probabilités finies

Chapitre 7 : probabilités finies
1. Introduction
Dans ce premier chapitre, les probabilités sont introduites uniquement dans le cas où l’univers Ω est un ensemble fini,
cadre que vous avez largement exploré en classe de terminale. Par conséquent, dans un certain sens, il y a assez peu de
nouveauté par rapport à l’année dernière.
En revanche, il est clairement stipulé dans les programmes que l’approche via les arbres pondérés doit être remplacées par
des raisonnements sur les événements, qui nécessitent la maîtrise des formules littérales, des opérations sur les ensembles
et plus de rigueur et de rédaction en général.
Lors du second semestre, nous généraliserons ces résultats aux probabilités discrètes, pour lesquelles l’univers est infini et
l’utilisation des arbres trop limitante.
Enfin, certains calculs de probabilité demanderont une réflexion plus poussée et il sera fréquent de ne pas se limiter à deux
expériences successives (ce qui est souvent le cas en terminale, exception faite des schémas de Bernoulli) mais à une série
de n expériences successives et donnera de nombreuses occasion de mêler probabilités, suites et matrices (dans l’esprit du
programme de spécialité de terminale, en approfondissant là aussi).
2. Le cadre des probabilités
2.1 Vocabulaire
Définition 1. Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut prévoir l’issue (le résultat).
Exemple 1.
1
Jeter un dé à 6 faces et noter le résultat ;
2
Lancer une pièce de monnaie et noter le résultat.
Lors de la réalisation d’une expérience aléatoire , on est amené à introduire successivement :
un univers Ω
1
2
les événements, parties de Ω
3
une probabilité
Définition 2. L’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience, souvent noté Ω.
Exemple 2. ✎ Donner les univers dans les deux cas de l’exemple 1.
Définition 3. Un événement (ou issue) est une résultat qui peut être observé lors de l’expérience aléatoire. Comme
Ω est fini, cela revient à considérer une partie (ou un sous-ensemble) quelconque de Ω. On parle d’événement :
• élémentaire lorsque c’est une partie de Ω réduite à un élément (un singleton).
• certain s’il est toujours réalisé (c’est alors Ω), et impossible s’il n’est jamais réalisé ( c’est alors ∅).
Enfin, (Ω; P (Ω)) est appelé un espace probabilisable (rappelons que P (Ω) désigne l’ensemble des parties de Ω).
Exemple 3. ✎ Pour le premier cas, donner des événements. Pour le second, donner tous les événements.
2.2 Opérations sur les événements
Les opérations sur les ensembles, vues au chapitre 1 (intersection, union, complémentaire), permettent de créer de nouveaux
événements à partir d’événements connus. Dans le langage des probabilités, il y a un vocabulaire spécifique :
Définition 4.
1
Deux événements d’ intersection vide (A ∩ B = ∅) sont dits incompatibles (plutôt que disjoints).
2
On appelle l’événement contraire d’un événement A (plutôt que le complémentaire de A dans Ω) et on note
A l’ensemble de toutes les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. Deux événements contraires sont incompatibles.
Exemple 4. ✎ 1 Dans une boite, il y a quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire simultanément au hasard deux jetons.
On note A= « les deux jetons sont pairs »et C= « la somme des chiffres notés sur les deux jetons est paire ».
(a) Donner tous les tirages possibles.
(b) Quels sont les tirages constituant les ensembles suivants : A, « A ou A » , A ∩A.
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(c) Quels sont les tirages constituant les ensembles suivants : C, A ∪ C, « A et » , « A ou C » , A ∩ C.
2 Soient A, B, C trois éléments de P(Ω). Décrire à l’aide de A, B, C les ensembles suivants :
(a) A = « seul A se réalise » (b) B = « A et B se réalisent mais pas C »
(c) C = « Deux évènements au plus se réalisent » (d) D = « Deux évènements ou plus se réalisent »
Définition 5. Soit Ω un univers fini, n ∈ N∗ et (A1 , A2 , . . . , An ) une famille d’événements de Ω. On dit que cette famille
est un système complet d’événements lorsque :
1
Les événements sont deux à deux incompatibles.
2
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω.
Exemple 5. ✎ Dans chaque cas, dire si les familles suivantes sont des systèmes d’événements complets :
1
2
3
4
A = {1}, B =« la face est un nombre pair » et C = {5} (expérience : lancer d’un dé classique).
A =« la face est un nombre impair » B =« la face est un nombre supérieur ou égal à 2 » (idem).
un événement A quelconque et son complémentaire (expérience quelconque).
A ∩ B, A ∩ B, A ∩ B et A ∩ B, où A et B sont deux événements quelconques (idem).
2.3 Probabilité
Définition 6. On appelle probabilité (ou loi de probabilité) sur Ω toute fonction P : P(Ω) → [0; 1] vérifiant :
1
P(Ω) = 1
2
Si A et B sont deux événements incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
(Ω; P (Ω) ; P) est appelé un espace probabilisé.
Proposition 1.
1
3
4
5
2 P(∅) = 0
P(A) = 1 − P(A)
Si A et B sont deux événements avec A ⊂ B, on a P(A) 6 P(B).
Si (A1 , A2 , . . . , An ) est une famille d’événements deux à deux incompatibles : P
Si (A1 , A2 , . . . , An ) est un système complet d’événements
n
X
n
[
i=1
Ai
!
=
n
X
P (Ai ).
i=1
P (Ai ) = 1.
i=1
6
7
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires vaut 1.
P(A) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le compose.
Exemple 6. ✎ Un dé est truqué pour que le 6 apparaîsse deux fois plus souvent que les autres faces qui, elles, ont toutes
la même probabilité de tomber . Calculer P({4; 5; 6}).
Définition 7. Dire que deux événements sont équiprobables signifie qu’ils ont la même probabilité.
Il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires sont équiprobables, chacun ayant donc une probabilité
1
de , où n = card (Ω). On dit que P est la probabilité uniforme sur (Ω, P (Ω)) et, pour chaque événement A :
n
P(A) =
card(A)
nombre de cas favorables
=
card (Ω)
nombre de cas au total
Remarque 1. Il est si fréquent de pouvoir se ramener à une situation d’équiprobabilité lors des expériences aléatoires
classiques qu’on le fait souvent sans y réfléchir. On peut citer, en vrac : le lancer d’une pièce ou d’un dé équilibré, le tirage
au hasard d’une boule dans une urne (on dit souvent « indiscernables au toucher » pour supposer l’équiprobabilité), le
tirage au hasard d’une personne dans un échantillon, d’une carte dans un jeu, etc...(attention cependant à ne pas voir de
l’équiprobabilité partout !). En résumé, dans toutes ces situations, calculer la probaiblité d’un événement revient à savoir
dénombrer le nombre de cas favorables (le nombre de cas au total étant en général assez vite connu).
Proposition 2. (Rappel du chapitre 1)
(k; n) ∈ N2 avec 0 6 k 6 n. Le nombre de manières de choisir simultanément k objets parmi n objets est
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n
k
.
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Exemple 7. ✎ On suppose qu’il y a équiprobabilité dans chaque cas. Calculer les probabilités suivantes :
1
le résultat d’un lancer de dé est pair et supérieur ou égal à trois ? pair ou supérieur ou égal à trois ?
2
Dans une urne contenant 7 boules blanches et 5 boules noires, la probabilité qu’on tire une boule noire ? simultanément
2 boules noires ? simultanément 2 boules de la même couleur ? simutanément deux boules de couleurs différentes ?
simultanément 2 boules blanches et une boule noire ?
Proposition 3. Formules du crible de Poincaré
Soient A, B et C trois événements de Ω :
1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
2
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C).
Remarque 2. Si les événements sont incompatibles, on retrouve les résultats des définition 6 et proposistion 1.
Exemple 8. ✎ Dans la base de données d’une entreprise, on constate que 20% du personnel parle russe, 38% parle anglais,
26% parle chinois, 8% parle anglais et chinois, 2% parle les trois langues, 9% parle russe et anglais et 4% parle russe et
chinois. Quelle est la probabilité, lorsqu’on choisit un employé au hasard, qu’il ne parle aucune de ces trois langues ?
3. Probabilités conditionnelles
Exemple 9. ✎ 1 Les faces paires d’un dé à six faces sont coloriées en blanc et les faces impaires en noir. On lance ce dé ;
de loin on se rend compte qu’une face blanche est apparue (on note B cet événement) ; quelle est la probabilité que l’on ait
obtenu un six ?
2 Dans une entreprise, il y a 150 femmes ingénieurs , 80 femmes ouvrières, 100 hommes ingénieurs et 130 hommes ouvriers.
On tire au sort, de manière équiprobable, un employé. Quelle est la probabilité d’être ingénieur ? D’être ingénieur sachant
qu’on est une femme ? D’être une femme sachant qu’on est ingénieur ? D’être une femme ingénieur ?
3.1 Définition-propriété
Définition 8. Soient A et B deux événements de Ω avec B tel que P(B) 6= 0.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B le nombre noté PB (A) défini par PB (A) =
P(A∩B)
P(B) .
De plus, l’application A 7→ PB (A) est une probabilité sur (Ω; P (Ω))
Remarque 3. BIl ne faudra pas confondre P(A ∩ B) et PB (A) dans le premier cas on « regarde » A ∩ B par rapport à
Ω alors que dans le second, on regarde par rapport à B (on restreint l’univers à B).
La dernière phrase de la définition précédente autorise à appliquer toutes les égalités de la définition 6 et des propriétés 1
et 2 sur une probabilité conditionnelle.
Exemple 10. ✎ Vérifier que la notion intuitive de probabilité conditionnelle vue sur les exemples précédents colle bien
avec la définition précédente.
Proposition 4.
Soient A et B deux événements de Ω avec P(A) 6= 0 et P(B) 6= 0. Alors : P(A ∩ B) = P(A) × PA (B) = P(B) × PB (A)
3.2 Probabilités composées
On peut généraliser la formule précédente de la manière suivante :
Proposition 5. Formule des probabilités composées
Soit (Ω, P (Ω) , P) un espace probabilisé fini et A1 , A2 , . . . , An ∈ des événements tels que P (A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An−1 ) 6= 0.
Alors
P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 )PA1 (A2 )PA1 ∩A2 (A3 ) . . . PA1 ∩A2 ∩···∩An−1 (An )
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Exemple 11. ✎ Une urne contient 5 boules blanches et 7 boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement
p boules sans remise et on note à chaque tirage la couleur obtenue.
Pour tout entier i vérifiant 1 6 i 6 p, on note Ni : « la i-ième boule tirée est noire » , Bi : « la i-ième boule tirée est
blanche » , A : « toutes les boules tirées sont blanches » et C : « toutes les boules tirées sont noires » .
1
Décrire l’univers associé à cette expérience.
2
Déterminer la probabilité de A, dans les cas p = 4, p = 5, p = 6 et p = 7.
3
Déduire les probabilités pour chacune des valeurs de p de D : « toutes les boules ont la même couleur » .
4
Déterminer par exemple la probabilité que le tirage soit (B, B, N ) lorsque p = 3. Quelle est la probabilité que les deux
premières boules tirées soient blanches et la troisième noire lorsque p est un entier quelconque supérieur ou égal à 3 ?
3.3 Probabilités totales
Théorème 6.
Soit (A1 , A2 , . . . , An ) un système complet d’événements Ω, alors pour tout événement D,
P(D) =
=
n
X
k=1
n
X
P (D ∩ Ak ) = P(D ∩ A1 ) + P(D ∩ A2 ) + · · · + P(D ∩ An )
P (Ak ) × PAk (D) = P(A1 ) × PA1 (D) + P(A2 ) × PA2 (D) + · · · + P(An ) × PAn (D)
k=1
Exemple 12. ✎ On reprend le cadre de l’exercice précédent pour p > 3.
1
Calculer les probabilités des événements N2 et B2 en utilisant les formules des probabilités totales, en précisant bien
le système d’événements complet qui est utilisé pour les calculs.
2
Calculer les probabilités des événements N3 et B3 en appliquant la même méthode.
On applique cette formule dès qu’il est plus simple de faire une distinction de cas pour calculer une
probabilité souhaitée, portant notamment sur ce qui s’est passé juste avant dans l’expérience aléatoire.
3.4 Formule de Bayes
Le propriété suivante est une combinaison de la définition d’une probabilité conditionnelle et de la formule des probabilités
totales. En classe de terminale, elle est souvent utilisée sans la nommer.
Proposition 7.
Soit (A1 , . . . , An ) un système complet d’événements et B un événement, tous de probabilités non nulles. Alors :
P(Ai )PAi (B)
PB (Ai ) = n
X
P(Ak )PAk (B)
k=1
Exemple 13. ✎ On reprend le cadre précédent avec p > 3.
1 Calculer P
2 La 3ième boule tirée est blanche. Quelle est la probabilité que la 1ère boule tirée ait été noire ?
N2 (N1 ).
Cette propriété est utilisée pour remonter le temps, c’est à dire pour connaître la probabilité d’un événement
passé à l’aide de la situation présente.
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3.5 Lien avec les arbres pondérés
Un arbre est pondéré, si chaque branche est affectée d’une
probabilité. Un chemin va de la racine à une extrémité en
passant par des branches de l’arbre. L’origine commune à deux
branches s’appelle un nœud.
On prend comme exemple typique une situation où l’on réitère deux fois une expérience comportant deux issue A et A
contraire l’une de l’autre . On note A1 (resp. A2 ) l’événement
« A se réalise à la première (resp. deuxième) expérience ».
Même notations pour A.
L’univers associé à cette situation comporte quatre issues :
Ω = {A1 ∩ A2 ; A1 ∩ A2 ; A1 ∩ A2 ; A1 ∩ A2 }
P(A1 )
PA1 (A2 )
A2
PA1 (A2 )
A2
PA1 (A2 )
A2
PA1 (A2 )
A2
A1
P(A1 )
A1
On peut donner un certain nombre de « règles »qui ne sont finalement qu’un bon aspect visuel (très pratique) des propriétés
énumérées précedemment.
Règle 1 la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
Par exemple sur l’arbre ci-dessus, ceci correspond aux formules P(A1 ) + P(B1 ) = 1 ou encore PA1 (A2 ) + PA1 (B2 ) = 1.
Cela correspond aux propriétés concernant les systèmes complets d’événements.
Règle 2 La probabilité de l’événement représenté par un chemin est égal au produit des probabilités inscrites
sur les branches de ce chemin .
Par exemple : la probabilité du chemin A1 − A2 qui traduit l’événement A1 ∩ A2 est P(A1 ∩ A2 ) = P(A1 ) × PA1 (A2 )
Cela correspond exactement à la formule des probabilités composées.
Règle 3 La probabilité d’un événement D est la somme des probabilités des chemins qui composent D.
Par exemple : la probabilité de l’événement «obtenir exactement une fois A » est : P(A1 ∩ B2 ) + P(B1 ∩ A2 ).
Cela correspond exactement à la formule des probabilités totales.
Exemple 14. ✎ Bilan
1
⋆ L’urne U1 contenant 1 boule rouge et 5 boules jaunes.
⋆ L’urne U2 contenant 3 boules rouges et 1 boule jaune.
⋆ L’urne U3 contenant 1 boule rouge et 2 boules jaunes.
On lance un dé puis on choisit l’urne 1 si le dé tombe sur 1, l’urne 2 si le dé tombe sur un nombre pair et l’urne 3
sinon. Ensuite, on tire une boule dans l’urne choisie.
On tire une boule jaune. Quelle est la probabilité que cette boule ait été tirée dans U1 ?
2 Deux joueurs A et B engagent chacun 32 euros dans le pari suivant : on lance une pièce de monnaie (équilibrée)
jusqu’à l’apparition de trois piles ou de trois faces (pas forcément consécutifs). Si les trois piles sortent d’abord, le
joueur A gagne les 64 pistoles, sinon B les gagne. Au premier lancer, la pièce est tombée sur « Pile ». Le jeu doit
s’arrêter. Comment répartir équitablement les 64 pistoles en tenant compte de la situation actuelle ?
3 Le test de dépistage d’une maladie posséde les caractéristiques suivantes :
(a) La probabilité qu’un individu malade ait un test positif est 0,99 (sensibilité du test).
(b) La probabilité qu’un individu sain ait un test négatif est 0,98 (spécificité du test).
Exprimer la probabilité qu’un individu dont le test est positif soit malade en fonction de la proportion de malade
dans la population, notée p. Interpréter.
4. Indépendance
4.1 entre deux événements
Il est naturel de dire que deux événements A et B de probabilité non nulles sont indépendants si la donnée de l’information
« B est réalisé » (resp. « A est réalisé » ) n’agit pas sur la réalisation de A (resp. B), i.e. si PB (A) = P(A) (resp. PA (B) =
P(B)). Dans ce cas la formules des probabilités composées devient :
Définition 9. 2 événements A et B sont indépendants pour P si :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Remarque 4. Ne pas confondre indépendance et incompatibilité ! La notion d’indépendance est une notion délicate et il
faudra parfois la vérifier par le calcul.
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Proposition 8.
Soient deux événements A et B de probabilité non nulles. On a l’équivalence :
A et B sont indépendants si et seulement si
PB (A) = P(A) ou PA (B) = P(B)
Exemple 15. ✎
1 On lance un dé à six faces n fois (n ∈ N∗ ). Comment choisir n pour que la probabilité p d’obtenir au moins un 6, au
n
cours des n lancers, soit supérieure ou égale a 0,95 ?
2 Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules noires. On en prélève n successivement et avec remise (n > 2). On
considère les événements suivants :
⋆ A : « on obtient des boules des deux couleurs » . ⋆ B :« on obtient au plus une boule blanche » .
(a) Calculer P(A ∩ B), P(A) et P(B).
(b) Montrer que P(A ∩ B) = P(A) × P(B) si et seulement si 2n−1 = n + 1.
(c) En étudiant la suite (un ) définie pour n > 2 par un = 2n−1 − (n + 1) , en déduire pour quelle(s) valeurs de n les
événements A et B sont indépendants.
4.2 d’une famille événements
Lorsqu’il y a plus de deux événements, il y a deux définitions différentes d’indépendance.
Définition 10. Soient A1 , . . . , An des événements.
1
2
A1 , . . . , An sont 2 à 2 indépendants si : ∀i 6= j, P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj )
A1 , . . . , An sont mutuellement indépendants si : ∀I ∈ P ([1 ; n]) : P
\
i∈I
Ai
!
=
Y
P (Ai )
i∈I
Remarque 5. Un cas typique : lorsqu’on répète à l’identique une expérience aléatoire, les événements correspondants aux
résultats de chaque répétition sont mutuellement indépendants.
Proposition 9.
Des événements mutuellement indépendants sont 2 à 2 indépendants, mais la réciproque est fausse en général !
Exemple 16. ✎ 1 On jette un dé rouge et un dé bleu. Les événements suivants sont-ils 2 à 2 indépendants ? mutuellement
indépendants ? Ni l’un ni l’autre ?
• A : « Le dé rouge est pair » • B : « Le dé bleu est pair » • C : « Les deux dés ont même parité »
2 Bob, Joe et son frère vont à la chasse. Ils sont à l’affût, quand soudain ils aperçoivent un lapin. Ils tirent tous les 3
simultanément. Leurs qualités de tireur font que Bob atteint sa cible avec la probabilité P (B) = 12 , Joe avec la probabilité
P (J) = 13 et son frère avec la probabilité P (F ) = 41 . On admet que les événements B, J, F sont mutuellement indépendants.
Avec quelle probabilité les trois compères pourront-ils se régaler d’un bon civet ce jour là ?
Proposition 10.
Lorsque des événements A1 , . . . , Ap sont indépendants, alors en remplaçant certains des Ai par leurs complémentaires
on obtient encore des événements indépendants.
5. Variables aléatoires finies : rappel introductif
5.1 Définitions
Définition 11. Lorsqu’à chaque événement élémentaire ω de l’univers on associe un nombre réel, on dit que l’on a défini
une variable aléatoire (réelle) qui est donc une fonction X : Ω 7→ R.
X(Ω), appelé l’univers image de X est l’ensemble des valeurs prises par X.
Comme Ω est un ensemble fini, X(Ω) est également fini, donc du type X(Ω) = {x1 ; x2 ; . . . ; xn }.
Les événements élémentaires de X(Ω) sont notés (X = xi ), où 1 6 i 6 n.
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Exemple 17. On lance une pièce de monnaie
bien équilibrée trois fois de suite. Soit X la variable aléatoire donnant le
(
1 si deux côtés identiques apparaîssent successivement ,
nombre de « face » obtenues et soit Y =
. Donner Ω, X(Ω) et
0 sinon.
Y (Ω), l’ensemble de toutes les valeurs que prennent X et Y .
Définition 12. La loi de probabilité de X est la donnée des probabilités P(X = xi ) pour tous les i entre 1 et n.
Lorsque le nombre d’éléments de l’univers image est petit, on peut présenter la loi de probabilité sous forme de tableau.
Exemple 17 (suite). Donner les lois de probabilité de X et Y .
Définition 13. L’espérance de X est définie par :
n
X
P(X = xi )xi = P(X = x1 )x1 + P(X = x2 )x2 + · · · + P(X = xn )xn .
E(X) =
i=1
On peut la voir comme une limite des moyennes statistiques lorsque le nombre d’expérience tend vers +∞.
Exemple 17 (suite). Donner les espérances de X et Y .
Bilan du chapitre 7
Objectifs prioritaires
1
Être capable de donner l’univers associé à une expérience aléatoire dans les cas simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Être capable de nommer les événements associés à une expérience aléatoire dans les cas simples. . . . . . . . . . 3
Connaître la définition d’une probabilité et savoir utiliser toutes les propriétés qui en découlent. . . . . . . . . . 4
Savoir calculer des probabilités simples, notamment dans le cas particulier de l’équiprobabilité. . . . . . . . . . . 5
Savoir la définition d’une probabilité conditionnelle et la différencier d’une probabilité d’intersection. . . . . .
6
Savoir rédiger et utiliser toutes les propriétés et théorèmes liés aux probabilités conditionnelles (composées, totales,
Bayes). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Savoir faire un arbre pondéré qui servira de support au raisonnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Connaître les notions d’indépendance de deux ou plusieurs événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Connaître les bases sur les variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Objectif secondaires
1
Être capable de donner l’univers associé à une expérience aléatoire dans les cas compliqués. . . . . . . . . . . . . . . 2
Être capable de nommer les événements associés à une expérience aléatoire dans les cas compliqués. . . . . . 3
Savoir calculer des probabilités qui nécessitent du dénombrement plus poussé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . www.franck-madigou.fr
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7/7
TD du chapitre 7
Exercice 1. TS, centres étrangers 2008
Le secteur de production d’une entreprise est composé de 3 catégories de personnel :
• les ingénieurs
• les opérateurs de production
• les agents de maintenance
Il y a 8 % d’ingénieurs et 82 % d’opérateurs de production. Les femmes représentent 50 % des ingénieurs, 25 % des agents
de maintenance et 60 % des opérateurs de production.
I. Partie A. Dans cette partie, on interroge au hasard un membre du personnel de cette entreprise. On note :
• M l’évènement : « le personnel interrogé est un agent de maintenance » ;
• O l’évènement : « le personnel interrogé est un opérateur de production » ;
• I l’évènement : « le personnel interrogé est un ingénieur » ;
• F l’évènement : « le personnel interrogé est une femme ».
1
Construire un arbre pondéré correspondant aux données.
2
Calculer la probabilité d’interroger : • un agent de maintenance • une femme agent de maintenance • une femme
II. Partie B. Le service de maintenance effectue l’entretien des machines, mais il est appelé aussi à intervenir en cas de
panne. Pour cela une alarme est prévue ; des études ont montré que sur une journée :
• la probabilité qu’il n’y ait pas de panne et que l’alarme se déclenche est égale à 0, 002 ;
• la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme ne se déclenche pas est égale à 0, 003 ;
• la probabilité qu’une panne se produise est égale à 0, 04.
On note : • A l’évènement : « l’alarme se déclenche »
• B l’évènement : « une panne se produit » ;
1
Démontrer que la probabilité qu’une panne survienne et que l’alarme se déclenche est égale à 0, 037.
2
Calculer la probabilité que l’alarme se déclenche.
3
Calculer la probabilité qu’il y ait une panne sachant que l’alarme se déclenche.
Exercice 2. TS, Nouvelle-Calédonie mars 2008, extraits
Deux éleveurs produisent une race de poissons qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :
• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 %
deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.
• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 %
deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.
Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.
1
Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois.
(a) Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0, 92.
(b) Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.
(c) Sachant que le poisson est gris à 3 mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ?
2
L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur couleur définitive.
Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0, 25 euro s’il est gris et perd 0, 10 euro s’il ne survit pas.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité
de X et son espérance mathématique, arrondie au centime.
Exercice 3.
Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d’une part d’un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs
indiscernables au toucher et d’autre part d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
Il décide des règles suivantes pour le déroulement d’une partie : le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé
• si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ;
• si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6.
A la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
On note B l’événement « le jeton tiré est blanc » et G l’événement « le joueur gagne le jeu ». L’événement contraire d’un
événement E sera noté E. La probabilité d’un événement E sera notée p(E).
Partie A
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1/7
1
2
7
. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
30
Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu’il a perdu ?
Montrer que p(G) =
3
Un joueur fait quatre parties de façon indépendante. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en
donner une valeur approchée à 10−3 près (on pourra s’aider d’un arbre)
4
Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure
à 0, 99 ?
Partie B
L’organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d’argent :
• chaque joueur paie 1 ( par partie • si le joueur gagne, il reçoit 5 ( ; • si le joueur perd, il ne reçoit rien.
1
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur après une partie.
(a) Donner la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
(b) On dit que le jeu est favorable à l’organisateur si E(X) < 0. Le jeu est-il favorable à l’organisateur ?
2
L’organisateur décide de modifier le nombre n de jetons noirs (n entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton
blanc. Pour quelles valeurs de l’entier n le jeu est-il défavorable à l’organisateur ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera évaluée dans cette question
Exercice 4. TS, Asie, juin 2012, extraits
Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2.
Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches. Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste
à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :
⋆ un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
⋆ un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
⋆ un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ;
Un joueur joue une partie. On note Yk la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
6k
1 (a) Justifier l’égalité : p (Y = 5) =
. (b) Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk .
k
(k + 3)2
2
On note E(Yk ) l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk
On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk ) est strictement positive.
Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
Exercice 5. Loi de Hardy-Weinberg
Certains gènes peuvent avoir exactement deux états : l’allèle A (allèle dominant) ou a (allèle recessif).
Un individu peut avoir, sur une paire de chromosome les génotypes suivants : AA, Aa et aa.
Lors d’un appariement entre deux individus, l’enfant obtient exactement un gène (au hasard, avec équiprobabilité) de
chacun de ses parents.
On admet que les couples sont conçus entre parents de la même génération, que la proportion de chacun des génotypes
est identique chez les hommes et chez les femmes et que les couples se forment indépendamment des génotypes. Dans une
population donnée on note pn , qn et rn les proportions respectives des génotypes AA, Aa et aa à la génération n ∈ N. La
génération 0 est la génération initiale.
1
Probabilité du génotype de l’enfant en fonction de celui des parents.
(a) En considérant les génotypes de deux parents, montrer qu’il y a six types de couples différents.
(b) Dans chacune de ces six situations, donner les probabilités qu’un enfant ait chaque génotype.
2
3
4
Dresser un arbre pondéré à trois niveaux de branches (mère de la génération n, père de la génération n, et enfant de
la génération n + 1 (vous aurez besoin de place...).
q n 2
q n 2
Démontrer que pour tout n ∈ N, pn+1 = pn +
et rn+1 = rn +
.
2
2
Que vaut, pour n ∈ N, pn + qn + rn ?
5
Soit α = p0 − q0 et (un ) définie par un = pn − rn pour n ∈ N. Démontrer que (un ) est constante égale à α.
6
Exprimer pn+1 et rn+1 en fonction de α à l’aide des deux questions précédentes.
7
En déduire le principe de Hardy-Weinberg : à partir de la génération 1, les proportions ne varient plus.
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Exercice 6. Pièce truquée
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces
3
truquées. La probabilité d’apparition de « Face » lors d’un jet d’une pièce truquée est .
4
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1
On prend une pièce au hasard et on la lance. Soit T l’évènement : « la pièce est truquée » et F l’évènement : « on
obtient Face ».
(a) Calculer la probabilité d’obtenir « Face » (on pourra s’aider d’un arbre).
(b) Quelle est la probabilité que la pièce soit truquée sachant que l’on a obtenu « Face » ?
2
On considère un jeu dont la mise est 10 euros, qui consiste à choisir une des 100 pièces et à la lancer. Si le résultat
est face, on ne gagne rien, sinon on gagne a euros. Soit G la variable aléatoire donnant le gain algébrique du jeu.
(a) Exprimer l’espérance de G en fonction de a. Comment choisir a pour que le jeux soit équitable ?
3
On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.
⋆ si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois « Face », on décide d’éliminer la pièce,
⋆ dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
On note E l’évènement « la pièce est éliminée ».
(a) Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est équilibrée ?
(b) Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu’elle est truquée ?
(c) Quelle est la probabilité d’avoir pris une pièce équilibrée et de l’avoir éliminée ou d’avoir pris une pièce truquée
et de l’avoir conservée ?
(d) Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu’elle est truquée ? En déduire P (E).
4
On suppose dans cette question que la probabilité qu’une pièce truquée tombe sur « Face » est x ∈]0; 1[. On cherche
à décrire une expérience parfaitement équiprobable avec cette pièce. Pour cela :
⋆ On effectue une série de deux lancers indépendants de la pièce :
⋆ Si le premier lancer est pile (P1 ) et le second face (F2 ) on dit avoir obtenu A.
⋆ Si le premier lancer est face (F1 ) et le second pile (P2 ) on dit avoir obtenu B
⋆ Si les deux lancers donnent des résultats identiques, on recommence l’expérience.
(a) Représenter la situation correspondant à une série de deux lancers par un arbre.
(b) Quelle est la d’obtenir A lors de la première série de deux lancers ? d’obtenir B ? De devoir refaire une série de
deux lancers ?
(c) Montrer que P (A) = x(1 − x) + (x2 + (1 − x)2 )P (A) et en déduire P (A) et conclure.
Exercice 7. Ecricome 2011. Extraits
PARTIE I. Un jeu en ligne.
La société Lehazard met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d’écran affiche une grille à trois
lignes et trois colonnes.
Après une mise initiale de 2 euros du joueur, une fonction aléatoire place au hasard successivement trois jetons (⋆) dans
trois cases différentes. La partie est gagnée si les trois jetons sont alignés. Le gagnant empoche 10 fois sa mise, ce qui lui
rapporte 18 euros à l’issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.
1
2
3
A
⋆
⋆
B
C
⋆
On définit les événements H, V, D, N par :
⋆ H : « les trois jetons sont alignés horizontalement ». ⋆ V : « les trois jetons sont alignés verticalement ».
⋆ D : « les trois jetons sont alignés en diagonale ». ⋆ N : « les trois jetons ne sont pas alignés ».
1
Justifier qu’il y a 84 positionnements possibles des trois jetons dans les trois cases.
2
Déterminer les probabilités P (H) , P (V ) , P (D) des événements H, .V, .D.
19
En déduire que la probabilité de l’événement N est égale à : P (N ) =
≃ 0.9048
21
On note Z le gain de la société lors d’une partie. Calculer E (Z).
3
4
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3/7
PARTIE III. Contrôle de la qualité du jeu.
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case (A, 1) , les
deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note ∆ l’événement « la fonction aléatoire est déréglée »et
on pose P (∆) = x avec x ∈ ]0, 1[.
1
Calculer les probabilités conditionnelles P∆ (H) , P∆ (V ) , P∆ (D).
2
Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d’événement ∆, ∆ pour en déduire que la
x
19
probabilité les jetons ne soient pas alignés est P (N ) = − + .
84 21
Soit G la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d’une partie jouée. Déterminer la valeur
maximale de x pour que l’espérance de gain soit positive.
3
4
On joue une partie. On constate que les jetons sont alignés. Quelle est la probabilité, en fonction de x, que la fonction
aléatoire ait été déréglée ?
Exercice 8. ESCO 92
Deux pièces (une chambre et la salle) A et B sont reliées entre elles de la façon suivante : A ouvre sur B et B ouvre sur
l’extérieur. Une guêpe initialement (à l’instant 0) dans la pièce A voudrait sortir à l’air libre. A chaque instant n ∈ N son
trajet obéit aux règles suivantes :
⋆ Lorsqu’elle est dans la pièce A au temps n, alors au temps n + 1 elle reste en A avec une probabilité de 1/3 et elle
passe dans la pièce B avec une probabilité de 2/3.
⋆ Lorsqu’elle est en B au temps n, alors au temps n + 1 elle retourne en A avec une probabilité de 1/4, elle reste en B
avec une probabilité de 1/2 et elle sort à l’air libre avec une probabilité de 1/4.
⋆ Enfin, lorsqu’elle est à l’air libre, elle ne revient plus.
Pour tout entier n, on notera An l’événement ”la guêpe est dans la pièce A à l’instant n ” et de même Bn .
Dn pour ”être dehors à l’instant n ” et Sn l’événement ”la guêpe sort à l’instant n”.
On notera an , bn , dn et sn leurs probabilités respectives.
1
(a) Déterminer les probabilités a0 , b0 , s0 , a1 , b1 , s1 et s2 .
(b) Sachant qu’à l’instant 2 elle est en A, quelle est la probabilité qu’elle ait été en B à l’instant 1?
(c) Justifier que pour tout entier n :
An+1 = (An ∩ An+1 ) ∪ (Bn ∩ An+1 ) et Bn+1 = (An ∩ Bn+1 ) ∪ (Bn ∩ Bn+1 )
et en déduire pour tout entier n, les relations de récurrence suivantes :
an+1 = 31 an + 41 bn et bn+1 = 32 an + 21 bn
(d) Montrer que pour tout entier n ∈ N∗ , bn = 2an .
(e) En déduire pour n ≥ 1, l’expression de an et de bn en fonction de n.
2
(f) Calculer les limites de an et de bn quand n tend vers +∞ et interprèter ce résultat.
1
(a) Justifier que pour tout entier n ≥ 2, sn = bn−1 et en déduire sn en fonction de n.
4
(b) Déterminer la probabilité que la guêpe soit dehors à l’instant 10. (on ne cherchera pas à simplifier le résultat)
Exercice 9. D’après ECRICOME 2001
Première partie : calcul des puissances successives de la matrice M (a)


1 − 2a
a
a
, où a représente un nombre réel.
a
1 − 2a
a
Soit M (a) = 
a
a
1 − 2a
1
Montrer que, pour tous réels a, b, on a : M (a)M (b) = M (a + b − 3ab).
2
Montrer que si a 6= 1/3 il existe alors un réel b tel que a + b − 3ab = 0. En déduire que si a 6= 1/3 alors la matrice
M (a) est inversible.
2
Calculer M (1/3) et en déduire que M (1/3) n’est pas inversible.
3
Déterminer le réel a0 non nul, tel que : [M (a0 )] = M (a0 ).
4
On considère les matrices P = M (a0 ) et
2
Q = I − P , où I désigne la matrice unité d’ordre 3.
(a) Montrer que pour tout a, il existe un réel α -que l’on exprimera en fonction de a- tel que : M (a) = P + αQ.
(b) Calculer P 2 , QP , P Q, Q2 .
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n
(c) Pour tout n ∈ N∗ , montrer que [M (a)] s’écrit xn P + yn Q avec xn et yn des réels.
n
(d) Expliciter alors la matrice [M (a)] .
Deuxième partie : évolution d’un titre boursier au cours du temps.
Dans la suite de l’exercice, on suppose que a ∈ 0, 23 .
1
On définit des suites (pn )n∈N∗ , (qn )n∈N∗ , (rn )n∈N∗ par leur premier terme p1 , q1 , r1 , et les relations de récurrence :

 pn+1 = (1 − 2a)pn + aqn + arn
qn+1 = apn + (1 − 2a)qn + arn

rn+1 = apn + aqn + (1 − 2a)rn
(a) Exprimer pn , qn , rn en fonction de n, p1 , q1 , r1 . (b) Étudier la convergence de ces suites.
2
Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable, ou baisser. On considère que :
⋆ le premier jour le titre est stable ;
2
1
⋆ si un jour n, le titre monte, le jour n + 1, il montera avec la probabilité , restera stable avec la probabilité ,
3
6
1
et baissera avec la probabilité ;
6
1
⋆ si un jour n, le titre est stable, le jour n + 1, il montera avec la probabilité , restera stable avec la probabilité
6
2
1
, et baissera avec la probabilité ;
3
6
1
1
⋆ si un jour n, le titre baisse, le jour n + 1, il montera avec la probabilité , restera stable avec la probabilité ,
6
6
2
et baissera avec la probabilité .
3
On note Mn (respectivement Sn , respectivement Bn ) l’événement « le titre donné monte (respectivement reste stable,
respectivement baisse) le jour n ».
(a) Exprimer les probabilités de hausse, stabilité et baisse au jour n + 1 en fonction de celles au jour n.
(b) En déduire les probabilités de hausse, de stabilité, et de baisse au jour n.
(c) Quelles sont les limites de ces probabilités lorsque n tend vers l’infini ?
Exercice 10. Urnes, boules et suites
On considère deux urnes :
1
une urne verte contenant une boule rouge et 3 vertes
2
une urne rouge contenant deux boules rouges et deux vertes.
On effectue une suite de tirages d’une boule avec remise de la façon suivante :
⋆ le premier tirage est effectué dans l’urne verte
⋆ à partir du second, ils sont effectués dans l’urne dont la couleur est celle de la boule tirée précédemment.
Pour tout entier n non nul, on notera Vn le fait d’obtenir une boule verte lors du niéme tirage, vn sa probabilité et Vn le
fait de l’effectuer dans l’urne verte. De même pour rouge.
1
Les trois premiers tirages. Déterminer la probabilité d’obtenir
(a) la première boule verte au troisième tirage. (b) la première boule rouge au troisième tirage.
(c) au moins une boule verte dans les 3 premiers tirages. (d) une seule boule rouge lors des 3 premiers tirages.
2
Les deux premiers tirages
(a) Si le premier tirage a donné une boule rouge, quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte au second tirage ?
(b) Quelle est la probabilité d’obtenir une boule verte au second tirage ?
(c) On a obtenu une boule verte au second tirage. Quelle est la probabilité que ce tirage ait été effectué dans l’urne
rouge ?
3
Le nième tirage
(a) Pour tout entier n ≥ 1, déterminer vn+1 en fonction de vn et de rn
(b) En déduire que vn+1 = 41 vn + 21 , puis l’expression de vn en fonction de n
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4
La première rouge et la première verte
Soit X la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule rouge et Y la variable aléatoire égale au
rang d’apparition de la première boule verte.
(a) Pour tout entier n ≥ 1, décomposer l’événement (X = n). (b) En déduire P (X = n).
(c) Pour tout entier n ≥ 1, décomposer l’événement (Y = n) . (d) En déduire P (Y = n).
Exercice 11. Urnes, boules et indépendance
Une urne contient 13 boules dont 6 noires, 3 blanches et 4 rouges. On pioche 4 boules.
On pose E : "obtenir 2 blanches " et F : "obtenir 2 rouges"
1
On suppose qu’il n’y a pas remise.
Calculer les probabilités suivantes : P (E ∩ F ),
2
Refaire l’exercice en supposant que l’on pioche avec remise
PF (E),
PE (F ). Les évènements E et F sont-ils indépendants ?
Exercice 12. Des urnes et des boules
Une urne contient 20 boules dont 8 noires, 7 rouges et 5 blanches. On pioche sans remise 4 boules.
1
Calculer les probabilités des évènements suivants :
(a) A =« obtenir exactement deux boules blanches » (b) B =« obtenir au moins une boule blanche »
(c) C =« obtenir autant de boules blanches que de boules rouges » (d) D =« obtenir aucune boule noire »
2
Calculer les probabilités conditionnelles suivantes
PA (B), PB (A), PA (C), PC (A), PA (D), PD (A),
PB (C), PC (B), PB (D), PD (B), PD (C), PC (D)
3
Refaire l’exercice en supposant que l’on pioche avec remise.
Exercice 13. Commencer par le plus facile ?
Un archer tire sur une cible située à 20 m et une cible située à 50 m. Il effectue trois tirs en changeant de cible à chaque
fois. La probabilité d’atteindre la cible à 20 m (resp. 50 m) est p (resp. q) avec q < p. On suppose que les tirs indépendants.
Il gagne le jeu s’il atteint deux cibles consécutivement.
Calculer la probabilité de gagner en commencer par la cible située à 20 m (resp. située à 50 m). Par quelle cible a-t-il intérêt
à commencer ?
Exercice 14. Pièce truquée
On considère une suite de lancers indépendants d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir "pile" est p et d’obtenir
"face" est q = 1 − p (p ∈]0; 1[). "pile" (resp. "face") sera noté P (resp. F ). Soit An l’évènement "la séquence P F apparait
pour la première fois aux lancers (n − 1) et n”.
Calculer P (An ) lorsque (a) n = 3 (b) n = 4 (c) n = 5 (d) n quelconque.
Exercice 15. PROBLEME (Extrait modifié ESSEC 2004)
I. Calcul matriciel
Pour tout réel a, on considère les matrices


1 1 − a (1 − a)2
(1 − a)3
0
a
2a(1 − a) 3a(1 − a)2 
,
M (a) = 
0
0
a2
3a2 (1 − a)
0
0
0
a3

1
0
D(a) = 
0
0
0 0
a 0
0 a2
0 0

0
0
,
0
a3

1
0
P =
0
0

1
1
1
−1 −2 −3

0
1
3
0
0 −1
1
Calculer P 2 et donner l’inverse de P.
2
Vérifier que ∀a ∈ R,
3
Montrer que ∀(a, b) ∈ R2 ,
4
Comment choisir c ∈ R pour que M (c) = I ?
Montrer que si a 6= 0, il existe un réel b tel que M (a)M (b) = I. En déduire l’inverse de M (a). La matrice M (0) est-elle
inversible ?
M (a) = P D(a)P −1 .
M (a)M (b) = M (ab). . En déduire que ∀a ∈ R,
∀n ∈ N,
[M (a)]n = M (an ).
II. Etude d’une expérience aléatoire
On dispose de 3 pièces de monnaie, chacune ayant la probabilité p d’amener pile (0 < p < 1) et 1 − p d’amener face.
On pourra poser : q = 1 − p. On s’intéresse à l’expérience aléatoire qui consiste à effectuer des lancers successifs selon le
protocole suivant :
⋆ à l’étape 1, on lance les 3 pièces ;
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⋆ à l’étape 2, on lance les pièces ayant amené pile à l’étape 1 (s’il en existe) ;
⋆ à l’étape 3, on lance les pièces ayant amené pile à l’étape 2 (s’il en existe),
⋆ à l’étape 4, on lance les pièces ayant amené pile à l’étape 3 (s’il en existe),
et ainsi de suite.
À chaque étape, les lancers des pièces sont supposés indépendants. On considère les évènements :
An : « obtenir 0 pile à l’étape n » Bn : « obtenir 1 pile à l’étape n »
Cn : « obtenir 2 piles à l’étape n » Dn : « obtenir 3 piles à l’étape n ».
On pose les deux conventions suivantes :
⋆ L’évènement D0 est l’évènement certain et les trois évènements A0 , B0 , C0 sont impossibles.
⋆ si à une certaine étape n0 aucun côté pile n’apparaît, on considère que pour tous les entiers n supérieurs ou égaux à
n0 l’événement An est réalisé.
1
Calculer les quatre probabilités P (A1 ), P (B1 ), P (C1 ) et P (D1 ).
2
Pour tout entier naturel n, calculer très soigneusement les 16 probabilités conditionnelles
PAn (An+1 ) PBn (An+1 ) PCn (An+1 ) PDn (An+1 )
PAn (Bn+1 ) PBn (Bn+1 ) PCn (Bn+1 ) PDn (Bn+1 )
PAn (Cn+1 ) PBn (Cn+1 ) PCn (Cn+1 ) PDn (Dn+1 )
PAn (Dn+1 ) PBn (Dn+1 ) PCn (Dn+1 ) PDn (Dn+1 )
3
4
A l’aide d’une formule de probabilité totale, exprimer P (An+1 ) (resp. P (Bn+1 ), resp. P (Cn+1 ), resp. P (Dn+1 )) en
fonction des probabilités P (An ), P (Bn ), P (Cn ), P (Dn ).


P (An )
 P (Bn ) 

Pour tout entier naturel n, on considère la matrice colonne Un = 
 P (Cn )  .
P (Dn )
(a) Déterminer une matrice M telle que ∀n ∈ N,
Un+1 = M Un puis montrer que, ∀n ∈ N,
Un = M n U0 .
(b) Donner U0 puis, à l’aide de la question 4 de la partie I, calculer les 4 coefficients de Un .
Exercice 16. Suites, probabilités
et matrices



1 1
1 0 0
On considère les matrices I = 0 1 0 et J = 1 1
1 1
0 0 1
1
Calcul de M n :


1
4
1
1. et M = 1
6
1
1

1 1
4 1
1 4
1
1
1
1 − n J.
Montrer que, pour tout entier naturel n : M = n I +
2
3
2
Une application probabiliste :
Un mobile se déplace aléatoirement dans l’ensemble des sommets d’un triangle ABC de la façon suivante : si, à
l’instant n, il est sur l’un quelconque des trois sommets, alors à l’instant (n + 1), soit il y reste, avec une probabilité
2
de , soit il se place sur l’un des deux autres sommets, et ceci avec la même probabilité. On note :
3
⋆ An l’événement : « le mobile se trouve en A à l’instant n ».
n
2
⋆ Bn l’événement : « le mobile se trouve en B à l’instant n ».
⋆ Cn l’événement : « le mobile se trouve en C à l’instant n ».
On pose an = P (An ), bn = P (Bn ) et cn = P (Cn ).
(a) Exprimer, pour tout entier naturel n, an+1 , bn+1 et cn+1 en fonction de an , bn et cn .
 
 
 


a0
an
an
an+1
(b) Exprimer  bn+1  en fonction de  bn  puis montrer que ∀n ∈ N,  bn  = M n  b0 
c0
cn
cn
cn+1
(c) En déduire l’expression de an , bn et cn et calculer les limites correspondantes.
Exercice 17. Joyeux anniversaire...
On considère un groupe de p personnes, avec 1 6 p 6 365. On suppose que toutes les années contiennent 365 jours et que
toutes les dates d’anniversaire sont équiprobables.
1
Déterminer la probabilité pour qu’une personne au moins soit née le même jour que vous.
2
Déterminer la probabilité pour qu’au moins deux personnes du groupe soient nées le même jour.
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ECE 1 2014-2015, TD du chapitre 7
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