JOSÉ ROBERTO FIGUEROA BARNIER Modélisation des entraı̂nements à grande plage de vitesse en vue de leur conception Thèse présentée à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval dans le cadre du programme de doctorat en génie éléctrique pour l’obtention du grade de Philosophiae Doctor Ph.D. Faculté des sciences et de génie UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC 2008 c José Roberto Figueroa Barnier, 2008 Résumé Les entraı̂nements électriques à grande plage de vitesse sont des ensembles convertisseur machine qui se caractérisent par un couple à faible vitesse supérieur au couple à haute vitesse, comme dans le cas des applications de traction. Leur performance dépend fortement de la puissance apparente du convertisseur, des impédances de la machine et de la loi de commande utilisée. Les méthodes de conception qui séparent la conception de la machine de celle de l’onduleur et de celle de la loi de commande ne permettent pas toujours de trouver une solution adéquate. Il est donc nécessaire de réaliser une optimisation globale de tout l’ensemble convertisseur - machine - système de contrôle. Lors de l’optimisation, le nombre d’itérations pour arriver à une solution est important et le temps de calcul est un facteur à considérer. Ce travail présente des méthodes analytiques de modélisation adaptées pour l’optimisation des systèmes d’entraı̂nement. Les méthodes se basent sur une modélisation de la machine sous la forme d’un circuit équivalent et une modélisation du convertisseur sous la forme de contraintes de fonctionnement. Elles permettent de calculer rapidement les courants, les tensions, les pertes, le couple, la commande et les performances pour les différents points de fonctionnement du cahier des charges. Ces modèles sont illustrés par des exemples de conception des systèmes de traction et d’un alternateur de voiture. Ce travail présente aussi un analyse des machines polyphasées en mode dégradé en utilisant les modèles développés. Abstract A wide-speed-range electric drive is a system composed of a static converter and an electric motor that produce high torque at low speed and low torque at high speed, as in the case of a traction application. The performance is strongly influenced by the apparent power of the inverter, the impedances of the machine and the control law. The design methods that separate the design of the machine, the static converter and the control law do not always find an adequate solution. It is so necessary to carry a global optimization of the whole system. When optimizing the number of iterations is very important and the computation time is an important factor. This work presents analytic modeling methods suited for the optimization of drive systems. The methods are based in an equivalent circuit machine model and operating constraint model of the static converter. The methods rapidly calculate the currents, voltages, losses, torque, control law and performances of the different operating points of the system design specification. Those models are illustrated with traction system design examples and a car alternator design example. This work also presents an analysis of polyphase machines in fault modes. Avant-propos Cette thèse représente pour moi la fin d’une étape de ma vie, soit celle d’étudiant à l’Université Laval. Dans cette étape, j’ai eu la chance de connaı̂tre mon professeur et mon directeur, M. Jérôme Cros qui m’a enseigné, guidé, appuyé, autant sur les plans technique et matériel que dans la vie quotidienne. Au début de mon séjour à Québec en 2001, je ne savais pas vraiment qui il était. Maintenant, je le sais, il est un professeur que n’importe quel étudiant voudrait avoir comme directeur et que n’importe quelle personne voudrait compter parmi ses amis. Envers lui, je garde un très grand respect et une grande gratitude. J’ai connu aussi le professeur M. Philippe Viarouge, mon codirecteur, qui m’a montré des aspects nouveaux des entraı̂nements à vitesse variable et qui m’a éclairé de nombreuses fois lorsque j’ai eu des problèmes dans mes travaux. Les discussions avec lui ont toujours été amusantes et très profitables pour moi, même s’il me faisait peur avec son aspect très sévère et très sérieux. Envers lui, j’ai une grande admiration pour ces qualités de pédagogue et comme personne. M. Cros et M. Viarouge ont fait réalité mon rêve de continuer à étudier. Je me considère chanceux de les avoir connus. Je remercie aussi la Fondation de l’Université Laval pour son appui financier dans le cadre de son programme de bourses d’exemption des droits de scolarité supplémentaires. Sans cette aide, il m’aurait été très difficile de terminer ce travail. Je remercie les membres du jury, M. Stéphan Astier, M. Richard Gagnon et M. Maxime Dubois qui ont accepté gentiment de lire et corriger cette thèse et à M. Hoang Le Huy qui a présidé la soutenance. Avant-propos v J’aimerais remercier l’appui technique et logistique de M. Marco Béland et de Mme Ghislaine L’Hébreux qui a pris sa retraite avant la fin de mes études. Je remercie mes amis qui ont enrichi ma vie à Québec : Ahmed, Charles, Lilian, Soledad, Davide, Marcel et mes amis au Chili : Ricardo, Carlos, Javier, José Miguel et le professeur Alfredo Muñoz, même si je ne communique pas avec eux assez souvent. Ce travail est dédié à trois personnes. Mes parents Maria Odette et José Nolberto qui m’ont toujours appuyé dans tous les moments malgré la distance. Et Sylvie qui m’a beaucoup aidé, toléré et supporté lors des moments difficiles et de doute. Elle est devenue avec le temps la femme avec laquelle j’espère pouvoir partager le reste de ma vie. Gatineau, janvier 2008 Table des matières Résumé ii Abstract iii Avant-propos iv Table des matières vi Liste des tableaux vii Table des figures viii Nomenclature 1 Introduction générale 1 8 Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines à pôles lisses 1.1 Introduction 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à aimants permanents à pôles lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Hypothèses simplificatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Équations différentielles dans l’espace occupé par des aimants . . 19 1.3 Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à rotor bobiné . . . . 23 1.4 Coefficient de Carter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5 Relation entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur . . . . . . . . . 27 1.5.1 Potentiel vecteur dans l’entrefer mécanique 1.5.2 Potentiel vecteur dans l’espace occupé par des aimants . . . . . . 28 1.6 Calcul du flux à vide d’un bobinage . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Table des matières vii 1.7 Détermination de l’inductance d’entrefer d’un bobinage . . . . . . . . . 36 1.8 Détermination de l’inductance de fuite dans les encoches . . . . . . . . . 38 1.8.1 Hypothèses simplificatrices 1.8.2 Calcul du champ magnétique entre les becs d’encoches . . . . . . 39 1.8.3 Calcul du champ magnétique dans l’encoche . . . . . . . . . . . . 39 1.8.4 Calcul de l’inductance d’une encoche . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.8.5 Contribution des encoches à l’inductance d’un bobinage quelconque 1.8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Inductance d’un bobinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.9 Comparaison avec un logiciel de calcul des champs par éléments finis . . 43 1.9.1 Influence du nombre d’encoches et du nombre de pôles . . . . . . 47 1.9.2 Effet de la perméabilité du fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.9.3 Effet de la non linéarité du fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.9.4 Comparaison avec d’autres méthodes de calcul analytique 1.9.5 Correction des résultats des formules analytiques . . . . . . . . . 58 1.10 Estimation de la résistance 1.11 Conclusion 2 . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Étude du fonctionnement des machines synchrones à vitesse variable connectées à un onduleur de tension 2.1 Introduction 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2 Hypothèses et méthode de modélisation de l’ensemble convertisseur machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1 Modèle de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.2 Modèle de l’onduleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.2.3 Influence du signe du courant d’axe quadratique . . . . . . . . . 77 2.2.4 Fonctionnement du système dans des quadrants opposés . . . . . 84 2.3 Calcul des limites de fonctionnement et des performances du système . . 86 2.3.1 Calcul de la limite de fonctionnement 2.3.2 Calcul de performances pour un point de fonctionnement quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.4 Cas spéciaux avec des paramètres nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2.5 Vérification de la précision numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.5.1 Méthode pour vérifier l’exactitude des formules . . . . . . . . . . 108 2.5.2 Méthode pour vérifier l’exactitude des résultats . . . . . . . . . . 109 2.6 Normalisation des équations de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Table des matières 2.7 viii Commande des différents types de machines 2.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . 116 Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature inférieure au flux des aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.7.2 2.8 Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature supérieure au flux des aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2.7.3 Machines à reluctance variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.7.4 Commande d’une machine à rotor bobiné . . . . . . . . . . . . . 136 Paramètres électriques optimaux pour un fonctionnement sur une large plage de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 2.8.1 Simplifications et hypothèses 2.8.2 Analyse avec le plan flux - saillance 2.8.3 Conclusion 2.9 Conclusion 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 . . . . . . . . . . . . . . . . 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.1 Introduction 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.2 Modélisation de l’alternateur de voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2.1 Machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.2.2 Redresseur et batterie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.2.3 Connexion en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 3.3 Étude du fonctionnement séquence par séquence . . . . . . . . . . . . . 152 3.3.1 Fonctionnement à basse vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.3.2 Fonctionnement à faible vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.3.3 Fonctionnement à vitesse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.3.4 Fonctionnement à haute vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.4 Détermination des performances du système . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.4.1 Courant de charge à la sortie du redresseur . . . . . . . . . . . . 168 3.4.2 Courant efficace d’une phase 3.4.3 Courant moyen et efficace des diodes . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.4.4 Amplitude et angle de la composante fondamentale du courant 3.4.5 Distorsion harmonique totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.5 Vérification avec des résultats expérimentaux . 170 . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.5.1 Paramètres de la machine DELCO . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.5.2 Comparaison du courant à la sortie du redresseur . . . . . . . . . 175 3.5.3 Paramètres d’un alternateur modifié avec rotor à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Table des matières 3.5.4 ix Comparaison du courant à la sortie du redresseur de l’alternateur à aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.6 Conclusion 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Exemples de conception avec les outils développés 4.1 Introduction 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 4.2 Compromis entre la taille de l’onduleur et la taille de la machine pour un fonctionnement sur une large plage de vitesse . . . . . . . . . . . . . 182 4.2.1 Méthode d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.2.2 Analyse simplifiée 4.2.3 Analyse en utilisant les outils développés . . . . . . . . . . . . . . 187 4.2.4 Effet de la plage autour de la vitesse nominale 4.2.5 Exemple de conception d’un entraı̂nement pour un fonctionne- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 . . . . . . . . . . 189 ment à puissance constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 4.2.6 Conclusion sur l’utilisation des outils pour le dimensionnement d’un entraı̂nement avec fonctionnement à puissance constante . . 200 4.3 Conception d’une machine pour une application de traction 4.3.1 Définition du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . 202 4.3.2 Correction du résultat d’optimisation avec le calcul de champ . . 210 4.3.3 Analyse de résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.3.4 Conclusion sur l’utilisation de la procédure de CAO pour des applications de traction électrique 4.4 . . . . . . . 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Comparaison de modèles magnétiques pour la conception d’un alternateur de voiture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.4.1 Cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.4.2 Méthode de conception 4.4.3 Sensibilité de la caractéristique courant - vitesse en fonction des modèles magnétiques 4.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Résultats d’une conception par optimisation avec différents modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.4.5 Conclusion sur l’influence des modèles magnétiques . . . . . . . . 224 4.5 Conclusion 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 5.1 Introduction 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.2 Structure de la machine et de l’onduleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Table des matières x 5.2.1 Types de défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 5.2.2 Commande d’une machine en présence d’un défaut . . . . . . . . 228 5.2.3 Contrainte sur le courant de court-circuit d’une machine . . . . . 230 5.3 Hypothèses simplificatrices du problème d’optimisation . . . . . . . . . . 232 5.4 Mise en place du problème d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 5.5 Normalisation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 5.6 Comparaison entre entraı̂nements avec différent nombre de phases . . . . 239 5.6.1 Charges maximales avec tolérance aux défauts . . . . . . . . . . 244 5.7 Fiabilité des machines polyphasées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.7.1 Fiabilité des transistors de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.7.2 Fiabilité des machines de traction 5.7.3 Fréquence des défauts des différents composants 5.7.4 Hypothèses simplificatrices pour un exemple . . . . . . . . . . . . 259 5.7.5 Coût de fabrication d’un système à trois phases sans tolérance . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 . . . . . . . . . 257 aux défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 5.7.6 Coût de fabrication des systèmes avec tolérance aux défauts et un pont monophasé par phase 5.7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Fréquence et coût des défauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 5.8 Exemple de comparaison du coût des différents systèmes . . . . . . . . . 263 5.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Conclusion Générale 268 Bibliographie 272 A Court-circuit entre les spires d’une phase 277 A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 A.2 Circuit équivalent d’une bobine avec un court-circuit entre spires . . . . 277 A.2.1 Cas d’une phase composée de plusieurs bobines . . . . . . . . . . 282 A.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Liste des tableaux 1.1 Géométrie d’une machine à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 43 1.2 Géométrie d’une machine à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 47 1.3 Géométrie d’une machine à rotor bobiné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.1 Liste de sous problèmes modifiés pour la maximisation du couple . . . . 98 2.2 Liste des sous problèmes d’optimisation modifiés pour déterminer la performance du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.3 Liste de cas spéciaux des paramètres du système . . . . . . . . . . . . . 107 2.4 Liste de cas spéciaux des conditions de fonctionnement du système . . . 107 2.5 Paramètres des machines avec réaction d’armature plus petite que le flux à vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.6 Paramètres des machines avec réaction d’armature plus grande que le flux à vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.7 Paramètres de la machine à reluctance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 2.8 Paramètres de la machine à rotor hybride et pôles saillants . . . . . . . . 137 3.1 Paramètres électriques utilisés pour les exemples . . . . . . . . . . . . . 153 3.2 Paramètres électriques d’un alternateur DELCO . . . . . . . . . . . . . 174 3.3 Paramètres électriques d’un alternateur à aimants permanents . . . . . . 178 4.1 Surdimensionnement de l’onduleur nécessaire pour obtenir un couple maximal égal au couple de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.2 Paramètres de conception d’un entraı̂nement pour une application de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4.3 Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur avec le cahier des charges de traction non modifié . . . . . . . . . . . . . 196 4.4 Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur avec le cahier des charges de traction modifié . . . . . . . . . . . . . . . 197 4.5 Caractéristiques de l’entraı̂nement du véhicule . . . . . . . . . . . . . . . 201 Liste des tableaux xii 4.6 Contraintes de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 4.7 Variables d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.8 Paramètres de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.9 Résultats de l’optimisation avec différentes structures de machines 4.10 Cahier des charges d’un alternateur de voiture . . . 211 . . . . . . . . . . . . . . 216 4.11 Résultats obtenus pour la conception d’un alternateur . . . . . . . . . . 223 5.1 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase ouverte et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 5.2 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase ouverte et une connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.3 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase en court-circuit et avec un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . 242 5.4 Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase en court-circuit et une connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 5.5 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique 5.6 Charges maximales pour maximiser le couple . . . . . . . 245 . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.7 Fréquence des défauts des composantes d’entraı̂nements de traction des locomotives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.8 Taux de défauts par phase avec 4 transistors par phase . . . . . . . . . . 260 5.9 Taux de défauts par phase avec 2 transistors par phase . . . . . . . . . . 260 5.10 Surdimensionnement de la machine et de l’onduleur par rapport à un entraı̂nement triphasé sans tolérance aux défauts 5.11 Probabilité que le système soit hors service . . . . . . . . . . . . . 262 . . . . . . . . . . . . . . . . 263 5.12 Coût moyen des différents systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Table des figures 1.1 Simplifications de la géométrie pour obtenir le flux à vide 1.2 Variables qui représentent la géométrie simplifiée . . . . . . . . 15 . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Aimantation des aimants et son approximation par une série de Fourier . 20 1.4 Représentation graphique des conditions aux limites . . . . . . . . . . . 22 1.5 Transformation de la structure d’une machine à rotor bobiné . . . . . . 24 1.6 Champ magnétique tangentiel à la surface du rotor et son approximation par une série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7 Représentation du courant des encoches comme un courant superficiel 1.8 Géométrie utilisée pour calculer l’inductance d’une dent d’encoche . 30 . . . 32 1.9 Équivalence d’une bobine à la mise en série de trois bobines autour d’une dent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.10 Machine avec deux pôles et six encoches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.11 Géométrie simplifiée de l’encoche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.12 Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 24 encoches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.13 Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches fermées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.14 Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches ouvertes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.15 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches. . . . . . . . . . . . . . 48 1.16 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches. . . . . . . . . . . . . 49 1.17 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 8 pôles et 6 encoches. . . . . . . . . . . . . . 49 1.18 Géométrie d’une machine à aimants permanents de 20 pôles et de 21 encoches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Table des figures xiv 1.19 Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 6 encoches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.20 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches. . . . . . . . . . . . . 52 1.21 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique avec 1 [A] d’excitation dans le rotor. Structure avec 8 pôles et 24 encoches et rotor bobiné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.22 Géométrie d’une machine à rotor bobiné de 8 pôles et 24 encoches. . . . 54 1.23 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches et rotor bobiné. . . . . 55 1.24 Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches et rotor à aimants permanents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 1.25 Courbe BH du fer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.26 Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec -20A/mm2 . . . 57 1.27 Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec +10A/mm2 . . . 58 1.28 Principe du circuit de reluctances pour la correction des formules analytiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.29 Calcul de la longueur de la tête de bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1 Parcours d’un véhicule comportant la vitesse (rouge) et la pente à surmonter (bleu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2 Parcours dans l’espace couple vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3 Superficies à couple constant pour une machine à rotor bobiné (Ld = 5Lq = 1pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Courbes à couple constant pour une machine à aimants permanents à pôles saillants avec (Ld = 5Lq = 1pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Les différents types de machines modélisés . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.6 Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les machines à rotor bobiné ou hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.7 Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les machines à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.8 Contrainte de tension dans le cas de machines à rotor bobiné ou hybride (Ω = 7pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.9 Contrainte de tension pour des machines à aimants permanents (Ω = 2pu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Table des figures xv 2.10 Limites du courant du rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.11 Contraintes d’une machine hybride ou à rotor bobiné . . . . . . . . . . . 76 2.12 Contraintes d’une machine à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 76 2.13 Espace des points optimaux d’une machine à rotor hybride ou bobiné (zone non couverte par des plans) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.14 Espace des points optimaux d’une machine à aimants permanents (zone non couverte par des lignes entrecroisées) . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.15 Limites de couple maximal et de couple minimal qui montrent que le système peut fournir de la puissance mécanique dans des quadrants opposés. 85 2.16 Limites de couple maximal et de couple minimal pouvant être produits par un système avec une machine à aimants permanents. . . . . . . . . . 86 2.17 Rendement d’une machine à aimants permanents . . . . . . . . . . . . . 87 2.18 Intersection vide entre la contrainte de tension et la contrainte de courant pour une machine à aimants permanents à vitesse élevée. . . . . . . . . 88 2.19 Couple lorsqu’il n’est pas possible de contrôler le courant à l’intérieur des limites du système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.20 Distribution de l’erreur numérique d’une fonction pour résoudre un problème d’optimisation modifié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.21 Deux définitions de vitesse nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.22 Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (I) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant - vitesse résultantes 119 2.23 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (I) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.24 Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (II) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . 123 2.25 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (II) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 2.26 Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.27 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Table des figures xvi 2.28 Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine (IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.29 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.30 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (V) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 2.31 Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (VI) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.32 Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine (VII) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 2.33 Courbes de puissance mécanique versus vitesse des différentes machines . 141 2.34 Rapport d’utilisation de l’onduleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 2.35 Plage de vitesse à puissance constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.1 Stator et rotor d’un alternateur DELCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3.2 Schéma électrique équivalent du système étudié . . . . . . . . . . . . . . 153 3.3 Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases B et C. Les éléments parcourus par un courant sont marqués en rouge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.4 Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à faible vitesse (700 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. . 157 3.5 Caractéristique courant - tension d’un bras de redresseur en pont avec diodes idéales (bleu) et l’approximation utilisée dans le simulateur pas à pas dans le temps (rouge). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.6 Formes d’onde à faible vitesse 700 [RPM] . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.7 Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases A, B et C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.8 Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases B et C après l’extinction du courant de la phase A . . . . . . . . 160 3.9 Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à vitesse moyenne (800 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. . 163 Table des figures xvii 3.10 Formes d’onde à vitesse moyenne 800 [RPM] . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.11 Schéma électrique équivalent au système étudié lors de la conduction des phases A, B et C à haute vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.12 Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à haute vitesse (1300 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. 166 3.13 Formes d’onde à faible vitesse 1300 [RPM] . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 3.14 Flux d’une phase d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge) et points mesurés (bleu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.15 Courant de court-circuit d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge) et points mesurés (bleu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 3.16 Comparaison des résultats expérimentaux et du modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 1[A] . . . . . . . . . . 176 3.17 Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 3[A] . . . . . . . . . . 176 3.18 Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 6[A] . . . . . . . . . . 177 3.19 Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur pour l’alternateur à aimants permanents . . . . . . 179 4.1 Cahier des charges à puissance constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.2 Prix des transistors en fonction du courant . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.3 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles lisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.4 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.5 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.6 Cahier des charges à puissance constante en ignorant une portion autour de la vitesse nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 4.7 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles lisses avec un cahier des charges modifié . . . . . 192 4.8 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld avec un cahier des charges modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Table des figures xviii 4.9 Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld avec un cahier des charges modifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.10 Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses. . . . . . . . . . 197 4.11 Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le cahier des charges modifié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.12 Masse des résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le cahier des charges modifié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.13 Réaction d’induit par rapport au flux à vide des résultats de la conception. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4.14 Vitesse et pente sur le parcours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.15 Couple de charge du moteur pour le parcours utilisé . . . . . . . . . . . 202 4.16 Étapes de la conception d’un entraı̂nement de traction . . . . . . . . . . 204 4.17 Rendement de la machine A et points du parcours . . . . . . . . . . . . 212 4.18 Rendement de la machine B et points du parcours . . . . . . . . . . . . 212 4.19 Rendement de la machine C et points du parcours . . . . . . . . . . . . 213 4.20 Rendement de la machine D et points du parcours . . . . . . . . . . . . 213 4.21 Rendement de la machine E et points du parcours . . . . . . . . . . . . 214 4.22 Rendement de la machine F et points du parcours . . . . . . . . . . . . 214 4.23 Diagramme de la conception de l’alternateur . . . . . . . . . . . . . . . 217 4.24 Dimensionnement analytique utilisant des réseaux de reluctances . . . . 218 4.25 Dimensionnement analytique utilisant un modèle 2D corrigé avec un réseau de reluctances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4.26 Comparaison des caractéristiques de courant vitesse avec différents modèles magnétiques sur une même machine. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.27 Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique avec réseaux de réluctances. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.28 Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique avec formules 2D et corrigés avec un réseaux de réluctances. . . . . . . . . . . . 223 5.1 Structure d’une phase d’un entraı̂nement alimentée avec un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.2 Structure d’une machine à cinq phases connectée en étoile . . . . . . . . 227 5.3 Phase alimentée par un pont monophasé, avec un court-circuit entre les spires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Table des figures xix 5.4 Phase avec un court-circuit entre les spires du bobinage et avec connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5.5 Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.6 Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.7 Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur toujours ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.8 Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur toujours fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 5.9 Couple de freinage lors d’un court-circuit d’une phase . . . . . . . . . . 241 5.10 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.11 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte et une connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.12 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.13 Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et une connexion en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5.14 Différents types de charges avec une machine à trois phases et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 5.15 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à cinq phases et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . 247 5.16 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à cinq phases et un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . . 248 5.17 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à cinq phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 5.18 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à cinq phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 5.19 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à sept phases avec un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . 251 5.20 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à sept phases avec un pont monophasé par phase . . . . . . . . . . . . . 252 5.21 Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à sept phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Table des figures xx 5.22 Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à sept phases connectée en étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 5.23 Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence de défauts faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.24 Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence de défauts haute. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 A.1 Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires . 279 A.2 Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires et un court-circuit dans la première spire . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 A.3 Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires avec une spire en court-circuit et un court-circuit entre les bornes . . . . 285 A.4 Schéma équivalent d’une phase composée de deux bobines avec cinq spires 286 Nomenclature b̃2k+1 , c2k+1 : coefficients de la série de Fourier vabc... : vecteur des tensions des phases v̂ : vecteur des tensions transformées par la transformation de Park généralisée λ : flux à vide λ2k+1 : harmonique 2k + 1 flux à vide d’une dent de stator λj2k+1 : harmonique 2k + 1 du flux à vide de la dent numéro j du stator λbase : flux de base de l’entraı̂nement λdent : flux à vide d’une dent de stator μ : fréquence des défauts par année μ0 : perméabilité du vide μr : perméabilité relative Ω : vitesse mécanique Ω∗ : vitesse à laquelle le couple de freinage est le plus important Ωnom : vitesse nominale Ωpu : vitesse normalisée φ : potentiel scalaire φ1g : solution générale du potentiel scalaire du champ magnétique φ1p : solution particulière du potentiel scalaire du champ magnétique Nomenclature 2 : φ1 solution du potentiel scalaire du champ magnétique τ : période de temps θ : variable tangentielle θ1 et θ2 : angles limitant l’espace entre becs d’encoche ĩ : vecteur des courants transformés par la transformation de Park généralisée hpark : vecteur qui définit la transformation de Park généralisée A g A : potentiel vecteur : solution générale potentiel vecteur magnétique p A : solution particulière potentiel vecteur magnétique B r B : induction magnétique : induction rémanente d’un aimant H : champ magnétique r̂ : vecteur unitaire direction radiale θ̂ : vecteur unitaire direction tangentielle ẑ : vecteur unitaire direction perpendiculaire au plan a2k+1 , ã2k+1 , : amplitude cosinus et sinusoı̈dal du courant de la composante de Clarke (i = 0) ou homopo- b2k+1 , ai , bi laire (i = 0) Cmax : couple maximal qui peut fournir le système Nomenclature 3 Cmin : couple minimal qui peut fournir le système F IT : fréquence de défaut par 109 heures de fonctionnement G : couplage magnétique entre les bobinages du rotor et du stator Gbase : couplage rotor - stator de base de l’entraı̂nement gm : entrefer magnétique équivalent h1 , h2 , etc. : multiplicateurs de Lagrange ia , ib et ic : courant instantané de phase de l’alternateur iαai , iαbi , iβai , iβbi : amplitude cosinus et sinusoı̈dal des courants α et β de séquence i de Clarke idc : courant de charge de la batterie idiodeAV : courant moyen d’une diode idiodeRM S : courant efficace d’une diode iencoche : courant dans une encoche if ondamental : amplitude de la composante fondamentale du courant d’une phase if ondamental : phase de la composante fondamentale du courant d’une phase imax : courant maximal que peut fournir l’onduleur et que peut supporter la machine en régime permanent inom : courant nominal du système inompu : courant nominal normalisé ipu : courant normalisé Nomenclature 4 irbase : courant de base du rotor bobiné irmax : courant maximal d’excitation du rotor irmin : courant minimal d’excitation du rotor iRM S : courant efficace d’une phase isin , icos : composantes fondamentales du courant d’une phase par rapport à la F.E.M. itot : courant des terminaux d’une bobine i0 , iα , iβ : courants de l’alternateur en composantes de Clarke ia : valeur crête du courant d’une phase de la machine id : courant d’axe direct ie : courant dans une encoche ii : courant de la spire numéro i iq : courant d’axe quadratique ir : courant d’excitation du rotor Js : correspond à la densité de courant par unité de longueur équivalente au courant total de l’encoche k : coefficient de couplage entre spires k : coefficient de couplage entre spires d’une bobine kc : coefficient de Carter L : inductance propre d’une phase de l’alternateur Nomenclature 5 L : inductance propre d’une spire LΔ : inductance d’une phase connectée en triangle laxial : longeur axiale Lbase : inductance de base de l’entraı̂nement lbobinage : longeur moyenne du bobinage lbobine : longeur moyenne d’une bobine Lpu : inductance normalisée Ld : inductance d’axe direct Lq : inductance d’axe quadratique LY : inductance équivalente en connexion étoile M : inductance mutuelle ou couplage entre les phases de l’alternateur MΔ : inductance mutuelle ou couplage entre des phases connectées en triangle Mr (θ) : fonction d’aimantation dans la direction radiale Mr : valeur de l’aimantation maximale MY : inductance mutuelle ou couplage entre phases équivalentes connectées en étoile nbobine : nombre de bobines nphases : nombre de phases nspire : nombre d’espires Nomenclature 6 ne : nombre d’encoches p : nombre de paires de pôles de la machine R : résistance d’une spire d’une bobine r : variable radiale rΔ : résistance d’une phase connectée en triangle rrotor : rayon du rotor ou la résistance du bobinage d’excitation du rotor rstator : rayon du stator rs : résistance d’une phase rs : résistance d’une phase du stator rY : résistance équivalente en connexion étoile Sonduleur : puissance apparente de l’onduleur T : matrice de transformation de Clarke t : temps t : couple électromagnétique t∗ : temps de début de la conduction des diodes de l’alternateur Tbase : couple de base de l’entraı̂nement t∗f reinage : couple de freinage maximal Tmax : couple maximal Nomenclature 7 Tnom : couple nominal tpu : couple normalisé t0 , t1 : temps du début et de la fin de la période d’étude du fonctionnement de l’alternateur ta , tb : deux instants de temps séparés par 60 degrés électriques de fonctionnement de l’alternateur T HD : taux de distorsion harmonique u1 , u2 , u3 , u4 : variables de relaxation des contraintes d’inégalité van : valeur crête de la tension phase neutre dans la machine van , vbn et vcn : tension instantanée phase neutre de l’alternateur Vdc : tension de la batterie vdc : tension d’alimentation continue vmax : tension phase - neutre maximale que peut fournir l’onduleur vnom : tension nominale du système vnompu : tension nominale normalisée vpu : tension normalisée vtot : tension entre terminaux d’une bobine v0 , vα , vβ : tensions de la machine en composantes de Clarke vd : tension d’axe direct vi : tension de la spire numéro i vq : tension d’axe quadratique Zbase : impédance de base de l’entraı̂nement Zrbase : impédance de base du rotor bobiné Introduction générale Les progrès de l’électronique de puissance ont permis le développement des entraı̂nements électriques à vitesse variable pour une grande variété d’applications en améliorant les performances et en offrant un meilleur contrôle. Un entraı̂nement à vitesse variable est composé d’une source d’énergie électrique, d’un convertisseur d’électronique de puissance, d’une machine et d’un système de commande. Dans les entraı̂nements de faible puissance, un surdimensionnement de l’onduleur n’est pas un facteur important qui influence le coût total du système. Il est donc possible de découpler la conception de la machine et du convertisseur. Cette approche est largement utilisée. Elle consiste à concevoir la machine pour le couple maximal de la charge sans vraiment considérer la vitesse de fonctionnement. Une modélisation avec le système complet et la commande permet d’adapter le nombre de spires de la machine en fonction des caractéristiques de l’alimentation et de valider le fonctionnement du système. Dans le cas d’entraı̂nements de moyenne et grande puissance, le cahier des charges devient de plus en plus exigeant et un surdimensionnement du convertisseur électronique ou de la machine est moins tolérable. Nous entendons par un entraı̂nement à grande plage de vitesse, un entraı̂nement avec un couple à faible vitesse qui est supérieur au couple à haute vitesse. Par exemple, les applications de traction et les alternateurs de voiture produisent des caractéristiques en vitesses assimilables à une puissance constante. Ce type d’application ajoute des contraintes particulières sur les impédances de la machine pour minimiser la taille du convertisseur ou pour maximiser les performances. La performance dans ce type d’application dépend fortement de la loi de commande utilisée. Introduction générale 9 Lors du dimensionnement du système, il est possible d’imposer à l’avance la loi de commande, comme par exemple utiliser une loi à couple maximum, ou une loi à facteur de puissance unitaire [1] [2]. Cependant, dans certaines applications avec des cahiers des charges trop contraignants, cette méthode ne permet pas toujours de trouver une solution satisfaisante. En conséquence, il est souhaitable d’éviter l’utilisation d’une loi de commande prédéterminée. Donc, il est préférable de réaliser une optimisation globale de tout l’entraı̂nement qui dimensionne la machine électrique et le convertisseur et qui détermine, en même temps, la loi de commande la plus appropriée. Pour réaliser cette optimisation, nous avons besoin de modèles de dimensionnement qui évaluent les performances du système dans les différentes conditions de fonctionnement du cahier des charges. Ces modèles doivent calculer les courants, les tensions, les pertes, le couple et la commande du système pour vérifier les contraintes de conception. Une première solution consiste à calculer les paramètres du modèle électrique équivalent de la machine avec des logiciels de calcul de champs et à utiliser des outils de simulation en pas à pas dans le temps, par exemple Simulink, PSim ou Pspice, pour analyser les performances de l’entraı̂nement [1] [2]. Ces outils de simulation sont très performants et peuvent tenir compte de la saturation magnétique. Cependant, le temps pour obtenir les résultats limite leur utilisation dans un processus d’optimisation itératif. La recherche du régime permanent peut aussi constituer un problème pour le temps de simulation [3]. Lorsqu’on réalise une optimisation globale d’un système, il y a un nombre important de variables à considérer. Le nombre d’itérations pour arriver à une solution est plus grand et le temps de calcul est un facteur à considérer. Dans ce contexte, les modèles analytiques offrent plus d’avantages à condition que leur comportement soit satisfaisant avec la meilleure précision possible. Ce travail concerne le développement des outils de modélisation adaptés pour l’optimisation globale d’un entraı̂nement, fonctionnant sur une large plage de vitesse. Dans le chapitre §1, nous nous intéressons au problème du calcul des paramètres électriques en fonction de la géométrie d’une machine synchrone à aimants permanents à pôles lisses. Nous proposons une solution rapide qui peut s’appliquer quelle que soit la configuration de bobinage de l’induit et le nombre de phases utilisées. Elle consiste à estimer le champ magnétique dans l’entrefer pour déterminer le flux à vide, les inductances ainsi Introduction générale 10 que les différents couplages magnétiques entre les bobines. La saturation magnétique est négligée. Dans le chapitre §2, nous présentons une méthode de modélisation pour étudier le fonctionnement d’une machine synchrone connectée à un onduleur de tension avec des courants sinusoı̈daux. Cette méthode est basée sur un modèle de Park sans considérer la saturation magnétique. Elle utilise un processus d’optimisation pour déterminer la loi de commande qui minimise les pertes joule, pour chaque point de fonctionnement considéré, en respectant les contraintes de tension et de courant de l’onduleur. Cette méthode est applicable à toutes les structures de machines synchrones comme : les machines à pôles lisses, à pôles saillants, à aimants permanents, à rotor bobiné et à rotor hybride. Dans le chapitre §3, nous traitons le cas particulier d’un alternateur de voiture connecté à une batterie avec un redresseur à diodes. Dans ce système, le convertisseur n’est pas commandé et les formes de courants ne sont pas sinusoı̈dales. Nous avons développé une méthode pour trouver le régime permanent sans passer par une simulation, ce qui rend cet outil très rapide par rapport à une méthode de simulation dans le temps. Cette méthode utilise une résolution analytique des équations différentielles et donne directement des intégrales analytiques de ces solutions pour déterminer des valeurs caractéristiques comme, par exemple, la valeur efficace des courants de phase. Le chapitre §4 illustre les possibilités et la flexibilité de ces méthodes de modélisation avec des exemples concrets d’utilisation. Tout d’abord, nous présentons une étude sur le compromis entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal de la machine dans des applications à large plage de vitesse. Pour ce faire, nous utilisons la modélisation du fonctionnement des machines synchrones présentée au chapitre §2. Deux autres exemples montrent l’intégration des outils dans un environnement de conception aidé par ordinateur (CAO) des entraı̂nements avec optimisation globale. Une première étude concerne la conception d’une machine à aimants permanents pour une application de traction électrique d’automobile en tenant compte d’un parcours typique, comportant plusieurs milliers de points de fonctionnement. Une autre étude montre l’influence de la précision du modèle magnétique pour la conception optimale d’un alternateur de voiture. Finalement, le chapitre §5 traite des performances des machines polyphasées dans Introduction générale 11 des conditions particulières de fonctionnements dégradés, par exemple, une phase ouverte ou une phase en court-circuit. Cet outil complète la modélisation présentée au chapitre §2, en tenant compte des différentes séquences de machines fictives pour maximiser le couple moyen sans ondulation. Il permet de définir une loi de commande optimale, en régime dégradé, en considérant les limitations de l’onduleur et les impédances de la machine. Nous avons utilisé cet outil pour analyser la tolérance aux défauts de ce type de machine et son influence sur le dimensionnement de l’entraı̂nement. Chapitre 1 Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines à pôles lisses 1.1 Introduction Pour estimer les performances d’un entraı̂nement à vitesse variable, nous construisons un circuit électrique équivalent qui représente la machine. Dans le cas des machines synchrones à pôles lisses, ce circuit équivalent se compose des résistances de phase, des inductances, des couplages mutuels et des forces électromotrices (f.e.m.) dans le bobinage d’induit. En conséquence, il faut calculer la valeur de ces différents éléments en fonction des dimensions géométriques pour réaliser la modélisation du système. Il existe différentes méthodes de calcul des paramètres basées sur une approche analytique ou numérique par éléments finis. Dans le cas des méthodes analytiques, nous pouvons signaler l’utilisation directe d’équations, de formules et de tables pour des machines spécifiques [4]. On trouve aussi, des méthodes basées sur les réseaux de réluctances [5], les fonctions de MMF [6] et la résolution analytique des équations de Maxwell dans l’entrefer [7] [8] [9] [10]. L’utilisation directe d’équations développées pour des cas spécifiques est difficilement Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 13 envisageable. Elle demande une étude approfondie de leur sensibilité par comparaison avec des méthodes de calcul de champs par éléments finis avant de les utiliser dans un processus d’optimisation [11]. Nous avons choisi la méthode proposée par Zhu en l’adaptant à nos besoins [7] [8] [9] [10]. Elle utilise une résolution des équations de Maxwell en deux dimensions dans des milieux homogènes, pour des géométries de machines à pôles lisses sans encoche. Elle offre un bon compromis entre précision et vitesse de calcul. Elle néglige la saturation magnétique et elle suppose que la perméabilité des matériaux est infinie. Dans ce chapitre, nous décrivons la méthode de calcul du champ magnétique en 2D dans l’entrefer et ses hypothèses. Nous avons généralisé cette méthode pour calculer les paramètres avec n’importe quelle configuration de bobinage d’induit. Pour faciliter le calcul du flux, nous utilisons une relation d’équivalence entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur. À la fin du chapitre, nous présentons une analyse sur la précision de cette méthode par rapport aux résultats d’un logiciel de calcul de champ par éléments finis. D’autres travaux ont été présentés et peuvent s’avérer une bonne alternative aux formules que nous présentons, notamment [12]. 1.2 Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à aimants permanents à pôles lisses Une machine à aimants permanents à pôles lisses possède un stator avec encoches pour loger le bobinage et un rotor cylindrique sur lequel nous trouvons les aimants permanents (Fig. 1.1, gauche). Le nombre d’encoches et le nombre de pôles de la machine dépendent de la structure de la machine choisie par le concepteur. Si les aimants possèdent une perméabilité relative proche de l’unité, l’inductance d’une phase est indépendante de la position du rotor. Les formules analytiques basées sur la loi d’Ampère nécessitent a priori la connaissance du trajet des lignes de flux dans l’entrefer de la machine. Par exemple, si la distance qui sépare une dent de stator de la culasse du rotor est très petite, nous pouvons supposer, sans commettre une grande erreur, que les lignes de flux sont radiales. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 14 Dans le cas des machines à aimants, l’entrefer magnétique, soit la distance entre le fer de stator et du rotor, est relativement important. Il correspond à l’épaisseur des aimants et de l’entrefer mécanique. Ceci entraı̂ne une déformation des lignes de flux qui rend difficile l’application de la loi d’Ampère. De là découle l’intérêt de développer des formules plus précises pour les machines à aimants permanents à pôles lisses. Dans cette section nous allons appliquer la méthode proposée dans [7] pour obtenir des équations du champ magnétique dans une machine à aimants permanents. 1.2.1 Hypothèses simplificatrices Pour obtenir la solution recherchée, nous utilisons les simplifications suivantes sur la géométrie réelle de la machine et sur les matériaux qui la constituent. • Les encoches sont négligées. • La perméabilité relative du fer est infinie. • Les caractéristiques des aimants sont linéaires. • Les aimants sont non conducteurs et leur perméabilité relative est proche de l’unité. • L’espace entre les aimants est rempli d’un matériel ayant la même perméabilité relative (vert, figure 1.1 droite). Dans [7], il est montré que cette approximation est convenable pour limiter l’erreur de l’amplitude du flux. • Les hypothèses de la magnétostatique sont satisfaites. Ces simplifications permettent d’obtenir une géométrie complètement lisse qui est composée d’anneaux de matériaux avec une perméabilité relative homogène (Fig. 1.1). Cette géométrie composée d’anneaux homogènes nous permet de trouver une solution analytique aux équations de Maxwell. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 15 Figure 1.1 – Simplifications de la géométrie pour obtenir le flux à vide est nul à l’intérieur Comme la perméabilité du fer est infinie, le champ magnétique H du fer de stator et du fer de rotor et nous pouvons l’ignorer. En conséquence, dans la géométrie simplifiée, il suffit de définir les variables géométriques suivantes (Fig. 1.2) : • Le rayon du stator. • Le rayon du rotor. • Le rayon de l’interface aimant - entrefer. • L’angle d’un pôle d’aimant. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 2rpoles Α 2rrotor 2rstator Figure 1.2 – Variables qui représentent la géométrie simplifiée 16 Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.2.2 17 Équations différentielles Le problème qui nous intéresse se caractérise par les équations différentielles sui et l’induction magnétique B : vantes qui déterminent le champ magnétique H =0 ∇×H (1.1) =0 ∇•B (1.2) Il est possible de poser le problème sous deux formes : soit avec le potentiel scalaire Avec le potentiel scalaire, le vecteur H s’exprime φ ou soit avec le potentiel vecteur A. comme suit : = −∇φ H (1.3) est obtenu à partir d’un potentiel scalaire, le rotationnel est nécesSi le vecteur H sairement zéro, rendant l’équation (1.1) inutile à la résolution du problème : = −∇ × (∇φ) ≡ 0 ∇×H (1.4) est liée au champ magnétique H par l’équation suivante : L’induction magnétique B +B r = μr μ0 H B (1.5) r est l’induction rémanente d’un aimant. Où B Cette relation dépend des caractéristiques du matériel : la perméabilité relative μr et la perméabilité du vide μ0 . Nous pouvons utiliser la divergence de l’induction Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 18 magnétique pour obtenir l’équation suivante : +∇•B r = 0 = μr μ0 ∇ • H ∇•B (1.6) r μ 0 μ r ∇2 φ = ∇ • B (1.7) Nous pouvons aussi obtenir la solution en utilisant le potentiel vecteur : =∇×A B (1.8) est obtenu à partir d’un potentiel vecteur, Si le vecteur d’induction magnétique B sa divergence est nécessairement zéro, rendant l’équation (1.2) inutile à la solution du problème : = ∇ • (∇ × A) ≡0 ∇•B (1.9) En manipulant les équations, nous pouvons obtenir la relation suivante dont l’in : connue est le potentiel vecteur A =∇×B r 2A ∇ (1.10) Les deux méthodes de résolution des équations différentielles sont équivalentes, puisqu’il n’y a pas de source de courant dans le domaine d’étude. Dans le cas où il y a des sources de courant dans le domaine d’étude, c’est seulement la méthode de résolution avec le potentiel vecteur qui est valable. Bien que la complexité pour trouver la solution reste exactement la même avec les deux méthodes, c’est la méthode de résolution par le potentiel scalaire qui est retenue dans [7]. Nous allons appliquer la même méthode pour obtenir la solution du potentiel scalaire. Ensuite nous allons montrer comment obtenir le potentiel vecteur à partir du potentiel scalaire pour simplifier les calculs de flux. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.2.3 19 Équations différentielles dans l’espace occupé par des aimants L’équation différentielle qui détermine le potentiel scalaire dans l’espace occupé par les aimants est la suivante : ∇2 φ 1 = r ∇•B μ0 μr (1.11) La perméabilité relative est constante dans l’anneau homogène occupé par les aimants mais, l’aimantation varie selon si la portion de l’anneau considérée correspond à un pôle nord, à un pôle sud ou à une zone non magnétisée. Nous supposons que l’in r suit la direction radiale r̂ et qu’elle varie seulement en fonction duction rémanente B de l’angle. Elle s’exprime comme suit : r = μ0 Mr (θ)r̂ B (1.12) Pour trouver la solution de l’équation différentielle (1.11), il est préférable de décomposer l’aimantation comme une série de Fourier (Fig. 1.3) : Mr (θ) = ∞ 2Mmax α sin k=0 π (2k+1)α 2 (2k+1)α 2 cos((2k + 1)pθ) (1.13) Où Mmax est la valeur de l’aimantation maximale. La solution de l’équation différentielle possède deux parties : • Une solution particulière φ1p qui assure l’égalité imposée par l’équation (1.11). • Une solution générale φ1g qui assure que les conditions aux limites sont respectées. Remanence Mr Θ Am Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 20 M M 2 M 2 M 180 90 0 90 Angle électrique degrés 180 Figure 1.3 – Aimantation des aimants et son approximation par une série de Fourier La solution de l’équation est donc l’addition des deux composantes : φ1 = φ1p + φ1g (1.14) Les composantes de la solution respectent les propriétés suivantes : ∇2 φ1p = r ∇•B μ0μr ∇2 φ1g = 0 (1.15) (1.16) Les deux composantes possèdent des solutions sous la forme de séries de Fourier : φ1p = φ1g = ∞ k=0 ∞ c2k+1 r cos((2k + 1)pθ) a2k+1 r (2k+1)p + b2k+1 r −(2k+1)p cos((2k + 1)pθ) (1.17) (1.18) k=0 Où a2k+1 , b2k+1 , c2k+1 sont des coefficients de la série de Fourier, r est la variable radiale et p est le nombre de paires de pôles de la machine. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 21 À l’aide de l’équation (1.17), il est possible de trouver la valeur des coefficients de la solution particulière en fonction de l’aimantation des aimants [7]. 1.2.3.1 Équations dans l’espace de l’entrefer Puisqu’il n’y a pas d’aimant dans l’entrefer mécanique, l’équation différentielle déterminant le potentiel scalaire possède la forme suivante : ∇2 φ 2 = 0 (1.19) À la différence du cas précédent, la solution possède une seule composante : φ2 (r, θ) = ∞ ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p cos((2k + 1)pθ) (1.20) k=0 Où ã2k+1 et b̃2k+1 sont des coefficients de la série de Fourier. 1.2.3.2 Équations aux frontières des matériaux Les conditions aux limites de séparation des milieux permettent de déterminer la valeur des quatre coefficients que nous n’avons pas encore définis (a2k+1 , b2k+1 , ã2k+1 , b̃2k+1 ). Nous avons supposé que la perméabilité du fer du stator est infinie. Donc, le champ magnétique est perpendiculaire à la surface du fer du stator (Fig. 1.4.b) et la composante dans la direction tangentielle (θ̂) est nulle comme l’indique l’équation suivante : stator , θ) • θ̂ = 0 H(r (1.21) Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 22 La même condition est imposée à la périphérie de la culasse du rotor (Fig. 1.4.c) : rotor , θ) • θ̂ = 0 H(r a (1.22) b c H H Figure 1.4 – Représentation graphique des conditions aux limites À la frontière entre les aimants et l’entrefer, nous avons la continuité du champ magnétique dans la direction tangentielle : aimants− , θ) • θ̂ − H(r aimants+ , θ) • θ̂ = 0 H(r (1.23) dans la direction radiale : Il y a aussi la continuité de l’induction magnétique B aimants− , θ) • r̂ − B(r aimants+ , θ) • r̂ = 0 B(r (1.24) Ces quatre équations nous permettent d’obtenir la valeur des quatre coefficients. Nous devons répéter ce calcul pour chaque élément de la série qui définit les solutions des équations (1.18) et (1.20). Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.3 23 Calcul du champ magnétique à vide d’une machine à rotor bobiné La démarche pour les structures à rotor bobiné est similaire au cas précédent et suit la méthode proposée par [8]. Les hypothèses de cette étude sont les suivantes : • Les encoches du stator sont négligées (Fig. 1.5.b). • Les encoches du rotor sont négligées (Fig. 1.5.c). • La perméabilité relative du fer dans le stator et dans le rotor est infinie. Le type de rotor bobiné que nous considérons est composé d’un bobinage avec une seule bobine par pôle (Fig. 1.5.a). Il existe aussi d’autres rotors bobinés avec différentes configurations de bobinage pour minimiser le contenu harmonique du flux à vide, notamment les rotors des turboalternateurs [13], mais nous n’allons pas les traiter. Pour négliger les encoches du rotor, nous allons supposer que le courant à l’intérieur d’une encoche du rotor peut-être substitué par un courant superficiel uniformément distribué dans l’espace entre les becs d’encoches (Fig. 1.5.c). Ce courant superficiel impose que la composante tangentielle du champ magnétique à la périphérie du rotor possède une valeur spécifique. Cette valeur est donnée par l’équation suivante : ⎧ ⎨−J s H(rrotor , θ) • θ̂ = ⎩J s si rotor externe etθ1 + 2kπ ne ≤ θ ≤ θ2 + 2kπ , ne si rotor interne etθ1 + 2kπ ne ≤ θ ≤ θ2 + 2kπ . ne (1.25) Où Js correspond à la densité de courant par unité de longueur équivalente au courant total de l’encoche iencoche. S’il n’y a pas de courant superficiel équivalent, le champ magnétique est perpendiculaire à la surface du rotor et du stator. rotor , θ) • θ̂ = 0siθ1 + 2kπ > θ ∧ θ > θ2 + 2kπ H(r ne ne stator , θ) • θ̂ = 0 H(r (1.26) (1.27) Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... a b Β c Figure 1.5 – Transformation de la structure d’une machine à rotor bobiné 24 Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 25 En utilisant une série de Fourier, nous pouvons en déduire une expression du champ magnétique : rotor , θ) • θ̂ = H(r ∞ k=0 (2k+1)π 2 piencoche sin (2k+1)π rrotor sin 2 (2k+1)(π−pβ) 2 (2k+1)(π−pβ) 2 sin((2k + 1)pθ) (1.28) Par exemple, dans le cas de la machine représentée dans la figure 1.5, la figure 1.6 montre la forme d’onde de la série de Fourier et de la distribution de courant superficiel du rotor. Les oscillations sont causées par le nombre limité des harmoniques utilisées et par la discontinuité de la distribution de courant. HΘ Am 10 5 0 5 10 180 90 0 90 Angle électrique degrés 180 Figure 1.6 – Champ magnétique tangentiel à la surface du rotor et son approximation par une série de Fourier Il n’y a pas de courant dans l’espace de l’entrefer. Donc, nous pouvons utiliser un potentiel scalaire pour déterminer le champ magnétique en utilisant l’équation différentielle suivante : ∇2 φ = 0 (1.29) Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 26 Il y a deux conditions aux limites. Le champ magnétique est perpendiculaire à la surface du stator comme suit : (∇φ(rstator , θ)) • θ̂ = 0 (1.30) Sur la périphérie du rotor, le champ magnétique dans la direction tangentielle suit la valeur imposée par les courants superficiels (1.28) : rotor , θ) • θ̂ (−∇φ(rrotor , θ)) • θ̂ = H(r (1.31) La solution de cette équation a la forme suivante : ∞ (2k+1)p −(2k+1)p + b̃2k+1 r φ(r, θ) = ã2k+1 r cos((2k + 1)pθ) (1.32) k=0 Les coefficients peuvent être obtenus à l’aide des conditions aux limites (1.30) et (1.31), ce qui nous permet de trouver le champ magnétique à vide produit par un rotor bobiné. 1.4 Coefficient de Carter Pour tenir compte des effets des encoches de stator, nous pouvons modifier la valeur du rayon de stator en appliquant un coefficient de Carter qui augmente l’épaisseur de l’entrefer [9] : Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... ⎧ ⎨r stator + (kc − 1)gm = ⎩r stator − (kc − 1)gm si rotor interne, gm = rstator − raimants + raimants − rrotor μr r̂stator kc = ⎛ γ= (1.33) si rotor externe. (1.34) 2πrstator ne 2πrstator ne (1.35) − γgm 4 ⎝ b0 arctan π 2gm 27 b0 2gm ⎛ − ln ⎝ 1+ b0 2gm 2 ⎞⎞ ⎠⎠ (1.36) Où kc est le coefficient de Carter et gm l’entrefer magnétique équivalent. En utilisant ce nouveau rayon de stator, nous tenons compte des encoches, tout en utilisant les formules développées pour une géométrie sans encoche [9]. 1.5 Relation entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur Pour simplifier les calculs de flux, il est plus intéressant d’obtenir le potentiel vecteur que le potentiel scalaire. Comme la solution avec le potentiel scalaire est connue [7], nous allons montrer la manière d’obtenir le potentiel vecteur à partir du potentiel scalaire. Il y a deux zones à considérer : • L’entrefer mécanique. • L’espace occupé par les aimants. 1.5.1 Potentiel vecteur dans l’entrefer mécanique Dans l’entrefer mécanique, la solution du potentiel scalaire possède la forme indiquée dans l’équation (1.20). Le potentiel vecteur utilise les mêmes coefficients que ceux du potentiel scalaire, mais dans la forme indiquée dans l’équation suivante : Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... θ) A(r, = 28 ∞ −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ) ẑ (1.37) μ0 k=0 1.5.2 Potentiel vecteur dans l’espace occupé par des aimants Dans l’espace occupé par les aimants, le potentiel vecteur peut-être divisé en deux p composantes. Une première composante qui correspond à une solution particulière A g. et une deuxième partie qui correspond à la solution générale A θ) = A p (r, θ) + A g (r, θ) A(r, (1.38) La composante liée à l’équation (1.17) est obtenue comme suit : p (r, θ) = A ∞ μ0 μr (2k + 1)pc2k+1 r sin((2k + 1)pθ)ẑ (1.39) k=0 La composante liée à l’équation (1.18) est obtenue à l’aide de l’équation suivante : Ag (r, θ) = μ0 μr ∞ −a2k+1 r (2k+1)p + b2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ) ẑ (1.40) k=0 1.6 Calcul du flux à vide d’un bobinage Dans les sections précédentes, nous avons montré comment obtenir la solution du champ magnétique dans l’entrefer pour des machines avec un rotor à aimants permanents et avec un rotor bobiné. En utilisant le potentiel vecteur, nous pouvons calculer le flux à vide. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 29 Nous avons développé une méthode pour obtenir le flux à vide dans n’importe quel bobinage. Cette méthode se base sur une représentation du bobinage avec des bobines autour d’une seule dent de stator. La méthode consiste à calculer d’abord le flux dans une seule bobine autour d’une seule dent centrée dans l’axe d’un aimant permanent. Ce résultat est ensuite utilisé pour déduire le flux du bobinage. Comme la géométrie que nous utilisons ne comporte pas d’encoche, nous allons ajouter l’hypothèse suivante : • Les conducteurs dans une encoche de stator peuvent être substitués par des conducteurs superficiels localisés dans l’espace entre les becs de l’encoche (Fig. 1.7.a, 1.7.b et 1.7.c). Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... a b c d 30 Figure 1.7 – Représentation du courant des encoches comme un courant superficiel Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 31 Avec cette nouvelle hypothèse et en utilisant l’équation (1.37), le flux d’une bobine comportant une seule spire autour d’une dent de stator λdent est obtenu en intégrant le potentiel vecteur comme suit : λdent = θ2 μ0 laxial − laxial θ=θ1 ∞ −ã2k+1 r k=0 ∞ 2π θ2 + n e 2π θ=θ1 + n μ0 (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ (1.41) k=0 e Les angles θ1 et θ2 limitent l’espace entre les becs d’encoches (Fig. 1.8). Le résultat de l’équation précédente donne le flux total à travers une dent. Il permet aussi d’obtenir la contribution de chaque harmonique du flux d’une dent λ2k+1 , comme suit : λ2k+1 = θ2 laxial μ0 −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ θ=θ1 − laxial 2π θ2 + n e 2π θ=θ1 + n μ0 −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ)dθ (1.42) e En séparant la contribution de chaque harmonique, nous obtenons le phaseur lié à l’harmonique 2k + 1 de la dent j comme suit : λj2k+1 = λ2k+1 e− √ 2π −1 n j(2k+1)p e (1.43) Un bobinage quelconque peut-être décomposé comme une combinaison de plusieurs bobines autour d’une seule dent. Par exemple, une bobine qui contourne plusieurs encoches (Fig. 1.9.a) est représentée par trois bobines autour d’une dent (Fig. 1.9.b et 1.9.c). Nous notons que les courants totaux des encoches intermédiaires sont nuls, car les courants des deux conducteurs des bobines mises en série possèdent des courants opposés. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 2Π Θ2 ne 32 2Π Θ1 Θ2 Θ1 ne Figure 1.8 – Géométrie utilisée pour calculer l’inductance d’une dent d’encoche Figure 1.9 – Équivalence d’une bobine à la mise en série de trois bobines autour d’une dent Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 33 Pour représenter la combinaison des bobines autour d’une dent qui est équivalente à un bobinage donné, nous utilisons une matrice de connexion C. Cette matrice C comporte autant de colonnes que de phases et autant de lignes que d’encoches. La valeur de chaque élément est obtenue comme suit : • Zéro (0), si la bobine n’est pas utilisée par la phase. • Un (1), si la bobine est utilisée par la phase dans le sens positif. • Moins un (-1), si la bobine est utilisée par la phase dans le sens négatif. L’équation suivante montre un exemple de matrice de connexion pour une machine triphasée avec six encoches et deux pôles (Fig. 1.10) : ⎡ 1 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ C=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎣ 0 0 ⎤ ⎥ 1 0⎥ ⎥ 1 0⎥ ⎥ ⎥ 1 1⎥ ⎥ 0 1⎥ ⎦ 1 0 1 (1.44) Dans cet exemple, la bobine qui forme la phase A est équivalente à la mise en série des bobines 1, 2 et 6. La bobine de la phase B est équivalente à la mise en série des bobines 4, 3 et 2. Finalement, la bobine de la phase C est équivalente à la mise en série des bobines 6, 5 et 4. Si nous obtenons la contribution de l’harmonique j au flux de la bobine numéro 1 à l’aide de l’équation (1.42), le phaseur de l’harmonique j du flux de toutes les autres bobines est obtenu avec l’équation (1.43) comme suit : λ123456 j ⎡ √ 2π ⎤ e− −1 6 j0 ⎢ −√−1 2π j1⎥ ⎢e ⎥ 6 ⎢ √ 2π ⎥ ⎢e− −1 6 j2⎥ ⎢ ⎥ = λj1 ⎢ −√−1 2π j3⎥ ⎢e ⎥ 6 ⎢ √ 2π ⎥ ⎢e− −1 6 j4⎥ ⎣ √ ⎦ − −1 2π j5 6 e (1.45) Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 34 L’harmonique j du flux du bobinage de la machine est donnée par le produit de la matrice de connexion transposée et le vecteur représentant le phaseur de l’harmonique j du flux des bobines autour d’une dent comme suit : = C t λ123456 λabc j j (1.46) Nous obtenons alors l’équation générale suivante : = C t λ123456 λabc j j (1.47) Ceci n’est que l’application de la théorie des circuits et l’application des lois de Kirchhoff. Nous devons répéter ce calcul pour chaque harmonique du flux qui nous intéresse. De cette manière, nous obtenons l’amplitude et la phase de chaque harmonique du flux du bobinage en utilisant seulement des multiplications de matrices. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 3 35 2 A C B 4 1 B C A 5 6 Figure 1.10 – Machine avec deux pôles et six encoches Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.7 36 Détermination de l’inductance d’entrefer d’un bobinage Pour déterminer l’inductance d’un bobinage quelconque, nous allons utiliser les hypothèses simplificatrices suivantes : • Les encoches sont négligées. • Le courant dans une encoche (Fig. 1.7.a) peut être substitué par un courant superficiel distribué dans l’espace entre les becs d’encoches (Fig. 1.7.b). • La perméabilité relative du fer est infinie. • Les aimants sont substitués par de l’air. • Seulement la bobine numéro 1 possède un courant égal à 1[A]. Toutes les autres bobines ne sont pas alimentées. Ces hypothèses nous permettent d’utiliser une géométrie totalement lisse (Fig. 1.7.d). Nous constatons qu’un bobinage quelconque peut être représenté par une combinaison de bobines enroulées autour de chaque dent du stator. Nous utilisons la même approche pour calculer l’inductance d’un bobinage quelconque, en calculant d’abord les inductances propres et mutuelles de ces bobines équivalentes. Pour déterminer les inductances propres et mutuelles entre les différentes bobines, nous calculons le champ magnétique produit par une seule bobine autour d’une dent (Fig. 1.8). Il n’y a pas de courant dans l’espace de l’entrefer. Nous utilisons un potentiel scalaire pour déterminer le champ magnétique dans l’entrefer. Le potentiel scalaire possède la forme suivante [8] : ∞ (2k+1) −(2k+1) ã2k+1 r cos((2k + 1)θ) + b̃2k+1 r φ(r, θ) = (1.48) k=0 Les coefficients sont déterminés à l’aide des conditions aux limites. Dans l’espace se trouvant originalement entre les becs d’encoches de stator, nous avons l’équation Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 37 suivante : stator , θ) • θ̂ = H(r ⎧ ⎨J s ⎩−J s si rotor externe etθ1 + 2kπ ne ≤ θ ≤ θ2 + 2kπ , ne si rotor interne etθ1 + 2kπ ne ≤ θ ≤ θ2 + 2kπ . ne (1.49) Js est le courant superficiel équivalent au courant de l’encoche considérée. Compte tenu que nous supposons que la perméabilité du fer de stator est infinie, le champ magnétique dans la direction tangentielle est nul dans l’espace se trouvant originalement occupé par les becs d’encoches : stator , θ) • θ̂ = 0siθ1 + 2kπ > θ ∧ θ > θ2 + 2kπ . H(r ne ne (1.50) Le champ magnétique suit l’équation suivante sur la surface du rotor : rotor , θ) • θ̂ = 0 H(r (1.51) Avec les conditions aux limites, nous obtenons le potentiel scalaire qui détermine le champ magnétique dans l’entrefer. Nous en déduisons ensuite le potentiel vecteur (§1.5). En utilisant le potentiel vecteur sous la forme d’une série, nous pouvons obtenir le flux dans la bobine numéro j, comme suit : λjdent = laxial − laxial θ2 μ0 θ=θ1 ∞ k=0 2π θ2 + n e 2π θ=θ1 + n e μ0 2π (j − 1))dθ −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ + ne ∞ k=0 −ã2k+1 r (2k+1)p + b̃2k+1 r −(2k+1)p sin((2k + 1)pθ + 2π (j − 1))dθ ne (1.52) Nous avons fixé le courant de la bobine numéro 1 arbitrairement à 1[A]. Donc, l’inductance propre correspond à la valeur du flux obtenu à l’aide de l’équation précédente Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 38 avec j = 1. L’inductance mutuelle entre la bobine de la dent numéro k et de la dent numéro 1 correspond à la valeur du flux obtenue à l’aide de l’équation précédente avec j = k. Nous construisons la matrice d’inductances des bobines autour d’une dent par simple rotation comme suit : Lij = ⎧ ⎨λ(j−i+1) si j ≥ i ⎩λ(j−i+1+ne ) si j < i dent dent (1.53) Cette matrice carrée possède autant de lignes que d’encoches. Pour déterminer la matrice d’inductance d’un bobinage, nous utilisons le produit de la matrice de connexion et de la matrice d’inductance des bobines autour d’une dent comme suit : Labc = C t LC 1.8 (1.54) Détermination de l’inductance de fuite dans les encoches Dans la section précédente, nous n’avons pas considéré les encoches pour déterminer la valeur des inductances d’entrefer puisqu’elles ne sont pas présentes dans la géométrie simplifiée. On peut par contre rajouter la contribution des encoches à l’inductance d’entrefer en utilisant une géométrie rectangulaire simplifiée (Fig. 1.11). Cette géométrie comporte deux zones pour le placement des conducteurs (zones rouge et verte dans la figure 1.11). 1.8.1 Hypothèses simplificatrices Pour résoudre le champ magnétique dans cette géométrie, nous utilisons les hypothèses simplificatrices suivantes : • Le fer possède une perméabilité infinie. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 39 • Le champ magnétique entre les becs d’encoches est perpendiculaire à ceux-ci. b0 h0 h d b Figure 1.11 – Géométrie simplifiée de l’encoche Notons que la deuxième hypothèse nécessite que les encoches soient relativement fermées. 1.8.2 Calcul du champ magnétique entre les becs d’encoches Le champ magnétique entre les becs d’encoches est donné par l’équation suivante : = − ie x̂ H bo 1.8.3 (1.55) Calcul du champ magnétique dans l’encoche La densité de courant dans l’encoche n’est pas nulle. Donc, nous utilisons le potentiel vecteur pour résoudre l’induction magnétique à l’intérieur de l’encoche comme suit : = ∇×A B (1.56) = μ0J ∇×∇×A (1.57) La densité de courant dans une encoche est représentée avec une série de Fourier. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 40 Si nous supposons que la région à droite (rouge fig. 1.11) est parcourue par un courant total ie , la série de Fourier qui la représente est la suivante : J(x, y) = ∞ jk (x, y) ẑ (1.58) ⎧k=0 ⎨ ie jk (x, y) = bh ⎩ 2ie kdhπ sin kdπ b cos kπ b x− b 2 si k = 0 (1.59) si k > 0 La continuité du champ doit être assurée à la frontière entre les becs d’encoches et l’encoche. Nous en déduisons le champ magnétique avec une série de Fourier avec les relations suivantes : H(x, y) = ∞ H2k (x, y) x̂ ⎧k=0 ⎨− ie si k = 0 b Hk (x, y) = ⎩− 4ie sin kb0 π cos kπ − x si k > 0 kb0 π 2b b (1.60) (1.61) La représentation de la densité de courant et du champ magnétique sur la frontière de l’encoche permet d’obtenir une expression avec le potentiel vecteur [14]. 1.8.4 Calcul de l’inductance d’une encoche Dans la section précédente, la solution avec le potentiel vecteur n’est pas unique. Si le potentiel vecteur A(x, y) est une solution de l’équation (1.57), le potentiel vecteur 2 (x, y) = A(x, y) + χ est aussi une solution si χ est un vecteur constant de n’importe A quelle valeur. Les conditions aux limites ne permettent pas d’assurer l’unicité de la solution. Par contre l’induction magnétique dans l’encoche reste toujours la même. Nous calculons l’inductance en utilisant l’énergie stockée dans l’encoche qui dépend Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 41 seulement de l’induction magnétique comme suit : Eencoche 1 = 2 • HdV B (1.62) encoche L’équation précédente ne possède pas de forme convenable pour obtenir une expression analytique. Si nous considérons l’identité vectorielle suivante : × B) =B • (∇ × A) −A • (∇ × B) ∇ • (A (1.63) Nous pouvons transformer l’expression de l’énergie dans l’encoche sous la forme suivante qui permet d’obtenir une expression analytique : Eencoche 1 = 2 1 • HdV B = 2 encoche • JdV + A encoche ×H • dS A (1.64) Sencoche L’énergie dans l’espace entre les becs d’encoches s’obtient facilement : Ebec = μ0 i2e h0 laxial b0 (1.65) L’inductance propre de la région parcourue par un courant (rouge fig. 1.11)) est calculée avec l’équation suivante : Lencoche = 2 (Eencoche + Ebec ) i2e (1.66) D’une manière similaire, nous pouvons obtenir l’inductance mutuelle entre les deux régions de l’encoche (rouge et verte fig. 1.11) Mencoche . Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.8.5 42 Contribution des encoches à l’inductance d’un bobinage quelconque Dans la section précédente, nous avons calculé l’inductance propre et l’inductance mutuelle dans une encoche comportant deux régions parcourues par des courants (Fig. 1.11). Pour calculer la contribution des encoches à l’inductance propre d’un bobinage, nous devons considérer deux cas : • L’encoche est occupée par des conducteurs d’une seule phase seulement. • L’encoche est occupée par des conducteurs de deux phases. Dans le premier cas, la contribution à l’inductance du bobinage est donnée par : L = n2 Lencoche + Mencoche 2 (1.67) Dans le deuxième cas, la contribution à l’inductance du bobinage est donnée par : L = n2 Lencoche (1.68) Où n est le nombre de tours de la phase dans l’encoche. Dans le deuxième cas, la contribution à l’inductance mutuelle entre les deux phases partageant l’encoche est : L = n2 Mencoche 1.8.6 (1.69) Inductance d’un bobinage En utilisant les résultats précédents, l’inductance totale d’un bobinage est la somme de la contribution de l’entrefer et de la contribution des encoches. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.9 43 Comparaison avec un logiciel de calcul des champs par éléments finis Avec les formules présentées, nous pouvons générer une carte du champ magnétique dans l’entrefer de la machine que nous pouvons comparer avec le résultat d’un logiciel de calcul de champ. Comme exemple, nous considérons la géométrie définie par le Tableau 1.1 qui s’approche des hypothèses simplificatrices. Nombre de paires de pôles 4 Nombre d’encoches 24 Nombre de phases 3 Spp 1 Rayon de stator 100 [mm] Rayon du rotor 90 [mm] Épaisseur de l’aimant 6 [mm] Épaisseur du bec d’encoches 2 [mm] Entrefer 5 [mm] Profondeur des encoches 15 [mm] Épaisseur de la culasse de stator 2.5 [mm] Rapport entre la largeur du bec et le pas 14/15 d’encoche 10/15 Largeur de la dent d’encoche et 5 [mm] Rapport entre la largeur des aimants et le 44/45 pas polaire Épaisseur de la culasse du rotor 10 [mm] Aimantation rémanente 1.3 [T] Perméabilité relative du fer 14000 Tableau 1.1 – Géométrie d’une machine à aimants permanents La figure 1.12 montre la géométrie de la machine. La figure 1.13 montre la carte de champ dans l’entrefer, obtenue avec le calcul de champ pour le cas où le bec d’encoche est de 14 degrés (Fig. 1.12.a). Un seul pôle de la machine est présenté, et nous avons transformé les coordonnés cylindriques en coordonnés rectangulaires pour mieux afficher l’entrefer de la machine. La figure 1.13 montre que le champ magnétique est presque partout dans la direction radiale pour les deux méthodes de calcul. Le calcul analytique reproduit correctement l’effet du flux de fuite entre les pôles de la machine. Cependant, il ne reproduit pas correctement les champs en bordure des becs d’encoches. Comme les Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 44 encoches sont très fermées, les zones où les différences sont observables sont très petites. Si les encoches sont de 10 degrés (Fig. 1.12.b), nous obtenons une autre carte de champ (Fig. 1.14). Dans ce cas, les différences sont plus évidentes avec le calcul analytique près des becs d’encoches. Le coefficient de Carter ne permet pas de reproduire précisément l’effet des encoches. Il y a seulement un effet d’atténuation sur la valeur du flux. a b Figure 1.12 – Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 24 encoches. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 90 92 94 96 98 100 90 90 90 90 60 60 60 60 30 30 30 30 0 0 0 0 pΘ degrés pΘ degrés 90 92 94 96 98 100 30 30 30 30 60 60 60 60 90 90 90 90 90 92 94 96 98 100 r mm 45 90 92 94 96 98 100 r mm Figure 1.13 – Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches fermées. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 90 92 94 96 98 100 90 90 90 90 60 60 60 60 30 30 30 30 0 0 0 0 pΘ degrés pΘ degrés 90 92 94 96 98 100 30 30 30 30 60 60 60 60 90 90 90 90 90 92 94 96 98 100 r mm 46 90 92 94 96 98 100 r mm Figure 1.14 – Comparaison de la carte du champ magnétique dans le cas d’encoches ouvertes. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.9.1 47 Influence du nombre d’encoches et du nombre de pôles La structure de la machine a une influence sur la précision des résultats même si les matériaux ont des caractéristiques qui respectent les hypothèses. Pour illustrer cette influence, nous comparons le flux dans une bobine autour d’une seule dent de stator avec les deux méthodes. Cette comparaison est réalisée à l’aide d’un logiciel d’éléments finis en utilisant une perméabilité relative dans le fer de 14000. De cette manière nous minimisons l’influence de la reluctance du stator et du rotor. La figure 1.15 montre une mesure du flux en fonction du pourcentage de fermeture des encoches. La structure possède 8 pôles et 24 encoches et les dimensions sont indiquées au Tableau 1.2. Nous avons fait varier la fermeture de l’encoche de 50% à 99%. Nous constatons que le résultat du logiciel des éléments finis (bleu) et celui obtenu avec le calcul analytique (rouge) sont très similaires. L’erreur ne dépasse pas 2%. Nombre de paires de pôles 4 Nombre d’encoches 24 Nombre de phases 3 Spp 1 Rayon de stator 100 [mm] Rayon du rotor 84.5 [mm] Épaisseur de l’aimant 5[mm] Épaisseur du bec d’encoches 2 [mm] Entrefer 0.5 [mm] Profondeur des encoches 15 [mm] Épaisseur de la culasse de stator 2.5 [mm] Rapport entre la largeur du bec et le pas d’en- Variable coche Largeur de la dent d’encoche 5 [mm] Rapport entre la largeur des aimants et le pas 44/45 polaire Épaisseur de la culasse du rotor 10 [mm] Aimantation rémanente 1.3 [T] Perméabilité relative du fer 14000 Tableau 1.2 – Géométrie d’une machine à aimants permanents La figure 1.16 compare le résultat d’une structure avec 20 pôles et 21 encoches (Fig. 1.18). Les rayons et la largeur des aimants sont les mêmes que ceux indiqués au Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 48 Tableau 1.2, sauf que l’épaisseur de la culasse de stator est de 10[mm]. Nous constatons que le résultat du logiciel des éléments finis (bleu) et celui obtenu avec le calcul analytique (rouge) sont très similaires seulement si la fermeture des becs d’encoches est plus grande que 80%. Cependant, si les becs d’encoches sont plus ouverts, l’erreur peut atteindre plus de 15%. Nous remarquons que la tendance à diminuer le flux d’une encoche si l’encoche est plus ouverte est bien reproduite. La figure 1.17 compare le résultat d’une structure avec 8 pôles et 6 encoches (Fig. 1.19). Les rayons et la largeur des aimants sont encore les mêmes que ceux indiqués au Tableau 1.2, sauf que l’épaisseur de la culasse est de 10[mm]. La différence dans ce cas est importante sauf si la fermeture des becs d’encoches est plus grande que 90%. Le logiciel des éléments finis montre que, dans la plage de 70% - 100% de fermeture d’encoche, le flux est décroissant. Par contre le calcul analytique prédit que le flux est croisant. L’erreur entre les deux dépasse 30% en raison d’une imprécision liée à l’utilisation du coefficient de Carter dont les hypothèses ne sont plus satisfaites. Un pôle du rotor dans cette structure possède 45 degrés et une encoche jusqu’à 60 degrés. Donc, si les becs d’encoches sont trop fermés, le flux diminue car le bec d’encoche se trouve en face d’un 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 2 Erreur % Flux mWb pôle nord complet mais aussi d’une partie d’un pôle sud (Fig. 1.19). 40 50 60 70 80 90 Fermeture encoche % 1 0 1 2 30 40 50 60 70 80 90 100 Fermeture encoche % Figure 1.15 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 49 0 Erreur % Flux mWb Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 5 10 15 30 40 50 60 70 80 90 100 Fermeture encoche % 30 40 50 60 70 80 90 100 Fermeture encoche % Figure 1.16 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 Erreur % Flux mWb analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches. 30 40 50 60 70 80 90 100 Fermeture encoche % 0 10 20 30 40 50 30 40 50 60 70 80 90 100 Fermeture encoche % Figure 1.17 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 8 pôles et 6 encoches. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 50 Figure 1.18 – Géométrie d’une machine à aimants permanents de 20 pôles et de 21 encoches. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 51 Figure 1.19 – Géométrie d’une machine à aimants permanents de 8 pôles et de 6 encoches. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.9.2 52 Effet de la perméabilité du fer La figure 1.20 montre la variation du flux avec la perméabilité du fer. La fermeture des becs d’encoches est constante à 75%. Les dimensions sont encore les mêmes que celles du Tableau 1.2, sauf que l’épaisseur de la culasse est augmentée à 10[mm]. Comme le calcul analytique ne tient pas compte du fer, le flux analytique reste constant (Fig. 1.20 rouge à gauche). Le flux obtenu avec le logiciel des éléments finis augmente si la perméabilité du fer augmente (Fig. 1.20 bleu à gauche). Dans le cas particulier de la structure avec 20 pôles et 21 encoches, le flux est sous-estimé si la perméabilité relative 0.825 0.8 0.775 0.75 0.725 0.7 100 Erreur % Flux mWb du fer est supérieure à 900 et surestimé si la perméabilité relative est inférieure à 900. 1000 10000 Permeabilité relative 20 15 10 5 0 5 10 100 1000 10000 Permeabilité relative Figure 1.20 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches. Dans l’exemple précédent, nous observons qu’un changement de 100 fois de la perméabilité entraı̂ne un changement de 20% du flux. Cette insensibilité du flux à la perméabilité du fer est causée par l’entrefer magnétique qui est composé de l’épaisseur des aimants et de l’entrefer mécanique qui est de 5.5[mm]. Donc, même si la perméabilité du fer est faible, sa reluctance reste négligeable par rapport à la reluctance de l’entrefer magnétique. Dans une machine à rotor bobiné (Tableau 1.3), l’entrefer magnétique est moins important (Fig. 1.22). Dans ce cas, la reluctance du fer est non négligeable par rapport à la reluctance d’entrefer et la sensibilité du flux est plus grande. Par exemple, un changement de 100 fois de la perméabilité du fer peut entraı̂ner un changement de 5 fois du flux. L’erreur peut facilement atteindre des valeurs au-dessus de 100% (Fig. 1.21). Une approche pour solutionner ce problème avec la méthode analytique consiste à utiliser plus d’anneaux pour représenter le fer de stator et de rotor. Par exemple, un tel Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... Nombre de paires de pôles 4 Nombre d’encoches 24 Nombre de phases 3 Spp 1 Rayon de stator 90.9 [mm] Rayon du rotor 90.4 [mm] Épaisseur du bec d’encoches de stator 2 [mm] Épaisseur du bec d’encoches de rotor 3 [mm] Entrefer 0.5 [mm] Profondeur des encoches de stator 15 [mm] Épaisseur de la culasse de stator 2.5 [mm] 53 Rapport entre la largeur du bec et le pas d’en- 3/4 coche Largeur de la dent d’encoche 5 [mm] Rapport entre la largeur du bec d’encoche du ro- 30/45 tor et le pas polaire Épaisseur de la culasse du rotor 10 [mm] Perméabilité relative du fer Variable 0.0006 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 100 Erreur % Flux mWbA Tableau 1.3 – Géométrie d’une machine à rotor bobiné 1000 10000 Permeabilité relative 600 500 400 300 200 100 0 100 1000 10000 Permeabilité relative Figure 1.21 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique avec 1 [A] d’excitation dans le rotor. Structure avec 8 pôles et 24 encoches et rotor bobiné. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 54 Figure 1.22 – Géométrie d’une machine à rotor bobiné de 8 pôles et 24 encoches. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 55 modèle pourrait compter les 5 anneaux suivants : • Air interne entre la culasse de rotor et le centre de la machine • Fer de rotor • Air d’entrefer • Fer de stator • Air externe entre la culasse de stator et l’infini Ce type de modèle peut nous donner des résultats intéressants. La figure 1.23 montre la variation du flux d’une machine à rotor bobiné en fonction de la perméabilité du fer avec un calcul analytique qui utilise un modèle à 5 anneaux. Le résultat semble intéressant, car l’erreur ne dépasse pas 15%. Cependant, il faut savoir que ce type d’approche complique le problème de plusieurs manières : • Le nombre d’inconnues augmente avec le nombre d’anneaux, rendant plus difficile l’obtention d’une solution analytique. • Les dimensions des couches de fer ne correspondent pas aux dimensions de la machine. Par exemple, dans le cas de la figure 1.23, nous avons utilisé 0.6 [mm] d’épaisseur dans les couches de fer. • La perméabilité que nous devons utiliser n’est pas nécessairement connue si nous 0.0006 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 100 Erreur % Flux mWbA voulons considérer un matériau non linéaire. 1000 10000 Permeabilité relative 15 12.5 10 7.5 5 2.5 0 100 1000 10000 Permeabilité relative Figure 1.23 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 8 pôles et 24 encoches et rotor bobiné. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 1.9.3 56 Effet de la non linéarité du fer La non linéarité du fer produit aussi des écarts sur les résultats. Pour illustrer ce point, nous allons calculer le flux d’une bobine autour d’une dent en face d’un aimant permanent d’une machine avec 20 pôles et 21 encoches. La figure 1.24 montre le flux de la bobine en fonction de la densité de courant dans les conducteurs de la bobine en utilisant la courbe B(H) de la figure 1.25 pour le fer. Le calcul du champ tient compte de la non linéarité du fer. On constate que la variation du flux est quasiment linéaire par rapport aux variations de courant lorsque le flux de la bobine s’oppose au flux causé par les aimants. Par contre, cette variation est moins importante lorsque le flux de la bobine s’ajoute au flux produit par les aimants. Si le courant de la bobine a tendance à faire diminuer le flux total, le fer est moins saturé (Fig. 1.26). Ceci fait augmenter l’inductance de la bobine et le flux devient plus sensible aux variations de courant. Au contraire, si le flux causé par la bobine s’ajoute au flux des aimants, le fer devient plus saturé (Fig. 1.27), l’inductance diminue et le flux devient moins sensible aux variations de courant. Les formules que nous avons développées ne tiennent pas compte du fer car elles supposent que sa perméabilité est infinie. Nous constatons que le résultat obtenu suit plus correctement la variation du flux avec le courant si le flux de la bobine s’oppose au flux des aimants (Fig. 1.24), car dans ce cas la perméabilité du fer est plus élevée. Dans le cas contraire, l’écart est plus important (Fig. 1.24). Flux mWb 0.8 0.6 0.4 0.2 0 20 15 10 5 0 5 Densité de Courant A 10 Figure 1.24 – Flux d’une dent d’encoche obtenu avec des éléments finis et le calcul analytique. Structure avec 20 pôles et 21 encoches et rotor à aimants permanents. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 57 2.5 B T 2 1.5 1 0.5 2500 5000 H Am 7500 10000 Figure 1.25 – Courbe BH du fer. 2.375e+000 : >2.500e+000 2.250e+000 : 2.375e+000 2.125e+000 : 2.250e+000 2.000e+000 : 2.125e+000 1.875e+000 : 2.000e+000 1.750e+000 : 1.875e+000 1.625e+000 : 1.750e+000 1.500e+000 : 1.625e+000 1.375e+000 : 1.500e+000 1.250e+000 : 1.375e+000 1.125e+000 : 1.250e+000 1.000e+000 : 1.125e+000 8.750e-001 : 1.000e+000 7.500e-001 : 8.750e-001 6.250e-001 : 7.500e-001 5.000e-001 : 6.250e-001 3.750e-001 : 5.000e-001 2.500e-001 : 3.750e-001 1.250e-001 : 2.500e-001 <0.000e+000 : 1.250e-001 Density Plot: |B|, Tesla Figure 1.26 – Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec -20A/mm2 . Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 58 2.375e+000 : >2.500e+000 2.250e+000 : 2.375e+000 2.125e+000 : 2.250e+000 2.000e+000 : 2.125e+000 1.875e+000 : 2.000e+000 1.750e+000 : 1.875e+000 1.625e+000 : 1.750e+000 1.500e+000 : 1.625e+000 1.375e+000 : 1.500e+000 1.250e+000 : 1.375e+000 1.125e+000 : 1.250e+000 1.000e+000 : 1.125e+000 8.750e-001 : 1.000e+000 7.500e-001 : 8.750e-001 6.250e-001 : 7.500e-001 5.000e-001 : 6.250e-001 3.750e-001 : 5.000e-001 2.500e-001 : 3.750e-001 1.250e-001 : 2.500e-001 <0.000e+000 : 1.250e-001 Density Plot: |B|, Tesla Figure 1.27 – Résultat du calcul du champ avec bobine alimentée avec +10A/mm2 . 1.9.4 Comparaison avec d’autres méthodes de calcul analytique La référence [11] présente une comparaison du comportement des formules analytiques que nous avons retenues et des formules analytiques obtenues avec d’autres méthodes. Dans ce travail, il est montré que la méthode retenue possède un meilleur comportement par rapport au calcul de champ que les formules obtenues à partir de la loi d’Ampère. Les variations des inductances et des flux par rapport aux variations de la géométrie suivent mieux les variations observées avec un logiciel de calcul de champ que les formules basées sur des réluctances ou sur la loi d’Ampère. Ceci fait que les formules retenues sont mieux adaptées à un processus d’optimisation que d’autres formules. 1.9.5 Correction des résultats des formules analytiques Les résultats montrés indiquent que les formules analytiques ont besoin d’être corrigées pour que leurs résultats soient validés par un logiciel de calcul de champ. La référence [11] présente deux méthodes pour atteindre cet objectif. Une première mé- Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 59 thode utilise un réseau de réluctances pour tenir compte de l’effet de la non linéarité du fer. La méthode consiste à calculer d’abord le flux avec un circuit qui comporte seulement les reluctances d’entrefer (Fig. 1.28.a). Ensuite, la méthode calcule le flux avec un autre circuit de reluctances qui comporte les reluctances de l’entrefer, du stator et du rotor (Fig. 1.28.b). Dans la figure 1.28.b, nous avons représenté le stator et le rotor avec une seule reluctance mais, dans la référence [11], le circuit de stator et du rotor comporte plusieurs reluctances. Le facteur de correction des formules analytiques correspond au rapport entre le flux obtenu du circuit de la figure 1.28.a et celui de la figure 1.28.b. b a e stator e e Λnl Λl NI NI e NI NI rotor Figure 1.28 – Principe du circuit de reluctances pour la correction des formules analytiques. Le réseau de reluctances améliore la précision des formules analytiques qui modélisent correctement le champ magnétique dans l’entrefer mais qui négligent l’effet du fer de stator et du rotor. Comme cette correction utilise des formules analytiques, sa rapidité permet de l’incorporer dans la boucle d’optimisation lors d’une conception de machines. La deuxième correction introduite dans la référence [11] consiste à utiliser un logiciel d’éléments finis pour déterminer des facteurs de correction sur le modèle électrique de la machine. Comme cette correction nécessite un calcul qui est lent par rapport aux formules analytiques, il s’applique seulement pour corriger des solutions optimales. Ces deux méthodes ont permis de concevoir des machines tout en assurant que le résultat final est validé par un logiciel d’éléments finis. La méthode est intéressante parce Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 60 qu’elle diminue de manière importante le nombre d’utilisations du logiciel de calcul de champ [11]. 1.10 Estimation de la résistance Pour estimer la résistance, nous devons connaı̂tre la longueur moyenne d’une spire d’un bobinage, la section du fil à utiliser et le nombre de spires. Cette longueur moyenne comprend notamment les têtes de bobines et les interconnexions entre les bobines. Pour estimer la longueur moyenne d’une spire, nous devons connaı̂tre comment le bobinage de stator va être construit. Un bobinage peut être divisé en plusieurs bobines. Si le pas de bobinage est de nb encoches, nous pouvons estimer la longueur moyenne d’une spire d’une bobine comme étant égale à (Fig. 1.29) : ltête = 2π rbec + rencoche 2 nb − 2rf il + πrf il ne (1.70) En tenant compte de la longueur de la pièce magnétique lmachine , la longueur moyenne d’une spire d’une bobine est : lbobine = 2(ltête + lmachine ) (1.71) La longueur moyenne d’un bobinage est : lbobinage = nspiresnbobine lbobine (1.72) La section du fil à utiliser peut être obtenue en fonction du facteur de remplissage d’une encoche, de sa section, du nombre de spires, du nombre de phases et du nombre de bobines d’une phase comme suit : sf il = ne sencochekremplisage nphases nbobines nspires (1.73) Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 61 La résistance du bobinage est donnée par la formule suivante, qui tient compte de la résistivité du matériel ρ : r=ρ lbobinage sf il (1.74) rfil r bec rencoche nb r bec rencoche 2Π ne 2 Figure 1.29 – Calcul de la longueur de la tête de bobine Telle que mentionnée auparavant, la longueur des têtes de bobine est affectée par la forme spécifique de construction du bobinage. Selon le cas particulier traité, d’autres formules peuvent être plus précises que celle que nous avons indiquée ci-haut. 1.11 Conclusion Nous avons présenté une méthode analytique pour estimer les paramètres électriques de la machine directement à partir de sa géométrie. Cette méthode a été généralisée pour considérer n’importe quelle configuration de bobinage en utilisant une matrice de connexion. Elle utilise ensuite les résultats des calculs du flux et des inductances de bobines enroulées autour d’une dent pour obtenir les valeurs caractéristiques du bobinage complet. Estimation des paramètres électriques et du champ magnétique des machines... 62 Les équations développées sont disponibles sous la forme d’une bibliothèque de fonctions. Cette bibliothèque permet d’utiliser les formules avec différents logiciels, comme Excel, Matlab ou Mathematica. Nous avons montré que la précision des formules dépend de la structure de la machine, même si le fer possède une perméabilité très élevée. Une autre étude sur la sensibilité par rapport aux dimensions géométriques montre que cette méthode a un bon comportement et peut être utilisée pour l’optimisation des entraı̂nements [11]. Cependant, pour améliorer la précision, nous devons corriger les résultats des formules analytiques avec des résultats d’un calcul de champ [15] [16]. Chapitre 2 Étude du fonctionnement des machines synchrones à vitesse variable connectées à un onduleur de tension 2.1 Introduction L’entraı̂nement considéré est composé d’une machine synchrone, d’un onduleur de tension, d’une source d’alimentation et d’un système de commande. L’onduleur permet de varier la fréquence et la tension d’alimentation de la machine pour assurer un fonctionnement à vitesse variable. Ce système est soumis à différentes contraintes de fonctionnement. D’abord, la machine doit respecter des contraintes thermiques et de tenue en tension. L’onduleur a, quant à lui, des contraintes sur les tensions et les courants maximaux qui ne peuvent pas être dépassées sans endommager les composants électroniques. Ces contraintes limitent le fonctionnement du système dans une partie du plan couple - vitesse. Le fonctionnement à l’intérieur de cette zone dépend aussi de la loi de commande utilisée. Lors de la conception d’un entraı̂nement, il faut calculer les limites de fonctionnement et déterminer la meilleure stratégie de commande possible pour maximiser les performances tout en respectant le cahier des charges. Un des principaux problèmes à résoudre est lié à la définition de cette stratégie de commande Étude du fonctionnement des machines synchrones... 64 qui dépend étroitement des paramètres de la machine. Il faut calculer une stratégie de commande adaptée à chaque jeu de paramètres d’une machine tout en évaluant ses performances. Dans ce contexte, il faut tout d’abord déterminer si un point quelconque du plan couple vitesse se situe à l’intérieur de la zone de fonctionnement possible. Ensuite, il faut calculer les courants et les tensions qui permettent de réaliser ce point de fonctionnement en minimisant les pertes Joule. Cette estimation de performances doit s’effectuer rapidement. En effet, certains cahiers des charges imposent l’évaluation d’une importante quantité de points de fonctionnement. Par exemple, l’optimisation d’un système de traction électrique en considérant un parcours typique (Fig. 2.1) peut demander le calcul de plusieurs milliers de points de fonctionnement (Fig. 2.2) et ce à chaque itération de la procédure. Pour ces raisons, nous avons choisi une approche analytique plutôt que l’utilisation de méthodes de simulation pas à pas dans le temps. Dans ce chapitre, nous présentons une méthode de calcul basée sur un modèle de Park sans considérer la saturation magnétique et les harmoniques. Avec ce modèle, il est possible de déterminer la zone de fonctionnement du système en utilisant un algorithme d’optimisation [17]. Tout d’abord, nous présentons les hypothèses simplificatrices et la méthode de modélisation du système. Ensuite nous formulons et solutionnons analytiquement le problème d’optimisation pour calculer les limites de fonctionnement du système ainsi que les courants et les tensions des points à l’intérieur de la zone de fonctionnement. Nous terminons ce chapitre par une étude sur la recherche de paramètres 125 0.5 100 0.4 75 0.3 50 0.2 25 0.1 0 Pente pu Vitesse kmh optimaux pour un fonctionnement sur une grande plage de vitesse. 0. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps min Figure 2.1 – Parcours d’un véhicule comportant la vitesse (rouge) et la pente à surmonter (bleu). Dans ce chapitre, nous avons choisi une méthode analytique plutôt que l’utilisation Couple Nm Étude du fonctionnement des machines synchrones... 65 125 100 75 50 25 0 25 0 2000 4000 6000 Vitesse rpm 8000 Figure 2.2 – Parcours dans l’espace couple vitesse. des logiciels de simulation pas à pas dans le temps, car ceux-ci étaient considérés trop lents pour l’utilisation envisagée. Nous avons développé des méthodes qui permettent de vérifier que les réponses numériques utilisées sont fiables pour la majorité des conditions rencontrées. La section suivante montre les simplifications et la modélisation utilisées. 2.2 Hypothèses et méthode de modélisation de l’ensemble convertisseur - machine Des simplifications sont nécessaires pour atteindre la vitesse de calcul souhaitée. On peut considérer que le système se compose de trois parties : une source d’alimentation, un onduleur et une machine. Chaque partie peut être définie avec un modèle simplifié : • Le modèle de la source d’alimentation correspond à une source de tension idéale sans impédance interne. • Le modèle de l’onduleur de tension néglige les chutes de tension et les pertes dans les semi-conducteurs. Les effets de la modulation de largeur d’impulsions sont aussi négligés et on utilise seulement les valeurs moyennes des tensions et des courants sortant de l’onduleur. Dans ce modèle, il n’y a que deux contraintes : la tension maximale et le courant maximal que l’onduleur peut fournir. Ces deux limites sont indépendantes. En conséquence, nous ne tenons pas compte des onduleurs qui possèdent une troisième contrainte, soit celle de la puissance maximale de sortie. Une limite de puissance peut apparaı̂tre si la source de tension est limitée en courant. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 66 • Le modèle de la machine synchrone consiste en un circuit équivalent de Park avec des paramètres linéaires et constants. Nous prenons en compte uniquement les pertes liées aux différents bobinages. La machine fonctionne en régime permanent sinusoı̈dal et les régimes transitoires ne sont pas considérés. Nous montrerons, après avoir détaillé l’étude, comment contourner certaines de ces simplifications pour s’approcher le plus possible d’un système réel. 2.2.1 Modèle de la machine Avec les simplifications proposées, la machine peut être représentée par les équations de Park. Les variables de Park sont avantageuses puisque les courants et les tensions sont constants lorsque la machine fonctionne en régime permanent. Les amortisseurs ne sont pas présents non plus en régime permanent. Nous pouvons donc écrire les équations d’une machine générale qui possède un rotor à pôles saillants avec des aimants permanents et un bobinage de rotor comme suit : vd = rs id − pΩLq iq (2.1) vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ) pnphases [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] t= 2 (2.2) Où les variables sont définies comme : vd tension d’axe direct. vq tension d’axe quadratique. id courant d’axe direct. iq courant d’axe quadratique. ir courant d’excitation du rotor. (2.3) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 67 t couple électromagnétique. nphases nombre de phases. p nombre de paires de pôles. Ω vitesse mécanique. λ flux de stator produit par les aimants du rotor. Ld inductance d’axe direct. Lq inductance d’axe quadratique. G couplage magnétique entre les bobinages du rotor et du stator. rs résistance d’une phase du stator. Compte tenu que le modèle est en régime permanent, nous pouvons négliger la présence des bobinages amortisseurs dans le rotor. La modélisation du système tient seulement compte des pertes Joule de la machine. Nous négligeons tous les autres types de pertes telles que les pertes de fer et les pertes de l’onduleur. En conséquence, nous pouvons déterminer les pertes du système comme suit : pertes = nphases 2 rs id + i2q + rrotor i2r 2 (2.4) Où : rrotor résistance du bobinage d’excitation du rotor. En général, la génération du couple dans la machine dépend des trois courants ; (id , iq , ir ). Dans l’espace des courants, nous pouvons dessiner des superficies à couple constant pour avoir une image montrant la façon de générer le couple (Fig. 2.3). Dans le Étude du fonctionnement des machines synchrones... 68 cas d’une machine à aimants permanents, à la place des surfaces à couple constant, nous trouvons des courbes à couple constant (Fig. 2.4). Les deux figures suivantes montrent des superficies à couple constant d’une machine avec un rotor hybride à pôles saillants et les courbes à couple constant d’une machine à aimants permanents à pôles saillants. Dans les deux cas nous remarquons qu’il y a deux courbes associées pour un couple donné et il y a une infinité de combinaisons des courants pour générer le même couple. Il est nécessaire d’utiliser d’autres critères, par exemple les pertes Joule, pour déterminer quel est le point de fonctionnement le plus avantageux. 2 iq 0 2 2 ir 0 2 2 0 id 2 Figure 2.3 – Superficies à couple constant pour une machine à rotor bobiné (Ld = 5Lq = 1pu) La modélisation d’une machine à rotor hybride est suffisamment générale pour renfermer le fonctionnement de différents types de machines synchrones. La liste suivante montre les différents types de machines qui peuvent être modélisées (Fig. 2.5) : • Machines à rotor bobiné (λ = 0) • Machines à aimants permanents (G = 0, ir = 0) • Machines à rotor hybride (λ = 0, G = 0) • Machines à reluctance (λ = 0, G = 0, ir = 0, Ld = Lq ) • Machines à pôles lisses (Ld = Lq ) Dans le cas des machines à rotor bobiné, nous pouvons inverser ou non le sens du courant d’excitation. Il est aussi possible de tenir compte des différentes limites Étude du fonctionnement des machines synchrones... 3 8.04 6.64 5.24 3.85 2.45 2 1.75 iq 1 69 1.05 0.35 0 0.35 1 1.05 2.45 2 3 3 2 1.75 3.15 4.55 5.94 7.34 8.74 1 0 1 2 id 3 Figure 2.4 – Courbes à couple constant pour une machine à aimants permanents à pôles saillants avec (Ld = 5Lq = 1pu) supérieures et inférieures pour le courant d’excitation. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 70 Pôles lisses Ld Lq Aimants Inserés Ld Lq Reluctance Ld Lq Pôles Saillants Ld Lq Figure 2.5 – Les différents types de machines modélisés Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.2.2 71 Modèle de l’onduleur Compte tenu des simplifications énoncées, l’onduleur se modélise par une série de contraintes reliées aux courants et aux tensions de la machine. En effet, les simplifications proposées permettent de négliger la modulation de largeur d’impulsions ainsi que les régimes transitoires du système. Avec les hypothèses simplificatrices que nous avons indiquées précédemment, le courant du stator est limité par l’équation suivante : i2a = i2d + i2q ≤ i2max (2.5) Où : ia valeur crête du courant d’une phase de la machine. Nous pouvons facilement dessiner cette contrainte de courant dans l’espace des courants (Fig. 2.6). Il s’agit d’un cylindre orienté dans l’axe de courant du rotor. Seuls les points de l’espace des courants qui se trouvent à l’intérieur du cylindre respectent la contrainte du courant du stator. La représentation de la contrainte du courant dans l’espace du courant reste la même, sans qu’elle soit influencée par la vitesse de la machine. Dans le cas d’une machine à aimants permanents, cette contrainte prend la forme d’un cercle centré à l’origine (Fig. 2.7). La tension totale d’une phase ne peut pas non plus dépasser une certaine limite. Ceci se traduit par l’équation suivante : 2 2 = vd2 + vq2 ≤ vmax van Où : (2.6) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 72 2 iq 0 2 2 ir 0 2 2 0 id 2 Figure 2.6 – Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les machines à rotor bobiné ou hybride 3 2 iq 1 0 1 2 2 1 0 id 1 2 3 Figure 2.7 – Contrainte de courant du stator dans l’espace des courants pour les machines à aimants permanents Étude du fonctionnement des machines synchrones... 73 van valeur crête de la tension phase neutre dans la machine. vmax tension phase - neutre maximale que peut fournir l’onduleur. Tel qu’auparavant, nous pouvons dessiner la contrainte de tension dans l’espace des courants. Il suffit de fixer le courant du rotor et de faire varier l’angle de la tension avec une amplitude constante. Nous trouvons ainsi une superficie à l’intérieur de laquelle se trouvent les points de l’espace de courant qui peuvent être atteints par le système. Il faut toujours garder à l’esprit que la représentation de la contrainte de tension dans l’espace des courants change avec la vitesse puisque les impédances de la machine changent avec la vitesse. La figure 2.8 montre la représentation de cette contrainte. Il s’agit d’une superficie d’allure cylindrique. 2 iq 0 2 2 ir 0 2 2 0 id 2 Figure 2.8 – Contrainte de tension dans le cas de machines à rotor bobiné ou hybride (Ω = 7pu) Dans le cas d’une machine à aimants permanents, cette contrainte prend la forme d’une ellipse (Fig. 2.9). Il faut noter qu’à cause de la résistance de la machine, l’ellipse n’est pas centrée par rapport à l’axe de courant direct dans le graphique. La tension maximale que peut fournir l’onduleur est liée à la tension d’alimentation Étude du fonctionnement des machines synchrones... 74 3 2 iq 1 0 1 2 2 1 0 id 1 2 3 Figure 2.9 – Contrainte de tension pour des machines à aimants permanents (Ω = 2pu) par l’équation suivante : 2cos 2π nphases vmax ≤ vdc (2.7) La valeur exacte de la tension maximale dépend de la stratégie de modulation utilisée dans l’onduleur et de sa capacité de profiter au maximum de la tension du bus d’alimentation. Le courant du rotor est limité par une valeur maximale et minimale. L’équation suivante représente ces contraintes : irmin ≤ ir ≤ irmax Où : irmin courant minimal d’excitation du rotor. irmax courant maximal d’excitation du rotor. (2.8) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 75 Dans l’espace des courants, ces contraintes sont définies par deux plans parallèles (Fig. 2.10). 2 iq 0 2 2 ir 0 2 2 0 id 2 Figure 2.10 – Limites du courant du rotor Étude du fonctionnement des machines synchrones... 76 Le système peut fonctionner seulement pour les points qui respectent toutes les contraintes en même temps. Dans l’espace des courants, cela revient à former l’intersection entre toutes les contraintes (Fig. 2.11 et 2.12). iq 0 2 2 2 0 ir 2 2 id 0 2 Figure 2.11 – Contraintes d’une machine hybride ou à rotor bobiné 3 2 iq 1 0 1 2 2 1 0 id 1 2 3 Figure 2.12 – Contraintes d’une machine à aimants permanents Nous constatons que le volume ou la superficie contenant tous les points qui respectent toutes les contraintes n’a pas une forme simple. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.2.3 77 Influence du signe du courant d’axe quadratique Si un point de fonctionnement est optimal, le courant d’axe quadratique possède toujours le même signe que le couple produit. Si le couple produit est positif, le courant d’axe quadratique est positif. Si le couple produit est négatif, le courant d’axe quadratique est négatif. Voyons d’abord un exemple simple : la machine à pôles lisses à aimants permanents. Pour une telle machine, le couple est donné par l’équation suivante : t= pnphases iq λ 2 (2.9) ≥0 Comme l’axe direct du rotor est toujours orienté pour que le flux des aimants soit positif, le courant d’axe quadratique possède nécessairement le même signe que le couple. Nous allons montrer que cette propriété est valable pour toutes les machines autres que celles à pôles lisses, si l’on considère un point de fonctionnement optimal. Par point optimal, nous entendons un fonctionnement à couple donné avec des pertes Joule minimales. Le couple d’une machine est une fonction de tous les courants de la machine. En effet, en général, le couple est donné par : t= pnphases iq (λ + Gir + (Ld − Lq ) id ) 2 (2.10) Donc, il est possible d’obtenir des points de fonctionnement tel que : λ + Gir + (Ld − Lq ) id < 0 (2.11) Mais, dans ce cas, le signe du courant d’axe quadratique s’oppose au signe du couple produit. Nous allons montrer qu’un tel point de fonctionnement n’est jamais optimal. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.2.3.1 78 Cas à étudier Il y a deux cas que nous pouvons étudier. Le premier cas est celui où le courant dans le rotor est assez négatif pour inverser le sens du flux du rotor. En plus de la condition précédente, nous obtenons alors : λ + Gir < 0 (2.12) Le deuxième cas est celui où le courant du rotor n’inverse pas le sens du flux du rotor : λ + Gir > 0 (2.13) Le premier cas est le plus simple à étudier, nous le traitons donc d’abord. 2.2.3.2 Cas avec inversion du flux du rotor En récapitulant, nous avons un point de fonctionnement qui respecte toutes les contraintes du système. Ce point de fonctionnement est défini par : λ + Gir + (Ld − Lq ) id < 0 (2.14) λ + Gir < 0 (2.15) 2 (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id ))2 ≤ vmax (2.16) i2d + i2q ≤ i2max (2.17) irmin ≤ ir ≤ irmax (2.18) Construisons un nouveau point de fonctionnement. Ce point de fonctionnement est obtenu avec les équations suivantes : Étude du fonctionnement des machines synchrones... iˆq = −iq (2.19) iˆd = −id (2.20) λ + Giˆr = −(λ + Gir ) Analyse du couple 79 (2.21) Le couple du nouveau point de fonctionnement est exactement le même que le couple du premier point tel que le montrent les équations suivantes : pnphases iq (λ + Gir + (Ld − Lq ) id ) 2 pnphases ˆ t= −iq (λ + Gir + (Ld − Lq ) id ) 2 pnphases ˆ iq (− (λ + Gir ) + (Ld − Lq ) (−id )) t= 2 pnphases ˆ ˆ ˆ iq λ + Gir + (Ld − Lq ) id t= 2 t= Analyse du courant du rotor (2.22) (2.23) (2.24) (2.25) Le module du courant du rotor du nouveau point est inférieur à celui du point original : î2r = 2λ − − ir G 2 = i2r + 4λir 4λ2 4λ + 2 = i2r + 2 (Gir + λ) ≤ i2r G G G (2.26) Nous allons supposer que, si le système est capable de fonctionner avec un flux de rotor inversé par rapport au flux des aimants, il est aussi capable de fonctionner avec le même flux mais non inversé. En effet, il ne semble pas intéressant de concevoir un système qui ne remplit pas cette condition. Analyse du courant du stator Il est facile de constater que le courant du stator du nouveau point est égal au courant du stator du point original. iˆ2d + iˆ2q = (−id )2 + (−iq )2 = i2d + i2q (2.27) Étude du fonctionnement des machines synchrones... Analyse de la tension du stator 80 La tension du stator reste aussi la même, comme le montrent les équations suivantes : rs iˆd − pΩLq iˆq 2 2 + rs iˆq + pΩ λ + Giˆr + Ld iˆd = (rs (−id ) − pΩLq (−iq ))2 + (rs (−iq ) + pΩ (−(λ + Gir ) + Ld (−id )))2 = (− (rs id − pΩLq iq ))2 + (− (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id )))2 = (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id ))2 (2.28) En conséquence, nous avons trouvé un nouveau point de fonctionnement qui possède les caractéristiques suivantes : • Le couple est égal au couple du point de fonctionnement original • Le courant du stator reste constant • Le module du courant du rotor est inférieur au point de fonctionnement original • Le module de la tension du stator reste le même Les pertes du nouveau point sont inférieures aux pertes du point original. Donc, le point original ne peut pas être un point optimal en terme de pertes. Cela montre qu’il ne serait pas intéressant pour le fonctionnement du système d’être capable d’inverser le sens du flux du rotor de la machine. Remarquons que le nouveau point de fonctionnement vérifie que : λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd > 0 (2.29) Donc, le signe du courant d’axe quadratique est le même que le signe du couple produit. 2.2.3.3 Cas sans inversion du flux du rotor La deuxième possibilité est que le point de fonctionnement optimal soit tel que : Étude du fonctionnement des machines synchrones... 81 λ + Gir + (Ld − Lq )id < 0 (2.30) λ + Gir > 0 (2.31) 2 (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ (λ + Gir + Ld id ))2 ≤ vmax irmin ≤ ir ≤ irmax (2.32) (2.33) Construisons un deuxième point de fonctionnement. Ce point de fonctionnement est obtenu avec les équations suivantes : iˆq = −iq (2.34) λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd = − (λ + Gir + (Ld − Lq )id ) iˆr = ir Analyse du couple (2.35) (2.36) Nous pouvons montrer que le couple est exactement le même : pnphases ˆ iq λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd 2 pnphases ˆ t= −iq − λ + Giˆr + (Ld − Lq )iˆd 2 pnphases iq (λ + Gir + (Ld − Lq )id ) t= 2 t= Analyse du courant du stator (2.37) (2.38) (2.39) Le courant du stator du nouveau point est inférieur au courant du stator du point original. 2 2 (λ + Gir ) − − id + (−iq )2 Ld − Lq 4 (λ + Gir ) (λ + Gir + (Ld − Lq ) id ) iˆ2d + iˆ2q = i2d + i2q + (Ld − Lq )2 <0 >0 iˆ2d + iˆ2q = (2.40) (2.41) <0 iˆ2d + iˆ2q ≤ i2d + i2q (2.42) Étude du fonctionnement des machines synchrones... Analyse du courant du rotor 82 Le nouveau point maintient exactement le même courant du rotor que dans le point original. Analyse de la tension du stator Il est possible de montrer que la tension du nou- veau point de fonctionnement est toujours inférieure à celle du point de fonctionnement original. En effet, il suffit de regarder la différence entre la tension du point original et du nouveau point et de constater que cette différence est positive. (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id ))2 − ! 2 " 2 = rs iˆd − pΩLq iˆq + rs iˆq + pΩ(λ + Giˆr + Ld iˆd ) 2 (rs id − pΩLq iq )2 − rs iˆd − pΩLq iˆq + 2 (2.43) (rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id ))2 − rs iˆq + pΩ(λ + Giˆr + Ld iˆd ) 2 ˆ ˆ (rs id − pΩLq iq ) − rs id − pΩLq iq + 2 2 ˆ ˆ ˆ (rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id )) − rs iq + pΩ(λ + Gir + Ld id ) = ! " λ + Gir −4 (r 2 + p2 Ω2 Ld Lq ) (λ + Gir + (Ld − Lq ) id ) > 0 (2.44) (Ld − Lq )2 s <0 >0 <0 2 >0 Nous avons trouvé un nouveau point de fonctionnement qui possède les caractéristiques suivantes : • Le couple est égal au couple du point de fonctionnement original • Le courant du stator est inférieur au courant du stator du point original • Le courant du rotor est égal au courant du rotor du point de fonctionnement original • Le module de la tension du stator est inférieur au point original En conséquence, les pertes du nouveau point sont inférieures aux pertes du point original. Donc, le point original ne peut pas être un point optimal en terme de pertes. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 83 Il n’est pas non plus intéressant pour maximiser le couple. Le même couple peut être obtenu avec moins de pertes. 2.2.3.4 Conclusion Nous pouvons affirmer qu’un point de fonctionnement optimal du système remplit toujours deux conditions : iq t ≥ 0 (2.45) λ + Gir + (Ld − Lq ) id > 0 (2.46) Dans l’espace des courants, nous pouvons représenter ces contraintes comme un plan qui coupe l’espace en deux pour les machines à rotor hybride ou bobiné (Fig. 2.13). Les points de fonctionnement optimaux peuvent se retrouver que d’un seul côté du plan. Dans le cas d’une machine à aimants, ceci correspond à une ligne qui divise le plan des courants en deux (Fig. 2.14). Les points de fonctionnement optimaux peuvent se retrouver que d’un seul côté de la ligne. 2 iq 0 2 Zone où peuvent se trouver les points optimaux 2 ir 0 2 2 0 id 2 Figure 2.13 – Espace des points optimaux d’une machine à rotor hybride ou bobiné (zone non couverte par des plans) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 84 3 Zone où peuvent se trouver les points optimaux 2 iq 1 0 1 2 2 1 0 id 1 2 3 Figure 2.14 – Espace des points optimaux d’une machine à aimants permanents (zone non couverte par des lignes entrecroisées) 2.2.4 Fonctionnement du système dans des quadrants opposés Si le système peut fonctionner en produisant un certain couple à une certaine vitesse (t, Ω), il est possible de fonctionner aussi en produisant le même couple à la même vitesse, mais dans la direction opposée (−t, −Ω). La figure 2.15 illustre cette propriété pour une machine à aimants permanents à pôles saillants. En rouge, nous avons dessiné le couple maximal que peut fournir la machine lorsqu’elle est alimentée par un onduleur. De la même manière, en bleu, nous avons dessiné le couple minimal que peut fournir la machine. On constate que la courbe dans le quadrant I est exactement la même que dans le quadrant III. Nous constatons la même chose pour les quadrants II et IV. C’està-dire que si la machine peut fournir une certaine puissance mécanique à une certaine vitesse, elle peut aussi fournir la même puissance mécanique à la même vitesse, mais dans le sens contraire. Nous pouvons montrer que ceci est valable pour toute machine, indépendamment de ces paramètres, en manipulant les équations de la machine : Étude du fonctionnement des machines synchrones... 85 Couple pu 3 2 1 0 -1 -2 -4 -2 0 pu 2 4 Figure 2.15 – Limites de couple maximal et de couple minimal qui montrent que le système peut fournir de la puissance mécanique dans des quadrants opposés. vd = rs id − pΩLq iq (2.47) vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ) pnphases t= [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] 2 vd = rs id − p(−Ω)Lq (−iq ) (2.48) −vq = rs (−iq ) + p(−Ω)(λ + Gir Ld id ) pnphases [(−iq ) (λ + Gir + Ld (id )) − id Lq iq ] −t = 2 vˆd = rs iˆd − pΩ̂Lq iˆq (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) (2.53) vˆq = rs iˆq + pΩ̂(λ + Giˆr + Ld iˆd ) $ pnphases # ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t̂ = iq λ + Gir + Ld id − id Lq iq 2 iˆd = id (2.56) iˆq = −iq (2.57) iˆr = ir (2.58) Ω̂ = −Ω (2.59) t̂ = −t (2.60) (2.54) (2.55) Nous constatons qu’il suffit d’inverser le sens de la vitesse et du courant d’axe quadratique pour produire exactement le même couple dans le sens contraire. Aussi, nous constatons que le module du courant du stator et le module de la tension du stator restent exactement les mêmes : Étude du fonctionnement des machines synchrones... vˆd2 + vˆq2 = vd2 + (−vq )2 iˆ2d + iˆ2q = i2d + (−iq )2 2.3 86 = vd2 + vq2 (2.61) = i2d + i2q (2.62) Calcul des limites de fonctionnement et des performances du système Le système modélisé se compose d’une machine et d’un onduleur dont les courants et la tension sont sujets à des contraintes. En conséquence, le couple maximal qui peut être fourni est lui aussi sujet à des contraintes qu’il faut déterminer. Plus encore, le couple maximal qui peut être fourni dans l’arbre de la machine varie avec la vitesse à cause de la contrainte de tension. Nous définissons les limites de fonctionnement du système à deux courbes de couple en fonction de la vitesse qui son définies comme suit (Fig. 2.16) : • Une courbe du couple maximal en fonction de la vitesse Cmax (Ω). • Une autre courbe du couple minimal en fonction de la vitesse Cmin (Ω). Couple pu 3 2 1 0 -1 -2 -4 -2 0 pu 2 4 Figure 2.16 – Limites de couple maximal et de couple minimal pouvant être produits par un système avec une machine à aimants permanents. Comme le système peut fonctionner dans des quadrants opposés, nous pouvons montrer que les deux courbes sont liées par l’équation suivante : Cmax (Ω) = −Cmin (−Ω) (2.63) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 87 Les deux courbes déterminent une zone dans le graphique de couple-vitesse. La zone correspond à tous les points qu’il est possible d’atteindre tout en respectant les limites de courant et de tension du système. Nous définissons la performance du système au rendement, au facteur de puissance, à la tension et au courant nécessaires pour atteindre, en minimisant les pertes Joule de la machine, n’importe quel point de fonctionnement à l’intérieur de la zone délimitée par les courbes des couples maximal et minimal. Par exemple, la figure 2.17 montre le rendement d’une machine à aimants permanents à l’intérieur de ses limites de fonction- Couplepu nement, en considérant uniquement les pertes Joule de la machine. 3 2 1 0 1 2 1 0.9 0.8 0.7 0.6 4 2 0 2 Vitesse pu 4 0.5 Figure 2.17 – Rendement d’une machine à aimants permanents Il est possible que les contraintes de tension et de courant ne permettent pas au moteur de fonctionner à une vitesse donnée en les respectant. Par exemple, dans plusieurs cas, la contrainte de tension de l’onduleur limite naturellement la vitesse de la machine en fonctionnement moteur. Si pour une raison quelconque, la machine tourne plus vite qu’une certaine vitesse limite, le courant dans la machine ne pourra plus être contrôlé. Dans l’espace des courants, on constate qu’il n’y a pas d’intersection entre la contrainte de courant et la contrainte de tension (Fig. 2.18). Dans ce cas, nous déterminons la tension que l’onduleur doit fournir à la machine pour réduire le plus possible l’intensité du courant dans la machine. En effet, on cherche dans la courbe qui représente la contrainte de tension, le point le plus près de l’origine. Cependant, l’intensité du courant résultant est toujours plus grande que la contrainte du courant du système car l’intersection est vide ; comme on peut le constater dans la figure précédente. Aussi, le couple est près de zéro et toujours de signe contraire à la vitesse. Donc le système fonctionne en mode générateur (Fig. 2.19). Étude du fonctionnement des machines synchrones... 88 3 2 1 iq 0 1 2 2 1 0 id 1 2 3 Figure 2.18 – Intersection vide entre la contrainte de tension et la contrainte de courant pour une machine à aimants permanents à vitesse élevée. Couple pu 3 2 1 0 -1 -2 -4 -2 0 pu 2 4 Figure 2.19 – Couple lorsqu’il n’est pas possible de contrôler le courant à l’intérieur des limites du système. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 89 Pour que cette condition apparaisse, il est nécessaire que la réaction d’induit de la machine soit plus petite que le flux à vide, comme le montre l’équation suivante : Ld imax < λ (2.64) Les sections suivantes détaillent la méthode pour obtenir la limite de fonctionnement du système, la performance du système et le fonctionnement, lorsqu’il y a une perte de contrôle du courant de la machine. 2.3.1 Calcul de la limite de fonctionnement La limite de fonctionnement du système correspond au couple maximal et au couple minimal que peut fournir le système en fonction de la vitesse. Ce problème peut être posé comme un problème d’optimisation qui s’énonce comme suit : • Maximiser le couple de la machine tout en respectant les limites de courant et de tension du système et les équations de la machine. • Minimiser le couple de la machine tout en respectant les limites de courant et de tension du système et les équations de la machine. Notons que dû au fait que les couples maximal et minimal sont liés par une simple équation, il suffit de résoudre seulement un des deux problèmes d’optimisation. Nous avons choisi de résoudre le premier problème. L’énoncé du problème de maximisation du couple se traduit dans le problème d’optimisation suivant : Étude du fonctionnement des machines synchrones... maxt id iq ir vd = rs id − pΩLq iq vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ) pnphases [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] t= 2 i2d + i2q ≤ i2max 2 vd2 + vq2 ≤ vmax irmin ≤ ir ≤ irmax 90 (2.65) (2.66) (2.67) (2.68) (2.69) (2.70) (2.71) Les équations précédentes indiquent qu’il faut maximiser le couple de la machine en utilisant comme variables les courants d’axe direct, d’axe quadratique et du rotor. Les contraintes du problème sont : • Les équations de la machine, qui établissent la relation entre les courants et le couple, ainsi qu’entre les courants et les tensions. • Les limites de courant et de tension du système. Pour déterminer la limite de fonctionnement de la machine, il faut développer une méthode permettant de trouver l’optimum global du problème d’optimisation ou déterminer que le problème ne possède pas de solution. 2.3.1.1 Méthode de résolution du problème d’optimisation Il existe plusieurs méthodes pour résoudre des problèmes d’optimisation comme celui qui nous intéresse. Les plus courantes sont des méthodes itératives. L’avantage de ces méthodes est qu’elles sont très générales et peuvent s’appliquer à une multitude de problèmes différents. Cependant, elles peuvent trouver un optimum local et la convergence n’est pas toujours assurée. Ces deux désavantages rendent les méthodes itératives indésirables et nous obligent à développer une méthode particulière. Dans ce travail, nous avons développé une méthode d’optimisation qui est capable de : Étude du fonctionnement des machines synchrones... 91 • Déterminer si le problème de maximisation du couple possède une solution. • Trouver l’optimum global dans le cas où le problème possède une solution. La méthode développée consiste à résoudre une série de sous problèmes d’optimisation en relation avec le problème qui nous intéresse. Nous appelons ces problèmes : sous problèmes d’optimisation modifiés. Ces sous problèmes sont obtenus en modifiant les contraintes du problème d’optimisation original. Une fois que ces sous problèmes d’optimisation modifiés ont été résolus, il est possible de trouver l’optimum global du problème qui nous intéresse. Un sous problème d’optimisation modifié est plus facile à résoudre que le problème original. En effet, nous allons montrer que pour résoudre chaque sous problème d’optimisation modifié, il est nécessaire de trouver les racines d’un polynôme caractéristique. Même si les sous problèmes d’optimisations modifiées sont parfois nombreux, la résolution des différents polynômes reste rapide. Dans la section suivante nous montrerons à titre d’exemple l’un des sous problèmes d’optimisation modifiés. Il n’est cependant pas possible de détailler la solution de chaque sous problème d’optimisation modifié car ils sont trop nombreux. Ensuite, nous allons résumer tous les sous problèmes d’optimisation modifiés avec leurs principales caractéristiques. On expliquera par la suite comment on peut trouver l’optimum global qui maximise le couple du système à partir de la résolution de ces problèmes. 2.3.1.2 Exemple de résolution d’un sous problème d’optimisation modifié Cette section montre la méthode d’optimisation utilisée pour trouver l’optimum d’un sous problème d’optimisation modifié en l’illustrant par un exemple. Le sous problème est le suivant : • Maximiser le couple, avec le courant d’excitation minimal en utilisant exactement la tension maximale au stator et en ignorant la contrainte du courant du stator du système. • Trouver un maximum local du problème d’optimisation. Ce maximum local est tel que son couple est le plus grand parmi les optimums locaux qui respectent la contrainte de courant du stator qui a d’abord été ignorée. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 92 Ce problème se traduit par les équations suivantes : max t id iq ir vd = rs id − pΩLq iq vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ) pnphases t= [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] 2 2 vd2 + vq2 = vmax ir = irmin (2.72) (2.73) (2.74) (2.75) (2.76) (2.77) Il y a trois modifications par rapport au problème d’optimisation original : • Il n’y a pas de contrainte de courant de stator. Elle est prise en compte à la fin. • La tension de la machine est fixée à sa valeur maximale. • Le courant du rotor est fixé à sa valeur minimale. Comme ce sous problème d’optimisation modifié possède seulement des contraintes d’égalité, il est possible, avec des manipulations algébriques, d’éliminer toutes les variables sauf une. En effet, en utilisant les équations de tension de la machine, il est possible d’éliminer les tensions des deux axes : maxt id iq ir pnphases [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] 2 = (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ))2 t= 2 vmax ir = irmin Nous pouvons facilement éliminer le courant du rotor qui est une constante : (2.78) (2.79) (2.80) (2.81) Étude du fonctionnement des machines synchrones... maxt (2.82) id iq pnphases [iq (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iq ] 2 = (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Girmin Ld id ))2 t= 2 vmax 93 (2.83) (2.84) Nous pouvons aussi éliminer le couple : max id iq pnphases [iq (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iq ) 2 2 vmax = (rs id − pΩLq iq )2 + (rs iq + pΩ(λ + Girmin Ld id ))2 (2.85) (2.86) La contrainte d’égalité permet quant à elle d’éliminer un courant. Par exemple, le courant d’axe quadratique est obtenu en fonction du courant d’axe direct : iqs1 (id ) = + % −2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin ))+ (2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin )))2 −4(rs2 +(pΩLq )2 )((rs id )2 +(pΩ(Ld id +(λ+Girmin )))2 ) 2 rs2 + (pΩLq )2 (2.87) iqs2 (id ) = − % −2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin ))+ (2rs pΩ((Ld −Lq )id +(λ+Girmin )))2 −4(rs2 +(pΩLq )2 )((rs id )2 +(pΩ(Ld id +(λ+Girmin )))2 ) 2 rs2 + (pΩLq )2 (2.88) Comme, il s’agit d’une équation quadratique, il y a deux solutions (s1 et s2). Finalement, le courant d’axe quadratique est éliminé du problème, mais on obtient un problème d’optimisation pour chacune des deux valeurs de courant quadratique : pnphases (iqs1 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs1 (id )) id 2 pnphases max (iqs2 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs2 (id )) id 2 max (2.89) (2.90) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 94 Chaque solution correspond à un problème d’optimisation d’une fonction avec une seule variable, soit le courant d’axe direct. Nous pouvons trouver les optimums locaux en utilisant la dérivée de chaque fonction par rapport au courant d’axe direct comme suit : ∂ pnphases ∂ pnphases 2 2 (iqs1 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs1 (id )) =0 ∂id (iqs2 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs2 (id )) =0 ∂id (2.91) (2.92) Ces équations nous permettent de trouver tous les optimums locaux. Un désavantage de cette formulation est l’apparition des racines carrées dans le numérateur et dans le dénominateur. Elles sont éliminées du problème en utilisant le produit des deux équations précédentes : ∂ pnphases 2 (iqs1 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs1 (id )) ∂id ∂ pnphases 2 ∗ (iqs2 (id ) (λ + Girmin + Ld id ) − id Lq iqs2 (id )) = 0 (2.93) ∂id Notons que chaque racine du produit est nécessairement une racine de l’un des deux facteurs. En simplifiant l’équation et en considérant seulement le numérateur, nous obtenons un polynôme de quatrième dégrée sur le courant d’axe direct. a0 + a1 id + a2 i2d + a3 i3d + a4 i4d = 0 (2.94) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 95 a0 = 36p2 p2 Ω2 L2q + rs2 2 rs − 4p2 λ2 Ω2 − G2 p2 i2rmin Ω2 − 4Gp2 λirmin Ω2 + vs2 vs2 + 2 L2q 2p3 λ2 Ω3 + Gp3 λirmin Ω3 − pvs2 Ω L2d − 2Lq p2 Ω2 p2 λ2 Ω2 − vs2 2p2 λ2 Ω2 + Gp2 λirmin Ω2 − vs2 L2q + rs2 vs2 − 3p2 λ2 Ω2 − G2 p2 i2rmin Ω2 − 3Gp2 λirmin Ω2 + vs2 Ld + L2q p2 λ2 Ω2 − vs2 4 2 4 p λ Ω − p2 Ω2 vs2 L2q + (2.95) rs2 p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 2Gp2 λirmin Ω2 − vs2 a1 = 72p2 p2 Ω2 L2q + rs2 2 2 2 2 p Ω p Ω (4λ + Girmin )L2q 2p2 λ2 Ω2 + Gp2 λirmin Ω2 − vs2 − 2(2λ + Girmin )rs2 vs2 L3d + p2 Ω2 Lq p2 Ω2 − 10p2 Ω2 λ3 + 7vs2 λ + Girmin vs2 − 4p2 λ2 Ω2 L2q + rs2 4p2 Ω2 λ3 + G2 p2 Ω2 i2rmin λ + 7vs2 λ + 4Girmin p2 λ2 Ω2 + vs2 L2d + 6 3 6 3 p λ Ω − p4 λΩ4 vs2 L4q + p2 Ω2 rs2 G2 p2 λΩ2 i2rmin + 2G p2 λ2 Ω2 − 2vs2 irmin − λ p2 λ2 Ω2 + 4vs2 L2q − (λ + Girmin )rs4 vs2 Ld + Lq rs2 (λ + Girmin )rs2 p2 λ2 Ω2 + Gp2 λirmin Ω2 + vs2 − (2.96) p2 Ω2 (λ + 2Girmin )L2q p2 λ2 Ω2 − vs2 Étude du fonctionnement des machines synchrones... 96 a2 = 36p2 p2 Ω2 L2q + rs2 2 6 2 6 Lq 24p λ Ω + G2 p6 i2rmin Ω6 + 12Gp6 λirmin Ω6 − 4p4 vs2 Ω4 − 4p2 Ω2 rs2 vs2 L4d + 2p2 Ω2 Lq − 18p4 λ2 Ω4 − 5Gp4 λirmin Ω4 + 4p2 vs2 Ω2 L2q + rs2 12p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 8Gp2 λirmin Ω2 + 4vs2 L3d + 6 2 6 13p λ Ω − 4p4 Ω4 vs2 L4q + p2 Ω2 rs2 − 19p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 − 2Gp2 λirmin Ω2 − 8vs2 L2q + rs4 4p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 4Gp2 λirmin Ω2 − 4vs2 L2d + 2Lq rs2 − 3p4 λ2 Ω4 − 4Gp4 λirmin Ω4 + 4p2 vs2 Ω2 L2q + rs2 3p2 λ2 Ω2 + G2 p2 i2rmin Ω2 + 5Gp2 λirmin Ω2 + 4vs2 Ld + rs2 4 p4 λ2 Ω4 − p2 Ω2 vs2 L4q − rs2 7p2 λ2 Ω2 + 8Gp2 λirmin Ω2 + 4vs2 L2q + (λ + Girmin )2 rs4 (2.97) a3 = 144p2(Ld − Lq ) p2 Ld Lq Ω2 + rs2 p2 Ω2 L2q + rs2 4 p (4λ + Girmin )L3d Lq Ω4 − 2p2 λL2q rs2 Ω2 + p2 (2λ + Girmin )Ld Lq rs2 Ω2 + p2 L2d (2λ + Girmin )rs2 − 3p2 λΩ2 L2q Ω2 + (λ + Girmin )rs4 (2.98) 2 a4 = 144p2 (Ld − Lq )2 p2 Ω2 L2d + rs2 p2 Ld Lq Ω2 + rs2 p2 Ω2 L2q + rs2 (2.99) Chaque racine du polynôme correspond à un optimum local de l’un des deux problèmes d’optimisation. Chaque racine peut être un maximum local ou un minimum local. L’avantage de cette manipulation du problème est qu’il existe des algorithmes permettant de trouver toutes les racines d’un polynôme. Comme chaque optimum local correspond à une racine d’un polynôme, nous pouvons nous assurer de trouver tous les optimums locaux du problème d’optimisation. Finalement, si nous connaissons tous les optimums locaux, il est facile de trouver parmi eux celui qui à la fois maximise le couple et respecte la contrainte manquante, c’est-à-dire la contrainte du courant du stator. Pour trouver les racines de ce polynôme, nous utilisons des formules et des algorithmes connus. Les algorithmes et les formules sont les suivantes : Étude du fonctionnement des machines synchrones... 97 • Les formules de Ferrari telles qu’implémentées dans la bibliothèque Matpack [18]. • La variable id est remplacée par 1 id lorsque nécessaire pour augmenter la stabilité numérique. • Si nécessaire, on utilise l’algorithme de Jenkins-Traub pour trouver les solutions [19]. • Encore, dans certains cas, on utilise l’algorithme de Newton sur plusieurs variables de sorte à améliorer les solutions. Nous appliquons ces quatre méthodes car la précision numérique d’une seule méthode ne permet pas toujours d’obtenir les racines du polynôme avec une bonne précision. Nous pouvons ainsi assurer une bonne qualité numérique des solutions et vérifier que toutes les racines sont trouvées. Cependant, il est toujours possible de trouver des combinaisons de paramètres de machine et de vitesses de fonctionnement qui causent des problèmes. Ceci s’explique par la précision numérique des nombres en point flottant des ordinateurs qui est limitée. Une fois que les racines du polynôme sont obtenues, nous calculons pour chaque racine, le courant d’axe quadratique (avec l’équation de tension) et le courant du rotor (imposé à sa valeur minimale) pour obtenir le point de fonctionnement du système. Pour chaque optimum local, nous pouvons comparer lequel d’entre eux donne le couple le plus élevé tout en respectant la contrainte du courant du stator. 2.3.1.3 Liste des sous problèmes d’optimisation modifiés à résoudre Dans la section précédente, nous avons montré un exemple de sous problème d’optimisation modifié. Un sous problème d’optimisation modifié est obtenu en transformant quelques contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité et en ignorant les autres contraintes. Nous pouvons construire un tableau pour énumérer toutes les combinaisons possibles : Étude du fonctionnement des machines synchrones... Numéro problème modifié du Contrainte tension de Contrainte du courant stator stator 98 de Contrainte mi- Contrainte du nimale de cou- maximale rant du rotor courant Dégré du de polynôme du trouvé rotor 1 Oui 2 Non Oui 3 Oui 4 Non Oui Oui Oui 6 Oui 7 Non 8 Non Non 5 Non Oui Oui 4 4 Non 4 Non 4 Non 4 Oui 4 Non Oui 4 Non Oui 4 Tableau 2.1 – Liste de sous problèmes modifiés pour la maximisation du couple Étude du fonctionnement des machines synchrones... 99 Notons que certaines combinaisons sont absentes, par exemple, le problème avec la contrainte de courant du stator seulement. Ce problème n’apparaı̂t pas puisque le couple n’est pas limité dans ce cas. En effet, il suffit d’incrémenter le courant du rotor indéfiniment pour incrémenter le couple, puisque la contrainte du courant du rotor est ignorée. Donc, on peut incrémenter le couple autant qu’on le souhaite. Dans le cas d’une machine à aimants permanents qui ne possède pas de bobinage au rotor, nous avons seulement trois problèmes à résoudre (6, 7 et 8). Dans ce cas, les limites supérieure et inférieure du courant d’excitation du rotor sont toujours égales à zéro : 0 = irmin ≤ ir ≤ irmax = 0 2.3.1.4 (2.100) Relation entre les sous - problèmes d’optimisation modifiés et le problème d’optimisation principal Le but de la méthode développée est toujours de trouver l’optimum global du problème principal, qui consiste à maximiser le couple. Nous allons montrer la relation entre les sous problèmes d’optimisation modifiés et le problème d’optimisation original. Nous pouvons modifier le problème d’optimisation original en utilisant des variables de relaxation des contraintes d’inégalité (u1 , u2, u3 , u4 ). Les variables de relaxation transforment les contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité. La formulation correspond à : Étude du fonctionnement des machines synchrones... max id iq ir u1 u2 u3 u4 t 100 (2.101) vd = rs id − pΩLq iq vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ) pnphases [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] t= 2 i2d + i2q + u21 = i2max 2 vd2 + vq2 + u22 = vmax (2.102) (2.103) (2.104) (2.105) (2.106) ir = irmin + u23 (2.107) ir = irmax + u24 (2.108) Comme le problème d’optimisation possède maintenant seulement des contraintes d’égalité, il est possible d’utiliser des multiplicateurs de Lagrange (h1 , h2 , etc). Les multiplicateurs de Lagrange transforment le problème d’optimisation avec contraintes d’égalité en un problème d’optimisation sans contrainte. Dans ce cas, la solution au problème d’optimisation avec contraintes correspond à la solution du problème sans contraintes : max id iq ir u1 u2 u3 u4 2 t + h1 (i2d + i2q + u21 − i2max ) + h2 (vd2 + vq2 + u22 − vmax )+··· (2.109) Dans l’équation précédente, on n’a pas continué à écrire les termes correspondant aux autres contraintes d’égalité car elles n’illustrent pas le point en discussion. Pour trouver les optimums locaux, il faut trouver les racines de la dérivée de la fonction par rapport à chacune des variables. En nous intéressant aux variables de relaxation, nous obtenons des équations qui établissent que le produit entre la variable de relaxation et le multiplicateur de Lagrange associé à une même contrainte est égal à zéro. Par exemple, nous avons pour la contrainte de courant du stator : 2u1h1 = 0 (2.110) Donc, si la variable de relaxation est différente de zéro, nécessairement le multiplicateur de Lagrange respectif est zéro et vice versa. Dans le cas où le multiplicateur de Étude du fonctionnement des machines synchrones... 101 Lagrange est nul, le point de fonctionnement et la valeur du couple maximal ne sont pas affectés par la valeur de la contrainte associée. 2.3.1.5 Recherche de l’optimum global du problème original Nous pouvons affirmer que la solution du problème d’optimisation original est nécessairement un optimum local d’au moins l’un des sous problèmes d’optimisation modifiés. Les sous problèmes d’optimisations modifiés sont obtenus en transformant certaines des contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité. Ce qui est équivalant à imposer quelles sont les variables de relaxation différentes de zéro et quelles ne le sont pas. Par exemple, le problème d’optimisation numéro 1, consiste à supposer que : u2 = 0 (2.111) u1 = 0 (2.112) u3 = 0 (2.113) u4 = 0 (2.114) L’optimum global du problème possède une combinaison particulière de valeurs des variables de relaxation. En particulier, en nous intéressant aux variables de relaxation qui sont égales à zéro, nous pouvons constater que l’optimum global remplit les conditions d’optimum local du sous problème d’optimisation modifié qui assume lui-même des conditions d’égalité sur les contraintes respectives. Les huit sous problèmes d’optimisations modifiées considèrent toutes les combinaisons possibles des valeurs des variables de relaxation. Aussi, pour chaque sous problème d’optimisation modifié, la méthode de solution trouve tous les optimums locaux. En conséquence, si nous considérons seulement les optimums locaux de chaque sous problème d’optimisation modifié qui respectent toutes les contraintes du problème original, nous trouverons nécessairement l’optimum global recherché. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.3.1.6 102 Méthode pour trouver l’optimum global du couple La méthode consiste à : • Chercher tous les optimums locaux pour chaque sous problème d’optimisation modifié. • Pour chaque optimum local trouvé, vérifier s’il remplit les contraintes du problème original. Retenir seulement ces solutions. • Parmi les solutions retenues, conserver seulement celle qui donne le couple le plus élevé. 2.3.2 Calcul de performances pour un point de fonctionnement quelconque Lorsqu’on veut déterminer le fonctionnement du système dans un point de fonctionnement qui se trouve à l’intérieur de la zone délimitée par les courbes de couple maximal et de couple minimal, il est nécessaire de résoudre un autre problème d’optimisation : Minimiser les pertes du système tout en produisant un couple de référence et tout en respectant les équations de la machine et les limites de fonctionnement du système. L’énoncé du problème pour la minimisation des pertes se traduit dans le problème d’optimisation suivant : Étude du fonctionnement des machines synchrones... nphases rs (i2d + i2q ) + rr i2r id iq ir 2 min vd = rs id − pΩLq iq vq = rs iq + pΩ(λ + Gir Ld id ) pnphases [iq (λ + Gir + Ld id ) − id Lq iq ] t= 2 i2d + i2q ≤ i2max 2 vd2 + vq2 ≤ vmax 103 (2.115) (2.116) (2.117) (2.118) (2.119) (2.120) irmin ≤ ir ≤ irmax (2.121) (2.122) t = tref Si le couple de référence est négatif, nous pouvons utiliser un couple de référence positif. En effet, il suffit d’inverser les signes de la vitesse et du couple en profitant que le système peut fonctionner dans des quadrants opposés. Ce changement n’affecte pas la valeur de la tension, ni celle de courant du stator, ni celle de courant du rotor. Nous pouvons arranger les équations en utilisant de nouvelles variables et supposer que le couple de référence est toujours plus grand ou égal à zéro : ˆ = −tref > 0 tref 2.3.2.1 (2.123) iˆq = −iq (2.124) Ω̂ = −Ω (2.125) Méthode de résolution et liste des sous problèmes modifiés qu’il faut résoudre La méthode de solution de ce problème consiste aussi à résoudre une série de sous problèmes d’optimisation modifiés de la même manière qu’il a été montré dans la section précédente. Ces sous problèmes transforment quelques contraintes d’inégalité en contraintes d’égalité. Les combinaisons sont différentes dans le cas de maximisation du couple. Nous présentons un tableau pour énumérer toutes les combinaisons possibles : Étude du fonctionnement des machines synchrones... Numéro problème modifié du Contrainte tension de Contrainte du courant stator stator 1 104 de Contrainte Contrainte Dégrée du du de courant de courant polynôme minimale rotor du maximale rotor Non 2 Oui 3 Non 4 Oui 5 Non 6 Oui 7 Non Non 10 Non 12 Non 4 Non 4 Non 4 Non 4 Oui 4 Oui 4 Oui 4 Non Oui Non Oui Non Oui 12 Oui Oui 8 9 4 Non Oui du trouvé Non Tableau 2.2 – Liste des sous problèmes d’optimisation modifiés pour déterminer la performance du système Étude du fonctionnement des machines synchrones... 105 À chaque sous problème d’optimisation modifié correspond un polynôme caractéristique qui nous permet de trouver tous les optimums locaux de chaque sous problème d’optimisation modifié. Pour trouver ce polynôme, on utilise la même méthode que l’on a illustrée précédemment. 2.3.2.2 Méthode pour trouver l’optimum global des pertes de la machine La méthode que nous suivons est exactement la même que pour le cas de maximisation du couple : • Chercher tous les optimums locaux de chaque sous problème d’optimisation modifié. • Pour chaque optimum local trouvé, vérifier s’il remplit les contraintes du problème original. Retenir seulement ces solutions. • Parmi les solutions retenues, conserver seulement celle qui produit les pertes Joule les plus faibles. 2.4 Cas spéciaux avec des paramètres nuls Dans les deux sections précédentes, nous avons montré la méthode pour obtenir l’optimum global de deux problèmes d’optimisation : le couple maximal du système et la performance du système. La méthode nécessite d’obtenir tous les optimums locaux des différents sous problèmes d’optimisation modifiés. Ceci peut être réalisé en trouvant les racines d’un polynôme qui caractérise chaque sous problème d’optimisation modifié. Malgré la simplicité apparente, nous avons trouvé certaines difficultés lors de l’implémentation numérique. En effet, le polynôme qui caractérise chaque sous problème d’optimisation modifié peut changer de structure si les paramètres de la machine ou les conditions de fonctionnement changent. Les exemples suivants montrent quelques particularités trouvées. • Si la résistance du rotor est égale à zéro, le polynôme change. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 106 ◦ Les coefficients impairs du polynôme peuvent devenir nuls ◦ Le polynôme peut avoir un degré inférieur à 4 • Si la résistance du stator est égale à zéro, le polynôme change ◦ Dans le cas où la machine possède un rotor lisse ◦ Les coefficients impairs du polynôme peuvent devenir nuls ◦ Le polynôme peut avoir un degré inférieur à 4 • Si la vitesse mécanique est égale à zéro ◦ Le problème numéro 1 ne possède pas de solution ◦ Les polynômes changent • S’il n’y a pas d’aimant dans le rotor ◦ Les coefficients impairs du polynôme sont nuls Lorsque le polynôme change de structure, par exemple de degré, il est nécessaire de programmer un algorithme différent pour résoudre le sous problème d’optimisation modifié. Dans le cas contraire il peut apparaı̂tre des problèmes d’imprécision numérique. Aussi, par exemple, dans le cas de machines à pôles saillants, il est normal de trouver dans le dénominateur des formules la différence entre les inductances d’axe direct et quadratique. Il n’est pas possible d’utiliser une telle formule pour une machine à pôles lisses, compte tenu de l’impossibilité de diviser par zéro. En conséquence, chaque sous problème d’optimisation modifié possède différentes versions. D’abord, il y a une version différente pour chaque combinaison spéciale liée aux paramètres de la machine. Le Tableau 2.3 montre que, pour chaque problème d’optimisation, il y a en principe 16 versions différentes. Aussi, pour chaque cas spécial, on doit tenir compte de six conditions de fonctionnement différentes (Tableau 2.4). Parfois, il est possible de réduire la quantité de cas spéciaux en observant que certains problèmes n’ont pas de solution. Aussi, parfois, il n’est pas nécessaire de programmer des cas spéciaux pour certains problèmes lorsque la vitesse mécanique est nulle. Finalement, si l’on maximise le couple, on n’a pas besoin de la valeur de la résistance du rotor, ni de la valeur du couple de référence, ce qui évite d’avoir 32 cas spéciaux à traiter. Cependant, la quantité de cas spéciaux reste toujours élevée. Il faut tenir compte que cette multiplication de cas spéciaux est la même pour chaque sous problème d’opti- Étude du fonctionnement des machines synchrones... Cas spé- rs = 0 rrot = 0 107 λ=0 Ld = Lq = L cial 1.1 Non 1.2 Oui 1.3 Non Non Oui 1.4 Non 1.5 Oui 1.6 Oui 1.7 Non Non Oui Non Non Non Oui Non Oui Non 1.8 Oui Non 1.9 Non Oui 1.10 Oui 1.11 Non Non Oui 1.12 Non 1.13 Oui 1.14 Oui 1.15 Non Oui Non Oui Oui Non Oui Non Oui Oui 1.16 Oui Tableau 2.3 – Liste de cas spéciaux des paramètres du système Fonctionnement spécial Ω=0 I Oui II Non III Oui V Non Ω<0 Tref = 0 Non Oui Non IV VI Ω>0 Non Oui Non Oui Non Non Non Oui Oui Oui Tableau 2.4 – Liste de cas spéciaux des conditions de fonctionnement du système Étude du fonctionnement des machines synchrones... 108 misation modifié. Nous pouvons programmer chaque cas différent. Cependant, le travail a besoin d’organisation. 2.5 Vérification de la précision numérique Lors de la programmation des algorithmes, il est toujours possible de commettre des erreurs de frappe et des erreurs logiques. Compte tenu de la quantité importante de sous problèmes d’optimisation modifiés, et compte tenu qu’il faut programmer pour chacun un algorithme de solution, il est fort probable de commettre des erreurs de programmation pendant le développement du logiciel. En conséquence, nous avons développé une méthode pour éliminer le plus possible les erreurs de frappe et les erreurs logiques. La méthode possède deux parties : • Une partie qui s’applique lors de la programmation pour éviter les erreurs de frappe. • Une partie qui s’applique pour vérifier la correction des résultats numériques et la logique. 2.5.1 Méthode pour vérifier l’exactitude des formules Chaque problème d’optimisation compte trois parties principales : • La première calcule les coefficients du polynôme caractéristique. • La deuxième calcule les racines du polynôme. • La troisième calcule, à partir de chaque racine du polynôme, tous les courants et toutes les tensions du système pour trouver l’optimum à retenir. La première et la troisième partie nécessitent l’utilisation de formules pour réaliser les calculs. Nous appliquons la procédure suivante pour programmer ces formules : • Les équations de la machine sont écrites dans le logiciel Mathematica. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 109 • Les équations sont manipulées en utilisant différentes commandes dans le logiciel de sorte à obtenir les formules souhaitées. • Les formules obtenues sont transformées en langage C par des commandes dans le logiciel Mathematica. • Le code obtenu est copié directement, sans manipulation, sur l’algorithme de solution. L’avantage de cette méthode est que : • La correction et l’exactitude des équations de la machine sont faciles à vérifier. • Les manipulations des équations dans le logiciel évitent les erreurs algébriques, tant que le logiciel utilisé n’a pas lui-même des erreurs. En ce sens, le logiciel Mathematica possède une très bonne réputation. • Comme le code en langage C est généré directement dans l’ordinateur, nous évitons toute erreur de frappe des formules. Aux trois avantages énoncés, il s’ajoute un autre avantage moins évident. Dans certains cas, la complexité des formules empêche absolument la possibilité de les développer autrement. En effet, le code final compte des formules qui dépassent cent mille lignes. Il n’est pas possible de penser qu’il serait possible de programmer ces formules autrement. Donc, la méthode non seulement évite des erreurs, mais elle permet aussi d’explorer des problèmes qui ne peuvent pas être résolus autrement. 2.5.2 Méthode pour vérifier l’exactitude des résultats Même si les formules peuvent être correctes, les résultats numériques obtenus à partir de celles-ci ne le sont peut-être pas. Ceci est causé par la précision limitée des nombres en point flottant. En effet, il est possible que des expressions qui sont algébriquement égales donnent des résultats numériques différents. La cause est que l’algèbre de points flottants n’est pas commutative ni distributive, donc l’ordre des opérations affecte le résultat numérique final. En conséquence, nous avons développé une méthode pour nous assurer que les résultats numériques obtenus sont corrects dans la plupart des cas. La méthode consiste à programmer une fonction étalon dans le langage du logiciel Étude du fonctionnement des machines synchrones... 110 Mathematica pour chaque sous problème d’optimisation modifié. La sortie de cette fonction est ensuite comparée à la sortie de la fonction programmée en C pour vérifier que les deux soient bien égales. 2.5.2.1 Programmation d’une fonction étalon équivalente La fonction étalon est programmée dans le langage du logiciel Mathematica. Les fonctions possèdent une structure simple. Ceci permet toujours de suivre la même procédure pour la programmer, sans égard au sous problème d’optimisation modifié que l’on traite. La procédure pour programmer la fonction équivalente est la suivante : • Les équations électriques de la machine sont écrites dans le logiciel Mathematica. • En utilisant des manipulations algébriques sur l’ordinateur, on obtient le système d’équations avec multiplicateurs de Lagrange qui donne les optimums locaux du problème d’optimisation. • On programme sur Mathematica une fonction. Celle-ci reçoit les paramètres électriques et les limites du système. Elle résout le système d’équations avec 200 chiffres de précision. • On sélectionne l’optimum local qui maximise le couple ou qui minimise les pertes et qui à la fois respecte toutes les contraintes du système. Notons qu’il suffit de bien vérifier que les équations électriques de la machine sont correctes pour s’assurer que le système d’équations soit correct. Compte tenu que le langage de programmation est de très haut niveau, la fonction résultante possède une structure très simple, ce qui facilite la vérification de la fonction. Aussi, la fonction résultante possède une logique complètement différente de celle du langage C. Ceci évite de générer la même erreur dans la fonction étalon et dans la fonction en langage C. Le système d’équations est toujours résolu avec 200 chiffres de précision. Aussi, les algorithmes de résolution des systèmes d’équations sont conçus pour atteindre et maintenir la précision requise. Ces arguments nous poussent à utiliser cette fonction comme étalon de la fonction en langage C. Cependant, autant d’avantages ont un prix à payer. La vitesse de résolution d’un système d’équations est très lente par rapport à la version en langage C. Donc, ces fonctions programmées sur Mathematica peuvent servir à vérifier les fonctions en langage Étude du fonctionnement des machines synchrones... 111 C, mais ne peuvent pas les remplacer. 2.5.2.2 Méthode de comparaison de la fonction étalon et celle en langage C Une fois que nous avons une fonction équivalente en Mathematica, nous devons comparer sa sortie à la fonction respective en langage C. Il n’est pas possible de réaliser une quantité infinie d’essais, donc nous avons choisi la méthode suivante : • Générer des valeurs aléatoires de paramètres du système (inductances, résistances, contraintes de courant et de tension) et des conditions de fonctionnement (couple de référence et vitesse) • Obtenir le résultat de la fonction en langage C • Obtenir le résultat de la fonction en langage Mathematica • Comparer les deux résultats • Répéter l’essai 1000 fois en conservant les paramètres d’entrée qui génèrent la plus grande différence Nous avons réalisé ce même essai avec tous les cas spéciaux et avec toutes les conditions de fonctionnement. Ceci signifie que toutes les fonctions sont essayées au moins six mille fois. Lorsque la différence entre les deux fonctions n’est pas acceptable, nous procédons à la révision du code en langage C et en langage Mathematica. Dans les deux cas, nous avons cherché des erreurs de programmation ou des problèmes de précision numérique. Une fois corrigés, nous avons répété l’essai jusqu’à l’obtention de résultats acceptables. Parfois, pour atteindre la précision requise, on a dû reprogrammer au complet certaines fonctions. Évidemment, la procédure nous assure seulement que les deux fonctions en Mathematica et en C sont équivalentes. La méthode a le désavantage qu’il faut absolument que la fonction en Mathematica soit correcte. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.5.2.3 112 Résultats de la comparaison Une fois que toutes les erreurs de programmation sont corrigées, nous pouvons fournir un graphique qui représente l’erreur entre les deux fonctions. Le sous problème d’optimisation modifié consistant à minimiser les pertes en produisant le couple désiré et en respectant exactement la tension d’alimentation s’est montré spécialement difficile à résoudre avec une bonne précision. La version définitive pour une machine à pôles saillants et à aimants permanents donne une distribution d’erreur toujours inférieure à 10-6 par rapport aux solutions trouvées avec 200 chiffres de précision (Fig. 2.20). Nous considérons que ce résultat est suffisamment précis pour le travail que nous voulons réaliser. Probabilité 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 Erreur Figure 2.20 – Distribution de l’erreur numérique d’une fonction pour résoudre un problème d’optimisation modifié. 2.6 Normalisation des équations de la machine Pour améliorer la précision des résultats, il est intéressant de normaliser les paramètres électriques de la machine. Le but de la normalisation dans notre cas est d’éviter qu’à l’intérieur des paramètres du système apparaissent à la fois de trop grandes et de trop petites quantités. En effet, une telle combinaison n’est pas avantageuse pour atteindre une bonne précision numérique. Les paramètres qui sont grands dans le système sont en général : la tension maximale, le courant maximal et la vitesse. Les quantités petites sont la résistance et les inductances de la machine. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 113 Comme le système fonctionne à vitesse variable, il est nécessaire de choisir une fréquence nominale en plus d’une tension et d’un courant nominal. Ensuite, les équations de normalisation utilisées dans les systèmes de puissance s’appliquent. Les valeurs de courant et de tension qui semblent convenir pour normaliser les paramètres de la machine sont : le courant maximal du système et la tension maximale du système. Pour la fréquence, il y a deux options : • Utiliser une vitesse nominale déduite à partir du cahier des charges. • Utiliser comme vitesse nominale la vitesse la plus élevée permettant de fournir le couple maximal [20]. Par exemple, la figure 2.21 montre un cahier des charges à puissance constante (bleue) et la caractéristique de couple-vitesse maximal d’une machine qui remplit le cahier des charges (rouge). La première définition utilise la vitesse nominale du cahier des charges pour normaliser les équations. La deuxième utilise la vitesse où le couple maximal de la machine commence à diminuer. Couple pu 2.5 Vitesse nominale à plus grand couple 0.671 2 1.5 Vitesse nominale cahier des charges 1 1 0.5 1 2 3 pu 4 5 Figure 2.21 – Deux définitions de vitesse nominale La première option est avantageuse si le cahier des charges permet de définir une vitesse nominale facilement. Cependant, lors d’un processus d’optimisation, les valeurs normalisées ne seront pas nécessairement les plus avantageuses pour l’obtention d’une bonne précision numérique. L’avantage de la deuxième option consiste en ce qu’elle donne toujours des valeurs normalisées avantageuses pour l’obtention d’une bonne précision numérique. Cependant, pour utiliser cette méthode on a d’abord besoin de résoudre une équation avec des Étude du fonctionnement des machines synchrones... 114 valeurs non normalisées. En conséquence, il y a toujours la possibilité d’imprécisions. Dans l’exemple de la figure précédente, les vitesses nominales obtenues avec les deux méthodes ne sont pas trop différentes car le système remplit le cahier des charges. Cependant, ceci n’est pas toujours le cas. Les deux vitesses nominales peuvent avoir une différence importante qui peut affecter la qualité des résultats numériques obtenus. Sans égard à l’option choisie pour déterminer une fréquence nominale, les équations pour déterminer les différentes valeurs de base sont les suivantes : vmax imax Zbase = pΩbase vbase = pΩbase nphases vmax imax = 2 Ωbase Zbase = (2.126) Lbase (2.127) λbase Tbase (2.128) (2.129) Où les variables sont définies comme : Zbase impédance base de l’entraı̂nement. Lbase inductance base de l’entraı̂nement. λbase flux base de l’entraı̂nement. Tbase couple base de l’entraı̂nement. Dans le cas d’une machine à rotor bobiné, on peut choisir un deuxième courant de base. Dans ce cas, nous choisissons le courant d’alimentation maximal du rotor. Étude du fonctionnement des machines synchrones... λbase irbase vmax 2 = i imax rbase 115 Gbase = (2.130) Zrbase (2.131) irbase = irmax (2.132) Où : Gbase couplage rotor - stator base de l’entraı̂nement. Zrbase impédance base du rotor bobiné. irbase courant base du rotor bobiné. En utilisant ces valeurs de base, nous pouvons écrire les équations de la machine en utilisant des valeurs normalisées indiquées avec un accent circonflexe : vˆd = rˆs iˆd − Ω̂L̂q iˆq (2.133) vˆq = rˆs iˆq + Ω̂(λ̂ + Ĝiˆr Lˆd iˆd ) # $ t = iˆq λ̂ + Ĝiˆr + Lˆd iˆd − iˆd L̂q iˆq (2.134) (2.135) Le nombre de phases et le nombre de pôles ne sont plus présents dans les équations de la machine. Les contraintes du système avec des variables normalisées sont les suivantes : vˆd2 + vˆq2 ≤ 1 iˆ2d + iˆ2q ≤ 1 ˆ ≤ iˆr ≤ irmax ˆ =1 irmin (2.136) (2.137) (2.138) Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.7 116 Commande des différents types de machines Une application de l’outil développé est l’obtention de la loi de commande qui permet de minimiser les pertes Joule de la machine. Dans cette section nous montrons l’utilisation de l’outil avec différents types de machines pour illustrer les informations que nous pouvons obtenir. D’abord, nous allons montrer les résultats des machines à aimants permanents et à reluctance. Ensuite, nous allons montrer les résultats pour les machines avec rotor bobiné et hybride. 2.7.1 Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature inférieure au flux des aimants Nous avons trois types de machines à aimants permanents : • Machines à pôles lisses (Ld = Lq ) • Machines à pôles saillants (Ld > Lq ) • Machines à pôles saillants (Ld < Lq ) Les paramètres électriques utilisés pour les exemples sont indiqués dans le tableau suivant. Toutes ces machines possèdent une réaction d’armature inférieure au flux des aimants Ld imax < λ. Étude du fonctionnement des machines synchrones... Machine Pôles lisses (I) 117 Pôles saillants (II) Pôles saillants (III) rs [pu] 0.05 Ld [pu] 1 Lq [pu] 1 λ [pu] 0.2 2 1.3 p 1 Ωnom [pu] 1 vmax [pu] 1 [pu]imax 1 Tableau 2.5 – Paramètres des machines avec réaction d’armature plus petite que le flux à vide Étude du fonctionnement des machines synchrones... 118 Dans le cas de la machine (I), les courbes à couple constant sont des lignes droites dans le plan des courants id , iq (couleur grise fig. 2.22.a). On peut observer que, lorsque la machine produit le couple maximal à basse vitesse, la courbe à couple constant est tangente au cercle de courant maximal (rouge) (points a-c dans la figure 2.22.a). Ces points correspondent à la production du couple maximal de la machine (trace a-c dans la figure 2.22.b). À mesure que la vitesse augmente, la tension augmente (trace a-c fig. 2.22.c), jusqu’à atteindre la valeur maximale imposée par la contrainte de tension du système (point c fig. 2.22.c). Le courant reste constant à sa valeur maximale (points a-c fig. 2.22.d). En augmentant la vitesse, le point de fonctionnement est déterminé par l’intersection entre la contrainte de tension (bleu) et la contrainte de courant (trace c-e fig. 2.22.a). Le couple diminue en fonction de la vitesse à cause de la réduction de la taille de la contrainte de tension dans l’espace des courants (point d fig. 2.22.b). La tension et le courant restent tous les deux à leur valeur maximale (trace c-e dans la figure 2.22.c et fig. 2.22.d). Au dessous d’une certaine vitesse, il n’y a pas d’intersection entre la contrainte de tension et la contrainte de courant (trace e-f dans la figure 2.22.a). Le couple est légèrement négatif (point f dans la figure 2.22.b). La tension reste à sa valeur maximale (trace e-f dans la figure 2.22.c) et le courant dépasse sa contrainte (trace e-f dans la figure 2.22.d). La loi de commande minimise l’intensité de courant en utilisant la tension maximale disponible. Nous observons que le point de fonctionnement correspond à celui le plus proche de l’origine dans le plan des courants (point f dans la figure 2.22.a). Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 Couple pu 2 d f e 0.5 0 b 2.5 abc 1 iq pu 119 0.5 abc 1.5 1 d 0.5 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 4 6 pu Tension pu d f e 0.8 0.6 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 10 d Courant pu c 8 2 c 1 f e 0 1 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f abc d 0 2 e 4 6 pu 8 10 Figure 2.22 – Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (I) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant - vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 120 L’outil développé peut aussi fournir la loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal (Fig. 2.23). À basse vitesse (points a-c), nous constatons que le courant et le couple restent constants (Fig. 2.23.a .b .d) tandis que la tension augmente (trace a-c fig. 2.23.c). Lorsque la vitesse augmente encore, le point de fonctionnement change. Pour maintenir le couple, il est nécessaire que le courant d’axe direct soit négatif tout en gardant la valeur du courant d’axe quadratique constant (trace c-e fig. 2.23.a). Le fonctionnement est déterminé par l’intersection de la ligne à couple constant (gris) et la contrainte de tension du système (bleu) (point d fig. 2.23.a). Le couple reste constant (trace c-e fig. 2.23.b) et la tension reste à sa valeur maximale (trace c-e fig. 2.23.c). L’intensité du courant augmente parce que le courant d’axe direct n’est plus égal à zéro (trace c-e fig. 2.23.d). À une plus grande vitesse, la contrainte de tension empêche la production du couple souhaité (trace e-g fig. 2.23.b). En effet, il n’est plus possible de maintenir la même intensité de courant d’axe quadratique comme dans les points précédents. Le point de fonctionnement est déterminé par l’intersection entre la contrainte de courant et de tension (point f fig. 2.23.a). La tension et le courant atteignent la valeur maximale (trace e-g fig. 2.23.c et .d). Finalement, lorsque la vitesse augmente au dessous d’une certaine limite, le système de contrôle ne peut plus respecter la contrainte de courant du système (trace g-h fig. 2.23.d). Ce point est exactement le même que celui du cas précédent (Fig. 2.22). Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 b 2.5 1 2 abc Couple pu e d 0.5 iq pu 121 f hg 0 0.5 1.5 1 abcde f 0.5 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 Courant pu Tension pu h 0.8 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 8 10 d cde f g 0.6 4 6 pu 2 c 1 h g 0 1 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 h e f g d abc 0 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.23 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (I) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 122 Les courbes à couple constant d’une machine à pôles saillants (II), dont l’inductance d’axe direct est plus grande que l’inductance d’axe quadratique, sont des hyperboles (Fig. 2.24.a). Pour maximiser le couple, la courbe à couple constant est tangente à la contrainte de courant (points a-c fig. 2.24.a). Comme cette courbe est une hyperbole, le courant d’axe direct est plus grand que zéro. La valeur du courant de phase est égale à la valeur imposée par sa contrainte (trace a-c fig. 2.24.d). C’est différent du cas de la machine à pôles lisses, où le courant d’axe direct est toujours zéro dans les mêmes conditions de fonctionnement. La tension augmente avec la vitesse (trace a-c fig. 2.24.c) jusqu’à atteindre sa valeur maximale (point c fig. 2.24.c). L’augmentation de la vitesse impose que le courant d’axe direct devienne plus petit que zéro (trace c-e fig. 2.24.a) et que le couple diminue lui aussi (trace c-e fig. 2.24.b). Le point de fonctionnement est déterminé par l’intersection entre les contraintes de courant et de tension du système (point d fig. 2.24.a). L’intensité de courant et de tension reste à sa valeur maximale (trace c-e fig. 2.24.c et d). Tel qu’auparavant, si la vitesse dépasse une certaine limite, il n’est plus possible de respecter la contrainte de courant du système (trace e-f fig. 2.24.a). Le couple devient légèrement négatif (trace e-f fig. 2.24.b), la tension reste à sa valeur maximale (trace e-f fig. 2.24.c), et la valeur du courant dépasse sa contrainte (trace e-f fig. 2.24.d). Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 2.5 abc 1 Couple pu 0.5 fe 0 b abc 2 d iq pu 123 0.5 1.5 1 d 0.5 1.5 0 2 4 6 pu 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 id pu c Tension pu d f e 0.8 0.6 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 8 10 d Courant pu c 1 f e 0 1 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f abc d 0 2 e 4 6 pu 8 10 Figure 2.24 – Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (II) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 124 En fournissant que 50% du couple maximal, nous observons que l’évolution des différents points est plus intéressante (Fig. 2.25). À basse vitesse, le courant d’axe direct est positif, comme dans le cas précédent (points a-c fig. 2.25.a). En augmentant la vitesse, pour maintenir le couple constant, il est nécessaire que la valeur du courant d’axe direct devienne négative et en même temps que la valeur du courant d’axe direct augmente (trace c-e fig. 2.25.a). Le point de fonctionnement est déterminé par la contrainte de tension (bleu) et la courbe de couple constant (gris) (point d fig. 2.25.a). La valeur de la tension et du courant augmentent (trace e-g fig. 2.25.c et d) jusqu’à atteindre sa valeur maximale. Le couple demeure constant (points a-e fig. 2.25.b). Si la vitesse augmente encore, le couple diminue (trace e-g fig. 2.25.b). La contrainte de tension ne permet plus de produire le même couple qu’à basse vitesse. Le point de fonctionnement est déterminé par la contrainte de courant et de tension (point f fig. 2.25.a). Finalement si la vitesse augmente, le système n’est plus capable de respecter la contrainte de courant (trace g-h fig. 2.25.d). Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 b 2.5 f 0.5 d 2 abc Couple pu e 1 iq pu 125 hg 0 0.5 1.5 abcde 1 f 0.5 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 4 6 pu Tension pu f h g 0.8 0.6 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 10 d Courant pu cde 8 2 c 1 h g 0 1 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 h e f g d abc 0 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.25 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (II) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 126 Si l’inductance d’axe direct est plus petite que l’inductance d’axe quadratique (machine III), nous pouvons constater que les graphiques sont similaires à ceux montrés dans le cas précédent. Les différences plus remarquables sont l’orientation inversée des hyperboles de couple constant et l’orientation des ellipses à tension constante qui sont tournées à 90 degrés (Fig. 2.26). Ceci à pour conséquence qu’à basse vitesse le signe du courant direct est négatif (points a - c fig. 2.26.a). C’est le contraire pour l’autre machine (II), dont le courant d’axe direct est positif à basse vitesse (points a-c fig. 2.24.a). On constate aussi une évolution similaire aussi lorsque la machine produit 50% du couple maximal (Fig. 2.27). Cependant, dans la plage de vitesse où le système maintient la valeur du couple à 50% et qu’il utilise toute la tension disponible, la valeur du courant d’axe direct ne devient plus négative et la valeur du courant d’axe quadratique diminue (trace c-e fig. 2.27.a). Dans le cas de la machine (II), nous avons observé que le courant d’axe quadratique augmente (trace c-e fig. 2.25.a). Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 0.5 Couple pu abc 1 iq pu 127 f ed 0 0.5 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1.5 b abc d 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 4 6 pu Tension pu d f e 0.8 0.6 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 10 d Courant pu c 8 2 c 1 f e 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f abc d 0 2 e 4 6 pu 8 10 Figure 2.26 – Loi de commande pour obtenir le couple maximal de la machine (III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 1 0 Couple pu abc e d h gf 0.5 iq pu 128 0.5 1 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 1.5 b abcde f 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 4 6 pu Tension pu f h g 0.8 0.6 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 10 d Courant pu cde 8 2 c 1 h g 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 h e f g d abc 0 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.27 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (III) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 129 Le contrôle des machines semble plus compliqué si la machine possède des pôles saillants. Pour changer la valeur du couple produit à très basse vitesse, il est nécessaire de changer l’amplitude et l’angle du courant. Une machine à pôles lisses nécessite seulement de changer l’amplitude du courant, car l’angle reste constant à basse vitesse. Nous remarquons certaines similitudes entre toutes les machines. Lorsque la machine fonctionne en produisant le couple maximal, la loi de commande semble parfois incrémenter l’angle du courant de stator pour respecter la limite de tension sans égard à la saillance de la machine, car l’amplitude du courant reste constante jusqu’à la perte de contrôle. Cependant, l’outil peut montrer facilement que ce n’est pas toujours le cas. 2.7.2 Machines à aimants permanents avec une réaction d’armature supérieure au flux des aimants Nous avons, comme dans la section précédente, trois types de machines à aimants permanents : • Machines à pôles lisses (Ld = Lq ) • Machines à pôles saillants (Ld > Lq ) • Machines à pôles saillants (Ld < Lq ) Les paramètres électriques utilisés pour les exemples sont indiqués dans le Tableau 2.6. Toutes ces machines possèdent une réaction d’armature supérieure au flux des aimants (Ld imax > λ). Si l’on compare la figure 2.22 avec la figure 2.28, nous observons plusieurs différences. D’abord, la plage de vitesse avec production du couple positif est plus grande (Fig. 2.28.b). En effet, il y a toujours une intersection entre la contrainte de courant et la contrainte de tension (Fig. 2.28.a). À partir du point e, l’intensité du courant diminue avec la vitesse (trace e-f fig. 2.28.d). La valeur du courant d’axe direct reste constante et la valeur du courant d’axe quadratique diminue (trace e-f fig. 2.28.a). En comparant la figure 2.23 et la figure 2.29, nous observons que le couple reste toujours positif (Fig. 2.29.b). Lorsque la machine produit 50% du couple maximal et Étude du fonctionnement des machines synchrones... 130 Machine Pôles lisses (IV) Pôles saillants (V) rs [pu] 0.05 0.5 Ld [pu] 1 Lq [pu] 1 λ [pu] 0.02 0.5 p 1 Ωnom [pu] 1 vmax [pu] 1 [pu]imax 1 Tableau 2.6 – Paramètres des machines avec réaction d’armature plus grande que le flux à vide que la contrainte de tension devient significative (point d fig. 2.29.a), le courant de stator augmente (trace c-e fig. 2.29.d), car le courant d’axe quadratique maintient sa valeur et le courant d’axe direct devient négatif (trace c-e fig. 2.29.a). En augmentant encore la vitesse, le courant de la machine diminue (trace e-f fig. 2.29.d), car le courant d’axe quadratique diminue sa valeur tandis que le courant d’axe direct maintient sa valeur (trace e-f fig. 2.29.a). Donc, l’amplitude du courant en fonction de la vitesse possède un maximum (point e fig. 2.29.d) qui n’a pas été observé précédemment (Fig. 2.23). Des observations similaires peuvent se réaliser sur d’autres types de machines. Il est important de noter que si la réaction d’induit est plus grande que le flux à vide de la machine, l’intersection entre la contrainte de tension et la contrainte de courant n’est jamais vide. Donc, il est possible de fonctionner en respectant toutes les contraintes du système à n’importe quelle vitesse. La caractéristique couple - vitesse est toujours plus grande que zéro (Fig. 2.28.b). Nous pouvons obtenir les résultats montrés en utilisant d’autres méthodes, notamment le diagramme de cercle utilisé en [21]. Cependant, ces méthodes ne sont pas assez générales et sont difficiles à utiliser lorsque la résistance de stator devient importante. Avec l’outil développé, nous pouvons facilement obtenir ces résultats, même si la résistance de stator est importante (Fig. 2.30). Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 0.5 b 2.5 d abc 2 Couple pu e 1 iq pu 131 f 0 0.5 1.5 1 a b cde 0.5 f 0 1 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 Courant pu Tension pu f 0.8 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 10 d cde 0.6 8 2 c 1 4 6 pu 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 a b cde f 0 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.28 – Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine (IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 b 2.5 1 2 Couple pu e dabc f 0.5 iq pu 132 0 0.5 1.5 1 0.5 a b cde 1 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 Courant pu Tension pu f 0.8 0.6 b 0.4 a 0 2 4 6 pu 8 10 d cde 1 4 6 pu 2 c 0.2 f 0 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 e a b cd 0 2 f 4 6 pu 8 10 Figure 2.29 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (IV) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... a 2 1.5 Couple pu 0.5 2 d abc f b 2.5 e 1 iq pu 133 0 0.5 1.5 1 a b cde 0.5 f 0 1 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 Courant pu Tension pu f b 0.6 0.4 a 0.2 0 2 4 6 pu 10 d cde 0.8 8 2 c 1 4 6 pu 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 e a b cd 0 f 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.30 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (V) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.7.3 134 Machines à reluctance variable L’outil permet aussi d’obtenir la loi de commande d’une machine à reluctance. Ce type de machine se caractérise par un rotor à pôles saillants sans aimants permanents. Comme il n’y a pas d’aimant, ces machines peuvent produire du couple positif dans toute la plage de vitesse car la réaction d’armature est plus grande que le flux à vide. Le tableau suivant montre les paramètres de la machine. Machine Reluctance (VI) rs [pu] 0.05 Ld [pu] 1 Lq [pu] 0.2 λ [pu] 0 p 1 Ωnom [pu] 1 vmax [pu] 1 imax 1 Tableau 2.7 – Paramètres de la machine à reluctance Étude du fonctionnement des machines synchrones... 135 Les courbes à couple constant sont des hyperboles comme dans le cas des machines à pôles saillants (Fig. 2.31.a). On constate que lorsque la vitesse augmente la contrainte de tension (bleu) se centre à l’origine (Fig. 2.31.a). Le couple est positif dans toute la plage de vitesse (Fig. 2.31.b). La valeur du courant de stator augmente pour ensuite diminuer (Fig. 2.31.d) tel que dans le cas de la machine (V) (Fig. 2.29.d). a 2 1.5 efg d h abc iq pu 0.5 2 Couple pu 1 b 2.5 0 0.5 1.5 1 0.5 a b c d ef g 1 1.5 0 1.5 1 0.5 0 0.5 id pu 1 1.5 2 4 6 pu Courant pu Tension pu h 0.8 0.6 b 0.4 a 0 2 4 6 pu 10 d c d efg 1 8 2 c 0.2 h 0 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 efg a b cd h 0 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.31 – Loi de commande pour obtenir 50% du couple maximal de la machine (VI) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.7.4 136 Commande d’une machine à rotor bobiné L’outil développé permet d’étudier les machines à rotor bobiné ou hybride. Une telle machine permet de contrôler le flux du rotor en utilisant le courant du bobinage du rotor. Ceci peut permettre par exemple d’augmenter le flux à basse vitesse pour obtenir plus de couple et de le diminuer à haute vitesse pour fonctionner avec une grande plage de vitesse. Les résultats que nous pouvons obtenir sont similaires aux résultats que nous avons présentés pour les machines à aimants permanents. Les paramètres choisis pour l’exemple sont présentés dans le Tableau 2.8. Comme le courant de rotor peut être autant positif que négatif, il est possible d’augmenter et de diminuer le flux des aimants. Sans le courant de rotor, cette machine ne peut pas fonctionner avec une grande plage de vitesse car : λ > Ld imax (2.139) Cependant, le courant de rotor nous permet de diminuer suffisamment le flux pour permettre le fonctionnement avec une grande plage de vitesse car : λ + Girotmin < Ld imax (2.140) Nous remarquons que le contrôle de ce type de machine pour minimiser les pertes agit sur les trois courants de la machine (Fig. 2.32.a). Dans les machines à aimants permanents sans bobinage au rotor, le courant d’axe direct est utilisé pour respecter la contrainte de tension du système et pour permettre le fonctionnement à haute vitesse. Il est concevable de penser que le courant du rotor aura éliminé le besoin de varier la valeur du courant d’axe direct. Nous pouvons constater que ce n’est pas le cas. Dans le fonctionnement nous trouvons des étapes similaires aux machines à aimants permanents. Il y a une plage de vitesse dont la valeur des trois courants de la machine reste constante tandis que la valeur de la tension augmente avec la vitesse (points a-c Étude du fonctionnement des machines synchrones... Machine Reluctance (VII) rs [pu] 0.05 rrot [pu] 0.05 Ld [pu] 1 Lq [pu] 0.5 G [pu] 1 λ [pu] 1.3 p [pu] 1 Ωnom [pu] 1 vmax [pu] 1 imax 1 irotmax 1 irotmin -1 137 Tableau 2.8 – Paramètres de la machine à rotor hybride et pôles saillants fig. 2.32.a et .c). La valeur du couple reste constante à sa valeur maximale (trace a-c fig. 2.32.b). Entre les points c et e, le couple diminue légèrement à cause de la contrainte de tension du système (trace c-e fig. 2.32.b). Le système agit en tenant la valeur du courant du rotor constante et en avançant l’angle du courant de stator pour respecter la contrainte de tension. Ensuite, le système agit autant sur la valeur du courant du rotor que sur l’angle du courant de stator pour respecter la contrainte de tension du système (trace e-f fig. 2.32.a). Le couple diminue mais reste toujours plus grand que zéro (trace e-f fig. 2.32.b). La valeur du courant et de la tension reste constante à leur valeur maximale respective dans presque toute la plage de fonctionnement (trace c-f fig. 2.32.c et d). Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2 a 4 edabc Couple pu 22 1.5 iq pu 1 0 1 1 ir pu0.5 138 f 0 b abcd e 3 2 1 f 0 0.5 2 0 2 4 6 pu 1 0 id pu 8 10 1 2 c cde Courant pu Tension pu 1 d f 0.8 0.6 b 0.4 0.2 a 0 2 4 6 pu 8 10 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f ab cde 0 2 4 6 pu 8 10 Figure 2.32 – Loi de commande pour obtenir 100% du couple maximal de la machine (VII) et les courbes couple - vitesse, tension - vitesse et courant -vitesse résultantes Étude du fonctionnement des machines synchrones... 2.8 139 Paramètres électriques optimaux pour un fonctionnement sur une large plage de vitesse Dans cette section nous allons étudier quelques publications apparues dans la littérature. L’objectif est double. Nous voulons donner un autre exemple de l’utilisation de l’outil développé et aussi comprendre comment ces auteurs sont arrivés à ces conclusions. Nous nous intéressons à l’affirmation qu’il existe des jeux de paramètres électriques optimaux qui donnent la meilleure performance pour une caractéristique couple vitesse à puissance constante. Dans [22], les auteurs affirment que si la réaction d’armature est égale au flux dû aux aimants du rotor (2.141), la machine peut fonctionner, en négligeant toutes les pertes, à n’importe quelle vitesse. En plus cette machine fournit une puissance mécanique égale à la puissance électrique de l’onduleur à haute vitesse. Cela pousse à nommer une telle machine comme étant optimale, malgré que les auteurs apportent plusieurs nuances à ce sujet. λ = imax Ld (2.141) Les références [21]- [23], en suivant les idées de [22], arrivent à une ligne de paramètres optimaux. La référence [24] montre des machines expérimentales suivant le concept de jeux des paramètres optimaux. Dans [25], les auteurs renforcent aussi l’idée d’un jeu de paramètres optimaux. 2.8.1 Simplifications et hypothèses Pour arriver à ces conclusions, il y a des hypothèses simplificatrices : • Les pertes de la machine et de l’onduleur sont négligées. • La saturation, tel que mentionné au début du chapitre, est négligée. • On étudie seulement des paramètres normalisés. • La définition de vitesse nominale est celle présentée en [20]. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 140 Ces hypothèses permettent de paramétrer toutes les machines avec seulement deux paramètres [21] : le flux à vide et la saillance. Pour obtenir les paramètres manquants les inductances de la machine, on suit la procédure suivante : • L’inductance d’axe quadratique est obtenue en fonction de l’inductance d’axe direct avec le paramètre de saillance. • Les valeurs de la tension maximale et du courant maximal sont fixées à l’unité. • On cherche avec une procédure itérative la valeur de l’inductance d’axe direct qui permet que la vitesse nominale de la machine soit exactement l’unité. 2.8.2 Analyse avec le plan flux - saillance L’outil développé donne les outils pour implémenter cette procédure. L’avantage de pouvoir paramétrer toutes les machines avec deux variables est que nous pouvons représenter dans un plan toutes les machines. Par exemple, la figure 2.33 montre la caractéristique puissance - vitesse des différentes machines. Un graphique similaire est apparu en [23], mais tenant compte seulement des cas où Lq ≥ Ld . On constate que si le flux est plus grand que 0.8 [pu], pour n’importe quelle saillance, le fonctionnement à haute vitesse n’est pas possible. On constate aussi que, si le flux est plus petit que 0.6 [pu], la puissance de sortie n’atteint pas la valeur maximale théorique dans le cas des machines à pôles lisses. Étude du fonctionnement des machines synchrones... 11 1 0.8 0.6 0.4 0.2 9 1 0.8 0.6 0.4 0.2 7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 3 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 Saillance LqLd 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 9 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 11 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0.4 0.6 Flux à vide pu 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 1 3 1 0.8 0.6 0.4 0.2 141 1 2 3 4 5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 2 3 4 5 0.8 1 2 3 4 5 1. Figure 2.33 – Courbes de puissance mécanique versus vitesse des différentes machines Étude du fonctionnement des machines synchrones... 142 Nous pouvons définir deux quantités pour caractériser les différentes courbes de puissance mécanique versus la vitesse et pour pouvoir les comparer. La première est le rapport entre la puissance mécanique maximale de sortie et la puissance de l’onduleur, c’est-à-dire la capacité du système de transformer la puissance électrique disponible en puissance mécanique. Nous l’appelons rapport d’utilisation de l’onduleur et sa valeur idéale est un. La deuxième est la vitesse à laquelle la puissance mécanique de sortie diminue au dessous de 90% de la puissance mécanique maximale, qui représente la capacité de fournir de la puissance à haute vitesse. Nous appelons cette vitesse la plage à puissance constante. Sa valeur idéale est la plus élevée possible. Le rapport d’utilisation de l’onduleur divise en deux le plan flux - saillance (Fig. 2.34). La division est dessinée par une ligne rouge. Cette ligne correspond aux machines qui ont un flux de réaction d’induit égal au flux des aimants. À gauche de cette ligne, les machines possèdent un rapport d’utilisation de l’onduleur plus petit que l’unité. À droite de cette ligne, les machines possèdent un rapport d’utilisation de l’onduleur égal à un. 9 7 Saillance LqLd 1 5 3 1 1 3 1 5 1 7 1 9 0.7 0.5 0.3 0 0.9 0.2 0.4 0.6 Flux à vide pu 0.8 1 Figure 2.34 – Rapport d’utilisation de l’onduleur. En s’intéressant à la plage à puissance constante, les machines qui ont un flux de réaction d’induit égal au flux des aimants indiquent un maximum de la plage à vitesse constante (Fig. 2.35). On peut constater que les designs qui s’éloignent de la ligne rouge possèdent une plage de vitesse plus restreinte. En effet, la référence [22] montre que toutes les machines représentées par la ligne rouge possèdent une plage de vitesse Étude du fonctionnement des machines synchrones... 143 infinie. 10 5 Saillance LqLd 7.5 14 14 5 5 2.5 2 1.2 2 1.2 5 0 2 2.5 5 5 14 14 7.5 0 0.2 0.4 0.6 Flux à vide pu 0.8 1 Figure 2.35 – Plage de vitesse à puissance constante. Il est souhaitable qu’un entraı̂nement pour traction possède la plus grande plage de vitesse à puissance constante. Il est aussi souhaitable d’obtenir le plus haut rapport d’utilisation de l’onduleur. Seulement l’entraı̂nement comportant des machines avec un flux de réaction d’induit égal au flux des aimants remplissent les deux conditions en même temps. C’est cela qui pousse à nommer tels designs comme des designs optimaux. 2.8.3 Conclusion On constate, avec l’outil que nous avons développé, que nous reproduisons les résultats des quelques publications. En suivant le même raisonnement suivi dans ces publications, nous arrivons aussi aux mêmes conclusions, c’est-à-dire que les machines comportant une réaction d’induit égal au flux des aimants sont apparemment des machines très avantageuses pour les applications de transport. Cependant, d’autres raisonnements sont possibles. En particulier, nous remarquons qu’il n’y a pas de cahier des charges. Nous avons de la difficulté à trouver une caractéristique puissance - vitesse avec une grande plage de vitesse qui est inférieure à toutes les caractéristiques montrées dans le plan flux - saillance (Fig. 2.33). Étude du fonctionnement des machines synchrones... 144 Dans le chapitre §4, nous montrons une comparaison similaire à celle faite dans ces publications mais avec une méthode différente. 2.9 Conclusion Nous avons développé une méthode par optimisation qui permet de calculer une commande optimale, en régime permanent sinusoı̈dal, adaptée pour chaque point de fonctionnement du système d’entraı̂nement. La résolution analytique des problèmes d’optimisation nous a permis de développer des algorithmes rapides et fiables. La rapidité de l’outil développé est bien adaptée pour la conception et l’optimisation des entraı̂nements à vitesse variable. Nous avons utilisé cet outil pour obtenir la loi de commande de différents types de machines. Nous constatons que la trajectoire de courant des machines à pôles saillants est plus irrégulière que celle des machines à pôles lisses en raison de la forme des limitations de tension dans le plan des courants id iq . En effet, dans le cas d’une machine à pôles lisses, la limitation de tension prend la forme d’un cercle et dans le cas d’une machine à pôles saillants, elle prend la forme d’une ellipse. Nous avons utilisé cet outil pour vérifier des résultats dans la littérature, concernant des valeurs particulières de paramètres électriques pour des applications sur une large plage de vitesses. En reproduisant ces résultats, nous avons validé notre méthode de calcul. Nous trouvons que la machine à pôles saillants est plus intéressante pour minimiser le flux à vide. Chapitre 3 Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.1 Introduction Dans une voiture, la batterie est rechargée en utilisant un alternateur entraı̂né par un moteur à combustion. Cet alternateur est composé d’une machine synchrone avec un rotor à griffes et un enroulement d’excitation centralisé. La sortie de la machine est connectée à un redresseur non contrôlé qui permet de charger la batterie. Le réglage du courant de charge est réalisé à l’aide du courant d’excitation. Dans ce système, la sortie du redresseur est connectée directement à la batterie. Les formes de courant ne sont pas sinusoı̈dales et il est difficile d’appliquer des techniques d’analyse bien connues pour des redresseurs associés à une source de courant continu. Pour effectuer la conception d’un alternateur d’automobile, il faut calculer les caractéristiques de régime permanent afin de vérifier le cahier des charges. On peut utiliser une méthode de simulation pas à pas dans le temps. Cependant, la constante de temps électrique de la machine est élevée, ce qui implique des temps de simulation importants. Une simulation avec recherche du régime permanent accéléré a l’avantage d’éliminer le problème posé par les constantes de temps électriques et de conserver la flexibilité d’un outil de simulation [3]. Cependant, le temps de calcul peut encore constituer un obs- Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 146 tacle dans une procédure itérative de conception d’alternateur. D’autres méthodes de modélisation ont été proposées, comme par exemple, une approximation des formes de courant à des sinusoı̈des pour minimiser le temps de calcul [26]. Nous avons jugé que le compromis entre la précision et la rapidité de calcul n’était pas satisfaisant. Pour ces raisons, nous avons adopté une méthode de calcul qui repose sur la résolution analytique des équations différentielles du système avec une analyse séquence par séquence. Cette méthode nous permet de trouver directement le régime permanent et de calculer les valeurs caractéristiques des courants. Dans ce chapitre, nous détaillons le modèle, les hypothèses simplificatrices utilisées et la méthode de résolution. Nous montrons ensuite une validation expérimentale en étudiant un alternateur existant. 3.2 Modélisation de l’alternateur de voiture Un alternateur de voiture se compose de trois parties principales : • Une machine synchrone à rotor bobiné. • Un redresseur en pont Graetz. • Une batterie d’accumulateurs. La méthode de résolution analytique des équations différentielles nécessite des hypothèses simplificatrices pour chaque partie du modèle. Elles sont décrites dans les sections suivantes. 3.2.1 Machine synchrone La machine synchrone utilisée dans l’alternateur de voiture possède un stator avec bobinage imbriqué et un rotor à griffes (Fig. 3.1). Ce rotor a l’avantage d’utiliser une seule bobine dans le centre du rotor. Le circuit magnétique du rotor est divisé en deux pièces massives, chacune avec six pôles. Le stator, fabriqué en tôle, possède 36 encoches. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 147 Le bobinage de stator est de type imbriqué à pas diamétral (Fig. 3.1). Compte tenu de la géométrie du rotor, nous pouvons constater que la machine est une machine à pôles saillants. Figure 3.1 – Stator et rotor d’un alternateur DELCO Le modèle de la machine utilisée que nous avons choisi comporte des simplifications importantes par rapport à la machine réelle : • La machine est supposée équilibrée et symétrique. • La f.e.m. de la machine est sinusoı̈dale. • La machine possède un rotor non saillant. • La machine possède des paramètres électriques constants dans le temps. • Les paramètres électriques de la machine varient seulement en fonction du courant d’excitation. Ils ne varient pas en fonction de la charge de la machine. • La machine possède des paramètres électriques linéaires. • La machine est connectée en étoile avec le neutre flottant. Ces simplifications nous permettent d’affirmer que la machine possède les équations Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 148 différentielles suivantes : ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ia ia van L M M sin (pΩt) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ d ⎢ ⎥ ⎣ vbn ⎦ = rs ⎣ ib ⎦ + ⎣M L M ⎦ ⎣ ib ⎦ + pΩλ ⎣sin pΩt − 2π ⎦ 3 dt 4π vcn ic ic sin pΩt − 3 M M L (3.1) Où les variables sont : van , vbn et vcn tensions instantanées phase neutre de l’alternateur. ia , ib et ic courants instantanés phase neutre de l’alternateur. p nombre de paires de pôles. Ω vitesse mécanique. λ flux à vide. t temps. rs résistance d’une phase. L inductance propre d’une phase de l’alternateur. M inductance mutuelle ou couplage entre les phases de l’alternateur. Nous pouvons transformer ces équations avec la transformation de Clarke. Cette matrice de transformation T permet de changer les variables utilisées pour modéliser la machine. ⎤ ⎡ 1 1 1 1⎢ ⎥ T = ⎣2 −1 −1 ⎦ 3 √ √ 3 0 − 3 (3.2) Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 149 Les courants et les tensions transformés sont définis par les équations suivantes : ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ v0 va ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ v̂ = ⎣vα ⎦ = T ⎣ vb ⎦ vβ vc ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ia i0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ î = ⎣iα ⎦ = T ⎣ ib ⎦ iβ (3.3) (3.4) ic Où les variables sont : v0 , vα , vβ tensions instantanées de la machine en composantes de Clarke. i0 , iα , iβ courants instantanés de l’alternateur en composantes de Clarke. L’équation de la machine avec des variables transformées est la suivante : ⎡ ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ i0 i0 v0 L + 2M 0 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ d ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L−M 0 ⎦ ⎣iα ⎦ + pΩλ ⎣sin(pΩt)⎦ ⎣vα ⎦ = rs ⎣iα ⎦ + ⎣ 0 dt vβ iβ iβ 0 0 L−M cos(pΩt) (3.5) L’utilisation de cette transformation est seulement due à la commodité de la manipulation des équations que nous allons faire. Nous avons aussi la possibilité d’utiliser la transformation de Park. Cependant, si le système n’est pas en régime permanent sinusoı̈dal, les avantages d’une formulation en variables de Park ne sont pas évidents. Notons que, dans une connexion en étoile de la machine, la somme des trois courants de la machine est zéro. Donc, compte tenu des hypothèses simplificatrices, nous obtenons l’équation suivante : i0 = 0 (3.6) v0 = 0 (3.7) Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 150 Aussi, si la machine est connectée en triangle, la somme des trois tensions de la machine est zéro. Donc, nous obtenons l’équation suivante : rs i0 + (L + 2M) v0 = 0 (3.8) d i0 = 0 dt (3.9) En régime permanent, si la résistance n’est pas égale à zéro, le courant devient zéro sans égard aux conditions initiales. Donc, nous trouvons aussi que : i0 = 0 (3.10) v0 = 0 (3.11) Compte tenu des hypothèses simplificatrices, les inductances et le flux peuvent varier en fonction du courant d’excitation du rotor seulement : 3.2.2 λ = λ(ir ) (3.12) L = L(ir ) (3.13) M = M(ir ) (3.14) Redresseur et batterie Le redresseur sera considéré dans ce travail comme un redresseur composé de diodes idéales. C’est-à-dire que ses diodes se comportent comme un circuit ouvert lorsqu’elles sont bloquées et comme un circuit fermé sans aucune résistance ou chute de tension lorsqu’elles sont en conduction. De plus, elles ne possèdent pas de capacité de recouvrement, ni d’inductance dans leurs connexions. Il n’y a pas non plus de circuit d’amortissement en parallèle avec les diodes. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 151 La batterie de la voiture est modélisée comme une source de tension idéale. Nous ne considérons pas d’autres effets, comme la variation de la résistance interne en fonction du niveau de charge. Ces simplifications peuvent paraı̂tre excessives pour une étude détaillée du fonctionnement du système. Mais elles sont justifiées pour la conception de l’alternateur de voiture. 3.2.3 Connexion en triangle Nous allons réaliser une analyse séquence par séquence de l’alternateur connecté en étoile. Cependant, un alternateur de voiture est connecté en triangle pour faciliter le bobinage. Avec les hypothèses simplificatrices, une connexion en triangle possède un équivalent en étoile. Il suffit d’appliquer la transformation triangle - étoile. En effet, si nous connaissons les paramètres électriques de la machine connectée en triangle, nous devons plutôt utiliser les paramètres suivants : rΔ 3 LΔ LY = 3 MΔ MY = 3 λΔ λY = √ 3 rY = (3.15) (3.16) (3.17) (3.18) Où les variables sont : rΔ résistance d’une phase connectée en triangle. LΔ inductance d’une phase connectée en triangle. MΔ inductance mutuelle ou le couplage mutuel entre des phases connectées en triangle. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 152 rY résistance équivalente en connexion étoile. LY inductance équivalente en connexion étoile. MY inductance mutuelle ou le couplage mutuel entre les phases équivalentes connectées en étoile. iαY (t) + 3.3 √ −1iβY (t) = √ √ 3e −1 π6 iαΔ (t) + √ −1iβΔ (t) (3.19) Étude du fonctionnement séquence par séquence Nous allons étudier le fonctionnement du système dans différentes plages de vitesses pour diminuer le plus possible le nombre de séquences et pour simplifier l’analyse : • Basse vitesse • Vitesse faible • Vitesse moyenne • Haute vitesse Le système peut être représenté par un schéma électrique (Fig. 3.2). Remarquons que, comme le système est équilibré et symétrique, les courants des trois phases remplissent la condition suivante : 2π 4π = ic pΩt + ia (pΩt) = ib pΩt + 3 3 (3.20) Pour illustrer l’étude de ce système nous allons utiliser les paramètres électriques du Tableau 3.1. Les paramètres correspondent à un alternateur DELCO connecté en étoile avec un courant d’excitation du rotor de 6 [A]. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture ea rs L D1 153 D2 eb D3 vDC ec D4 D5 D6 Figure 3.2 – Schéma électrique équivalent du système étudié rs 0.1 [Ohm] L−M 0.38 [mH] λ 27.6 [mWb] p 6 Vdc 20.6 Tableau 3.1 – Paramètres électriques utilisés pour les exemples 3.3.1 Fonctionnement à basse vitesse Le fonctionnement à basse vitesse se produit lorsque la tension à vide de la machine n’est pas suffisante pour entraı̂ner la conduction des diodes. Dans ce cas, la tension entre phases de la machine est toujours inférieure à la tension de la batterie comme suit : Vdc > √ 3pΩλ (3.21) Où : Vdc la tension de la batterie. Le courant dans toutes les phases et le courant de charge de la batterie sont nuls. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.3.2 154 Fonctionnement à faible vitesse Si la tension de la batterie est inférieure à la tension entre deux bornes de la machine, les diodes peuvent entrer en conduction. À faible vitesse, nous allons faire les suppositions suivantes : • Seulement deux diodes entrent en conduction. • La conduction se termine avant qu’une autre diode entre en conduction. Cela correspond à un mode de conduction discontinue. Il est intéressant de choisir correctement la séquence à étudier pour faciliter l’étude. Supposons que les phases C et B conduisent, et que les diodes numéro 3 et numéro 5 conduisent (Fig. 3.3). C’est à dire, nous avons : vc − vb = Vdc Vdc vβ = √ 3 ea rs L D1 (3.22) (3.23) D2 eb D3 vDC ec D4 D5 iDC D6 Figure 3.3 – Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases B et C. Les éléments parcourus par un courant sont marqués en rouge. Avant et après que cette condition soit remplie, il y a un instant où les courants de toutes les phases et le courant à la sortie du redresseur sont nuls (Fig. 3.2). Comme la phase A n’a pas de diode amorcée, son courant est nul. En conséquence, la composante α du courant est aussi égale à zéro pendant toute la période d’étude. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 155 ia = 0 (3.24) iα = 0 (3.25) Donc, nous pouvons écrire l’équation différentielle suivante pour le courant β : di (t) V √dc = rs iβ (t) + (L − M) β + pΩλcos(pΩt) dt 3 (3.26) Notons que l’origine du temps a été prise arbitrairement lorsque la composante β est maximale. L’instant t∗ où les diodes rentrent en conduction est le suivant : Vdc √ = pΩλcos(pΩt∗ ) 3 dc arccos √V3pΩλ t∗ = − pΩ (3.27) (3.28) À cet instant le courant initial est nul : iβ (t∗ ) = 0 (3.29) Nous avons une équation différentielle de premier ordre (3.26) avec une condition initiale (3.29) et il est donc possible de trouver la solution. En utilisant cette solution, nous pouvons déterminer le temps où le courant s’annule. D’abord, nous effectuons une recherche initiale avec un incrément d’un degré électrique. Cette recherche initiale est ensuite raffinée avec la méthode de Newton. Si l’angle de conduction est plus petit que 60 degrés, la solution trouvée remplit l’hypothèse d’une conduction discontinue. Par exemple, un alternateur tournant à 700 [RPM], avec un courant d’excitation de 6 [A], produit un courant qui s’éteint avant 60 degrés de conduction (Fig. 3.6.a). En effet, la conduction commence à -20 degrés et se termine à 39 degrés (Fig. 3.6.a). Nous pouvons aussi facilement déterminer les deux composantes de tension (Fig. 3.6.b). Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 156 En utilisant cette période de 60 degrés, il est possible de déterminer la forme des tensions et des courants pendant le reste de la période électrique. En effet, lors du régime permanent, nous avons la propriété suivante pour deux instants de temps, ta et tb , séparés par une période équivalente à 60 degrés électriques : iα (ta ) + √ √ −1iβ (ta ) = e −1 2π 6 √ iα (tb ) + −1iβ (ta ) (3.30) En utilisant l’équation (3.30), nous déterminons les courants et les tensions de Clarke pendant le reste de la période (Fig. 3.6.c et 3.6.d). Ceci est intéressant, car nous déduisons les autres séquences de fonctionnement en ayant étudié une seule période de 60 degrés. Nous pouvons comparer la forme d’onde des courants avec la forme d’onde obtenue à partir d’un simulateur pas à pas dans le temps (Fig. 3.4). Nous remarquons que les deux résultats sont similaires, ce qui valide la méthode analytique. Les résultats ne sont pas égaux parce que le simulateur possède une différence par rapport au système modélisé. Les différences entre les résultats s’expliquent par le modèle de la diode dans la simulation pas à pas. L’étude séquence par séquence suppose que les diodes du pont redresseur sont des diodes idéales. Si le courant d’une phase est positif (entrant dans l’alternateur), la tension d’un pont redresseur avec des diodes idéales est exactement égale à zéro (Fig. 3.5). Si le courant d’une phase est négatif (sortant de l’alternateur), la tension d’un pont redresseur avec diodes idéales est exactement égale à la tension de la batterie (Fig. 3.5). Pour que la tension possède une valeur entre ces deux limites, il est nécessaire que le courant de phase soit exactement égal à zéro (Fig. 3.5). Une simulation pas à pas a de la difficulté à utiliser une telle représentation d’un pont de diodes. Il utilise par contre une approximation qui adoucit la transition. Pendant la transition entre un courant positif et un courant négatif, le pont se comporte comme une résistance de très haute valeur (100 [kOhm]). Ceci permet de réaliser la simulation aisément et avec précision. Cependant, les constantes de temps électriques du système deviennent très petites. Nous sommes alors obligés de diminuer le pas d’intégration du simulateur pour assurer la convergence. En utilisant les formes de tensions et de courants de Clarke (Fig. 3.6.c et 3.6.d), nous pouvons calculer les tensions et les courants des phases réelles (Fig. 3.6.e et 3.6.f). Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 0.4 157 iΑ Courant A 0.2 0 0.2 0.4 iΒ 150 120 90 60 30 0 30 Angle degrés 60 90 120 150 Figure 3.4 – Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à faible vitesse (700 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. Tension V 25 20 15 10 5 0.001 0.0005 0 0.0005 Courant A 0.001 Figure 3.5 – Caractéristique courant - tension d’un bras de redresseur en pont avec diodes idéales (bleu) et l’approximation utilisée dans le simulateur pas à pas dans le temps (rouge). Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 158 a b Tension V Courant A 0.4 0.2 iΑ 0 0.2 0.4 iΒ 25 15 5 5 15 Angle degrés c iΑ Tension V Courant A 0.4 0.2 0 0.2 0.4 iΒ 150 90 30 30 90 Angle degrés e ia ib 150 ic Tension V 0.4 Courant A 25 0.2 0 0.2 0.4 150 90 30 30 90 Angle degrés 150 15 10 5 0 5 10 15 vΒ vΑ 25 15 5 5 15 Angle degrés d 15 vΒ 10 5 0 5 10 vΑ 15 150 90 30 30 90 Angle degrés f 25 vca vab 15 25 150 5 5 15 25 vbc 150 90 30 30 90 Angle degrés Figure 3.6 – Formes d’onde à faible vitesse 700 [RPM] 150 Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.3.3 159 Fonctionnement à vitesse moyenne Si l’on détermine que le temps de conduction du cas précédent est plus grand que 60 degrés, nous déduisons que les hypothèses utilisées au §3.3.2 ne sont pas valables. Si la période de conduction est plus grande que 60 degrés, il y a une période de commutation entre les phases où les trois phases conduisent en même temps (Fig. 3.7) et qui est suivi d’une période de temps où deux phases conduisent (Fig. 3.8). Nous allons supposer que les phases B et C conduisent, et que la phase A est en conduction au début de la période d’étude et que son courant s’annule avant la fin de la période d’étude. En conséquence, nous supposons qu’à la fin de la période d’étude, à l’instant t1 , les conditions suivantes sont remplies : ea rs L iα (t1 ) = 0 (3.31) iβ (t1 ) < 0 (3.32) D1 D2 eb D3 vDC ec D4 D5 iDC D6 Figure 3.7 – Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases A, B et C Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture ea rs L D1 160 D2 eb D3 vDC ec D4 D5 iDC D6 Figure 3.8 – Schéma électrique équivalent du système étudié lors de la conduction des phases B et C après l’extinction du courant de la phase A Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 161 Pour faciliter l’analyse, nous rajoutons un déphasage équivalent à la F.E.M. de la machine (φ) déterminé par la condition d’amorçage de la diode numéro 5. Nous arrangeons les équations pour fixer arbitrairement le début de la période d’étude à -30 degrés. Les équations différentielles qui gouvernent le système sont : Vdc diα (t) + pΩλsin(pΩt + φ) = − dt 3 Vdc diβ (t) + pΩλcos(pΩt + φ) = √ rs iβ (t) + (L − M) dt 3 rs iα (t) + (L − M) (3.33) À la place des conditions initiales, on impose la condition de régime permanent sur un sixième de la période électrique (3.30) : √ iα (t0 ) = − 3 iβ (t1 ) 2 1 iβ (t0 ) = iβ (t1 ) 2 π 6pΩ π t1 = 6pΩ (3.34) t0 = − (3.35) Avec la solution de l’équation différentielle qui montre l’évolution temporelle des courants, nous devons détecter l’arrêt de conduction de la phase A lorsque iα s’annule. Lorsque ce courant iα devient égal à zéro, le schéma de conduction est montré dans la figure 3.8. L’évolution du courant iβ s’obtient toujours avec la même équation sachant que iα reste nul jusqu’à t1 . Pour que les hypothèses du fonctionnement à vitesse moyenne soient valables, il faut : • Trouver le temps du début de la période d’étude, qui assure que la dérivée du courant de la phase B est de zéro. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 162 • Vérifier que, pendant la période d’étude, le courant α devient nulle. • Vérifier que, à la fin de la période d’étude, la phase A entre en conduction. Par exemple, l’alternateur tournant à 800 [RPM] possède une durée de commutation de la phase A de 25 degrés (Fig. 3.10.a). Après l’annulation du courant iα , nous ignorons la solution obtenue à partir de l’équation différentielle de iα (3.33). Nous pouvons déterminer facilement les tensions de Clarke. Dans le cas de la composante β, elle est toujours constante à la valeur indiquée par l’équation différentielle (3.33). La composante α présente une discontinuité lorsque le courant respectif devient nul (Fig. 3.10.b). Avant cet instant, sa valeur est imposée par l’équation différentielle (3.33). Après cet instant, la tension correspond à la tension à vide : vα = pΩλsin(pΩt + φ) (3.36) Nous pouvons reconstruire les courants et les tensions pour le reste de la période électrique en utilisant l’équation (3.30). La composante de tension α ne s’annule jamais pendant une période de temps et la composante de tension β possède une période où elle est nulle pendant la commutation entre les phases (Fig. 3.10.d). Pour vérifier les résultats, nous pouvons comparer les courants avec ceux obtenus à l’aide d’un simulateur. Nous remarquons que les deux résultats sont similaires (Fig. 3.9). En utilisant la transformation inverse de Clarke, nous pouvons obtenir les courants et les tensions des phases (Fig. 3.10.e) (Fig. 3.10.f). Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 163 10 iΑ Courant A 6 2 2 iΒ 6 10 150 120 90 60 30 0 30 Angle degrés 60 90 120 150 Figure 3.9 – Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à vitesse moyenne (800 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 164 10 6 2 2 6 10 b Tension V Courant A a iΑ iΒ 10 6 2 2 6 10 iΑ iΒ 150 90 30 30 90 Angle degrés e ia ib 150 ic Tension V Courant A 8 25 Tension V Courant A 25 15 5 5 15 Angle degrés c 4 0 4 8 150 90 30 30 90 Angle degrés 150 15 10 5 0 5 10 15 vΒ vΑ 25 15 5 5 15 Angle degrés d 15 vΒ 10 5 0 5 10 vΑ 15 150 90 30 30 90 Angle degrés f 25 vca vab 15 25 150 5 5 15 25 vbc 150 90 30 30 90 Angle degrés Figure 3.10 – Formes d’onde à vitesse moyenne 800 [RPM] 150 Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.3.4 165 Fonctionnement à haute vitesse Si, dans le cas précédent, nous constatons que les hypothèses ne sont pas vérifiées, nous concluons qu’il n’existe pas de période de temps où le courant d’une phase est nul. En conséquence, le courant iα ne devient zéro qu’à la fin de la période d’étude. La période d’étude comporte une seule séquence. Nous allons supposer que c’est la phase C qui est connectée à la borne positive de la batterie et que les phases A et B sont connectées à la borne négative de la batterie (Fig. 3.11). ea rs L D1 D2 eb D3 vDC ec D4 D5 iDC D6 Figure 3.11 – Schéma électrique équivalent au système étudié lors de la conduction des phases A, B et C à haute vitesse Nous déplaçons la période d’étude avec un angle φ qui est déterminé avec le courant iα . En effet, il suffit d’ajuster cet angle pour s’assurer que ce courant soit zéro à la fin de la période d’étude. La seule condition de validation est que l’angle φ puisse être trouvé. Les équations différentielles sont : Vdc diα (t) + pΩλsin(pΩt + φ) = − dt 3 Vdc diβ (t) + pΩλcos(pΩt + φ) = √ rs iβ (t) + (L − M) dt 3 rs iα (t) + (L − M) (3.37) Les conditions initiales sont les mêmes que dans le cas précédent (3.34),(3.35). À 1300 [RPM], la période de commutation où trois phases conduisent au même temps s’étend pendant toute la période. La composante de courant α devient nulle à la fin de la période d’étude (Fig. 3.13.a). Dans ce type de fonctionnement, les composantes Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 166 de tension sont constantes pendant toute la période d’étude. Les valeurs correspondent à celles imposées par l’équation (3.37). Comme il n’y a pas de changement de séquence, ces valeurs sont toujours valables (Fig. 3.13.b). En reconstruisant les courants pour toute la période électrique, nous remarquons que les deux composantes de Clarke du courant sont en conduction continue (Fig. 3.13.c). La composante β de la tension est nulle pendant 60 degrés parce que les trois phases sont toujours en conduction (Fig. 3.13.d). Les formes d’onde sont similaires à celles obtenues à partir d’un simulateur (Fig. 3.12). 50 iΑ Courant A 30 10 10 30 50 iΒ 150 120 90 60 30 0 30 Angle degrés 60 90 120 150 Figure 3.12 – Comparaison des formes d’onde des courants de Clarke à haute vitesse (1300 [RPM]) obtenues avec la méthode proposée et avec un simulateur. Nous remarquons que les courants des phases ont une allure sinusoı̈dale (Fig. 3.13.e). Dans le cas des tensions, les formes sont rectangulaires et s’annulent pendant 60 degrés puisqu’il y a, en tout moment, deux phases en court-circuit (Fig. 3.13.f). Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 167 50 30 10 10 30 50 b Tension V iΑ iΒ 50 30 10 10 30 50 iΑ iΒ Courant A 150 90 30 30 90 Angle degrés e 50 30 10 10 30 50 25 Tension V Courant A 25 15 5 5 15 Angle degrés c ia ib 150 90 30 30 90 Angle degrés 150 ic 150 Tension V Courant A a 15 10 5 0 5 10 15 vΒ vΑ 25 15 5 5 15 Angle degrés d 15 vΒ 10 5 0 5 10 vΑ 15 150 90 30 30 90 Angle degrés f 25 vca vab 15 25 150 5 5 15 25 vbc 150 90 30 30 90 Angle degrés Figure 3.13 – Formes d’onde à faible vitesse 1300 [RPM] 150 Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.4 168 Détermination des performances du système L’analyse séquence par séquence nous permet d’obtenir des formules analytiques des formes d’onde de courants et de tensions du système en régime permanent à n’importe quelle vitesse. Il est intéressant d’exploiter ces formules pour obtenir des quantités utiles pour la conception du système. En particulier, il est intéressant d’obtenir les quantités suivantes : • Courant moyen à la sortie du redresseur. • Courant efficace des phases. • Courant moyen des diodes. • Courant efficace des diodes. • Amplitude et angle par rapport à la f.e.m. de la composante fondamentale du courant de phase. • Distorsion harmonique totale du courant. • Couple électromagnétique. Ces résultats permettent de valider les performances et d’estimer les pertes du système. 3.4.1 Courant de charge à la sortie du redresseur Le courant de charge à la sortie du redresseur doit être déterminé en tenant compte de chaque séquence de fonctionnement. Les hypothèses simplificatrices de cette étude nous permettent d’affirmer qu’il suffit de connaı̂tre le courant de charge à la sortie du redresseur pendant 60 degrés seulement. Un avantage de la méthode utilisée est qu’à n’importe quelle vitesse de fonctionnement, c’est toujours la diode numéro 3 de la phase C qui est en conduction. En conséquence le courant de charge à la sortie du redresseur est toujours égal au courant de la phase C. Le courant de charge s’obtient avec l’équation suivante : Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 6 idc = − 2π ! " θ ic dθ pΩ θ=θ1 169 θ2 6 =− 2π θ2 θ=θ1 & 1 iα 2 θ pΩ √ 3 − iβ 2 θ pΩ ' dθ (3.38) Où : idc courant de charge de la batterie. La formule analytique de la forme d’onde des courants possède une primitive connue. Nous pouvons éviter en conséquence l’intégration numérique de la forme d’onde et à la fois obtenir un résultat rapide et précis. 3.4.2 Courant efficace d’une phase Comme le système est équilibré, il est suffisant d’obtenir le courant efficace d’une seule phase. Nous calculons le courant efficace de la phase A avec l’équation suivante : iRM S = 1 2π ! "2 π ! "2 θ θ 1 ia iα dθ = dθ pΩ 2π θ=−π pΩ θ=−π π (3.39) Où : iRM S courant efficace d’une phase. Les limites d’intégration correspondent à une période électrique complète. Cependant, nous avons étudié seulement 60 degrés électriques de la période. Nous utilisons l’équation (3.30) pour déterminer le courant pendant le reste de la période électrique. En manipulant les équations, nous obtenons le courant RMS en fonction des formes d’onde de la période d’étude de 60 degrés comme suit : Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture iRM S iRM S ! "2 θ = dθ iα pΩ θ=−π ( ) θ2 ! "2 ) 3 θ2 ! θ "2 θ =* dθ + dθ iα iβ 2π pΩ pΩ θ=θ1 θ=θ1 1 2π 170 π (3.40) (3.41) Les limites d’intégration sont les mêmes que pour le courant de charge à la sortie du redresseur. Ces intégrales possèdent aussi des primitives analytiques. Nous pouvons donc éviter, comme dans les cas précédents, d’utiliser l’intégration numérique. 3.4.3 Courant moyen et efficace des diodes Le courant moyen et le courant efficace des diodes se déduisent des résultats précédents comme suit : iRM S idiodeRM S = √ 2 iDC idiodeAV = 3 (3.42) (3.43) Où : idiodeRM S courant efficace d’une diode. idiodeAV courant moyen d’une diode. 3.4.4 Amplitude et angle de la composante fondamentale du courant En suivant une démarche similaire à celle utilisée pour calculer le courant efficace d’une phase, nous pouvons calculer la composante fondamentale du courant de la phase Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 171 A. Les équations suivantes donnent les composantes sinus et cosinus du courant, tout tenant compte l’angle de déphasage équivalent de la F.E.M. icos 1 = π icos π iα θ=−π θ cos(θ + φ)dθ pΩ (3.44) " θ2 θ θ cos(θ)dθ − sin(θ)dθ iα iβ pΩ pΩ θ=θ1 θ=θ1 ! θ2 " θ2 θ θ 3 iα iβ sin(θ)dθ + cos(θ)dθ (3.45) − sin(φ) π pΩ pΩ θ=θ1 θ=θ1 3 = cos(φ) π ! θ2 1 = π isin isin ! π iα θ=−π θ pΩ sin(θ + φ)dθ (3.46) " θ2 θ θ iα iβ sin(θ)dθ + cos(θ)dθ pΩ pΩ θ=θ1 θ=θ1 " ! θ2 θ2 θ θ 3 iα iβ cos(θ)dθ + sin(θ)dθ (3.47) − sin(φ) π pΩ pΩ θ=θ1 θ=θ1 3 = cos(φ) π θ2 Où : isin , icos les composantes fondamentales du courant d’une phase par rapport à la F.E.M. Ces intégrales possèdent des primitives analytiques que nous pouvons facilement obtenir. L’amplitude et la phase sont obtenues en fonction des deux composantes comme suit : + i2cos + i2sin 2 icos = arctan isin if ondamental = (3.48) if ondamental (3.49) Où : if ondamental amplitude de la composante fondamentale du courant d’une phase. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 172 if ondamental phase de la composante fondamentale du courant d’une phase. 3.4.5 Distorsion harmonique totale La distorsion harmonique totale peut être déduite des résultats précédents : % T HD = i2RM S − i2f ondamental if ondamental (3.50) Où : T HD taux de distorsion harmonique. 3.5 Vérification avec des résultats expérimentaux Nous avons vérifié que les résultats obtenus à l’aide des formules développées sont similaires aux résultats obtenus avec la simulation. Nous avons aussi réalisé des comparaisons par rapport à des résultats expérimentaux en utilisant un alternateur DELCO connecté en étoile et aussi en utilisant une machine modifiée comportant des aimants permanents. 3.5.1 Paramètres de la machine DELCO Pour identifier les paramètres de la machine DELCO, nous avons fait trois essais : • Mesure de la résistance de stator. • Mesure du courant de court-circuit. • Mesure de la tension à vide. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 173 Les paramètres électriques sont mesurés indirectement. Pour déterminer le flux, nous utilisons la tension à vide entre deux phases comme suit : + λ(ir ) = 2 Uac (ir ) 3 pΩ (3.51) Pour déterminer l’inductance cyclique (Ld ), nous utilisons l’essai en court-circuit et l’essai à vide comme suit : Ld (ir ) = √ λ(ir ) 2icc (ir ) (3.52) Lorsque, nous faisons varier le courant du rotor, nous constatons que le flux à vide n’augmente pas linéairement. En effet, la saturation est facile à remarquer (Fig. 3.14). Par contre, l’essai en court-circuit ne montre pas de saturation évidente (Fig. 3.15). 0.04 Λ Wb 0.03 0.02 0.01 2 4 6 irotor A 8 10 Figure 3.14 – Flux d’une phase d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge) et points mesurés (bleu) Ces essais ont été effectués avec différents courants d’excitation. Les paramètres que nous avons trouvés à l’aide des essais sont indiqués au Tableau 3.2. Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 174 60 icc Arms 50 40 30 20 10 2 4 6 irotor A 8 10 Figure 3.15 – Courant de court-circuit d’un alternateur DELCO, interpolation (rouge) et points mesurés (bleu) Courant du rotor 1 [A] rs [Ohm] 3 [A] 6 [A] 0.1 Ld [mH] 1.05 0.65 0.41 λ [mWb] 14.9 26.4 29.1 p 6 Tableau 3.2 – Paramètres électriques d’un alternateur DELCO Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.5.2 175 Comparaison du courant à la sortie du redresseur En utilisant les paramètres obtenus à l’aide des essais de la section précédente, nous pouvons obtenir une courbe du courant de charge à la sortie du redresseur en fonction de la vitesse. Nous avons effectué cet essai avec plusieurs courants d’excitation. Si le courant d’excitation du rotor est de 1[A], nous trouvons des erreurs variant de 20% à 40% entre les valeurs mesurées et les résultats du modèle (Fig. 3.16). Si le courant d’excitation est 3[A], nous trouvons des erreurs entre 3% et 6% (Fig. 3.17). Si le courant d’excitation est de 6[A], nous trouvons des erreurs de 3% ou moins (Fig. 3.18). Nous avons constaté que le flux du rotor se sature à mesure que le courant d’excitation augmente. Le modèle que nous avons utilisé est complètement linéaire. Néanmoins, les résultats deviennent plus précis lorsque le courant d’excitation du rotor augmente. Les erreurs absolues entre les valeurs mesurées et les valeurs obtenues à l’aide du modèle sont : 3.1[A] si le courant d’excitation est de 1[A], 2.5[A] si le courant d’excitation est de 3[A] et de 1.5[A] si le courant d’excitation est de 6[A]. Donc, l’erreur absolue entre le modèle et l’expérience reste égale dans tous les cas. Mais, comme dans le cas d’une excitation plus importante du rotor, la valeur des courants est plus grande, les erreurs relatives deviennent petites. Les erreurs s’expliquent par la mesure du courant. Il est suffisant que les mesures du courant possèdent une erreur absolue de 1.5[A] (1.5% à pleine échelle) pour expliquer la différence entre le modèle dans tous les cas (Fig. 3.16, 3.17, 3.18). La mesure du courant intervient dans deux étapes de l’expérience. D’abord lors de la mesure du courant de court-circuit et du calcul de l’inductance de l’alternateur. Ensuite, lors de la mesure du courant à la sortie du redresseur. En superposant les erreurs, nous constatons que le modèle pourrait expliquer les mesures obtenues. Par exemple, si le courant d’excitation est 1[A], les erreurs de mesure semblent expliquer la différence, même si elles semblaient les plus importantes (Fig. 3.16). Le courant de phase a été mesuré avec des résistances shunt, car la plage de fréquence et l’intensité du courant nous empêche d’utiliser d’autres instruments tels que des transformateurs de courant. Ces shunts n’ont pas été vérifiés depuis quelques années. La dernière date de vérification reste illisible. Donc, compte tenu de l’état des Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 176 Courant DC A shunts, nous considérons qu’une erreur de 1.5% à pleine échelle est plausible. 20 17.5 15 12.5 10 7.5 5 2.5 Modèle avec erreur rouge Paramètres Essais bleu 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Vitesse RPM Figure 3.16 – Comparaison des résultats expérimentaux et du modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 1[A] Courant DC A 50 Paramètres avec erreur rouge 30 Paramètres Essais bleu 40 20 10 1000 2000 3000 Vitesse RPM 4000 Figure 3.17 – Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 3[A] Courant DC A Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 177 80 Paramètres avec 70 erreur rouge 60 50 40 30 20 10 Paramètres Essais bleu 1000 2000 3000 Vitesse RPM 4000 Figure 3.18 – Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur avec un courant de rotor de 6[A] Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.5.3 178 Paramètres d’un alternateur modifié avec rotor à aimants permanents Nous avons utilisé un alternateur à aimants permanents composé du même stator que la machine DELCO, mais il comporte un rotor à aimants permanents NdFeB à 12 pôles. À l’aide des essais en court-circuit et des essais à vide, nous avons trouvé les paramètres électriques indiqués dans le Tableau 3.3. Des problèmes d’échauffement excessif ont empêché de réaliser des essais avec charge à vitesses plus élevées. En effet, l’isolement a été endommagé et partiellement brûlé lors de ces essais. Paramètres Essai à vide et en court-circuit rs [Ohm] 0.1 L − M [mH] 0.34 λ [mWb phase phase RMS] 29.0 p 6 Tableau 3.3 – Paramètres électriques d’un alternateur à aimants permanents 3.5.4 Comparaison du courant à la sortie du redresseur de l’alternateur à aimants Nous pouvons constater que les résultats obtenus montrent que l’erreur relative entre les mesures et le modèle est de 7% et que l’erreur absolue maximale est de 3.3[A] (Fig. 3.19). Les différences sont expliquées par une erreur de mesure de courant de 1.5% (Fig. 3.19). Néanmoins, nous considérons les mesures obtenues pour l’alternateur à aimants permanents incomplets. En effet, nous n’étions pas capables d’obtenir des valeurs pour des vitesses plus élevées que 2500[RPM] à cause de problèmes d’échauffement. Courant DC A Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 179 80 Paramètres avec 70 erreur rouge 60 50 40 30 20 10 Paramètres Essais bleu 1000 2000 3000 Vitesse RPM 4000 Figure 3.19 – Comparaison des résultats expérimentaux et le modèle utilisant des paramètres avec erreur pour l’alternateur à aimants permanents Étude du fonctionnement d’un générateur de voiture 3.6 180 Conclusion Nous avons développé une méthode pour obtenir les solutions analytiques des équations différentielles en régime permanent d’un alternateur de voiture. Cette méthode se base sur une étude séquence par séquence, réduite à un sixième de période électrique avec au maximum, un seul changement de séquence de fonctionnement. Cette méthode nous permet d’obtenir des expressions analytiques des intégrales représentant le courant à la sortie du redresseur de l’alternateur, le courant efficace, la phase et l’amplitude de la composante fondamentale. Cela se traduit par un gain important de temps de calcul par rapport à d’autres outils de simulation. Nous avons validé cette méthode avec deux alternateurs différents. Les résultats expérimentaux montrent que les hypothèses simplificatrices utilisées n’affectent pas la précision du modèle. En effet, nous avons montré que la caractéristique de génération maximale est reproduite par le modèle proposé avec une précision de 3% pour une machine avec rotor bobiné et 7% pour une machine avec un rotor à aimants permanents. Dans tous les cas l’erreur entre le modèle et la mesure est inférieure à 3 [A]. Ces résultats confirment qu’il est possible d’atteindre une bonne précision avec des modèles simplifiés. Cette méthode peut être appliquée avec d’autres structures de redresseur. Par exemple, nous avons développé un outil similaire pour un redresseur en pont monophasé. Chapitre 4 Exemples de conception avec les outils développés 4.1 Introduction Les outils présentés dans les chapitres précédents ont été intégrés dans un environnement de conception de machines électriques et d’entraı̂nements à vitesse variable du LEEPCI. Cet environnement est basé principalement sur des modèles de dimensionnement analytiques et utilise une méthode de résolution par optimisation avec contraintes [11]. Les principales étapes d’un processus de conception sont les suivantes : • Définition du cahier des charges. ◦ Définition du problème et des contraintes à satisfaire. • Choix de la structure de la machine et de l’onduleur. ◦ Variables de dimensionnement et d’optimisation. • Choix des matériaux et paramètres de dimensionnement. ◦ Paramètres caractéristiques des matériaux tels que l’aimantation et des techniques de fabrication comme le coefficient de remplissage. • Résolution du problème d’optimisation. ◦ Dimensionnement de la machine avec un modèle analytique. ◦ Calcul du modèle électrique équivalent de la machine. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 182 ◦ Validation des points de fonctionnement et des contraintes du cahier des charges. • Validation de la solution. ◦ Analyse et validation par calcul de champ et nouvelle itération avec correction des paramètres de dimensionnement si nécessaire. Les outils que nous avons développés constituent un noyau important de cette procédure puisqu’ils permettent d’estimer les paramètres électriques et les performances du système d’entraı̂nement. Les sections suivantes montrent trois exemples d’utilisation de ces outils. Le premier exemple montre la relation étroite qu’il y a entre la taille d’une machine de traction et la puissance apparente de l’onduleur. Le deuxième exemple traite de la conception d’un entraı̂nement de traction pour un parcours typique. Dans le troisième exemple, nous analysons la sensibilité des modèles analytiques pour la conception d’un alternateur d’automobile en comparant les résultats d’un dimensionnement réalisé avec deux modèles magnétiques différents. 4.2 Compromis entre la taille de l’onduleur et la taille de la machine pour un fonctionnement sur une large plage de vitesse Dans le chapitre §2, nous avons montré que les machines à pôles saillants semblent plus intéressantes que les machines à pôles lisses pour des applications de traction tel que le préconise la référence [23]. Les raisons invoquées dans la référence [23] sont : • Diminution de la quantité des aimants requis. • Une f.e.m. plus faible à haute vitesse. • Insensibilité aux variations du flux des aimants. • Augmentation de l’efficacité à haute vitesse. Cependant, ces conclusions se basent sur des mesures comme la quantité des aimants ou la faiblesse de la f.e.m. à vide qui sont à toute évidence plus favorables aux machines à pôles saillants. Aussi, nous ne trouvons pas de cahier des charges de référence pour évaluer les différentes machines proposées dans [23]. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 183 Dans cette section, nous présentons les résultats d’une comparaison entre des paramètres de machine pour une caractéristique de couple vitesse à puissance constante sur une plage de vitesse de 1 à 10 (Fig. 4.1). L’objectif est de trouver les systèmes d’entraı̂nement qui sont au dessus de cette caractéristique [27]. T Nm Tnom 0.8Tnom 0.6Tnom 0.4Tnom 0.2Tnom nom 2nom 3nom 4nom rads 5nom Figure 4.1 – Cahier des charges à puissance constante Nous comparons les différents systèmes d’entraı̂nement à l’aide de deux mesures : • La puissance apparente de l’onduleur. • Le couple maximal que peut fournir la machine. La puissance apparente de l’onduleur a une relation directe avec son coût. En effet, nous pouvons montrer que le prix des transistors monte linéairement avec le courant US$ maximal que peut supporter pour une application avec tension fixe (Fig. 4.2). 200 175 150 125 100 75 50 25 $USD0.819imax R2 0.911 50 100 150 200 imax A 250 300 Figure 4.2 – Prix des transistors en fonction du courant Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 184 Le couple maximum que peut fournir une machine dépend directement du volume de son rotor, de l’induction dans l’entrefer et de la charge linéique au stator. 4.2.1 Méthode d’étude Cette étude est basée sur les paramètres du modèle électrique équivalent de la machine soit l’inductance cyclique, le flux à vide, le rapport de saillance, et la puissance apparente du convertisseur [27]. Elle consiste à déterminer les ensembles de paramètres qui permettent de satisfaire les conditions suivantes : • Respecter le cahier des charges représenté par la caractéristique de couple vitesse à puissance constante (Fig. 4.1). • Minimiser à la fois la puissance apparente du convertisseur et le couple maximal de la machine. 4.2.2 Analyse simplifiée Pour montrer que l’étude n’a pas de solution évidente, on peut analyser deux cas très simplifiés. Le premier cas, consiste à satisfaire le cahier des charges avec une machine à pôles lisses avec une commande à couple maximum. Dans ce cas, le couple maximum de l’entraı̂nement est donné par le produit du courant maximal de l’onduleur et le flux à vide de la machine. Le couple maximum est donné par : 3 Tnom = Tmax = pλimax 2 Où : Tmax couple maximal. Tnom couple nominal. imax courant maximal. (4.1) Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 185 En supposant que la chute de tension dans les impédances de la machine est négligeable, la f.e.m. de la machine doit être inférieure à la tension maximale, que peut fournir l’onduleur, à la vitesse maximale de 10Ωnom (Fig. 4.1) : vmax = 10λΩnom (4.2) Où : vmax tension maximale. λ flux à vide. Ωnom vitesse nominale. Les deux équations précédentes montrent que la puissance apparente de l’onduleur est égale dix fois la puissance mécanique de la charge : 3 vmax imax = 10Tnom Ωnom 2 Sonduleur = 10Pcharge (4.3) (4.4) Le deuxième cas consiste à concevoir le système tel que la machine possède des paramètres liés par l’équation suivante : 2 Tnom Ωnom λ = L 3 vmax (4.5) Où : L inductance. Si la loi de commande est telle que la tension d’axe direct est toujours gardée à sa valeur maximale : Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 186 vd = −vmax (4.6) vq = 0 (4.7) Où : vd , vq tension d’axe direct et d’axe quadratique. Il est possible de montrer que le couple maximal du système est : Tmax = Tnom Ωnom ≥ Tcharge Ω (4.8) La puissance apparente de l’onduleur est : Sonduleur 3 = vmax 2 v max 2 LΩ + 2 Tnom Ωnom 3 vmax 2 (4.9) Donc, il est suffisant de maximiser l’inductance pour minimiser la puissance apparente de l’onduleur. À la limite, on obtient : Sonduleur = Pcharge (4.10) Où : Sonduleur puissance apparente de l’onduleur. Cependant, le couple de la machine atteint une valeur très élevée si la vitesse diminue. Cet exemple très simplifié montre qu’il existe une relation entre la puissance de la charge, la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal de la machine. Il ne semble pas possible de minimiser la puissance apparente de l’onduleur sans affecter le couple maximal de la machine et sa taille. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.2.3 187 Analyse en utilisant les outils développés L’outil développé dans le chapitre §2 peut être utilisé pour déterminer la relation entre la taille de la machine et la taille de l’onduleur pour différents paramètres électriques et différents rapports de saillance. Le résultat de cette recherche est une courbe qui représente le meilleur compromis entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal de la machine. La figure 4.3 montre le résultat avec des machines à pôles lisses. La courbe divise le plan couple maximal - puissance apparente de l’onduleur en deux parties. Dans la partie à gauche de la courbe, il n’est pas possible de trouver de systèmes qui remplissent le cahier des charges avec la puissance apparente et le couple maximal imposés. À droite de la courbe, il est possible de trouver des systèmes qui remplissent l’ensemble de ces conditions. Sur la courbe limite, on constate que, si la puissance apparente de l’onduleur est réduite, le couple maximal de la machine augmente. Cependant, cette courbe montre qu’à partir d’un 30% de surdimensionnement de l’onduleur par rapport à la puissance mécanique, le couple de la machine atteint un minimum correspondant au couple de la charge à basse vitesse. En étudiant le cas des machines à pôles saillants avec un rapport de saillance imposé (Lq = 5Ld ), on obtient une courbe très similaire à la courbe précédente (Fig. 4.4, bleu). Malgré un rapport de saillance élevé, il ne semble pas que ce type de machine présente un avantage intrinsèque qui lui permette de se démarquer des machines à pôles lisses (Fig. 4.4, rouge) quant à la diminution du couple maximal ou de la taille minimale de l’onduleur. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 188 3Tnom Espace de solutions Couple Max 2.5Tnom 2Tnom 1.5Tnom 1Tnom Tnom nom 1.2Tnom nom 1.4Tnom nom 1.6Tnom nom Sonduleur 1.8Tnom nom 2Tnom nom Figure 4.3 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles lisses 3Tnom Espace de solutions Couple Max 2.5Tnom 2Tnom 1.5Tnom 1Tnom Tnom nom 1.2Tnom nom 1.4Tnom nom 1.6Tnom nom Sonduleur 1.8Tnom nom 2Tnom nom Figure 4.4 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 189 Dans le cas des machines avec un autre rapport de saillance Lq = 0.2Ld , on obtient un résultat différent. On constate qu’il est possible de trouver des systèmes qui utilisent un onduleur plus petit que les machines à pôles lisses sans augmenter le couple maximal du système (Fig. 4.5). En effet, la courbe indique qu’au-delà de 20% de surdimensionnement de l’onduleur par rapport à la puissance mécanique, le couple de la machine atteint un minimum correspondant au couple de la charge. Dans le cas des machines à pôles lisses ou des machines avec Lq = 5Ld , le surdimensionnement est de 30%. Ceci dit, ce rapport de saillance est très difficile à obtenir avec des rotors à aimants permanents. Il nécessite l’utilisation de structures de rotor particulières avec des barrières de flux, des aimants chapeautés ou avec des rotors hybrides. Ces modifications compliquent la conception et ne permettent pas nécessairement d’atteindre une valeur de saillance intéressante. La raison pour laquelle la saillance semble avoir un effet bénéfique, dans certains cas, s’explique partiellement avec les équations d’une machine. Si nous négligeons la résistance, les équations d’une machine, en variables de Park, sont : vd = −pΩLq iq (4.11) vq = pΩ(λ + Ld id ) 3 t = piq (λ + (Ld − Lq )id ) 2 (4.12) (4.13) Le courant d’axe quadratique iq est absolument nécessaire pour générer du couple dans la machine. Cependant, ce courant produit aussi une chute de tension d’axe directe, qui est indésirable car elle s’ajoute à la f.e.m. de la machine qui se trouve dans l’axe quadratique. Donc, le fait de proposer des saillances dont Lq > Ld ne semble pas aller dans la bonne direction. Par contre, si nous pensons au cas limite où Lq = 0, la tension d’axe quadratique devient nulle sans avoir à diminuer le courant d’axe quadratique de la machine. 4.2.4 Effet de la plage autour de la vitesse nominale Les points de fonctionnement d’un parcours typique d’un véhicule ne sont pas tous situés sur une caractéristique à puissance constante et ne la décrivent pas en entier. Il Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 190 3Tnom Espace de solutions Couple Max 2.5Tnom 2Tnom 1.5Tnom 1Tnom Tnom nom 1.2Tnom nom 1.4Tnom nom 1.6Tnom nom Sonduleur 1.8Tnom nom 2Tnom nom Figure 4.5 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld est donc intéressant d’étudier l’effet d’un changement du cahier des charges lors d’un fonctionnement à puissance constante (Fig. 4.1). Nous avons choisi d’éliminer du cahier des charges, la partie de la courbe autour de la vitesse nominale, qui semble être la partie la plus contraignante dans une application de traction électrique. Dans ce cas, le couple minimal que doit fournir le système à différentes vitesses est défini par la figure 4.1, à l’exception de la plage autour de la vitesse nominale du système (Fig. 4.6, bleu). Si nous faisons la même recherche avec un cahier des charges modifié (Fig. 4.6) dans lequel le couple minimal n’est pas imposé entre 0.85Ωnom et 1.15Ωnom , on obtient la courbe de la figure 4.7 dans le cas d’un système avec une machine à pôles lisses. À partir d’un surdimensionnement de l’onduleur de 15% par rapport à la charge, le couple maximal du système atteint un minimum correspondant au couple de la charge. Ceci représente un gain de 15% sur la taille de l’onduleur par rapport au cahier des charges non modifié. On trouve un résultat très similaire dans le cas des machines avec Lq = 5Ld (Fig. 4.8) soit que le surdimensionnement limite de l’onduleur est de 15%. Dans le cas d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld , nous constatons qu’à partir Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 191 T Nm Tnom 0.8Tnom 0.6Tnom 0.4Tnom 0.2Tnom nom 2nom 3nom rads 4nom 5nom Figure 4.6 – Cahier des charges à puissance constante en ignorant une portion autour de la vitesse nominale d’un surdimensionnement de l’onduleur de 5%, le couple maximal atteint le minimum (Fig. 4.9). Le Tableau 4.1 résume ces résultats. Type de machine Surdimensionnement de Surdimensionnement de l’onl’onduleur limite duleur limite Cahier des charges nor- Cahier des charges modifié mal Pôles lisses 30% 15% Lq = 5Ld 30% 15% Lq = 0.2Ld 20% 5% Tableau 4.1 – Surdimensionnement de l’onduleur nécessaire pour obtenir un couple maximal égal au couple de charge Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 192 3Tnom Espace de solutions Couple Max 2.5Tnom 2Tnom Cahier des charges original 1.5Tnom Cahier des charges modifié Tnom Tnom nom 1.2Tnom nom 1.4Tnom nom 1.6Tnom nom Sonduleur 1.8Tnom nom 2Tnom nom Figure 4.7 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles lisses avec un cahier des charges modifié Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 193 3Tnom Espace de solutions Couple Max 2.5Tnom 2Tnom Cahier des charges original 1.5Tnom Cahier des charges modifié Tnom Tnom nom 1.2Tnom nom 1.4Tnom nom 1.6Tnom nom Sonduleur 1.8Tnom nom 2Tnom nom Figure 4.8 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 5Ld avec un cahier des charges modifié Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 194 3Tnom Espace de solutions Couple Max 2.5Tnom 2Tnom Cahier des charges original 1.5Tnom Cahier des charges modifié Tnom Tnom nom 1.2Tnom nom 1.4Tnom nom 1.6Tnom nom Sonduleur 1.8Tnom nom 2Tnom nom Figure 4.9 – Relation entre la puissance apparente de l’onduleur et le couple maximal d’une machine à pôles saillants Lq = 0.2Ld avec un cahier des charges modifié Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.2.5 195 Exemple de conception d’un entraı̂nement pour un fonctionnement à puissance constante Cette section montre les résultats obtenus lors de la conception d’un entraı̂nement avec une procédure d’optimisation et une validation des paramètres électriques avec un logiciel de calcul des champs. La structure de la machine est fixée à 12 pôles, 36 encoches et trois phases avec un rotor cylindrique. La saturation est négligée. La puissance apparente de l’onduleur est augmentée graduellement pour constater son effet sur le résultat de la conception de la machine. Pour l’optimisation, c’est la masse totale de la machine qui a été minimisée tout en respectant les contraintes de la charge (Fig. 4.1 et 4.6). L’objectif est de déterminer si la relation trouvée entre le couple maximal de la machine et le degré de surdimensionnement de l’onduleur est effectivement vérifiée avec la procédure de CAO. Les paramètres de conception sont présentés dans le Tableau 4.2. La puissance apparente de l’onduleur varie de 110% à 5 fois la puissance mécanique. En considérant le cahier des charges de la figure 4.1, on obtient les résultats indiqués dans le Tableau 4.3 et la figure 4.10. Si nous considérons le cahier des charges de la figure 4.6, on obtient les résultats indiqués dans le Tableau 4.4 et la figure 4.11. Les résultats suivent la tendance de la courbe théorique dans les deux cas. Aussi, les systèmes qui utilisent le cahier des charges modifié ont un couple maximal moins important que les mêmes systèmes conçus avec le cahier des charges non modifié, tel qu’attendu. Dans tous les cas, l’augmentation constatée sur le couple maximal du système est plus importante que celle prévue par les courbes théoriques. Cette différence est plus évidente si la puissance apparente de l’onduleur s’approche de la puissance mécanique de la charge. La masse des différentes machines diminue lorsque la puissance apparente de l’onduleur augmente. La masse des systèmes qui utilisent un cahier des charges modifié est inférieure à la masse des systèmes équivalents qui utilisent un cahier des charges non modifié (Fig. 4.12). Donc, la relation entre le couple maximal et la masse de la machine est vérifiée. Cependant, le rapport entre la réaction d’induit et le flux à vide ne suit pas la courbe Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 196 limite. Dans le cas des systèmes avec une puissance apparente d’onduleur proche de la puissance mécanique, les systèmes conçus sont très près de la limite trouvée (Fig. 4.13, a-d). Cependant, si la puissance apparente de l’onduleur est plus élevée que la puissance mécanique, la réaction d’induit est beaucoup plus élevée que la limite trouvée (Fig. 4.13, e-g). L’étude théorique se base sur la considération des paramètres électriques seulement et il ne tient pas compte des contraintes propres à la conception des machines. La figure 4.13 montre qu’il n’est pas possible de réduire la réaction d’induit de manière arbitraire. Tension bus DC 300[V] Puissance mécanique nominale 25[kW] Plage de vitesse à puissance constante 800-8000[RPM] Couple nominal 298[Nm] Vitesse nominale 800[RPM] Pertes maximales du moteur 3.5[kW] Nombre de pôles 12 Nombre d’encoches 36 Tableau 4.2 – Paramètres de conception d’un entraı̂nement pour une application de traction Machine Puissance apparente Couple maximum du Couple de l’onduleur système conçu théorique A 1.1Tnom Ωnom 1.59Tnom 1.25Tnom B 1.15TnomΩnom 1.33Tnom 1.12Tnom C 1.2Tnom Ωnom 1.19Tnom 1.05Tnom D 1.41TnomΩnom 1Tnom E 2Tnom Ωnom 1Tnom F 5Tnom Ωnom 1Tnom G 10Tnom Ωnom 1Tnom maximum Tableau 4.3 – Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur avec le cahier des charges de traction non modifié Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés Machine Puissance apparente Couple maximum du Couple de l’onduleur système conçu théorique AS 1.1Tnom Ωnom 1.47Tnom 1.07Tnom BS 1.15TnomΩnom 1.23Tnom 1.02Tnom CS 1.2Tnom Ωnom 1.09Tnom 1Tnom DS 2Tnom Ωnom 1Tnom ES 5Tnom Ωnom 1Tnom FS 10Tnom Ωnom 1Tnom 197 maximum Tableau 4.4 – Surdimensionnement de la machine en fonction de la taille de l’onduleur avec le cahier des charges de traction modifié 3Tnom Couple Max 2.5Tnom Espace de solutions 2Tnom A 1.5Tnom B C 1Tnom Tnom nom D E 2Tnom nom F 3Tnom nom Sonduleur G 5Tnom nom 7Tnom nom 10Tnom nom Figure 4.10 – Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 198 3Tnom Couple Max 2.5Tnom 2Tnom Espace de solutions AS 1.5Tnom BS CS DS 1Tnom Tnom nom 2Tnom nom ES 3Tnom nom Sonduleur FS 5Tnom nom 7Tnom nom 10Tnom nom Figure 4.11 – Résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le cahier des charges modifié. 90 80 A Masse totale kg 70 AS 60 50 B 40 BS C 30 CS DS ES D Tnom nom 2Tnom nom E 3Tnom nom Sonduleur 5Tnom nom 7Tnom nom FS F 10Tnom nom Figure 4.12 – Masse des résultats de la conception d’une machine à pôles lisses avec le cahier des charges modifié. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 199 a 1 b d Espace de solutions e c Limax Λ g f 0.8 0.6 0.4 0.2 2 4 6 8 10 imax pu Figure 4.13 – Réaction d’induit par rapport au flux à vide des résultats de la conception. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.2.6 200 Conclusion sur l’utilisation des outils pour le dimensionnement d’un entraı̂nement avec fonctionnement à puissance constante Nous avons réalisé une étude théorique, d’abord analytique et par la suite en utilisant l’outil développé dans le chapitre §2, qui montre qu’il existe une relation entre le couple maximal d’une machine et la puissance apparente de l’onduleur pour réaliser des fonctionnements à puissance constante. À l’aide d’une procédure de conception d’entraı̂nements, nous avons pu valider la relation trouvée avec l’étude théorique entre le couple maximal de la machine et la puissance apparente de l’onduleur. Nous avons aussi montré que la masse de la machine augmente si la puissance apparente de l’onduleur diminue. Cependant, la diminution théorique de la réaction d’induit avec la puissance apparente n’est pas suivie. Il n’est pas possible de construire un système de traction avec des machines à aimants permanents avec une puissance mécanique égale à la puissance apparente de l’onduleur, même en négligeant toutes les pertes. Ces résultats sont sensibles à la forme de la caractéristique couple-vitesse du cahier des charges. On a constaté une diminution de la masse de la machine lorsqu’on ignore la zone de la caractéristique de couple vitesse autour de la transition entre le fonctionnement à couple constant et le fonctionnement à puissance constante. Cette étude théorique montre que les machines à pôles saillants dont Lq > Ld ne semblent pas plus avantageuses que les machines à pôles lisses. Cependant, les machines dont Ld > Lq semblent plus intéressantes mais l’outil du chapitre §2 montre aussi que la loi de commande optimale d’une machine à pôles saillants est plus complexe qu’une loi de commande d’une machine à pôles lisses. Il est important de tenir compte de cet aspect lors du choix d’une structure d’entraı̂nements à vitesse variable pour des applications de traction. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.3 201 Conception d’une machine pour une application de traction Une application de traction électrique peut se caractériser par une courbe de vitesse et de pente en fonction du temps pour un parcours typique. Par exemple, la figure 4.14 montre un parcours basé sur des essais normalisés d’automobiles pour déterminer la consommation de combustible (EPA US06 et EPA UDDS) [28] [11]. Ce parcours a été modifié en ajoutant une pente qui augmente la force de résistance au mouvement du 125 0.5 100 0.4 75 0.3 50 0.2 25 0.1 0 Pente pu Vitesse kmh véhicule. 0. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Temps min Figure 4.14 – Vitesse et pente sur le parcours En utilisant des donnés comme le diamètre des roues, le facteur de réduction de la transmission, la masse du véhicule et le coefficient de traı̂née (Tableau 4.5), les points du parcours dans le temps sont transformés en points de couple versus la vitesse du moteur (Fig. 4.15). Les points de la figure 4.15 forment une partie du cahier des charges du véhicule, car le parcours doit être réalisable, avec le maximum d’efficacité et en respectant des contraintes liées à la taille de la machine et de l’onduleur. Nombre de moteurs 2 Masse du véhicule 1400 [kg] Réduction de la transmission 8 :1 Tension maximale 144 [V] Courant maximal 289 [A] Coefficient de traı̂née 0.015 Tableau 4.5 – Caractéristiques de l’entraı̂nement du véhicule Couple Nm Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 202 150 125 100 75 50 25 0 25 0 2000 4000 6000 Vitesse rpm 8000 Figure 4.15 – Couple de charge du moteur pour le parcours utilisé 4.3.1 Définition du problème d’optimisation La définition du problème d’optimisation consiste à déterminer les contraintes, les variables et les performances recherchées en fonction du cahier des charges. Dans la référence [28], le problème d’optimisation a été défini en suivant la méthode indiquée dans la figure 4.16. En tenant compte du cahier des charges, la première étape consiste à définir la structure du système, soit le nombre de phases, d’encoches et de pôles ainsi que la structure du bobinage et de l’onduleur. Le nombre de phases a été fixé à trois et seulement des machines à pôles lisses ont été retenues. Ensuite, les variables d’optimisation sont définies, les contraintes liées à la performance demandée au système et les équations de dimensionnement. Les variables d’optimisation sont utilisées pour calculer : • Les dimensions géométriques de la machine. • La masse des différentes parties de la machine. • Les paramètres électriques de la machine. • La loi de commande de l’entraı̂nement pour le parcours typique utilisé (Fig. 4.14), tout en respectant les limites de tension et de courant de l’onduleur. • L’efficacité du système sur le parcours est optimisée. L’algorithme d’optimisation modifie les variables pour optimiser l’efficacité de l’entraı̂nement dans le parcours. Ces modifications se basent seulement sur le modèle analytique et il peut y avoir une différence entre la performance que prédit le calcul analytique et un logiciel de calcul de champ. C’est pour cela que le résultat optimal obtenu est Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 203 considéré comme intermédiaire et qu’il doit être vérifié à l’aide d’un logiciel de calcul de champ. Le résultat de cette vérification a soit pour effet que la solution est validée ou que des facteurs correcteurs pour l’inductance et le flux sont calculés et que l’optimisation est réalisée de nouveau (Fig. 4.16). Ces facteurs correcteurs améliorent la précision du calcul analytique par rapport au calcul de champ. Si la solution est validée par le calcul de champ, elle est valable [28] [11]. L’avantage de cette méthode est de diminuer le nombre d’utilisations du calcul de champ car il est utilisé à l’extérieur de la boucle d’optimisation (Fig. 4.16) [11]. 4.3.1.1 Détermination de la fonction objectif Nous avons choisi de maximiser l’efficacité totale de l’entraı̂nement sur le parcours tout en satisfaisant les contraintes du cahier des charges. L’outil que nous avons développé donne directement la puissance électrique d’entrée à la machine pour chaque point de fonctionnement §2. Dans la référence [28], les pertes magnétiques de chaque point de fonctionnement de la machine sont représentées comme un couple de friction ajouté au couple de charge. Pour calculer les pertes magnétiques, l’outil est utilisé une première fois pour estimer le flux en charge de la machine. Avec le flux en charge, il est possible d’estimer les pertes magnétiques à l’aide des coefficients des pertes d’hystérésis, de courant de Foucault et des dimensions géométriques de la machine, comme il a été décrit dans [28], [11]. Ce calcul est réalisé pour chacun des points du parcours. Avec les pertes magnétiques connues pour chaque point du parcours, un couple de friction équivalent est calculé et l’outil est utilisé à nouveau en imposant une nouvelle valeur de couple électromagnétique suffisamment importante pour obtenir le couple mécanique désiré. Ceci permet de calculer facilement l’énergie d’entrée en tenant compte des pertes magnétiques, mais oblige à calculer deux fois chaque point du parcours (Fig. 4.16). L’énergie fournie à la charge mécanique est obtenue directement du parcours, car c’est le produit du couple de la charge, de sa vitesse et du temps. L’efficacité est le ratio entre les deux énergies. Notons que ce calcul nécessite d’évaluer deux fois chaque point du parcours, car les pertes magnétiques sont estimées en fonction du point de fonctionnement en supposant que les pertes magnétiques sont nulles. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés ' Départ & 204 $ - Analyse du cahier des charges - % Choix de structure de la machine - ? Premier calcul de loi de commande pour le parcours Dimensionnement analytique ? Estimation des pertes magnétiques et correction du couple de référence ? Deuxième calcul de la loi de commande pour le parcours - Calcul de l’efficacité sur le parcours @ Non @ @ @ - Fin optimisation @ @ analytique @ @ @ @ Oui ? Solution optimale et validation par calcul de champ ? @ @ @ @ @ Validé ? Calcul facteurs Non correcteurs pour @ modèle analytique @ @ @ @ Oui ' ? $ Solution finale & Figure 4.16 – Étapes de la conception d’un entraı̂nement de traction % Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.3.1.2 205 Contraintes du cahier des charges La liste des contraintes imposées par le cahier des charges est présentée dans le Tableau 4.61 . Couple électromagnétique à 2540 [RPM] 150 [Nm] Couple électromagnétique à 3543 [RPM] 109 [Nm] Couple électromagnétique à 5181 [RPM] 74 [Nm] Couple électromagnétique à 8123 [RPM] 35 [Nm] Diamètre externe maximal 0.3 [m] Longueur maximale 0.15 [m] Pertes maximales 3000 [W] Courant maximal d’une phase 289 [A] Tension maximale d’une phase 144 [V] Induction maximale permise dans le fer 1.8 [T] THD maximale de la f.e.m. 3% Couple de détente maximal 1.5 [Nm] Tableau 4.6 – Contraintes de conception On peut remarquer que l’entraı̂nement doit être capable de développer un certain niveau de couple à différentes vitesses. Ces valeurs caractéristiques ont été choisies arbitrairement en prenant les points les plus contraignants sur le parcours. Ces contraintes permettent de s’assurer que l’ensemble du parcours est réalisable, sans nécessiter une vérification pour chaque point du parcours. L’encombrement de la machine est aussi limité en raison de l’espace disponible dans un véhicule. Les pertes maximales pour les différents points d’opération du parcours sont aussi limitées pour réduire l’échauffement et la taille du système de refroidissement. La puissance apparente maximale de l’onduleur a été imposée pour limiter le coût du convertisseur sous la forme d’une tension et d’un courant maximal. 1 La contrainte de THD a été ignorée lors de l’optimisation, et les machines A, B et E ne remplissent pas cette contrainte. Elles ont été retenues dans cette thèse, car les résultats sont pertinents à la discussion. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.3.1.3 206 Définition des variables d’optimisation Les variables d’optimisation choisies sont celles montrées dans le Tableau 4.7. Longueur du rotor Diamètre du rotor Charge linéique Densité du courant Angle d’un aimant Epaisseur des aimants Ouverture des becs d’encoche Facteurs de concentration de flux (3) Tableau 4.7 – Variables d’optimisation 4.3.1.4 Définition des paramètres de conception Dans la référence [28], les paramètres de conception sont déterminés en fonction des matériaux utilisés pour construire la machine et les limites de fabrication de la machine (Tableau 4.8). Les pertes magnétiques du fer sont estimées à l’aide d’un coefficient des pertes d’hystérésis et d’un coefficient des pertes par courant de Foucault. L’estimation des pertes magnétiques est nécessaire pour estimer les pertes totales du système et pour évaluer efficacité totale avec la méthode qui sera décrite plus tard (§4.3.1.6). Facteur de remplissage des encoches 0.5 Entrefer mécanique minimal 2.5 [mm] Magnétisation rémanente des aimants 1.16 [T] Coefficient des pertes d’hystérésis 0.1338 [W/T2 /Hz] Coefficient des pertes par courants de Foucault 0.411 [mW/T2 /Hz2 ] Résistivité du cuivre 2.793 E-8 [Ωm] Tableau 4.8 – Paramètres de conception 4.3.1.5 Calcul des paramètres électriques de la machine Après avoir réalisé un dimensionnement magnétique de la structure de la machine avec la méthode décrite à la référence [11], il est possible d’estimer les paramètres du modèle électrique équivalent, qui sont les suivants : Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 207 • Le flux à vide tenant compte de la saturation du fer • L’inductance cyclique • La résistance Une analyse de sensibilité des modèles analytiques que nous avons développés pour le calcul du flux et de l’inductance est présentée dans la référence [11]. Cette étude montre que les formules présentées dans le chapitre §1 offrent une sensibilité satisfaisante par rapport au calcul de champ. En effet, le changement d’une variable géométrique de la machine entraı̂ne un changement sur les valeurs des paramètres du modèle calculées avec les formules du chapitre §1. Ce changement est du même signe que celui observé avec le logiciel des éléments finis mais les valeurs ne sont pas exactement les mêmes [11]. Cette différence sur les résultats était attendue puisque nous avons montré dans le chapitre §1 que la précision des formules analytiques est affectée par la structure de la machine choisie, par la perméabilité du fer et par la saturation du fer. En conséquence, il n’est pas envisageable d’utiliser directement les résultats de ces formules lors de la conception d’un entraı̂nement par optimisation, car la solution finale sera invalidée par un logiciel de calcul de champ. Pour corriger ce problème, il faut réaliser une correction sur les paramètres du modèle électrique de la machine en utilisant les résultats du calcul de champ et effectuer plusieurs itérations avec la procédure d’optimisation. Cette méthode de correction est présentée dans la référence [11] et elle consiste à comparer les valeurs de flux et d’inductances obtenues à partir des formules analytiques et du calcul de champ. Avec cette comparaison, il est possible d’obtenir un facteur correcteur qui corrige la valeur des formules analytiques pour mieux s’approcher du calcul de champ (Fig. 4.16). Cette correction est appliquée seulement à la fin du calcul de champ et ne fait pas partie de l’algorithme d’optimisation. Le calcul du flux à vide de la machine s’effectue en trois étapes : • Les dimensions géométriques de la machine et les formules du chapitre §1 permettent de calculer le flux à vide en négligeant la perméabilité du stator et du rotor. Le résultat est un flux dans le bobinage, sans tenir compte de la saturation magnétique λns . • Le flux à vide est aussi calculé avec un réseau de reluctances qui représente uniquement le circuit d’un pôle de la machine. Le résultat est un flux par pôle, sans tenir compte de la saturation magnétique du réseau de reluctances λnsr . Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 208 • On estime ensuite un facteur d’atténuation de l’induction maximale dans l’entrefer qui résulte de la saturation magnétique ou d’une faible perméabilité du fer. Ce facteur est calculé en utilisant un réseau de réluctances d’un pôle qui tient compte des caractéristiques B(H) des matériaux [11]. Le résultat est un flux par pôle, avec la saturation magnétique du réseau de reluctances λsr . L’effet d’atténuation du fer peut être estimé à l’aide du quotient du flux par pôle avec saturation λsr et du flux par pôle sans saturation λnsr , qui sont obtenus avec les réseaux de réluctance comme suit : ksat = λsr λnsr (4.14) Le flux à vide dans le bobinage, en tenant compte de la saturation du fer, est le produit du facteur d’atténuation précédent et du flux à vide dans le bobinage obtenu avec un calcul linéaire : λsat = ksat λns (4.15) Avec les formules proposées, il est possible d’estimer l’inductance, sans la prise en compte de la saturation Llin . Pour calculer l’inductance avec saturation, nous supposons que la valeur du courant de court-circuit dans le bobinage correspond au rapport entre le flux à vide et l’inductance cyclique et qu’elle n’est pas affectée par l’état de saturation [11]. λsat Lsat λns = Llin iccsat = (4.16) icclin (4.17) iccsat = icclin (4.18) Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 209 En conséquence, nous pouvons déduire que : Lsat = λsat Llin = ksat Llin λns (4.19) La détermination de la résistance par phase se base sur une estimation de la longueur moyenne d’une spire d’une bobine, multipliée par le nombre de bobines tout en considérant le facteur de remplissage des encoches. 4.3.1.6 Calcul des courants pour les points du parcours Le calcul des courants pour les différents points de fonctionnement du parcours s’effectue en trois étapes [28]. • On effectue une première estimation des courants optimaux pour chaque point de fonctionnement du système en utilisant les paramètres électriques de la machine et les points de couple versus vitesse obtenus à partir du parcours du véhicule. Ce calcul est réalisé suivant la méthode décrite dans §2 (premier calcul de la loi de commande dans la figure 4.16). • On calcule le flux en charge pour chaque point de fonctionnement en utilisant les résultats précédents. • On estime ensuite les inductions dans les différentes parties de la machine pour chaque point du parcours en utilisant le flux en charge. • Les pertes magnétiques pour chaque point du parcours sont ensuite déterminées avec un modèle de pertes de Steinmetz (Tableau 4.8). • On ajoute au couple de charge, un couple de freinage qui représente les pertes magnétiques pour chaque point du parcours afin d’estimer le couple électromagnétique de référence du moteur et réaliser un deuxième calcul des courants optimaux (deuxième calcul de la loi de commande dans la figure 4.16). • En utilisant les différentes valeurs de couple électromagnétique sur le parcours, les paramètres électriques et l’outil présenté dans le chapitre §2, on peut déterminer les valeurs finales des courants optimaux pour chaque point de fonctionnement lors du parcours. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 210 Les valeurs finales de courant nous permettent d’évaluer la fonction objectif, soit l’efficacité de l’entraı̂nement lors du parcours. 4.3.2 Correction du résultat d’optimisation avec le calcul de champ Lorsqu’un optimum est trouvé, on vérifie les paramètres du modèle électrique avec un logiciel de calcul de champ (Fig. 4.16). Ceci permet de s’assurer que le système calculé respecte l’ensemble des contraintes du cahier des charges après une simulation par calcul de champs. Si ce n’est pas le cas, on détermine des facteurs de correction pour les paramètres électriques. Il faut alors relancer une nouvelle optimisation avec les facteurs de correction. Les coefficients de corrections sont ajustés après chaque optimisation jusqu’à ce que l’écart entre le résultat de l’optimisation et le calcul de champ devienne négligeable [15]. Il faut bien noter que le calcul de champ n’est pas utilisé directement pour l’optimisation puisqu’il prend plus de temps que le calcul analytique. 4.3.3 Analyse de résultats Cette procédure d’optimisation a été utilisée pour comparer plusieurs structures de machines sur le parcours de la figure 4.14 et le Tableau 4.9 montre les résultats de cette étude. Chaque structure satisfait le même cahier des charges. La masse est variable et les structures avec rotor externe semblent avoir un avantage pour minimiser les pertes fer et la masse totale. Les machines A et B possèdent la même structure mais il s’agit de résultats différents qui satisfont le cahier des charges (Fig. 4.17 et 4.18). Il est intéressant de remarquer que la machine A (Fig. 4.17) est limitée en vitesse par rapport à la machine B (Fig. 4.18). La machine A possède une zone de fonctionnement avec haut rendement qui s’étend vers la limite de fonctionnement. La machine B offre un rendement inférieur dans la limite de fonctionnement mais il est plus élevé dans la Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 211 zone entre 6000 et 8000 [RPM]. Le rendement sur le parcours est différent pour chaque machine mais les valeurs sont similaires. Les machines C et F avec un rotor extérieur ont un rendement plus intéressant que les machines avec rotor intérieur. On constate aussi une réduction du volume de cuivre car les têtes de bobines sont moins importantes lorsque le stator se trouve à l’intérieur de la machine. Nous constatons que l’optimisation impose un rendement élevé pour toutes les machines dans la région de fonctionnement entre 2000 et 4000 [RPM] et 25 et 50 [Nm]. Cette zone de fonctionnement rassemble le plus grand nombre de points du parcours. Cependant, il y a d’autres zones de concentration importante entre 6000 et 8000 [RPM] qui ne sont pas toujours sous une zone de fonctionnement de haute efficacité. Par exemple, la machine D, qui a un rendement légèrement moins intéressant que les autres, n’offre pas un rendement élevé dans cette deuxième zone de concentration de points de parcours (Fig. 4.20). Au contraire, les machines C et F ont cet avantage et offrent un meilleur rendement dans cette deuxième zone de concentration des points (Fig. 4.19 et 4.22). Le rendement sur la caractéristique limite des entraı̂nements n’est pas significatif. Machine A B C D 4 E 5 F Nombre de paires de pôles 6 5 Nombre d’encoches 36 12 21 18 8 Type de rotor Int. Ext. Int. Ext. Longueur axiale [m] 0.066 0.068 0.088 0.090 0.058 0.043 Diamètre [m] 0.259 0.240 0.186 0.233 0.287 0.288 Masse de cuivre [kg] 5.70 4.65 2.42 4.12 5.77 3.22 Masse de fer [kg] 10.42 9.38 10.12 15.32 14.12 11.65 Masse des aimants [kg] 1.03 0.68 1.36 1.21 0.85 1.17 Masse totale [kg] 17.15 14.71 13.91 20.64 20.75 16.05 Rapport L/D 0.26 0.29 0.48 0.39 0.20 0.15 95% 93% 94% 96% Rendement du parcours 93% Tableau 4.9 – Résultats de l’optimisation avec différentes structures de machines Le couple maximal de la machine E pourrait dépasser le couple maximal du cahier des charges si on change la référence de couple (Fig. 4.21). Cette machine possède le rendement le plus intéressant parmi les machines avec rotor interne mais elle est aussi la plus lourde. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 150 212 0.98 Couplepu 125 0.96 100 75 0.94 50 25 0.92 0 0 2000 4000 6000 Vitesse pu 8000 10000 0.9 Figure 4.17 – Rendement de la machine A et points du parcours 150 0.98 Couplepu 125 0.96 100 75 0.94 50 25 0.92 0 0 2000 4000 6000 Vitesse pu 8000 10000 Figure 4.18 – Rendement de la machine B et points du parcours 0.9 Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 150 213 0.98 Couplepu 125 0.96 100 75 0.94 50 25 0.92 0 0 2000 4000 6000 Vitesse pu 8000 10000 0.9 Figure 4.19 – Rendement de la machine C et points du parcours 150 0.98 Couplepu 125 0.96 100 75 0.94 50 25 0.92 0 0 2000 4000 6000 Vitesse pu 8000 10000 Figure 4.20 – Rendement de la machine D et points du parcours 0.9 Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 150 214 0.98 Couplepu 125 0.96 100 75 0.94 50 25 0.92 0 0 2000 4000 6000 Vitesse pu 8000 10000 0.9 Figure 4.21 – Rendement de la machine E et points du parcours 150 0.98 Couplepu 125 0.96 100 75 0.94 50 25 0.92 0 0 2000 4000 6000 Vitesse pu 8000 10000 Figure 4.22 – Rendement de la machine F et points du parcours 0.9 Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.3.4 215 Conclusion sur l’utilisation de la procédure de CAO pour des applications de traction électrique Les formules présentées dans le chapitre §1 pour déterminer le flux et l’inductance présentent l’avantage de tenir compte de n’importe quelle structure de machine, ce qui a permis de facilement comparer plusieurs structures de machine. Un logiciel de calcul du champ a validé toutes les solutions après une correction itérative sur les paramètres. Dans le cas de la machine F, la correction des formules analytiques pour s’accorder au résultat du calcul de champ est de 27%. Les outils développés s’intègrent parfaitement dans la procédure de CAO et ont pu être améliorés pour tenir compte de la perméabilité du fer et des pertes magnétiques. La rapidité de résolution du modèle analytique développé dans §2 a permis de déterminer la loi de commande optimale pour l’ensemble des 2475 points du parcours, dans une procédure de conception itérative par optimisation. La méthode utilisée calcule la loi de commande, deux fois, pour chacun des points à chaque itération d’optimisation. Ce résultat montre l’intérêt et les avantages de cette méthode en égard au temps de calcul. L’optimisation a permis d’adapter les caractéristiques des machines pour maximiser le rendement du système dans la région où sont concentrés la plupart des points du parcours. Le rendement du système est moins intéressant lors d’un fonctionnement à basse vitesse et à fort couple ou dans la limite de fonctionnement. Cependant, cela a un effet négligeable sur l’efficacité globale du système avec le parcours typique utilisé. 4.4 Comparaison de modèles magnétiques pour la conception d’un alternateur de voiture Dans le chapitre §3, nous avons développé un modèle pour un alternateur de voiture avec un redresseur à diodes. Cet outil a été utilisé dans la référence [15] pour analyser l’influence de la précision des modèles magnétiques lors du dimensionnement d’un alternateur avec une procédure d’optimisation. Il utilise les paramètres électriques de l’alternateur qui sont estimés à l’aide de différents modèles magnétiques. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 216 Au chapitre §3, nous avons montré qu’il suffit de modéliser l’alternateur comme une machine à pôles lisses. Donc les paramètres du circuit électrique équivalent sont le flux à vide, l’inductance cyclique et la résistance de phase. La méthode de conception de l’alternateur est similaire à celle décrite dans l’exemple précédent et elle est illustrée par la figure 4.23. La procédure de conception a été appliquée deux fois. Une première fois en utilisant un modèle magnétique avec seulement des reluctances (Fig. 4.24). Une deuxième fois, en utilisant les formules présentées dans le chapitre §1, corrigées par un réseau de reluctances, pour tenir compte des caractéristiques des matériaux magnétiques (Fig. 4.25). L’objectif est de comparer les deux résultats et d’analyser l’influence du modèle magnétique analytique sur les performances de la méthode de dimensionnement. Comme il y a une correction par rapport au calcul de champ à l’extérieur de la boucle d’optimisation, les deux résultats finaux satisfont toutes les contraintes et sont validés par un logiciel de calcul de champ en 3D. 4.4.1 Cahier des charges Le cahier des charges de l’alternateur est présenté dans le Tableau 4.10 [11] [15]. Diamètre extérieur maximal 130[mm] Diamètre de l’arbre 17.5[mm] Longueur du circuit magnétique 25 [mm] Entrefer mécanique minimal 0.2[mm] Tension de la batterie 14 [V] Courant de charge minimale à 1000 [RPM] 3 [A] Courant de charge minimale à 3000 [RPM] 75 [A] Courant de charge minimale à 8000 [RPM] 116 [A] Tableau 4.10 – Cahier des charges d’un alternateur de voiture Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés ' $ Départ & - Analyse du cahier des charges % Calcul caractéristique courant vitesse - Choix de structure de la machine - ? Dimensionnement analytique @ @ @ @ @ Non Fin optimisation @ @analytique de la masse @ @ @ @ @ Oui ? Calcul de la masse ? Solution obtenue et validation par calcul de champ 3D Calcul facteurs correcteurs calcul de champ ? @ @ @ @ @ Non @ Validé ? @ @ @ @ @ @ ' ? Oui $ Fin & % Figure 4.23 – Diagramme de la conception de l’alternateur 217 Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés ' $ Dimmensionnement analytique avec réluctances & % 218 ? Déterminer dimensions géométriques avec les variables d’optimisation ? Calculer le flux à vide sans saturation avec la solution d’un réseau de réluctances linéaires ? Calculer le flux à vide avec saturation à partir d’un réseau de réluctances non-linéaires ? Calculer l’inductance sans saturation magnétique avec le réseau de réluctances linéaire ? Calculer le facteur de saturation et calculer la valeur de l’inductance avec saturation ? Corriger les valeurs de flux et d’inductance avec les facteurs correcteurs du calcul de champ ' ? $ Fin & % Figure 4.24 – Dimensionnement analytique utilisant des réseaux de reluctances Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés $ ' Dimensionnement analytique avec réluctances & % 219 Déterminer dimensions géométriques avec les variables d’optimisation ? Calculer l’inductance sans saturation magnétique avec le modèle du chapitre §1 Calculer le flux à vide sans saturation magnétique avec le modèle du chapitre §1 ? Calculer le facteur de saturation avec le réseau de réluctances équivalent - Calculer le flux à vide et l’inductance avec saturation magnétique avec le facteur de saturation ? Corriger le flux à vide et l’inductance avec les facteurs correcteurs du calcul de champ ' ? $ Fin & % Figure 4.25 – Dimensionnement analytique utilisant un modèle 2D corrigé avec un réseau de reluctances Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.4.2 220 Méthode de conception La méthode de conception est similaire à celle utilisée dans le cas du moteur de traction (Fig. 4.16 et 4.23). Elle utilise une boucle d’optimisation avec des formules analytiques et une correction après chaque résultat d’optimisation avec un logiciel de calcul de champ. Les différences entre ces deux procédures sont les suivantes : • Les variables d’optimisation puisqu’il s’agit d’une machine à rotor bobiné. • La correction avec un calcul de champ a été réalisée à l’aide d’un logiciel 3D. • La méthode de conception a été appliquée deux fois. Une fois avec un réseau de reluctances tout seul et une autre fois avec les formules proposées dans §3 qui ont été corrigées avec un réseau de réluctances pour tenir compte de la saturation magnétique. Le calcul de champ a été utilisé uniquement pour corriger les résultats de l’optimisation avec le modèle analytique pour limiter la durée du calcul. Néanmoins, cette méthode assure que le résultat final de l’optimisation est entièrement validé par le calcul de champ, tel qu’indiquée à la figure 4.16. 4.4.3 Sensibilité de la caractéristique courant - vitesse en fonction des modèles magnétiques Avant d’analyser les résultats de la méthode de conception, il est intéressant de comparer les performances des différentes méthodes pour calculer les paramètres du circuit équivalent. Pour cela, on a utilisé les dimensions géométriques d’un alternateur connu et on a calculé ses paramètres avec les différentes méthodes disponibles, soit : des méthodes analytiques et des méthodes numériques du calcul de champ en 3D [15]. On a ensuite comparé les caractéristiques de courant - vitesse obtenues avec les différents jeux de paramètres. La figure 4.26 montre les résultats de cette comparaison si on utilise les deux méthodes de calcul analytiques et des simulations par calcul de champ en potentiel vecteur et en potentiel scalaire. Les deux simulations par calcul de champ 3D permettent d’encadrer la caractéristique exacte tel qu’expliqué dans la référence [29]. On constate que chaque modèle donne un résultat différent. La différence entre Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 221 les modèles analytiques et le calcul de champ montre l’importance de la méthode de correction du calcul de champ développé dans [11]. Le modèle du redresseur du chapitre §3 met en évidence que les deux méthodes de résolution de calcul de champ 3D ont une différence de 10% à 8000 [RPM] et de 30% à 2000 [RPM]. 200 175 Courant DC A 150 125 Calcul champ 3D scalaire Calcul champ 3D vecteur Calcul analytique reluctance 100 75 Calcul analytique 2Dreluctance 50 25 1000 2000 3000 4000 5000 Vitesse RPM 6000 7000 8000 Figure 4.26 – Comparaison des caractéristiques de courant vitesse avec différents modèles magnétiques sur une même machine. 4.4.4 Résultats d’une conception par optimisation avec différents modèles Dans la référence [15], on a utilisé les deux modèles magnétiques dans une procédure de conception itérative par optimisation en imposant des structures de machines identiques soit le même nombre d’encoches, le même nombre de pôles, la même configuration de bobinage et les mêmes paramètres de dimensionnement. Dans les deux cas, le processus d’optimisation arrive à trouver une structure d’alternateur qui remplit le cahier des charges et qui est validé par le calcul de champ en raison de la méthode de correction itérative (Fig. 4.23). Les résultats obtenus sont résumés dans le Tableau 4.11. On constate que les ré- Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 222 sultats du dimensionnement avec les deux modèles sont différents bien que ces deux structures soient des solutions du problème. On constate que les géométries optimales, particulièrement la grandeur de dents de rotor, sont différentes (Fig. 4.27, 4.28). Donc, le résultat est fortement déterminé par le comportement du modèle analytique, même si à la fin, la correction assure que les résultats sont validés par le calcul de champ. La correction se fait sur les valeurs des paramètres mais n’améliore pas la sensibilité du modèle analytique. La masse de l’alternateur obtenue à l’aide du modèle de reluctances est légèrement supérieure au résultat obtenu à l’aide du deuxième modèle magnétique. Les densités de courant sont similaires mais légèrement supérieures dans le résultat obtenu avec le deuxième modèle. Cependant, les paramètres électriques des deux alternateurs sont très similaires. Cela vient de la caractéristique minimale de génération et de la tension de la batterie qui ne laisse pas de degrés de liberté pour le comportement électrique de l’alternateur, compte tenu de la taille maximale permise, des pertes maximales imposées et de l’adaptation du nombre de spires. Figure 4.27 – Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique avec réseaux de réluctances. Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 223 Figure 4.28 – Géométrie obtenue avec l’optimisation d’un modèle magnétique avec formules 2D et corrigés avec un réseaux de réluctances. Modèle magnétique Réseau de réluctances Formules analytiques §1 avec réseau de réluctances Masse du fer 5.7[kg] 5.2[kg] Masse du cuivre 0.96[kg] 0.86[kg] Masse totale 6.7[kg] 6.1[kg] Densité de courant de stator 27.1 [A/mm2 ] 29.3[A/mm2 ] Densité de courant de rotor 10.2 [A/mm2 ] 10.4[A/mm2 ] Flux à vide 12.4 [mWb] Inductance cyclique 134 [μH] Résistance 67 [mΩ] Nombre de tours 12 11 Tableau 4.11 – Résultats obtenus pour la conception d’un alternateur Exemples de conception des machines en utilisant les outils développés 4.4.5 224 Conclusion sur l’influence des modèles magnétiques Cette étude a mis en évidence l’influence de la sensibilité des modèles analytiques sur les résultats d’une conception par optimisation. Elle montre que ces résultats dépendent des performances du modèle analytique. La méthode d’estimation des paramètres électriques présentée au chapitre §1 et améliorée par [11] s’est avérée performante. L’utilisation du calcul de champ permet de corriger l’erreur du modèle analytique mais ne peut pas améliorer sa sensibilité. Même si la solution trouvée à l’aide du modèle analytique n’est pas nécessairement un optimum du problème considéré, elle est une solution valable qui respecte entièrement le cahier des charge. 4.5 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons montré la pertinence des outils de modélisation développés. Ils se sont révélés performants et bien adaptés pour la conception par optimisation des entraı̂nements à vitesse variable. Ils sont rapides et permettent d’évaluer le comportement d’un entraı̂nement sur une large plage de vitesse tout en déterminant les courants et les tensions du système. Il est donc possible de considérer un nombre important de points de fonctionnement en régime permanent sans pénaliser le temps de calcul. Cet avantage est essentiel pour une résolution itérative avec optimisation. La conception d’un entraı̂nement pour une application de traction en utilisant des parcours typiques est une approche originale qui était difficilement réalisable sans des modèles analytiques performants. Les exemples de conception ont aussi montré la simplicité d’utilisation de ces outils et les possibilités d’améliorations pour traiter des problèmes variés sans avoir à modifier les outils de base. La flexibilité des outils a permis de rajouter des méthodes de correction de modèles analytiques et de prise en compte de la saturation pour améliorer la procédure de CAO [11]. Chapitre 5 Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 5.1 Introduction Les machines polyphasées présentent un intérêt dans certaines applications pour la tolérance aux défauts [30], [31] et [32]. Comme type de défauts, nous pouvons signaler des problèmes sur le convertisseur, comme par exemple, un transistor court-circuité ou ouvert. Des défauts peuvent aussi apparaı̂tre dans le bobinage de la machine, comme une bobine avec un court-circuit entre ses spires. Ces défauts affectent les performances de l’entraı̂nement et ils peuvent être compensés dans le cas des machines polyphasées par des stratégies de commande particulières. Cependant, les travaux présentés dans la littérature ne tiennent pas compte des limitations de tension et de courant du système pour définir la loi de commande appropriée et pour évaluer les performances dans ces conditions particulières [30] [31] [32]. Nous avons déjà présenté une méthode de modélisation au chapitre §2 qui caractérise des entraı̂nements polyphasés, en fonctionnement normal, en considérant les limitations de courant et de tension du système. Il est possible d’utiliser la même approche pour Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 226 modéliser le fonctionnement des machines polyphasées qui comportent un défaut avec une phase ouverte ou avec une phase en court-circuit. Cette approche est différente de l’approche algébrique utilisée dans [30], [31] et [32]. Ces travaux n’ont pas considéré les impédances de la machine, ni la tension maximale de l’onduleur. Cela simplifie le calcul des solutions analytiques, mais ces résultats sont valables seulement pour les basses vitesses. Lorsque la vitesse de fonctionnement s’approche de la vitesse nominale, nous ne pouvons plus négliger l’effet des impédances. La méthode présentée dans ce chapitre permet de surmonter ces inconvénients en solutionnant un problème d’optimisation. Dans la première partie du chapitre, nous présentons la structure du système considéré et les hypothèses simplificatrices. Nous formulons le problème d’optimisation et nous expliquons la méthode de résolution retenue. L’algorithme développé est ensuite utilisé pour comparer des entraı̂nements avec un nombre de phases différent et pour évaluer le surdimensionnement nécessaire pour réaliser une tolérance aux défauts. Nous présentons une étude sur la fiabilité des entraı̂nements polyphasés. Finalement, nous comparons des coûts normalisés de ces systèmes en fonction du nombre de phases et de la probabilité de défaut. 5.2 Structure de la machine et de l’onduleur Nous considérons que le système d’entraı̂nement est composé d’une machine à aimants permanents à pôles lisses et d’un onduleur. La machine comporte nphases phases. Nous nous limiterons à étudier les cas de 3, 5 et 7 phases seulement, mais la méthode que nous présentons est générale. Pour rendre le système tolérant aux défauts, la référence [33] propose que les phases ne soient ni couplées magnétiquement, ni couplées thermiquement. Elle propose d’utiliser des structures avec des phases composées par une seule bobine autour d’une dent. Dans la même référence, il est proposé que chaque phase soit alimentée par un pont monophasé complet (Fig. 5.1). De cette manière, chaque phase est complètement isolée des autres phases mis à part le bus DC. Les références [30], [31] et [32] proposent de connecter les machines en étoile pour diminuer le nombre de transistors nécessaires pour alimenter une machine polyphasée Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 227 (Fig. 5.2). Les deux types de structures sont tolérantes aux défauts mais la performance est différente lors d’un défaut. T1 T3 T2 T4 Figure 5.1 – Structure d’une phase d’un entraı̂nement alimentée avec un pont monophasé par phase T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 Figure 5.2 – Structure d’une machine à cinq phases connectée en étoile Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 5.2.1 228 Types de défauts Dans le système d’entraı̂nement, il peut se produire différents défauts : • Une phase ouverte. • Un court-circuit entre terminaux d’une phase. • Un court-circuit entre spires d’une bobine d’une phase. • Un transistor toujours ouvert. • Un transistor toujours fermé. Il est souhaitable que, dans tous les cas, le système puisse fournir une performance adéquate. Nous supposons qu’une performance adéquate est la capacité de produire la puissance mécanique suffisante pour maintenir le couple moyen à la même valeur et sans ondulation du couple. 5.2.2 Commande d’une machine en présence d’un défaut Dans le cas d’un défaut avec une phase ouverte ou d’une phase en court-circuit, il est nécessaire de déterminer une commande en courant qui est capable d’annuler l’ondulation de couple et de maximiser le couple électromagnétique. Cette loi de commande doit en tout temps respecter les contraintes de tension et de courant de l’entraı̂nement, notamment la tension maximale et le courant maximal que peut fournir l’onduleur. L’étude de ces deux défauts est importante, car dans le cas des autres types de défauts, le contrôle du système a pour objectif que la phase affectée soit vue par le système comme une phase ouverte ou comme une phase en court-circuit. 5.2.2.1 Commande en présence d’un défaut de court-circuit d’une spire d’une phase composée par une seule bobine Dans le cas d’un court-circuit entre spires dans le bobinage d’une phase, il circule un courant très élevé dans la spire en court-circuit. Les conducteurs de la spire risquent Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 229 de surchauffer jusqu’à l’interruption du circuit provoquant un défaut de phase ouverte. Donc, une stratégie de contrôle consiste à provoquer l’interruption naturelle du courtcircuit. Cependant, cette stratégie entraı̂ne d’autres problèmes causés par la chaleur qui peuvent apparaı̂tre avant que le courant ne soit interrompu. Pour ces raisons, la référence [33] n’est pas favorable à l’idée de laisser le défaut s’interrompre tout seul. Elle propose de réaliser un court-circuit entre les terminaux de la phase à l’aide de l’onduleur (Fig. 5.3). De cette manière, le courant dans la spire en défaut diminue (voir §A). 5.2.2.2 Défaut d’un transistor ouvert Si un transistor reste ouvert de manière continue, par exemple, le transistor T3 (Fig. 5.5), il est nécessaire d’utiliser les autres transistors (T2 et T4) de l’onduleur pour produire un court-circuit de la phase affectée [33]. Ce court-circuit est nécessaire pour empêcher les diodes de roue libre des transistors T1 et T4 de conduire. En effet, un fonctionnement en sur-vitesse peut produire un courant de circulation non contrôlé à travers les diodes de roue libre des transistors T1 et T4. Ce risque est évité avec un court-circuit de phase. Si la machine est connectée en étoile et qu’un transistor est toujours ouvert, par exemple T6, nous pouvons commander la fermeture du transistor T1. Par la suite, nous utilisons les transistors des autres phases (T7-T10) pour injecter un courant élevé dans la phase affectée et pour ouvrir un fusible en série avec la phase (Fig. 5.7). De cette manière la phase reste ouverte et nous évitons tout risque de circulation de courant par la diode de roue libre du transistor T1. 5.2.2.3 Défaut d’un transistor fermé Si le transistor T3 est toujours fermé dans une structure avec un pont monophasé par phase, il est nécessaire d’utiliser le transistor T1 pour produire un court-circuit de la phase (Fig. 5.6). Dans une machine connectée en étoile, si le transistor T6 est toujours fermé, nous utilisons les transistors (T2-T5) pour injecter un courant élevé dans la phase affectée et ouvrir un fusible en série avec la phase [32] (Fig. 5.8). La référence [33] Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 230 affirme que les fusibles diminuent la fiabilité du système. Cependant, le courant nominal du fusible nécessaire est au moins trois fois plus important que le courant nominal du système. Par exemple, pour une machine avec 5 phases, nous utilisons 4 phases pour injecter le courant dans la phase avec défaut que nous désirons déconnecter. Donc les problèmes de fiabilité du fusible sont réduits, car le fusible travaille bien au dessous de son courant nominal dans toutes les conditions de fonctionnement. T1 T2 T3 T4 Figure 5.3 – Phase alimentée par un pont monophasé, avec un court-circuit entre les spires T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 Figure 5.4 – Phase avec un court-circuit entre les spires du bobinage et avec connexion en étoile 5.2.3 Contrainte sur le courant de court-circuit d’une machine Nous avons constaté que certains défauts, notamment le court-circuit entre les spires d’une phase et les défauts des transistors de puissance, nécessitent de réaliser un courtcircuit d’une phase de la machine en régime permanent. Donc, il est nécessaire que Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé T1 T2 231 T3 ouvert T4 Figure 5.5 – Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours ouvert T1 T2 T3 fermé T4 Figure 5.6 – Phase alimentée par un pont monophasé avec un transistor toujours fermé T1 T2 T3 T4 T5 inom inom inom inom 4inom T6 T7 T8 T9 T10 ouvert Figure 5.7 – Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur toujours ouvert Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 232 T1 T2 T3 T4 T5 inom inom inom inom 4inom T6 T7 T8 T9 T10 fermé Figure 5.8 – Machine polyphasée connectée en étoile avec un transistor d’onduleur toujours fermé l’intensité de courant de court-circuit soit plus petite ou égale à l’intensité de courant nominal de la machine. Aussi, dans les machines alimentées avec un pont monophasé par phase, le courant de court-circuit circule dans l’onduleur. En conséquence, si les phases sont magnétiquement découplées, le courant nominal du système doit remplir la condition suivante : inom ≥ λ L (5.1) Dont L est l’inductance de la phase et λ est le flux à vide de la phase. 5.3 Hypothèses simplificatrices du problème d’optimisation Pour déterminer la performance d’un entraı̂nement en régime de défaut, nous utilisons un problème d’optimisation. Le problème d’optimisation consiste à maximiser le couple tout en respectant les contraintes de tension et de courant de chaque phase. Le défaut peut aussi être modélisé comme contraintes du problème d’optimisation. Par exemple, le courant d’une phase est nul si la phase est ouverte à cause d’un défaut. Dans Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 233 le chapitre §2, nous avons développé une solution pour la maximisation du couple d’un système en conditions normales de fonctionnement tout en respectant ses contraintes. Le cas que nous traitons ici est différent, car le défaut impose un fonctionnement déséquilibré du système. Donc, nous ne pouvons pas utiliser la solution trouvée dans le chapitre §2, car les hypothèses de départ ne sont pas respectées. Pour poser le problème d’optimisation sous une forme convenable, nous utilisons les hypothèses simplificatrices suivantes : • La matrice d’inductances de la machine ne varie pas avec la position du rotor. • La machine n’est pas saturée. • Le flux de la machine produit par les aimants est constant dans le temps. • La résistance de la machine est constante dans le temps. • Le flux à vide est sinusoı̈dal. • Le système est en régime permanent. 5.4 Mise en place du problème d’optimisation Il est intéressant d’utiliser une transformation de variables pour mieux poser le problème d’optimisation. Nous utilisons une transformation de Park généralisée qui nous permet de nous assurer facilement que l’ondulation de couple électromagnétique est nulle. Pour obtenir une transformation de Park généralisée, il est nécessaire de choisir , tel que nous l’avons indiqué dans [34]. le vecteur hpark Pour étudier les défauts qui nous intéressent, le vecteur convenable à choisir est le suivant : # $ = −1 0 . . . 0 1 hpark Si le nombre de phases est de 3, 5 ou 7, les vecteurs à utiliser sont : (5.2) Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé # $ h3phases = −1 1 # $ h5phases = −1 0 0 1 # $ h7phases = −1 0 0 0 0 1 234 (5.3) (5.4) (5.5) En suivant la méthode indiquée dans la référence [34], nous pouvons obtenir les matrices de transformation et la transformation inverse dans chaque cas. Les courants de la machine sont représentés sous la forme d’un vecteur. Ce vecteur est composé d’un courant de séquence homopolaire, deux courants en composantes de Park et des courants en composantes de Clarke. Dans le cas d’une machine à trois phases, il y a deux courants de Park id , iq et une composante homopolaire. Les composantes de Park sont des composantes qui ne varient pas dans le temps en régime permanent et la composante homopolaire varie en fonction de la position du rotor comme suit : ⎡ ⎤ a0 cos pΩt + b0 sin pΩt ⎢ ⎥ ĩ = ⎣ id ⎦ iq (5.6) Dans le cas d’une machine à cinq phases, nous avons aussi deux composantes de Park, une composante homopolaire et deux composantes de Clarke comme suit : ⎡ a0 cos pΩt + b0 sin pΩt ⎤ ⎥ ⎢ id ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ α α ⎥ ĩ = ⎢ ⎢ia3 cos pΩt + ib3 sin pΩt⎥ ⎥ ⎢β β ⎣ia3 cos pΩt + ib3 sin pΩt⎦ iq (5.7) Les composantes de Clarke varient aussi en fonction de la position du rotor. Dans le cas d’une machine à sept phases, nous avons plutôt quatre composantes de Clarke Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 235 comme suit : ⎡ a0 cos pΩt + b0 sin pΩt ⎤ ⎥ ⎢ id ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢iα cos pΩt + iα sin pΩt⎥ b5 ⎥ ⎢ a5 ⎥ ⎢α α î = ⎢ia3 cos pΩt + ib3 sin pΩt⎥ ⎥ ⎢β ⎢i cos pΩt + iβ sin pΩt⎥ ⎥ ⎢ a3 b3 ⎥ ⎢β β ⎣ia5 cos pΩt + ib5 sin pΩt⎦ iq (5.8) En utilisant la transformation inverse, nous pouvons obtenir les courants individuels de chaque phase. Comme il s’agit de fonctions sinusoı̈dales, nous pouvons facilement trouver la valeur maximale de la forme d’onde résultante et la comparer avec les contraintes de courant du système. Les tensions et les courants sont liés par l’équation générale suivante : v̂ = R̂î + dλ̂ ∂T − 1 +T pΩλ̂ dt ∂pΩt (5.9) En utilisant la transformation inverse, nous pouvons obtenir la tension de chaque phase : vabc... = T−1 v̂ (5.10) Le problème d’optimisation qui détermine le couple maximal que peut fournir la machine est le suivant : max iq (5.11) Les variables que nous utilisons sont celles qui représentent le vecteur des courants. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 236 Par exemple dans le cas d’une machine à sept phases, les variables sont : a0 , b0 , id , iαa3 , iαb3 , iβa3 , iβb3 , iq (5.12) Le problème d’optimisation compte plusieurs contraintes. D’abord la phase A est ouverte, donc le courant est nul. Par exemple, dans le cas d’une machine à sept phases, nous obtenons l’équation suivante : (b0 + bα3 + bα5 + id ) cos(pΩt) + (a0 + aα3 + aα5 − iq ) sin(pΩt) = 0 (5.13) Il est préférable d’écrire cette contrainte plutôt comme deux contraintes linéaires : b0 + bα3 + bα5 + id = 0 (5.14) a0 + aα3 + aα5 − iq = 0 (5.15) Nous devons limiter le courant dans toutes les phases saines à la valeur maximale permise par le système. Aussi, nous devons tenir compte de la tension de chaque phase saine. Donc, en général, le problème d’optimisation compte les contraintes suivantes : • Deux contraintes linéaires d’égalité associées à la phase ouverte (phase A). • Une contrainte quadratique d’inégalité associée à la limite de courant par phase saine. • Une contrainte quadratique d’inégalité associée à la limite de tension par phase saine. • Une contrainte linéaire d’égalité par phase associée aux équations électriques de la machine. • Si la machine est connectée en étoile, il y a deux contraintes linéaires d’égalité associées à la somme des courants de toutes les phases saines. Dans le cas d’une phase en court-circuit, le problème est similaire. Il y a deux contraintes linéaires d’égalité associées au court-circuit de la phase A à la place des contraintes associées à la phase ouverte. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 237 Le problème que nous venons de montrer se classe comme un problème d’optimisation convexe. Ce type de problème d’optimisation possède un seul optimum local qui est à la fois l’optimum global. Pour cette classe de problèmes, il existe des algorithmes itératifs qui permettent de trouver l’optimum global [35]. Nous avons implémenté ces algorithmes pour chaque cas que nous voulons comparer. L’utilisation de la transformation de Park généralisée nous permet de générer facilement des algorithmes qui sont très similaires pour les différents nombres de phases. 5.5 Normalisation des paramètres Pour que le système puisse supporter un défaut de court-circuit d’une phase ou un court-circuit entre les spires d’une phase, il est nécessaire que le courant nominal du système soit plus grand que le courant de court-circuit de la machine. Pour notre étude, nous allons considérer le cas limite : inom = λ L (5.16) Le couple maximal que peut produire le système est déterminé par le flux et par le courant nominal du système. Nous allons définir la vitesse nominale de la machine comme la plus grande vitesse qui permet de produire le couple maximal tout en respectant les contraintes de courant et de tension du système dans des conditions normales de fonctionnement. Si on néglige la résistance : 2 = (pΩnom Linom )2 + (pΩnom λ)2 vnom La normalisation des paramètres est donnée par : (5.17) Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé v vpu = ipu Ωpu vnom i = inom Ω = Ωnom 238 (5.18) (5.19) (5.20) (5.21) Avec les équations précédentes, nous obtenons : Lpu = λpu = L vnom inom pΩnom L vnom pΩnom (5.22) (5.23) Donc, l’équation (5.17) avec des variables normalisées est : 12 = L2pu + λ2pu (5.24) Aussi, l’équation (5.16) avec des variables normalisées est : 1= λpu Lpu (5.25) Donc, sans considération de la tension nominale, du courant nominal ou du nombre de pôles du système, en variables normalisées, tous les systèmes qui remplissent les conditions que nous avons énoncées auparavant possèdent les paramètres normalisés suivants : Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 239 vnompu = 1[pu] (5.26) inompu = 1[pu] 1 λpu = √ 2 1 Lpu = √ 2 (5.27) (5.28) (5.29) Le couple de la machine est donné par : t= nphases pλiq 2 (5.30) La valeur de référence du couple pour la normalisation est donnée par le rapport entre la puissance apparente de l’onduleur et la vitesse nominale du système : tnom = nphases vnom inom 2 Ωnom (5.31) En conséquence, le couple normalisé est : tpu = λpu iqpu (5.32) Notons que le couple normalisé est indépendant du nombre de pôles et du nombre de phases de la machine. Donc, la normalisation facilite la comparaison entre différents systèmes comportant un nombre différent de phases. 5.6 Comparaison entre entraı̂nements avec différent nombre de phases Dans cette section, nous allons comparer la performance avec défaut des machines avec 3, 5 et 7 phases ayant un pont monophasé par phase ou une connexion étoile. Les Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 240 paramètres normalisés de ces machines sont tous les mêmes et ils ont été indiqués dans la section §5.5. Le Tableau 5.1 montre les résultats que nous avons obtenus dans le cas d’un défaut d’une phase ouverte, en utilisant un pont monophasé par phase. Le Tableau 5.2 montre les résultats que nous avons obtenus avec une connexion en étoile. Nous constatons que la perte de couple à basse vitesse reproduit les résultats qui ont été décrits dans des publications précédentes. Cependant, la perte de couple à vitesse nominale de la machine est plus importante à cause de l’effet des impédances des machines. Nous constatons que les systèmes avec des ponts monophasés présentent une meilleure performance que les systèmes connectés en étoile. Le Tableau 5.3 montre les performances des systèmes lors d’un défaut de courtcircuit en utilisant un pont monophasé par phase. Le Tableau 5.4 montre les résultats si la connexion de la machine est une étoile. Nous remarquons que le couple est plus affecté par un défaut de court-circuit que par un défaut d’une phase ouverte. Dans le cas de la machine à trois phases, le couple à vitesse nominale est plus élevé que le couple à basse vitesse. C’est le contraire dans le cas d’une phase ouverte. Nous constatons encore que les systèmes utilisant un pont monophasé par phase présentent une meilleure performance lors d’un défaut que les systèmes connectés en étoile. Notons que ces résultats sont différents de ceux que nous avons publiés auparavant [32]. Dans cette publication, nous avons supposé que la phase et l’amplitude du courant de court-circuit sont égales au courant de court-circuit à très haute vitesse. Dans cette étude, nous ne faisons plus cette supposition. En observant la caractéristique couple vitesse des différents systèmes, nous constatons que, si le nombre de phases augmente, les performances lors d’un défaut s’améliorent (Fig. 5.10-). Nous remarquons aussi qu’il existe un minimum de couple à basse vitesse dans le cas d’un défaut de court-circuit (Fig. 5.12, 5.13). Le minimum de couple est causé par le couple de freinage de la phase en court-circuit. Ce couple est nul à vitesse zéro et augmente avec la vitesse pour atteindre un maximum et par la suite diminuer (Fig. 5.9). Nous pouvons constater aussi que la courbe de couple vitesse avec un défaut de court circui rejoint la courbe avec une phase ouverte si la vitesse est nulle (Fig. 5.14-). Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 241 La vitesse à laquelle le couple de freinage est le plus important est donnée par : Ω∗ = r Lp (5.33) Si la résistance est petite par rapport à l’impédance de la phase à vitesse nominale, la valeur de la vitesse où le couple de freinage est maximal est petite (Fig. 5.9). La valeur du couple de freinage maximal est indépendante de la valeur de la résistance de la phase de stator : % du couple maximal tf reinage = pλ2 2L (5.34) 100 80 60 40 20 0 0 0.05 0.1 0.15 Vitesse pu 0.2 Figure 5.9 – Couple de freinage lors d’un court-circuit d’une phase En général, nous observons que le défaut qui affecte le plus le couple d’un système est le court-circuit d’une phase. Ce sont les entraı̂nements connectés en étoile qui sont les plus sensibles aux défauts. Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une normales phase ouverte phase ouverte phase ouverte Couple à basse vi- 0.707 tesse [pu] 0.408 (-42%) 0.538 (-24%) 0.592 (-16%) Couple à vitesse 0.707 0.351 (-50%) 0.509 (-28%) 0.576 (-19%) nominale [pu] Tableau 5.1 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase ouverte et un pont monophasé par phase Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 242 Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une normales phase ouverte phase ouverte phase ouverte Couple à basse vi- 0.707 NA 0.512 (-28%) 0.574 (-19%) NA 0.429 (-39%) 0.534 (-25%) tesse Couple à vitesse 0.707 nominale Tableau 5.2 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase ouverte et une connexion en étoile Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une normales phase en court- phase en court- phase en courtcircuit circuit circuit Couple à basse vi- 0.707 tesse 0.105 (-85%) 0.419 (-41%) 0.520 (-27%) Couple à vitesse 0.707 0.199 (-72%) 0.448 (-37%) 0.546 (-23%) nominale Tableau 5.3 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase en court-circuit et avec un pont monophasé par phase Conditions 3 phases avec une 5 phases avec une 7 phases avec une normales Couple à basse vi- 0.707 phase en circuit court- phase en circuit court- phase en circuit court- NA 0.330 (-53%) 0.500 (-29%) NA 0.375 (-47%) 0.518 (-27%) tesse Couple à vitesse 0.707 nominale Tableau 5.4 – Comparaison des performances des machines polyphasées avec une phase en court-circuit et une connexion en étoile % du couple maximal Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 100 243 Normal 7 phases pont 1Φ par phase 80 5 phases pont 1Φ par phase 60 3 phases pont 1Φ par phase 40 20 0 0 0.5 1 1.5 Vitesse pu 2 Figure 5.10 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte % du couple maximal et un pont monophasé par phase 100 Normal 7 phases étoile 80 5 phases étoile 60 3 phases pont 1Φ par phase 40 20 0 0 0.5 1 1.5 Vitesse pu 2 Figure 5.11 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase ouverte % du couple maximal et une connexion en étoile 100 Normal 7 phases pont 1Φ par phase 80 60 5 phases pont 1Φ par phase 40 3 phases pont 1Φ par phase 20 0 0 0.5 1 1.5 Vitesse pu 2 Figure 5.12 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et un pont monophasé par phase % du couple maximal Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 100 80 Normal 7 phases étoile 60 5 phases étoile 40 244 3 phases pont 1Φ par phase 20 0 0 0.5 1 1.5 Vitesse pu 2 Figure 5.13 – Courbe de couple vitesse des entraı̂nements avec une phase en courtcircuit et une connexion en étoile 5.6.1 Charges maximales avec tolérance aux défauts Les caractéristiques de couple vitesse que nous avons déterminées nous permettent d’établir la charge maximale qui peut être entraı̂née avec une phase de moins. La valeur de la charge maximale est déterminée par : • La caractéristique la plus basse entre la caractéristique avec une phase ouverte et celle avec une phase en court-circuit. • La courbe de couple vitesse de la charge. • Un objectif d’optimisation. Par exemple, dans le cas d’un système à trois phases, nous constatons qu’une charge à couple constant est plus affectée par le défaut d’une phase en court-circuit que dans le cas des autres types de charges (Fig. 5.14.a et b). En effet, le minimum de couple qui se produit à basse vitesse lors d’un défaut de phase en court-circuit affecte seulement la charge à couple constant. La vitesse à laquelle le système peut entraı̂ner la charge est de 1.85[pu]. Cette vitesse est imposée par la caractéristique avec une phase ouverte. Une charge qui est proportionnelle à la vitesse ou au carré de la vitesse n’est pas nécessairement affectée par ce creux de couple à basse vitesse (Fig. 5.14.b et c). Cependant, la vitesse nominale est plus basse que pour le cas d’une charge à couple constant, mais la puissance mécanique est plus élevée. Dans la figure 5.14.a-c, nous avons déterminé le couple et la vitesse nominale de la charge pour maximiser la puissance mécanique de la charge. Dans le cas d’un système à Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 245 trois phases, on obtient les mêmes résultats si l’on maximise la puissance mécanique et si on maximise le couple de la charge. Pour des systèmes à cinq et sept phases, les résultats sont différents. Dans le cas d’une machine à cinq phases (Fig. 5.15), la maximisation de la puissance mécanique d’une charge à couple constant n’est pas limitée par le creux de couple qui se produit à basse vitesse (Fig. 5.15.a). Par contre, si nous maximisons le couple d’une charge à couple constant, la limite de couple est imposée par le creux de couple qui se produit à basse vitesse, lors du court-circuit d’une phase (Fig. 5.16.a). La limite de vitesse est imposée par la caractéristique avec une phase en court-circuit. Nous pouvons réaliser la même observation dans le cas d’un système avec sept phases avec ponts monophasés (Fig. 5.19 et 5.20) et d’un système connecté en étoile (Fig. 5.21 et 5.22). S’il s’agit d’un système connecté en étoile à cinq phases, la maximisation de la puissance mécanique ou du couple mécanique donne le même résultat pour une charge à couple constant (Fig. 5.17.a et 5.18.a). Cependant le résultat est différent pour les autres types de charge (Fig. 5.17.b-c, 5.18.b-c) ou dans le cas de machines connectées en étoile (Fig. 5.17, 5.18, 5.21, 5.22). Les Tableau 5.5 et Tableau 5.6 résument les résultats que nous avons obtenus pour les différents types de charges considérées et les différents nombres des phases. Nombre de 3 5 5 étoile 7 7 étoile phases Type de charge Couple nominal Charge à couple constant 0.104 0.370 0.329 0.344 0.419 Vitesse nominale 1.85 1.43 1.29 1.90 1.36 Puissance nomi- 0.194 0.530 0.425 0.653 0.570 nale Type de charge Couple nominal Charge proportionnelle à la vitesse 0.200 0.370 0.352 0.344 0.419 Vitesse nominale 1.41 1.43 1.22 1.90 1.36 Puissance nomi- 0.282 0.530 0.429 0.653 0.570 nale Type de charge Couple nominal Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0.370 0.352 0.344 0.419 Vitesse nominale 1.41 0.200 1.43 1.22 1.90 1.36 Puissance nomi- 0.282 0.530 0.429 0.653 0.570 nale Tableau 5.5 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 246 a % du couple maximal 100 80 Phase ouverte 60 40 Phase courtcircuit 20 1.85 Charge couple constant 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 b % du couple maximal 100 80 Phase ouverte 60 40 Phase courtcircuit 1.41 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 c % du couple maximal 100 80 Phase ouverte 60 40 Phase courtcircuit 1.41 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu Figure 5.14 – Différents types de charges avec une machine à trois phases et un pont monophasé par phase Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 247 a % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 60 Charge couple constant 1.43 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 b % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 60 1.43 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 c % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 60 Phase courtcircuit 1.43 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu Figure 5.15 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à cinq phases et un pont monophasé par phase Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 248 a % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 1.14 Charge couple constant 60 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 b % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 0.78 Phase courtcircuit 60 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 c % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 0.78 Phase courtcircuit 60 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu Figure 5.16 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à cinq phases et un pont monophasé par phase Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 249 a % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 60 Phase courtcircuit Charge couple constant 1.29 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 b % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 60 Phase courtcircuit 1.22 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu c % du couple maximal 100 Phase ouverte 80 60 Phase courtcircuit 1.22 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 Figure 5.17 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à cinq phases connectée en étoile Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 250 a % Couple maximal 100 Phase ouverte 80 60 Phase courtcircuit Charge couple constant 1.29 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 b % Couple maximal 100 Phase ouverte 80 60 Phase courtcircuit 1. 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu c % Couple maximal 100 Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 1. 60 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 Figure 5.18 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à cinq phases connectée en étoile Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 251 a 100 % du couple maximal Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 60 1.9 40 Charge couple constant 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 b 100 % du couple maximal Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 60 1.9 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 c 100 % du couple maximal Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 60 1.9 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 Figure 5.19 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à sept phases avec un pont monophasé par phase Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 252 a 100 % du couple maximal Phase ouverte 80 Phase courtcircuit 60 Charge couple constant 1.11 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 b % du couple maximal 100 Phase ouverte 0.83 Phase courtcircuit 80 60 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 c % du couple maximal 100 Phase ouverte 0.83 Phase courtcircuit 80 60 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu Figure 5.20 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à sept phases avec un pont monophasé par phase Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 253 a % Couple maximal 100 Phase ouverte Phase courtcircuit 80 60 1.36 Charge couple constant 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 b % Couple maximal 100 Phase ouverte Phase courtcircuit 80 60 1.36 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu c % Couple maximal 100 Phase ouverte Phase courtcircuit 80 60 1.36 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 Figure 5.21 – Charges maximales pour maximiser la puissance mécanique d’une machine à sept phases connectée en étoile Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 254 a % Couple maximal 100 Phase ouverte Phase courtcircuit 1.08 80 60 Charge couple constant 40 20 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 1.5 2 b % Couple maximal 100 Phase ouverte0.79 Phase courtcircuit 80 60 40 20 Charge proportionnelle à la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu c % Couple maximal 100 Phase ouverte0.79 Phase courtcircuit 80 60 40 20 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0 0 0.5 1 Vitesse pu 1.5 2 Figure 5.22 – Charges maximales pour maximiser le couple mécanique d’une machine à sept phases connectée en étoile Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé Nombre phases de 3 5 Type de charge Couple nominal 5 étoile 7 7 étoile Charge à couple constant 0.419 0.329 0.520 0.499 Vitesse nominale 1.85 1.14 1.29 1.11 1.08 Puissance nomi- 0.194 nale 0.479 0.425 0.577 0.539 0.104 Type de charge Couple nominal Charge proportionnelle à la vitesse 0.496 0.375 0.572 0.557 Vitesse nominale 1.41 0.78 1 0.83 0.79 Puissance nomi- 0.282 nale 0.387 0.375 0.474 0.440 Type de charge Couple nominal 255 0.200 Charge proportionnelle au carré de la vitesse 0.200 0.496 0.375 0.572 0.557 Vitesse nominale 1.41 0.78 1 0.83 0.79 Puissance nomi- 0.282 nale 0.387 0.375 0.474 0.440 Tableau 5.6 – Charges maximales pour maximiser le couple 5.7 Fiabilité des machines polyphasées Bien que la section précédente montre qu’une machine polyphasée est tolérante aux défauts, et que le nombre de phases augmente cette tolérance, il est aussi possible que l’augmentation du nombre de phases et du nombre de composants amplifie le risque d’un défaut. Donc, il se peut que le gain obtenu par la tolérance aux défauts soit réduit, en partie, par une augmentation du risque de défaut. Nous allons réaliser une analyse très simplifiée pour déterminer si une machine polyphasée est plus avantageuse qu’une machine à trois phases. Nous considérons seulement le cas des systèmes comportant des ponts monophasés dans chaque phase. 5.7.1 Fiabilité des transistors de puissance Les transistors IGBT de puissance sous la forme de modules utilisés pour des entraı̂nements sont des dispositifs complexes. En effet, pour pouvoir offrir des courants nominaux élevés dans un module, chaque transistor du module est composé en réalité Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 256 de plusieurs transistors en parallèle et de plusieurs diodes en parallèle [36]. Les interconnections entre les différents composants à l’intérieur d’un module sont réalisées à l’aide de fils conducteurs d’aluminium soudés à chaque transistor avec de la pression et de l’ultrason. Un seul module peut contenir plusieurs centaines de fils [37]. Les causes des défauts des modules des transistors sont [38] : • Fatigue mécanique des fils de connexion. • Séparation des fils de connexion des transistors. • Cassure des fils de connexion au point de pliage. • Déformation plastique des métallisations qui forment le point de contact avec les fils de connexion. • Cassure et fatigue des matériaux fragiles du module (silicium, isolants et substrat céramique). • Corrosion des interconnexions. • Fatigue des soudures entre le substrat céramique et la base du module. • Vides dans la soudure entre le substrat céramique et la base du module. • Court-circuit entre le collecteur et l’émetteur, problèmes d’isolement. • Rayons cosmiques. Les problèmes les plus fréquents sont : la séparation des fils de connexion, la cassure du substrat de céramique et les défauts d’isolement dans le gel du module [39]. Ces défauts sont causés principalement par la différence des coefficients d’expansion des différents matériaux qui causent des efforts mécaniques à l’intérieur du module. En effet, les essais de vieillissement accéléré montrent que le nombre de cycles de température qu’un module peut supporter diminue avec l’augmentation de la différence de température du cycle [40]. Les cahiers de charge pour des onduleurs de traction des locomotives demandent 5 millions de cycles de fonctionnement sur 30 ans, ce qui impose que chaque module doit avoir une fréquence des défauts de 10−7 heures, soit 9 10−4 défauts par année [41]. Il y a deux variables qui semblent intéressantes pour augmenter la durée de vie des modules : • La diminution des variations de température des modules en utilisant des moyens de refroidissement appropriés • La diminution du courant d’utilisation des transistors par rapport à leur courant nominal [42]. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 5.7.2 257 Fiabilité des machines de traction Dans les machines de traction alimentées par des onduleurs, les références consultées, indiquent deux problèmes principaux associés aux tensions modulées des onduleurs : • Le vieillissement accéléré du système d’isolement de la machine dû à la forme de tension hachée des onduleurs [43]. • L’endommagement des roulements du rotor dû à la circulation des courants provoqués par la modulation de tension [44]. Les solutions proposées sont diverses, passant par l’utilisation d’isolements plus robustes, de cahiers des charge plus stricts par rapport aux décharges partielles, des roulements isolés ou de contacts de mise à la terre du rotor. Cependant, dans les références [45] et [46], les problèmes constatés ont plutôt été d’isolement de stator dû à l’entrée de poussière, de pluie ou de la neige. 5.7.3 Fréquence des défauts des différents composants Les publications disponibles donnent des estimations différentes de la fiabilité des composants des systèmes de traction et parfois ces données ne sont pas complètes. On a aussi constaté que la définition de défaut n’est pas toujours la même, pour chaque auteur. La référence [46] indique des fréquences de défaut plus élevées que les références [47], [48], [45] et [49]. Cependant, elle montre que les moteurs de traction sont beaucoup plus fiables que l’électronique de puissance. Elle remarque aussi que la moitié des défauts étudiés sont causés par le système de contrôle. Le Tableau 5.7 montre les fréquences de défaut par 109 heures de fonctionnement (FIT) des différents composants compilés de quatre publications avec des données semblables. Si nous considérons qu’un onduleur triphasé avec tolérance aux défauts possède 12 IGBT (quatre transistors par phase), selon les données du Tableau 5.7, le taux de défauts le plus optimiste de l’onduleur est 7680 FIT. Ce taux est plus élevé que le taux de défauts de la machine. Dans le cas d’un onduleur avec plus de phases, la fréquence de défauts de l’onduleur sera proportionnellement plus grande si la fiabilité des modules est similaire. Nous n’avons pas de donnés suffisantes pour affirmer si un module ayant un courant Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé Référence [47] [48] [45] 258 [49] Moteur NA 3200-5600 1518 NA Thyristor avec snubber 290 160 285 NA Diode 50 80 NA IGBT avec commande rapprochée NA 640 NA Source d’alimentation pour la commande rappro- NA chée 400-800 NA Capteurs de tension et courant NA 100-160 NA Condensateur NA 80 NA Inducteur NA 160 NA IGBT sans commande rapprochée NA 500 Commande rapprochée IGBT NA 1300 Tableau 5.7 – Fréquence des défauts des composantes d’entraı̂nements de traction des locomotives nominal plus grand est plus ou moins fiable qu’un module de courant nominal inférieur ou qu’une combinaison parallèle ou qu’une combinaison série de modules. Donc, nous allons supposer simplement que la fiabilité des modules reste dans la plage des valeurs, très variable, indiquée par les références, avec des taux de défaut qui varient entre 640 et 1800 FIT. Dans le cas de la machine, il est difficile d’affirmer quelle est sa fiabilité en fonction du nombre de phases car sa construction est différente et dépend aussi du type de bobinage choisi. Le taux de défauts par phase peut être estimé en fonction des données du Tableau 5.7. Nous pouvons considérer deux cas particuliers : • La machine complète présente un taux de défauts indépendant du nombre de phases. Cela correspond à un cas optimiste pour les machines à plus de trois phases, car la fiabilité par phase augmente avec le nombre de phases. • Le taux de défauts par phase est conservé. Cela correspond à une hypothèse pessimiste de la fiabilité pour les machines polyphasées, car la fiabilité de la machine diminue avec le nombre de phases. Même si nous pouvons discuter de la validité de ces hypothèses, il faut aussi remarquer que les données du Tableau 5.7 pour la fiabilité d’une machine à trois phases varient de 1518 à 5600 FIT. Nous travaillons encore avec une donnée très imprécise et il Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 259 ne semble pas intéressant d’approfondir sur la fiabilité des machines avec plus de trois phases si déjà la fiabilité des machines à trois phases n’est pas connue avec précision. Dans le premier cas qui est le plus optimiste, le taux de défauts par phase sera : F ITphase = F ITmachine + ntransistor F ITtransistor nphases (5.35) Dans le deuxième cas qui est plus pessimiste, le taux de défauts par phase sera : F ITphase = F ITmachine + ntransistor F ITtransistor 3 (5.36) Il est intéressant de noter que la source d’alimentation de la commande rapprochée possède un taux de défaut similaire au module IGBT (Tableau 5.7). 5.7.4 Hypothèses simplificatrices pour un exemple Le problème de fiabilité des entraı̂nements de traction semble assez complexe et nous n’avons pas l’intention de réaliser une étude approfondie qui demanderait l’analyse complète des systèmes avec leur structure interne et leurs méthodes de fabrication et d’assemblage. Nous avons choisi d’utiliser des simplifications très importantes pour cette analyse en formulant les hypothèses suivantes : • Les défauts d’une phase suivent un processus de Poisson avec fréquence μ de défauts par année. • Les défauts de chaque phase sont indépendants. • Le coût d’un onduleur est proportionnel à sa puissance apparente. • Le coût de fabrication d’une machine est proportionnel au couple maximal qui peut être fourni. • Le coût du défaut est un montant fixe indépendant du moment quand il se produit. • La charge entraı̂née est du type couple constant. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 260 Comme les valeurs des fréquences de défauts sont différentes selon les publications, nous obtenons des plages de valeur pour la fréquence des défauts d’une phase qui varient du simple au double en raison de l’imprécision des données sur la fiabilité des différents composants (Tableau 5.8 et Tableau 5.9). Nombre de phases Taux de défaut par phase Défauts par année par (FIT) phase 3 ou polyphasé pessi- 3066-9067 0.03-0.08 miste 5 optimiste 2863-8320 0.03-0.07 7 optimiste 2777-8000 0.02-0.07 Tableau 5.8 – Taux de défauts par phase avec 4 transistors par phase Nombre de phases Taux de défaut par phase Défauts par année par (FIT) phase 3 ou polyphasé pessi- 1786-5466 miste 0.02-0.05 5 optimiste 1583-4720 0.01-0.04 7 optimiste 1496-4400 0.01-0.04 Tableau 5.9 – Taux de défauts par phase avec 2 transistors par phase 5.7.5 Coût de fabrication d’un système à trois phases sans tolérance aux défauts Avec les hypothèses que nous avons énoncées, le coût du système peut être divisé en : le coût de fabrication de l’onduleur et le coût de fabrication de la machine. Le coût varie selon le type de système que nous construisons. Si nous concevons une machine à trois phases, sans tolérance aux défauts, son couple maximal est exactement le couple de la charge. En utilisant les simplifications, le coût de la machine est : Cmach3φ = kcouple tnom (5.37) Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 261 La puissance apparente de l’onduleur de la machine est égale à la puissance mécanique si nous négligeons toutes les pertes de la machine. Son coût est alors proportionnel à la puissance mécanique : Conduleur3φ = konduleur tnom Ωnom (5.38) Les coûts de fabrication d’un système à trois phases sans tolérance aux défauts vont nous servir de références par rapport aux autres systèmes que nous voulons évaluer. 5.7.6 Coût de fabrication des systèmes avec tolérance aux défauts et un pont monophasé par phase Nous supposons que le système est capable de fournir le couple demandé même s’il présente un défaut. La charge entraı̂née est du type à couple constant et nous cherchons à maximiser la puissance mécanique fournie par le système. Pour cela, nous utilisons les données du Tableau 5.5. Par exemple, dans le cas d’une machine à trois phases, nous avons trouvé qu’avec un défaut de court-circuit d’une phase, la machine perd 85% du couple. Pour que le système soit tolérant aux défauts, il est nécessaire que le couple de charge ne dépasse pas 0.105[pu] même si la machine est capable de fournir, dans des conditions normales de fonctionnement, un couple de 0.707[pu]. La machine doit être surdimensionnée en couple de 680%, donc son coût augmente aussi de 680% par rapport au coût d’une machine triphasée, sans tolérance aux défauts, qui fournit exactement le même couple de la charge. La puissance mécanique maximale qu’il est possible de fournir pour conserver la tolérance aux défauts est 0.194[pu]. L’onduleur possède une puissance apparente de 1[pu] qui ne sera pas totalement transmise à la charge mécanique. En conséquence, l’onduleur est surdimensionné de 515% par rapport à un onduleur pour un système triphasé sans tolérance aux défauts. En conséquence, son coût augmente aussi de 515% par rapport au coût de l’onduleur d’un système triphasé sans tolérance aux défauts. En suivant ce même raisonnement pour les autres systèmes, nous pouvons construire le Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 262 Tableau 5.10. Nombre de phases Surdimensionnement Surdimensionnement de la machine de l’onduleur 3 680% 515% 5 191% 188% 7 205% 153% Tableau 5.10 – Surdimensionnement de la machine et de l’onduleur par rapport à un entraı̂nement triphasé sans tolérance aux défauts Le coût de fabrication du système possède deux composantes : • Le coût de la machine qui correspond au produit du facteur de surdimensionnement de la machine et le coût de la machine à trois phases sans tolérance aux défauts. • Le coût de l’onduleur qui correspond au produit du facteur de surdimensionnement de l’onduleur et le coût de l’onduleur à trois phases sans tolérance aux défauts. 5.7.7 Fréquence et coût des défauts Nous avons supposé que les défauts d’une phase suivent un processus de Poisson avec fréquence μ et que les phases sont indépendantes les unes des autres. En conséquence, les défauts d’une machine avec nphases phases, suivent un processus de Poisson avec fréquence nphases μ. La probabilité que, dans une période de temps T , il n’y ait pas de défaut dans une machine est e−nphases μT . La probabilité que pour une période de temps T , il y ait exactement un défaut est de e−nphases μT nphases μT . En conséquence, la probabilité que, dans une période de temps, un système soit hors service est indiquée dans le Tableau 5.11. Le coût moyen du système peut être estimé en additionnant deux composantes : • Le coût de fabrication • Le coût moyen des défauts. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé Nombre phases de Nombre de dé- Fréquence des défauts fauts tolérés 3 sans tolérance 0 263 Probabilité d’être hors service 3μ 1 − e−3µT aux défauts 3 1 3μ 1 − (1 + 3μT )e−3µT 5 1 5μ 1 − (1 + 5μT )e−5µT 7 1 7μ 1 − (1 + 7μT )e−7µT Tableau 5.11 – Probabilité que le système soit hors service • Le coût moyen des défauts est donné par le produit entre la probabilité du système hors service et le coût des défauts. 5.8 Exemple de comparaison du coût des différents systèmes Pour comparer les différents systèmes, nous devons estimer les coûts y étant associés. Nous supposons que : • Le coût d’une machine à trois phases sans tolérance aux défauts est unitaire. • Le coût de l’onduleur à trois phases sans tolérance aux défauts est deux fois le coût de la machine. • Le coût d’un défaut est 100 fois le coût de la machine sans tolérance aux défauts. • Le coût d’une machine est proportionnel au surdimensionnement en couple par rapport à la machine à trois phases sans tolérance aux défauts • Le coût d’un onduleur est proportionnel à sa puissance apparente, comme nous l’avons indiqué dans la section §5.7.6 . Le coût moyen des différents systèmes est indiqué dans le Tableau 5.12 en utilisant les données du Tableau 5.10. Les fig. 5.23 et 5.24 montrent la variation du coût moyen du système en fonction de la fréquence de défauts par phase. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 264 Nombre Coût de la Coût de Coût moyen du dé- Coût moyen de phases machine l’onduleur faut 3 sans 1 2 100(1 − e3µ ) 3 + 100(1 − e3µ ) 10.30 100(1 − (1 + 3μ)e−3µ ) 17.04 + 100(1 − (1 + 3μ)e−3µ ) tolérance aux défauts 3 avec 6.73 tolérance aux fauts dé- 5 phases 1.91 3.77 100(1 − (1 + 5μ)e−5µ ) 5.68 + 100(1 − (1 + 5μ)e−5µ ) 7 phases 2.05 3.06 100(1 − (1 + 7μ)e−7µ ) 5.11 + 100(1 − (1 + 7μ)e−7µ ) Tableau 5.12 – Coût moyen des différents systèmes Si la fréquence des défauts est inférieure à 0.007 défaut par année, la possibilité de subir un défaut est faible et elle ne justifie pas le coût additionnel de systèmes avec tolérance aux défauts. Dans ce cas, c’est le système avec trois phases sans tolérance aux défauts qui est plus intéressant car son coût moyen est inférieur aux autres systèmes (Fig. 5.23). Si la fréquence des défauts se trouve entre 0.007 et 0.02 défaut par année, c’est le système avec sept phases qui est le moins coûteux. L’avantage du système à sept phases vient du faible surdimensionnement pour obtenir la tolérance aux défauts et le risque du défaut justifie cet investissement. Cependant au-dessus de 0.02 défaut par année, il est plus intéressant d’utiliser un système avec cinq phases (Fig. 5.23). Cela s’explique par le coût du système à sept phases qui est plus faible que celui du système à cinq phases. Cependant, la possibilité d’être hors service augmente plus rapidement avec un système à sept phases. Donc, si le risque des défauts est plus important, il est plus avantageux de diminuer le nombre de phases pour diminuer la fréquence des défauts. Si le nombre de défauts par année se trouve entre 0.17 et 1, c’est le système à trois phases avec tolérance aux défauts qui est plus intéressant. Même si son coût de fabrication est plus élevé, il est plus fiable que les systèmes ayant un nombre de phases plus grand (Fig. 5.24). Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 265 Si la fréquence des défauts est supérieure à 1 défaut par année, il est très probable que tous les systèmes seront hors service. L’avantage de tolérer un défaut disparaı̂t, et c’est la machine à trois phases sans tolérance aux défauts qui est la plus intéressante. Il est plus intéressant d’utiliser le système le moins cher car le coût moyen de défaut est le même pour tous les systèmes. D’après cet exemple et ces hypothèses simplificatrices, la plage des défauts par année par phase peut favoriser une machine à sept phases ou une machine à cinq phases. Cependant, nous considérons seulement les défauts dans l’onduleur et dans la machine. Il y a aussi d’autres composants qui peuvent entrer en défaillance et notre analyse est peut être trop simplifiée. Coût moyen 25 3 phases avec tolérance 20 15 10 5 phases 5 7 phases 3 phases sans tolérance 0 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 0.05 Μ défauts par année par phase 0.1 Figure 5.23 – Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence de défauts faible. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé Coût moyen 100 266 7 phases 80 60 40 3 phases sans tolérance 20 3 phases avec tolérance 5 phases 0 0.1 0.15 0.2 0.3 0.5 0.7 1 Μ défauts par année par phase 1.5 2 Figure 5.24 – Coût moyen en fonction de la fréquence des défauts. Cas avec fréquence de défauts haute. Analyse des performances d’une machine polyphasée en fonctionnement dégradé 5.9 267 Conclusion Nous avons développé une méthode pour calculer la caractéristique de couple vitesse d’une machine polyphasée avec un défaut de phase ouverte ou de court-circuit. Cette méthode tient compte des limitations de courant et de tension du système. Cette méthode a été utilisée pour analyser différents systèmes. Nous avons montré que la tolérance aux défauts d’un entraı̂nement polyphasé ne dépend pas exclusivement du nombre de phases. La structure de l’onduleur et la structure de la machine et sa connexion doivent aussi être pris en compte. Lors d’un défaut de phase ouverte, la perte de couple est plus importante à vitesse nominale. On a constaté un écart par rapport aux résultats publiés précédemment qui ne tiennent pas compte des limitations du système [32]. Dans le cas d’une phase en court-circuit, nous avons montré que la perte de couple est plus importante à basse vitesse. Nous avons déterminé le surdimensionnement de la machine et de l’onduleur selon le nombre de phases pour obtenir un système tolérant aux défauts. Nous avons constaté que, si le nombre de phases est élevé, le surdimensionnement est moins important. Ce surdimensionnement est aussi influencé par le type de charge entraı̂née. Finalement, nous avons montré que, même si les machines polyphasées sont capables de fonctionner en présence d’un défaut, elles ne sont pas toujours le meilleur choix. En considérant un exemple très simplifié, le nombre de phases le plus avantageux pour diminuer le coût moyen du système varie en fonction de la fréquence des défauts. Il n’y a pas de nombre de phases plus intéressant qu’un autre. Ce choix est fonction de la structure, des coûts de fabrication, des risques et des conséquences d’un défaut. Conclusion Générale Dans le cadre de ce travail, nous avons développé des outils de modélisation pour résoudre des problèmes spécifiques de conception et pour faciliter l’analyse des performances des entraı̂nements à vitesse variable. Ces modélisations concernent les machines synchrones connectées à un onduleur de tension ou à un redresseur à diodes, fonctionnant sur une large plage de vitesse. Nous avons développé une méthode pour établir le modèle électrique d’une machine synchrone à pôles lisses en fonction de ses dimensions géométriques. Cette méthode analytique permet de traiter des machines polyphasées avec n’importe quel nombre d’encoches et n’importe quelle configuration de bobinage. Elle se caractérise par sa rapidité, sa flexibilité et son bon comportement lorsque les dimensions de la machine varient. Elle est particulièrement pertinente dans un processus de conception itératif pour réaliser l’optimisation globale du système. Elle permet de résoudre une étape incontournable de conception avant l’évaluation des performances de la machine. La méthode a été implantée comme une bibliothèque de fonctions qui peut être utilisée facilement avec d’autres modules. Elle a été utilisée pour la conception d’une machine de traction et pour la conception d’un alternateur d’automobile. En comparant ses résultats par rapport au calcul de champ, nous avons remarqué que la précision de la méthode est sensible au nombre d’encoches par pôle. Elle néglige les caractéristiques magnétiques des matériaux, ce qui a justifié le développement d’une méthode de correction avec un logiciel de calcul de champ par éléments finis. Nous avons développé des méthodes pour estimer les limites de fonctionnement et pour calculer les performances d’un entraı̂nement. Elles permettent d’étudier des systèmes composés par une machine synchrone connectée à un onduleur de tension ou à un redresseur à diodes. Conclusion Générale 269 Un premier outil utilise un modèle de Park de la machine synchrone à pôles saillants qui est bien adapté pour modéliser une grande variété de structures de machines. En utilisant un algorithme d’optimisation analytique, il calcule la loi de commande optimale qui tient compte des limitations de tension et de courant de l’onduleur. Cette méthode est particulièrement intéressante pour la conception des entraı̂nements à large plage de vitesse car elle n’impose aucune contrainte sur la loi de commande, comme par exemple, un déphasage fixe entre les courants et les tensions. Pour chaque point de fonctionnement, elle trouve la meilleure stratégie de commande pour minimiser les pertes Joule en tenant compte des paramètres de la machine et de l’onduleur. Elle permet d’étudier facilement des systèmes de traction avec des cahiers de charges comportant des fonctionnements à puissance constante ou des parcours typiques, comme illustré au chapitre §4. Dans ces cas, la rapidité de l’outil est un avantage essentiel pour traiter des problèmes nécessitant l’évaluation d’un grand nombre de points de fonctionnement. Dans le cas particulier d’un alternateur avec redresseur à diodes, nous avons développé une méthode analytique pour trouver directement le régime permanent. La méthode de résolution que nous avons développée trouve directement l’équation de la forme d’onde des courants des phases de l’alternateur. En ayant ces formules, nous avons pu calculer les caractéristiques de sortie de l’alternateur et ses pertes Joule. Le gain de temps par rapport à d’autres méthodes de résolution est très important. Cette méthode de modélisation a été validée expérimentalement avec deux alternateurs. Elle a été utilisée pour la conception d’un alternateur et pour analyser la sensibilité des modèles magnétiques. Les trois exemples du chapitre §4 montrent l’utilité des outils développés et leur intégration dans un environnement de conception d’entraı̂nements à vitesse variable. Dans la première partie sur les entraı̂nements avec fonctionnements à puissance constante, nous avons montré que le couple maximal d’une machine de traction augmente si la puissance apparente de l’onduleur s’approche de la puissance mécanique. Nous avons ensuite dimensionné et comparé plusieurs systèmes de traction pouvant réaliser un parcours typique imposé qui comporte un nombre important de points. Nous avons constaté que plusieurs structures respectent les exigences du cahier des charges et que l’optimisation adapte le rendement du système en fonction de la concentration des points de fonctionnement sur une zone particulière. Un dernier exemple montre que la caractéristique du courant de charge en fonction de la vitesse est très sensible à la précision des paramètres électriques du modèle utilisé. Dans un processus de conception, le résultat Conclusion Générale 270 de l’optimisation avec les méthodes analytiques n’est pas validé par le calcul de champ. Il a donc été nécessaire d’introduire une procédure de correction des paramètres pour éviter ce problème. Cette méthode de correction améliore la précision des résultats mais l’optimum dépend toujours du comportement du modèle analytique utilisé. Dans le dernier chapitre, nous avons développé une méthode pour obtenir la caractéristique de couple vitesse des machines polyphasées en fonctionnement dégradé. Elle utilise une modélisation avec des transformations généralisées pour les machines polyphasées. En comparant des machines ayant un nombre différent de phases, nous montrons que les machines polyphasées sont plus tolérantes aux défauts et que la perte de performances varie en fonction de la vitesse. Le surdimensionnement du système pour compenser un défaut dépend non seulement du nombre de phases de la machine mais aussi de la caractéristique de couple vitesse de la charge. Les possibilités offertes par les méthodes de modélisation ne se limitent pas seulement aux exemples présentés dans les deux derniers chapitres. Par exemple, le cas des machines fonctionnant à vitesse fixe et à tension fixe, comme un alternateur de réseau, est un cas spécial qui peut être traité avec la méthode de modélisation des entraı̂nements avec un onduleur de tension. La mise au point des stratégies de commande et l’analyse des caractéristiques d’efficacité de toute la zone de fonctionnement sont rapidement réalisés avec les outils présentés. La modélisation d’un alternateur de voiture peut bien s’appliquer à une machine existante pour analyser ses performances ou pour dimensionner son redresseur. Le modèle d’un alternateur monophasé peut aussi servir à la modélisation des alternateurs polyphasés si les phases sont découplées magnétiquement. Les outils développés ne sont qu’une réponse aux problèmes spécifiques rencontrés avec les moyens que nous avons à notre disposition. Ils laissent la place à beaucoup d’améliorations. D’abord, le modèle pour l’estimation des paramètres électriques de la machine pourrait gagner beaucoup en précision par la prise en compte de la saillance et de la prise en compte des encochages avec une approche plus raffinée que le coefficient de Carter utilisé. En deuxième lieu, une prise en compte plus directe de la caractéristique de saturation des matériaux serait intéressante à développer. La modélisation des ensembles onduleur-machine pourrait être amélioré avec la prise en compte de la saturation et des pertes magnétiques de la machine pour déterminer Conclusion Générale 271 la loi de commande optimale avec une plus grande précision. Le fonctionnement du système pour maximiser la génération électrique est une extension qui peut aussi être abordée. La modélisation d’un alternateur de voiture peut être généralisée à un nombre de phases plus grande. L’utilité est alors de pouvoir comparer des alternateurs polyphasés aux alternateurs triphasés. Dans le cas de la modélisation des entraı̂nements polyphasés avec un défaut dans une phase, le besoin principal est d’augmenter la vitesse de résolution. Des pistes de solution sont envisageables comme la recherche des algorithmes d’optimisation mieux adaptés au problème ou le changement de la formulation du problème pour obtenir une convergence plus rapide. Bibliographie [1] G. Rudakubana, Conception d’un environnment de CAO de dispositifs électromagnétiques alimentés en commutation électronique. Thèse de doctorat, Faculté d’études supérieures, Université Laval, Québec, Canada, 1995. [2] R. Mahfoudhi, Étude et conception d’un moteur synchrone à aimants permanents et commutation électronique pour un équipement de traction électrique. Thèse de doctorat, Faculté d’études supérieures, Université Laval, Québec, Canada, 1992. [3] F. Tourkhani et P. Viarouge, « A dedicated simulation approach for the steadystate analysis of power electronic circuits », Integrated Computer-Aided Engineering, vol. 8, p. 215 – 230, Aug 2001. [4] N. Bianchi et S. Bolognani, « Unified approach to the analysis and design of an ac motor drive », in The 1998 IEEE Industry Applications Conference, vol. 1, p. 95 – 102, 1998. [5] E. Lovelace, T. Jahns et J. Lang, « A saturating lumped parameter model for an interior pm synchronous », in International Conference IEMD ’99 Electric Machines and Drives, p. 553 – 555, 1999. [6] A. Munoz et T. Lipo, « Complex vector model of the squirrel-cage induction machine », IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 35, no. 6, p. 1332 – 1340, 1999. [7] Z. Zhu, D. Howe, E. Bolte et B. Ackermann, « Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet dc motors. i. open-circuit field », IEEE Transactions on Magnetics, vol. 29, p. 124 – 135, Jan 1993. [8] Z. Zhu et D. Howe, « Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet dc motors. ii. armature-reaction field », IEEE Transactions on Magnetics, vol. 29, p. 136 – 142, Jan 1993. Bibliographie 273 [9] Z. Zhu et D. Howe, « Instantaneous magnetic field distribution in brushless permanent magnet dc motors. iii. effect of stator slotting », IEEE Transactions on Magnetics, vol. 29, p. 143 – 151, Jan 1993. [10] Z. Zhu et D. Howe, « Instantaneous magnetic field distribution in permanent magnet brushless dc motors. iv. magnetic field on load », IEEE Transactions on Magnetics, vol. 29, p. 152 – 158, Jan 1993. [11] L. E. Radaorozandry, Conception et optimisation des machines synchrones avec des modèles analytiques en tenant compte de la saturation magnétique. Mémoire de maı̂trise, Faculté d’études supérieures, Université Laval, Québec, Canada, 2007. [12] F. Scuiller, Développement d’outils de conception de Machines polyphasées à aimants utilisant l’Approche multimachine. Thèse de doctorat, Institut de Recherche de l’Ecole Navale, ENSAM, Brest, France, Dec 2006. [13] F. Bernot, Alternateurs synchrones de grande puissance (partie 1), vol. D3550. Paris, France : Editions Techniques de l’ingénieur, Aug 2002. [14] Z. Zhu, D. Howe et J. Mitchell, « Magnetic field analysis and inductances of brushless dc machines with surface-mounted magnets and non-overlapping stator windings », IEEE Transactions on Magnetics, vol. 31, p. 2115 – 2118, May 1995. [15] J. Cros, L. Radaorozandry, J. Figueroa et P. Viarouge, « Magnetic model accuracy and influence on the design of car alternator by optimization method », in 7th International Symposium on Electric and Magnetic Fields EMF 2006, (Aussois, France), 2006. [16] J. Cros, L. Radaorozandry, J. Figueroa et P. Viarouge, « Influence of the magnetic model accuracy on the optimal design of a car alternator », The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical Engineering, vol. 27, no. 1, 2008. [17] A. Verl et M. Bodson, « Torque maximization for permanent magnet synchronous motors », IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 6, no. 6, p. 740 – 744, 1998. [18] B. M. Gammel, Matpack C++ Numerics and Graphics Library. N/A, 2005. [19] C. Bond, rpoly.cpp – Jenkins-Traub real polynomial root finder. N/A, 2000. [20] A. Adnanes et T. Undeland, « Optimum torque performance in pmsm drives above rated speed », in Conference Record of the 1991 IEEE Industry Applications Society Annual Meeting, (Dearborn, MI), p. 169 – 175, 28 Sep - 4 Oct 1991. Bibliographie 274 [21] W. Soong et T. Miller, « Theoretical limitations to the field-weakening performance of the five classes of brushless synchronous ac motor drive », in Sixth International Conference on Electrical Machines and Drives, (Oxford), p. 127 – 132, 8 Sep - 10 Sep 1993. [22] R. Schiferl et T. Lipo, « Power capability of salient pole permanent magnet synchronous motors in variable speed drive applications », IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 26, p. 115 – 123, Jan - Feb 1990. [23] W. Soong et T. Miller, « Field-weakening performance of brushless synchronous ac motor », IEE Proceedings- Electric Power Applications, vol. 141, p. 331 – 340, Nov 1994. [24] W. Soong, D. Staton et T. Miller, « Design of a new axially-laminated interior permanent magnet motor », IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 31, p. 358 – 367, Mar - Abr 1995. [25] J. Wai et T. Jahns, « A new control technique for achieving wide constant power speed operation with an interior pm alternator machine », in Conference Record of the 2001 IEEE Industry Applications Conference, vol. 2, (Chicago, IL), p. 807 – 814, 30 Sep - 4 Oct 2001. [26] V. Caliskan, D. Perreault, T. Jahns et J. Kassakian, « Analysis of threephase rectifiers with constant-voltage loads », IEEE Transactions on] Circuits and Systems I : Fundamental Theory and Applications, vol. 50, no. 9, p. 1220 – 1225, 2003. [27] J. Figueroa, J. Cros et P. Viarouge, « Relative sizing of inverter and surface mount pm motor for traction applications », in 2006 IEEE International Symposium on Industrial Electronics, vol. 3, (Montreal, Québec, Canada), p. 2254 – 2259, 9 Jul - 13 Jul 2006. [28] J. Figueroa, L. Radaorozandry, J. Cros et P. Viarouge, « Comparative analysis of surface mount pm motors structures for a traction application », in XVIIth International Conference on Electrical Machines ICEM 2006, (Chania, Crete Island, Greece), 2 Sep - 5 Sep 2006. [29] T. Henneron, S. Clenet, J. Cros et P. Viarouge, « Evaluation of 3-d finite element method to study and design a soft magnetic composite machine », IEEE Transactions on Magnetics, vol. 40, no. 2, p. 786 – 789, 2004. [30] J.-R. Fu et T. Lipo, « Disturbance-free operation of a multiphase currentregulated motor », IEEE Transactions on Industry Applications, vol. 30, p. 1267 – 1274, Sep - Oct 1994. Bibliographie 275 [31] H. Toliyat, « Analysis and simulation of five-phase variable-speed induction », IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 13, p. 748 – 756, Jul 1998. [32] J. Figueroa, J. Cros et P. Viarouge, « Polyphase pm brushless dc motor for high reliability application », EPE Journal, vol. 14, Aug 2004. [33] B. Mecrow, A. Jack, J. Haylock et J. Coles, « Fault-tolerant permanent magnet machine drives », IEE Proceedings- Electric Power Applications, vol. 143, p. 437 – 442, Nov 1996. [34] J. Figueroa, J. Cros et P. Viarouge, « Generalized transformations for polyphase phase-modulation motors », IEEE Transaction on Energy Conversion, vol. 21, p. 332 – 341, Jun 2006. [35] S. P. Boyd et L. Vandenberghe, Convex optimization. Cambridge, UK : Cambridge University Press, 2004. [36] A. Castellazzi, M. Ciappa, W. Fichtner, G. Lourdel et M. MermetGuyennet, « Compact modelling and analysis of power-sharing unbalances in igbt-modules used in traction applications », Microelectronics and Reliability, vol. 46, p. 1754 – 1759, 23 Aug 2006. [37] A. Hamidi, N. Beck, K. Thomas et E. Herr, « Reliability and lifetime evaluation of different wire bonding technologies for high power igbt modules », Microelectronics Reliability, vol. 39, p. 1153 – 1158, Jun - Jul 1999. [38] M. Ciappa, « Selected failure mechanisms of modern power modules », Microelectronics Reliability, vol. 42, p. 653 – 667, Abr - May 2002. [39] L. Fratelli, B. Cascone, G. Glannini et G. Busatto, « Long term reliability testing of hv-igbt modules in worst case traction operation », Microelectronics Reliability, vol. 39, p. 1137 – 1142, Jun - Jul 1999. [40] M. Ciappa, P. Malberti, W. Fichtner, P. Cova, L. Cattani et F. Fantini, « Lifetime extrapolation for igbt modules under realistic operation conditions », Microelectronics Reliability, vol. 39, p. 1131 – 1136, Jun - Jul 1999. [41] H. Berg et E. Wolfgang, « Advanced igbt modules for railway traction applications : Reliability testing », Microelectronics Reliability, vol. 38, p. 1319 – 1323, Jun - Aug 1998. [42] A. Hamidi et G. Coquery, « Effects of current density and chip temperature distribution on lifetime of high power igbt modules in traction working conditions », Microelectronics and Reliability, vol. 37, p. 1755 – 1758, Oct - Nov 1997. Bibliographie 276 [43] M. Fenger, S. Campbell et J. Pedersen, « Motor winding problems caused by inverter drives », IEEE Industry Applications Magazine, vol. 9, p. 22 – 31, Jul - Aug 2003. [44] R. Schiferl et M. Melfi, « Bearing current remediation options », IEEE Industry Applications Magazine, vol. 10, p. 40 – 50, Jul - Aug 2004. [45] G. Anderson et A. Peters, « An overview of the maintenance and reliability of ac traction », in Proceedings of the 1993 IEEE/ASME Joint Railroad Conference, (Pittsburgh, PA), p. 7 – 15, 6 Abr - 8 Abr 1993. [46] G. Pessina et P. Giraudi, « Comparison between traction electrical motors based on the working », in International Conference on Developments in Mass Transit Systems, (London), p. 31 – 35, 20 Abr - 23 Abr 1998. [47] K. Macken, I. Wallace et M. Bollen, « Reliability assessment of motor drives », in 37th IEEE Power Electronics Specialists Conference, p. 1 – 7, 18 Jun - 22 Jun 2006. [48] M. Molaei, H. Oraee et M. Fotuhi-Firuzabad, « Markov model of drivemotor systems for reliability calculation », in 2006 IEEE International Symposium on Industrial Electronics, vol. 3, p. 2286 – 2291, Jul 2006. [49] J. Vallon, Introduction à l’étude de la fiabilité des cellules de commutation à IGBT sous fortes contraintes. Thèse de doctorat, Laboratoire d’Electrotechnique et d’Electronique Industrielle, Toulouse, France, 2003. Annexe A Court-circuit entre les spires d’une phase A.1 Introduction Cette annexe montre la compensation du court-circuit entre les spires d’une phase. La compensation est réalisée avec un court-circuit entre les bornes de la phase. L’explication se base sur l’utilisation d’un circuit équivalent des bobines qui composent la phase. A.2 Circuit équivalent d’une bobine avec un courtcircuit entre spires Nous pouvons utiliser un circuit équivalent pour constater la diminution du courant de défaut. Supposons une phase composée d’une bobine avec 5 spires montées sur le même circuit magnétique. Chaque spire possède une inductance propre Lspire et une résistance Rspire . Comme toutes les spires partagent le même circuit magnétique, l’inductance mutuelle entre les spires est donnée par kLspire et k est très proche de l’unité. Les spires sont toutes connectées en série pour former le bobinage. Chaque spire est Court-circuit entre les spires d’une phase 278 affectée par une tension induite par le rotor de la machine. La figure A.1 montre le schéma équivalent de ce circuit. Par simplicité, nous n’avons pas représenté les inductances mutuelles dans le schéma. L’équation de tension de la spire numéro 1, en tenant compte du couplage entre les spires, est la suivante : v1 = Rspire i1 + √ −1pΩLspire i1 + √ −1pΩkLspire (i2 + i3 + i4 + i5 ) + √ −1pΩλ (A.1) Les équations des tensions des autres spires sont similaires. La tension totale aux bornes de la bobine est la somme des tensions des cinq spires : vtot = v1 + v2 + v3 + v4 + v5 Nous pouvons montrer que la tension totale à vide d’une phase est : √ vtot = 5 −1pΩλspire (A.2) L’impédance d’une phase est donc égale à : Zterm = 5Rspire + √ −1pΩ(5Lspire + 20kLspire) (A.3) La valeur de l’inductance équivalente, si nous supposons que le couplage magnétique est parfait (k = 1) : Lterm = 25Lspire (A.4) Cette valeur correspond à la valeur attendue pour une bobine de cinq spires, soit que l’inductance est proportionnelle au carré du nombre de tours. Court-circuit entre les spires d’une phase 279 1 pΛspire v5 Rspire i5 1 pLspire 1 pΛspire v4 Rspire i4 1 pLspire 1 pΛspire vtot v3 Rspire i3 itot 1 pLspire 1 pΛspire v2 Rspire i2 1 pLspire 1 pΛspire v1 Rspire i1 1 pLspire Figure A.1 – Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires Court-circuit entre les spires d’une phase 280 Pour représenter un court-circuit dans une spire (Fig. A.2), il suffit d’imposer que la tension d’une spire soit nulle : v1 = 0 (A.5) Si les bornes de la bobine sont déconnectées, alors il n’y a pas de courant dans la bobine (Fig. A.2) : i2 = i3 = i4 = i5 = 0 (A.6) Le courant dans la spire en court-circuit est égal à : pΩλspire i1 = − √ − −1Rspire + pΩLspire (A.7) La tension aux bornes de la bobine est : vtot √ 4 −1kLspire p2 λspireΩ2 = 4 −1pλspire Ω − √ − −1Rspire + Lspire pΩ √ (A.8) Si le couplage magnétique est parfait k = 1 et si la résistance est très faible, nous obtenons : i1 = − vtot = 0 λspire Lspire (A.9) (A.10) Si en même temps que la spire est en court-circuit, nous provoquons un court-circuit Court-circuit entre les spires d’une phase 281 1 pΛspire v5 Rspire i5 1 pLspire 1 pΛspire v4 Rspire i4 1 pLspire 1 pΛspire vtot v3 Rspire i3 itot 1 pLspire 1 pΛspire v2 Rspire i2 1 pLspire 1 pΛspire v1 Rspire i1 1 pLspire Figure A.2 – Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires et un court-circuit dans la première spire Court-circuit entre les spires d’une phase 282 aux bornes de la bobine (Fig. A.3), nous obtenons le résultat suivant : pλΩ itot = i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = − √ − −1R + pΩL + 4kpΩL (A.11) Si le couplage magnétique est parfait k = 1 et la résistance est nulle Rspire = 0, nous obtenons : itot = i1 = i2 = i3 = i4 = i5 = − λspire 5Lspire (A.12) Donc, un court-circuit, aux bornes de la bobine, réduit le courant dans la spire avec défaut dans un rapport cinq, qui correspond à la valeur du courant de court-circuit dans la bobine. De la même manière, il est possible de montrer que, pour une bobine quelconque avec ntours tours, un court-circuit de la phase réussit à diminuer de ntours fois le courant d’une spire en court-circuit [33]. Cette condition s’applique si la phase est composée d’une seule bobine dont toutes les spires sont logées dans la même encoche. A.2.1 Cas d’une phase composée de plusieurs bobines Si une phase est composée de plusieurs bobines connectées en série et qu’elles sont sans couplage mutuel, la diminution du couple moyen dépend du déphasage de la f.e.m. des différentes bobines. Nous considérons par exemple une phase composée de deux bobines. Chaque bobine possède cinq spires (Fig. A.4). Nous pouvons montrer que, s’il n’y a pas de défaut dans la phase, nous avons une tension à vide égale à : vtot = vtot1 + vtot2 √ vtot1 = 5 −1pΩλspire √ √ vtot2 = 5 −1pΩλspire e −1φ √ √ vtot = 5 −1pΩλspire 1 + e −1φ (A.13) (A.14) (A.15) (A.16) Court-circuit entre les spires d’une phase 283 Où φ correspond au déphasage de la f.e.m. des deux bobines. En négligeant la résistance, le courant de court-circuit aux bornes de la phase correspond à : itot λspire 1 + esqrt−1φ =− 5Lspire 2 (A.17) Si le déphasage de la f.e.m. est nul, la valeur du courant de court-circuit de la phase est égale à la valeur du courant de court-circuit d’une bobine toute seule : itot = − λspire 5Lspire (A.18) L’inductance de la phase est dans tous les cas la somme des inductances de deux bobines : Lphase = 2 ∗ 25Lspire (A.19) Supposons qu’il y a un court-circuit entre les spires dans une bobine, par exemple, dans la spire numéro 1 de la bobine à gauche dans la figure A.4. Dans ce cas, la tension à vide de la phase chute à la valeur de la tension à vide de la bobine saine seulement : vtot = vtot1 + vtot2 (A.20) vtot1 = 0 (A.21) vtot2 = 5sqrt−1pΩλspire esqrt−1φ (A.22) vtot = 5sqrt−1pΩλspire esqrt−1φ (A.23) Court-circuit entre les spires d’une phase 284 Le courant de court-circuit entre les spires est : i1 = − λspire Lspire (A.24) Si nous provoquons en même temps un court-circuit aux bornes de la phase, le courant de court-circuit de la phase est égal à : itot = − λspire sqrt−1φ e 5Lspire (A.25) Son amplitude est la même que le courant de court-circuit d’une phase saine, mais avec un déphasage de φ. Le courant de court-circuit entre spires est : i1 = − λspire 5 − 4esqrt−1φ 5Lspire (A.26) Si le déphasage est nul, nous obtenons : i1 = − λspire 5Lspire (A.27) Donc, le court-circuit de la phase réduit le courant dans la spire avec défaut dans un rapport cinq fois à condition que le déphasage des f.e.m. des bobines soit nul. Pour une phase quelconque composée de plusieurs bobines avec ntours tours, le court-circuit des terminaux permet de réduire dans un rapport ntours le courant d’une spire en courtcircuit, à condition que le déphasage de la f.e.m. de chaque bobine de la phase soit nul. Si le déphasage n’est pas nul, le courant dans la spire sera plus élevé. Court-circuit entre les spires d’une phase 285 1 pΛspire v5 Rspire i5 1 pLspire 1 pΛspire v4 Rspire i4 1 pLspire 1 pΛspire vtot v3 Rspire i3 itot 1 pLspire 1 pΛspire v2 Rspire i2 1 pLspire 1 pΛspire v1 Rspire i1 1 pLspire Figure A.3 – Schéma équivalent d’une phase composée d’une bobine avec cinq spires avec une spire en court-circuit et un court-circuit entre les bornes Court-circuit entre les spires d’une phase 1 pΛspire 1 Φ 1 pΛspire v5 Rspire i5 v10 1 pLspire Rspire i4 v9 i3 i2 1 pLspire Rspire i8 itot v7 Rspire i7 1 pLspire 1 pΛspire 1 Φ 1 pΛspire Rspire vtot2 v8 1 pΛspire 1 Φ 1 pLspire v1 itot 1 pLspire 1 pΛspire Rspire i9 1 pΛspire 1 Φ 1 pLspire v2 Rspire 1 pLspire 1 pΛspire Rspire i10 1 pΛspire 1 Φ 1 pLspire vtot1 v3 Rspire 1 pLspire 1 pΛspire v4 286 i1 v6 Rspire i6 1 pLspire Figure A.4 – Schéma équivalent d’une phase composée de deux bobines avec cinq spires Court-circuit entre les spires d’une phase A.3 287 Conclusion Nous avons montré comment le court-circuit entre les bornes d’une phase peut diminuer sous l’intensité de courant d’un court-circuit entre spires d’une phase. Cependant, il y a des conditions qui doivent être remplies pour que la diminution du courant soit intéressante, notamment le déphasage de la f.e.m. des différentes bobines composant la phase.