MT90/91-Fonctions d`une variable réelle - UTC

MT90/91-Fonctions d’une variable réelle
Chapitre 5 : Dérivation
Équipe de Mathématiques Appliquées
UTC
Juillet 2014
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Exemples
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Chapitre 5
Dérivation
5.1 Dérivée ........................................ 3
5.2 La formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Les fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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5.1 Dérivée
5.1.1 Définition et exemples de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
5.1.2 Somme, produit, quotient de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.1.3 Composition des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.1.4 Extrema (minimum ou maximum) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.1.5 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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5.1.1 Définition et exemples de dérivées
Exercices :
Exercice A.1.1
Exercice A.1.2
Exercice A.1.3
Exemples :
Exemple B.1.1
Dans tout ce qui suit, Ωdésigne un intervalle ouvert et εtoute fonction numérique définie
dans un voisinage de 0 et telle que : lim
h→0ε(h)=0.
Définition 5.1.1. Soit f une fonction définie sur Ω, soit a ∈Ω, f est dérivable au point a si la
limite suivante existe :
d=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h. (5.1.1)
Dans ce cas le nombre d est appelé la dérivée de f au point a et on note :
d=df
dx(a)=f&(a).
f est dérivable sur Ωsi elle admet une dérivée en tout point de Ω.

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Exemples
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Définition et
exemples de
dérivées
Proposition 5.1.1. Une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction f soit dérivable
au point a ∈Ωest qu’il existe d ∈Ret une fonction εtels que, pour a +h∈Ω, on puisse écrire
f(a+h)=f(a)+hd +|h|ε(h). (5.1.2)
Démonstration -
1. La condition est évidemment suffisante car en divisant (5.1.2) par h(=0 on obtient
f(a+h)−f(a)
h=d+|h| hε(h).
Or !
!
!
!
|h|
hε(h)!
!
!
!=|ε(h)|
qui tend vers 0 quand h→0. D’où
lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h=d,
et de plus d=f&(a).
2. On note Ω&l’intervalle ouvert tel que a+h∈Ω⇔h∈Ω&. Pour montrer que la condition est
nécessaire, introduisons la fonction φdéfinie sur Ω&\{0} par :
φ(h)=f(a+h)−f(a)
h−f&(a)