .
Card A
nbre de cas favorables
Événement : ensemble d’éventualités associées à une expérience :
P .A/ D
D
Card 
nbre de cas possibles
A
Événement élémentaire : événement composé d’une seule issue :
f!g
4. Probabilité conditionnelle
Proposition 4.1
Définition 2.1
Soit .; F ; P / un espace probabilisé et B 2 F avec P .B/ ¤ 0.
Pour A 2 F , on appelle probabilité de A sachant B le réel
Définition 2.2
Proposition 4.2
2. La tribu des événements
P .A \ B/
Soit  un Univers.
P .A j B/ D
P .B/
Un événement de  est un sous-ensemble de .
L’ensemble de tous les événements est appelé tribu des événements et
C’est la probabilité que A a de se réaliser lorsque B s’est déjà réalisé.
est noté F .
Soit  un Univers et F la tribu des événements de .
1) L’ensemble vide ; est appelé événement impossible et  événement certain.
Soit A; B 2 F tels que P .A/ ¤ 0 et P .B/ ¤ 0.
Formule des probabilités totales :
P .A/ D P .A j B/ P .B/ C P .A j B/ P .B/
2) Si A 2 F , l’événement A D nA est appelé événement contraire
Formule de Bayes :
de A.
3) On dit qu’un événement A 2 F implique (ou entraîne) l’événement B 2 F si A B.
4) On dit que deux événements A; B 2 F sont incompatibles si
A \ B D ;.
3. Probabilité
Définition 3.1
Une probabilité sur .; F / est une application P W F
rifiant :
! Œ0; 1 vé-
1) P ./ D 1
P .A j B/ P .B/ C P .A j B/ P .B/
Théorème 4.3
Soit B1 ; : : : ; Bk 2 F formant une partition de  tels que P .Bi / ¤
0 et A 2 F tel que P .A/ ¤ 0.
Formule des probabilités totales :
P .A/ D P .A j B1 / P .B1 / C C P .A j Bk / P .Bk /
P .Bi =A/ D
3) [Généralisation à une suite d’événements]
Le triplet .; F ; P / est appelé espace probabilisé.
On dit que deux événements A; B 2 F sont indépendants si
Soit .; F ; P / un espace probabilisé. on a
P .A \ B/ D P .A/ P .B/
P .A/
3) P .A [ B/ D P .A/ C P .B/
P .A j Bi / P .Bi /
P .A j B1 / P .B1 / C C P .A j Bk / P .Bk /
Définition 4.4 (Événements indépendants)
Proposition 3.2
2) P .A/ D 1
P .A j B/ P .B/
Formule de Bayes :
2) si A \ B D ;, alors P .A [ B/ D P .A/ C P .B/
1) P .;/ D 0
P .B=A/ D
ou, de manière équivalente, si
P .A \ B/
4) si A B, alors P .A/ 6 P .B/ et P .B X A/ D P .B/
P .A/.
Théorème 3.3
Soit  D f!1 ; !2 ; : : : ; !n g un univers fini. Si p1 ; : : : ; pn sont les
probabilités des événements !1 ; : : : ; !n , on a nécessairement
P .A/ D P .A j B/
ou P .B/ D P .B j A/
La réalisation de A (ou de B) ne change pas la probabilité que B
(ou A) a de se réaliser.
p1 C p2 C C pn D 1
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3. Espérance d’une variable aléatoire discrète
Définition 3.1
CHAPITRE III
Soit X une variable aléatoire discrète sur .; F ; P /. On appelle espérance de X le réel
X
E.X / D
xi pi
Variables aléatoires discrètes
1. Variable aléatoire réelle
i 2I
On note souvent D E.X /.
Une variable aléatoire réelle (v.a.r.) sur .; F ; P / est une applicaProposition 3.2
tion XW  ! R.
Soit X et Y deux v.a. discrètes sur .; F ; P /. Alors
On note
X./ D fX.!/; ! 2 g
1) E.X C Y / D E.X / C E.Y /
Définition 1.1
2) E.X / D E.X / pour tout 2 R
l’ensemble des valeurs (distinctes) prises par X.
Lorsque X./ est fini ou dénombrable, on dit que X est une va- 3) Pour W R ! R, on a
X
riable aléatoire est discrète.
E..X // D
.xi /pi
Lorsque X./ est infini non dénombrable (c’est-à-dire, lorsque X
i2I
peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle réel), on dit que X
4) E./ D pour tout 2 R.
est une variable aléatoire continue.
Notations
4. Variance d’une variable aléatoire discrète
Pour tout x 2 R, on note
Définition 4.1
.X D x/ D f! 2  W X.!/ D xg
et
Soit X une variable aléatoire discrète sur .; F ; P /. On appelle variance de X le réel
X
Œxi E.X /2 pi
Var.X / D E ŒX E.X /2 D
.X 6 x/ D f! 2  W X.!/ 6 xg
i2I
2. Loi d’une variable aléatoire discrète
Soit X une variable aléatoire discrète.
Comme X./ est fini ou dénombrable on peut le décrire par
X./ D fx1 ; x2 ; : : : ; xn ; : : :g
On appelle écart-type de X et le réel
p
X D Var.X /
Théorème 4.2 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Dans la suite, on désigne par pi la probabilité de l’événement X D Pour tout ˛ > 0, on a
xi :
2
pi D P .X D xi /
P jX E.X /j > ˛ 6 X2
˛
Définition 2.1
On appelle loi (ou distribution) de probabilité de X la donnée des Grace à l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on montre que
couples
P . < X < C / > 0
f.xi ; pi / W i 2 I g
P . 2 < X < C 2 / > 0:75
On la présente généralement sous forme de tableau
P . 3 < X < C 3 / > 0:88
xi
0
1
2
pi 1=4 1=2 1=4
Lorsque la distribution est symétrique et « en cloche » :
ou sous forme de graphique
0.20
< X < C / 0:68
P .
P .
1/2
1/2
P .
2 < X < C 2 / 0:95
3 < X < C 3 / 0:99
E(X)
1/4
1/4
Proposition 4.3
Soit X une v.a. discrète sur .; F ; P /. On a
0
1
2
0
1
2
1) Var.X / D 2 Var.X / pour 2 R
2) Var.X C / D Var.X / pour 2 R
Proposition 2.2
2
Si f.xi ; pi / W i 2 I g est la loi de probabilité d’une variable aléatoire 3) Var.X / D E.X /
discrète, alors
X
pi D 1
ŒE.X /2
[Th. de König-Huygens]
i 2I
Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – III. Variables aléatoires discrètes
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!
n
2) P .X D k/ D
pk qn
k
k
pour tout k 2 f0; 1; : : : ; ng
CHAPITRE IV
On note alors
Lois discrètes usuelles
X ,! B.n; p/
Dans la suite, on considère une urne contenant N boules de deux
Représentation graphique
sortes :
des boules blanches en proportion p
Loi Binomiale B(20, 0.6)
et des boules noires en proportion q.
On a nécessairement
0,2
0,18
qD1
p
0,16
0,14
1. La loi de Bernoulli
0,12
0,1
Situation type
On tire au hasard une boule dans l’urne.
Soit alors X la variable aléatoire valant 1 si la boule tirée est blanche
et 0 si elle est noire.
0,08
0,06
0,04
0,02
0
5
Généralisation
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si
Proposition 2.1
1) X./ D f0; 1g
Soit X ,! B.n; p/. Alors
2) P .X D 1/ D p
3) P .X D 0/ D q D 1
E.X / D np
p
Var.X / D npq
On note alors
3. La Loi hypergéométrique
X ,! B.1; p/
Situation type
On effectue n tirages sans remise.
Soit X le nombre de boules blanches apparues après les n tirages.
Représentation graphique
Loi de Bernoulli B(1, 0.3)
Généralisation
0,8
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi hypergéométrique de paramètres
.N; n; p/ si
0,7
0,6
1) X./ f0; 1; : : : ; ng
0,5
0,4
2) P .X D k/ D
0,3
0,2
Np
k
0,1
0
0
1
!
Nq
n k
!
N
n
!
pour tout k 2 X./
On note alors
X ,! H .N; n; p/
Proposition 1.1
Soit X ,! B.1; p/. Alors
Représentation graphique
E.X/ D p
Var.X / D pq
2. La Loi binomiale
Loi H(50, 20, 0.6)
0,25
0,2
Situation type
On effectue n tirages successifs avec remises.
Soit X le nombre de boules blanches apparues après les n tirages.
Généralisation
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi binomiale de paramètres .n; p/
si
1) X./ D f0; 1; : : : ; ng
0,15
0,1
0,05
0
5
6
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7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Page 4
2) P .X D k/ D
Proposition 3.1
Soit X ,! H .N; n; p/. Alors
E.X/ D np
Var.X / D npq
3) E.X / D
N n
N 1
k 1
r 1
r k
p q
Var.X / D
r
p
r
rq
.
p2
Loi binomiale négative
Si dans le modèle précédent, on note Y le nombre d’échecs (boules
noires tirées), on a
Lorsque N est très supérieur à n, on peut approcher la loi hyperY DX r
géométrique par la loi binomiale :
La loi suivie par Y est la loi binomiale négative BN.r; p/.
H .N; n; p/ B.n; p/
Remarque
5. La Loi de Poisson
Dans la pratique, on impose
Processus de Poisson
Soit X le nombre d’événements survenus sur une période donnée.
On suppose que
N > 10n
la probabilité qu’un événement a de se produire dans la période
ne dépend que de la durée de la période
4. La Loi géométrique
Situation type
On effectue des tirages successifs avec remises jusquà obtenir une
boule blanche.
On note X le nombre de tirages effectués, c’est-à-dire, le nombre
de tirages nécessaires pour tirer une boule blanche.
le nombre d’événements se produisant durant la période est indépendant du nombre d’événements survenus dans les autres
périodes.
Définition 5.1
Généralisation
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi de Poisson de paramètre > 0 si
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi géométrique de paramètre p si
1) X./ D f0; 1; : : : ; n; : : :g D N
1) X./ D f1; : : : ; n; : : :g D N 2) P .X D k/ D pq k
1
2) P .X D k/ D e
pour tout k 2 N k
kŠ
pour tout k 2 N
On note alors
On note alors
X ,! P ./
X ,! G .p/
Représentation graphique
Représentation graphique
Loi de Poisson P(4)
0,25
Loi G(0.3)
0,35
0,2
0,3
0,15
0,25
0,2
0,1
0,15
0,05
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Proposition 5.2
Proposition 4.1
Soit X ,! G .p/. Alors
1
E.X/ D
p
q
Var.X / D 2
p
Soit X ,! P ./. Alors
E.X / D Var.X / D Remarque
Lorsque p est petit et n est grand, on peut approcher la loi binomiale par la loi de Poisson :
Loi de Pascal
B.n; p/ P .np/
Généralisation de la loi géométrique consistant à effectuer des tirages successifs (avec remises) jusqu’à obtenir r boules blanches. Dans la pratique, on impose
Le nombre de tirages X suit alors une loi de Pascal. On note X ,!
Pascal.r; p/.
p < 0:1 et n > 50
On a
1) X./ D fr; r C 1; : : :g
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Proposition 2.2
Le coefficient de corrélation linéaire du couple .X; Y / est
CHAPITRE V
.X; Y / D
Couples de variables aléatoires discrètes
1. Loi d’un couple de v.a. discrètes
Soit X et Y deux v.a.r. sur .; F ; P /.
On appelle couple de variables aléatoires, le couple .X; Y /.
Pour des v.a. discrètes, on notera
X./ D fx1 ; : : : ; xn ; : : :g
Y ./ D fy1 ; : : : ; ym ; : : : /g
Cov.X; Y /
X Y
On a
1) .X; Y / 2 Œ 1; C1
2) .X; Y / D 0 SSI X et Y sont non corrélées ;
3) j.X; Y /j D 1 SSI, il existe a; b 2 R tels que
Y D aX C b
Proposition 2.3
Soit .X; Y / un couple de variables aléatoires réelles. Alors
Définition 1.1
La loi du couple .X; Y / est la donnée des triplets
.xi ; yj ; pij /
Var.X C Y / D Var.X / C Var.Y / C 2 Cov.X; Y /
Si X et Y sont non corrélées, on a
où
pij D P .X D xi / \ .Y D yj /
On appelle lois marginales de X et de Y les lois de probabilité de X
et de Y prises séparément.
Remarque
On note
pi D P .X D xi / D
X
pj D P .Y D yj / D
X
On a
X
i;j
pij
j
pij
i
pij D 1
Var.X C Y / D Var.X / C Var.Y /
3. Indépendance
Définition 3.1
Soit .X; Y / un couple de variables aléatoires discrètes.
On appelle loi conditionnelle de Y sachant X D xi la donnée des
probabilités :
P .Y D yj / \ .X D xi /
pij
D
P Y D yj jX D xi D
pi P X D xi
L’espérance conditionnelle de Y sachant X D xj est
X
E.Y jX D xi / D
yj P Y D yj jX D xi
j
Elle correspond à l’espérance de la loi conditionnelle de Y sachant
X D Xi .
Remarque
La loi d’un couple, ainsi que les lois marginales sont souvent préDéfinition 3.2
sentées dans un tableau :
On dit que X et Y sont indépendantes si pour tout x; y 2 R, les
Y ::: y
:
:
:
Loi
de
X
événements
.X D x/ et .Y D y/ sont indépendants, c’est-à-dire,
j
X
::
:
P ..X D x/ \ .Y D y// D P .X D x/ P .Y D y/
xi
pij
pi Dans la pratique, il suffit de vérifier que
::
:
Loi de Y
pij D pi pj
1
pj
Remarque
Proposition 1.2
Soit .X; Y / un couple de v.a. discrètes. Alors
XX
E.X Y / D
xi yj pij
i
j
Si deux variables X et Y sont indépendantes, alors elles sont noncorrélées, mais la réciproque est fausse !
X et Y indépendantes H) X et Y non-corrélées
X et Y corrélées H) X et Y dépendantes
2. Corrélation
Proposition 3.3
Soit .X; Y / un couple de variables aléatoires indépendantes.
Si X suit B.n1 ; p/ et Y suit B.n2 ; p/ alors
Définition 2.1
La covariance de .X; Y / est
Cov.X; Y / D E X E.X / Y
Lorsque
E.Y /
D E.X Y / E.X / E.Y /
Cov.X; Y / D 0
on dit que les variables X et Y sont non corrélées.
X C Y ,! B.n1 C n2 ; p/
Si X suit P .1 / et Y suit P .2 / alors
X C Y ,! P .1 C 2 /
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Proposition 3.4
Soit XW  ! R une variable aléatoire continue à densité. Alors,
pour tout x 2 R, on a
CHAPITRE VI
Variables aléatoires continues
P .X D x/ D 0
P .X 6 x/ D P .X < x/
et
De plus, pour tout a 6 b, on a
1. Introduction
Dans ce chapitre,  est un ensemble infini non dénombrable.
P .a 6 X 6 b/ D FX .b/
FX .a/ D
Z
a
b
f .t / dt
Définition 1.1
fX(t)
Une variable aléatoire continue X est une v.a.r. pouvant prendre
toutes les valeurs d’un intervalle ou de plusieurs intervalles de R.
Remarque
L’ensemble X./ étant infini, il n’est plus possible de définir la loi
de X (sous la forme vue précédemment).
t
2. Fonction de répartition
Définition 2.1
fX(t)
Soit X une v.a.r . On appelle fonction de répartition de X, la fonction
FX W R ! Œ0; 1 définie par
FX .x/ D P .X 6 x/
8x 2 R
FX(x) = P(X ≤ x)
Proposition 2.2
x
La fonction de répartition d’une v.a.r. X vérifie :
1)
2)
lim FX .x/ D 0
x! 1
t
fX(t)
lim FX .x/ D 1
x!C1
3) Pour tout a; b 2 R avec a < b,
FX .b/
FX(x) = P(X ≤ x)
1– FX(x) = P(X ≥ x)
FX .a/ D P .a < X 6 b/
x
4) La fonction FX est croissante.
t
fX(t)
3. Variables aléatoires continues à densité
FX(b) – FX(a) = P(a ≤ X ≤ b)
Définition 3.1
On dit qu’une variable aléatoire continue X est à densité s’il existe
une fonction fX W R ! RC positive et continue telle que
8x 2 R FX .x/ D
Z
a
x
b
fX .t / dt
t
1
4. Espérance et variance d’une v.a.r. à densité
La fonction fX est appelée densité (de probabilité) de X.
Définition 4.1
Proposition 3.2
Si X est une variable aléatoire continue à densité alors FX est de
classe C 1 et on a
FX0 .x/ D fX .x/
Soit XW  ! R une variable aléatoire continue à densité. On appelle espérance de X le réel noté E.X / et défini par
E.X / D
Proposition 3.3
Une fonction f W R ! R est une densité si, et seulement si :
1) f est continue sur R
2) f est positive sur R
Z
C1
t fX .t / dt
1
Remarque
L’espérance d’une v.a.r à densité possède les mêmes propriétés que
dans le cas discret :
1) E.X C Y / D E.X / C E.Y /
3)
Z
1
1
f .t / dt D 1
2) E.X / D E.X /
3) E./ D Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – VI. Variables aléatoires continues
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Définition 4.2
Si X est une variable aléatoire continue à densité, alors
Z C1
E.X 2 / D
t 2 fX .t / dt
1
On appelle alors variance de X le réel
Var.X / D E.ŒX
E.X /2 /
L’écart-type de X est
.X / D
p
Var.X /
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev reste valable pour les variables
aléatoires continues :
Théorème 4.3 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev)
Pour tout ˛ > 0, on a
P jX
2
E.X /j > ˛ 6 X2
˛
Remarque
La variance d’une v.a.r à densité possède les mêmes propriétés que
dans le cas discret :
1) Var.aX / D a2 Var.X /
2) Var.X C a/ D Var.X /
3) Var.a/ D 0
4) Var.X / D E.X 2 /
ŒE.X /2 (Koenig-Huyghens)
Définition 4.4
Soit X une variable aléatoire.
On appelle variable aléatoire centrée-réduite associée à X la variable
aléatoire
X E.X /
X D
X
On a
E.X / D 0
et
Var.X / D 1
Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – VI. Variables aléatoires continues
Page 8
Définition 2.1
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi exponentielle de paramètre (avec
> 0) si sa densité est
(
e x si x > 0,
fX .x/ D
0
si x < 0.
CHAPITRE VII
Lois continues usuelles
1. Loi uniforme
On note X ,! E./ ou Exp./.
Définition 1.1
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi uniforme sur l’intervalle Œa; b
(avec a < b) si sa densité est
8
< 1
si x 2 Œa; b
fX .x/ D b a
:0
si x … Œa; b
Densité de la loi exponentielle
fX
λ
On note X ,! U.a; b/.
Densité de la loi uniforme
fX
0
1/(b-a)
Fonction de répartition de E./
FX .x/ D
a
b
Z
(
x
1
fX .t / dt D
1
0
e
si x > 0
si x < 0
x
Fonction de répartition de la loi exponentielle
FX
Fonction de répartition de U.a; b/
8
ˆ
ˆ
Z x
<0x
FX .x/ D
fX .t / dt D
ˆb
1
ˆ
:1
a
a
si x < a
si x 2 Œa; b
1
si x > b
Fonction de répartition de la loi uniforme
0
FX
1
Proposition 2.2
Soit X ,! E./. On a
E.X / D
a
1
Var.X / D
1
2
3. Loi normale ou de Laplace-Gauss
b
Définition 3.1
On dit qu’une v.a.r. X suit une loi normale de paramètre .; / (avec
> 0) si sa densité est
Proposition 1.2
Soit X ,! U.a; b/. On a
aCb
E.X / D
2
Var.X / D
.b
a/2
12
1
fX .x/ D p e
2
.x
/2
2 2
8x 2 R
On note X ,! N .; /.
2. Loi exponentielle
Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – VII. Lois continues usuelles
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Graphe de la densité
Approximation de la loi binomiale par la loi normale
Lorsque n est grand, et p pas trop proche de 0 et 1, on peut approcher la loi binomiale par une loi normale :
p
B.n; p/ N np; npq
fX
1
p
2⇡
Dans la pratique, on impose
np > 5 et
nq > 5
200,00
150,00
µ
100,00
Proposition 3.2
Soit X ,! N .; /. On a
50,00
Comparaison graphique de 3 lois normales
E.X / D Var.X / D 2
"#$
0,00
5,00
10,00
15,00
Loi binomiale B(25, 0.3)
"#%(
Approximation de la loi de Poisson par la loi normale
"#%&
Lorsque est grand, on peut approcher la loi de Poisson par une
loi normale :
p P ./ N ; "#&)
"#&$
"#&
Dans la pratique, on impose
"#'(
> 18
"#'&
120,00
"#")
"#"$
100,00
"#"
!'"
!)
!(
!$
!&
&
"
$
(
)
'"
'&
80,00
!
plot({ProbabilityDensityFunction('Normal'(-3, 1), t),
1), t),
2), t)},
Soit a;ProbabilityDensityFunction('Normal'(5,
b 2 R et
t=-10..12);
Proposition
3.3
ProbabilityDensityFunction('Normal'(5,
X ,! N .; /
Alors
Page 1
60,00
40,00
20,00
Les 3 courbes ci-dessus représentent les densités de 3 variables aléatoires suivant
des lois normales.
aX C b ,! N .a C b; jaj /
Les densités verte et rouge correspondent à deux var ayant la même espérance,
Proposition 3.4
approximativement égale à 5 (abscisse des sommets des deux courbes / x = 5 est
Unedevariable
axe
symétrie).aléatoire X suit la loi normale N .; / si et seulement
si X suit la loi normale N .0; 1/ :
La densité jaune correspond à une var d'espérance égale approximativement à -3.
Les densités jaune
rouge
correspondent
écart-type (et donc
X et,!
N .;
/ ӈ des
X var
,!deNmême
.0; 1/
de même variance), car le sommet des courbes (d'ordonnée 0.4) correspond
à 1/σ(2π)1/2. De plus, on a σ = 1/0.4 (2π)1/2 ≈ 1.
fN .0;1/
0,00
0,00
5,00
10,00
15,00
20,00
25,00
Loi de Poisson P(13)
Correction de continuité
Pour calculer P .X D k/ en utilisant une des approximations précédentes, on utilise la formule suivante :
P X D k D P k 0:5 < X < k C 0:5
Le sommet de la densité verte est moins haut (d'ordonnée plus petite) que celui de
la densité rouge. La var de densité verte à un l'écart-type
(et donc une variance)
1
p car l'ordonnée du sommet est
plus grand que celui de la var de densité rouge,
2⇡
inversement proportionnelle à l'écart-type. On voit aussi que la plage de valeur de
la var de densité verte est plus grande que celle associée à la densité rouge.
3
0
4
3.5
4.5
Page 1
De même,
P .k < X < `/ D P .k C 0:5 < X < `
P .k 6 X 6 `/ D P .k
Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – VII. Lois continues usuelles
0:5/
0:5 < X < ` C 0:5/
Page 10
Rappels 3.2
Le coefficient de corrélation linéaire du couple .X; Y / est
CHAPITRE VIII
.X; Y / D
Couples de variables aléatoires continues
Cov.X; Y /
X Y
On a
1. Introduction
Soit .X; Y / un couple de variables aléatoires continues.
La fonction de répartition du couple est
FX;Y .x; y/ D P .X 6 x et Y 6 y/
1) .X; Y / 2 Œ 1; C1
2) .X; Y / D 0 SSI X et Y sont non corrélées ;
3) j.X; Y /j D 1 SSI, il existe a; b 2 R tels que
Y D aX C b
La notion de loi n’ayant plus de sens, on va généraliser la notion de Rappels 3.3
densité vue au chapitre précédent.
Soit .X; Y / un couple de variables aléatoires réelles. Alors
Var.X C Y / D Var.X / C Var.Y / C 2 Cov.X; Y /
2. Densité d’un couple
Définition 2.1
Si X et Y sont non corrélées, on a
On dit que le couple de v.a.c. .X; Y / admet une densité s’il existe une
fonction continue fX;Y W R R ! RC telle que
Z x Z y
FX;Y .x; y/ D
fX;Y .u; v/ du dv
1
1
La fonction fX;Y est appelée densité du couple .X; Y /.
Les densités fX et fY des variables aléatoires X et Y sont appelées
densités marginales du couple .X; Y /.
Var.X C Y / D Var.X / C Var.Y /
4. Indépendance
Définition 4.1
Soit .X; Y / un couple de vac de densité f .x; y/.
Pour tout y 2 R tel que fY .y/ ¤ 0, on appelle loi conditionnelle de
X sachant Y D y, la loi de densité
Remarques
fXjY .xjy/ D
1. Pour .x; y/ 2 R , on a
2
fX;Y .x; y/ D
@2 FX;Y
.x; y/
@x@y
fX Y .x; y/
fY .y/
L’espérance conditionnelle de X sachant Y D y est
Z C1
E.XjY D y/ D
xfXjY .xjy/dx
1
2. Les densités marginales sont liées à la densité du couple via les
formules suivantes :
Elle correspond à l’espérance de la loi conditionnelle de X sachant
Z C1
Z C1
Y D y.
fX .x/ D
fX;Y .x; y/ dy fY .y/ D
fX;Y .x; y/ dx
Définition 4.2
1
1
On dit que X et Y sont indépendantes si pour tout x; y 2 R, les
2
3. Une fonction f W R ! R est la densité d’un couple de variables événements .X 6 x/ et .Y 6 y/ sont indépendants, c’est-à-dire,
aléatoires, si
P .X 6 x/ \ .Y 6 y/ D P .X 6 x/ P .Y 6 y/
1) f .x; y/ > 0
’
Ou, de manière équivalente, si
2)
f .x; y/ dxdy D 1
R2
3) f est continue (sauf éventuellement pour un nombre fini de x
et y).
fX;Y .x; y/ D fX .x/ fY .y/
Rappels 4.3
4. On a
E.X Y / D
Z
C1
1
Z
C1
1
xyfX;Y .x; y/ dxdy
Si deux variables X et Y sont indépendantes, alors elles sont noncorrélées, mais la réciproque est fausse !
X et Y indépendantes H) X et Y non-corrélées
X et Y corrélées H) X et Y dépendantes
3. Corrélation
Proposition 4.4
Rappels 3.1
La covariance de .X; Y / est
Cov.X; Y / D E X E.X / Y
Lorsque
E.Y /
D E.X Y / E.X / E.Y /
Cov.X; Y / D 0
Si X et Y sont deux variables aléatoires continues indépendantes telle
que
X ,! N .1 ; 1 / et Y ,! N .2 ; 2 /
On a alors
X C Y ,! N
1 C 2 ;
q
12
C
22
on dit que les variables X et Y sont non corrélées.
Vincent Jalby – Université de Limoges – L2 Economie – Semestre 3 – 2016-2017 – VIII. Couples de variables aléatoires continues
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