Les indispensables en probabilités Les formules et le vocabulaire

Les indispensables en probabilités
Les formules et le vocabulaire
Les probabilités conditionnelles
p ( A ∩ B)
pB ( A) =
p( B )
p( A ∩ B) = p A ( B) × p ( A) ou p( A ∩ B) = pB ( A) × p ( B)
(
)
p( A) = p ( A ∩ B ) + p A ∩ B : probabilités totales
Les événements indépendants
A et B sont indépendants si et seulement si p( A ∩ B) = p( A) p ( B)
La loi binomiale
On est dans le cadre d’une loi binomiale s’il y a seulement deux événements possibles . De
plus on doit répéter la même expérience de façon totalement indépendante .
Dans ce cas , la variable aléatoire X est égale au nombre de succès . Et si la probabilité du
succès est p et qu’on a effectué l’expérience n fois , on a les deux formules suivantes :
n
p( X = k ) =   p k (1 − p )n − k
k 
E(X) = n p ( l’espérance)
Pense bête
Faire un arbre
La plupart des exercices de probabilités peuvent s’illustrer par un arbre . Dans des cas très
compliqués , même si l’arbre entier ne peut pas être réalisé , le commencer peut aider dans les
raisonnements .
Pour commencer l’arbre , bien lire l’énoncé ! Repérer les événements et leur enchainement
( qui vient avant qui )
Calculer les probabilités des branches en les justifiant à l’aide de l’énoncé
Souvent , c’est juste le bon sens qui est nécessaire .
Calculer les probabilités dans un exercice
Si ce sont les probabilités des premiers événements , bien souvent il suffit de lire
l’énoncé et de justifier en le citant
Quand ce sont les probabilités « inter » , utiliser les formules et les écrire pour justifier
Quand ce sont des probabilités qui sont le résultat de plusieurs chemins , utiliser les
probabilités totales .
Quand ce sont des probabilités concernant des valeurs prises par une variable aléatoire
penser à la loi binomiale ( on répète 10 fois une expérience , quelle est la probabilité
que X égale 4 ?)
Déterminer n tel que pn > k
C’est une inéquation avec n en inconnue . En général , « n » est en puissance . Penser à
utiliser ln pour faire « descendre » la puissance .
Analyser un énoncé
Justifier beaucoup : les probabilités sont en général des exercices pas très difficiles et rapides .
On est donc plus exigeant dans la correction .
Faire attention si on demande les résultats sous forme approchée ou de fractions irréductibles .
Ne pas négliger les suites : on les retrouve souvent avec les probabilités .
Les indispensables en probabilités
Exemple
Lire cet énoncé avec un crayon et noter ce qui doit être remarqué et ce qui vient déjà à
l’esprit pour aider à la résolution de l’exercice
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On imagine n sacs de jetons S1 , S2 , … , Sn .
Au départ , le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc et chacun des autres sacs contient
un jeton noir et un jeton blanc .
On se propose d’étudier l’évolution des tirages successifs d’un jeton de ces sacs effectués de
la façon suivante :
Première étape : on tire au hasard un jeton du sac S1
Deuxième étape : on place ce jeton dans S2 puis on tire au hasard un jeton de S2
Troisième étape : après avoir placé dans S3 le jeton sorti de S2 , on tire au hasard un jeton de
S3 … et ainsi de suite .
Pour tout entier naturel k tel que 1 ≤ k ≤ n , on note Ek l’événement : « le jeton sorti de Sk est
blanc » .
1) Faire un arbre de probabilités en expliquant l’obtention de chaque probabilité illustrant
les deux premiers tirages
2) a) Donner p(E1) , pE1 ( E2 ) et pE ( E2 )
1
b) En déduire la probabilité p(E2) .
c) On note pk la probabilité de l’événement Ek pour 1 ≤ k ≤ n .
1
1
Justifier : pk +1 = pk +
3
3
1
1
1
3) On note (uk) la suite définie par u1 = et uk +1 = uk + pour tout k ≥ 1
3
3
3
a) On considère la suite (vk) définie pour tout élément k entier naturel non nul par
1
vk = uk − . Démontrer que la suite (vk) est géométrique .
2
b) En déduire l’expression de uk en fonction de k . Montrer que cette suite converge et
déterminer sa limite .
4) Dans cette question , on suppose que n = 10 . Déterminer k tel que : 0,4999 ≤ pk ≤ 0,5
Les indispensables en probabilités
Solution
Pour tout entier naturel k tel que 1 ≤ k ≤ n , on note Ek l’événement : « le jeton sorti de Sk est
blanc » . après lecture de l’énoncé , on peut faire des petits schémas
1) Faire un arbre de probabilités en expliquant l’obtention de chaque probabilité illustrant
les deux premiers tirages bien détailler les probabilités en justifiant par énoncé
2) a) Donner p(E1) , pE1 ( E2 ) et pE ( E2 ) en utilisant l’énoncé
1
b) En déduire la probabilité p(E2) . 2 chemins donc probas totales
c) On note pk la probabilité de l’événement Ek pour 1 ≤ k ≤ n .
1
1
Justifier : pk +1 = pk +
les probas totales mais au rang k
3
3
1
1
1
3) On note (uk) la suite définie par u1 = et uk +1 = uk + pour tout k ≥ 1
3
3
3
a) On considère la suite (vk) définie pour tout élément k entier naturel non nul par
1
vk = uk − . Démontrer que la suite (vk) est géométrique . vk+1 / vk doit donner une
2
constante
b) En déduire l’expression de uk en fonction de k . Montrer que cette suite converge et
déterminer sa limite . formule d’une suite géométrique puis on déduit uk et calcul de
limite
4) Dans cette question , on suppose que n = 10 . Déterminer k tel que : 0,4999 ≤ pk ≤ 0,5
on utilisera ln
Et maintenant faire l’exercice !