Cours de mathématiques 3eannée niveau 2 Analyse 2012 – 2013

Cours de mathématiques
3e année niveau 2
Analyse
2012 – 2013
Bernard Lenggenhager : [email protected]
Collège de Genève
Version du 5 janvier 2013
ii
Table des matières
Table des matières
iii
1 Introduction
1
2 Entrée en matière
3
3 Principes de base
5
4 Limite
4.1 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
14
5 Continuité
5.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Continuité sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
19
21
6 Dérivée
6.1 La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
25
27
7 Calcul diff.
7.1 Les accroissements finis
7.2 Croissance . . . . . . .
7.3 Extremum relatif . . .
7.4 Courbure . . . . . . .
31
31
33
34
35
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8 Étude de fonction
39
9 Fonctions trigonométriques
9.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
41
43
10 Optimisation
45
iii
11 Taux relatifs
11.1 Notion de différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Taux relatifs ou taux liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
49
12 L’intégrale
12.1 Primitive . . . . . . . .
12.2 Vitesse et accélération
12.3 Aire . . . . . . . . . .
12.4 Théorème Fondamental
12.5 Règles d’intégration . .
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51
53
55
57
58
13 Le calcul intégral
13.1 Aire entre deux courbes
13.2 La moyenne . . . . . . .
13.3 Le volume de révolution
13.4 La longueur d’arc . . . .
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63
63
64
66
66
Bibliographie
69
Index
69
iv
1
Introduction
Quelles sont les racines du calcul différentiel et intégral ?
Elles viennent probablement de Pythagore (environ 500 av J.-C.), plus spécialement d’une
découverte qui l’humilia et le bouleversa :
les nombres entiers sont insuffisants pour bâtir les mathématiques.
(Pythagore prêchait que toute la nature, l’univers entier, toutes choses mathématiques
reposaient sur le modèle discret des nombres entiers : 1, 2, 3, ...) Voilà cette découverte :
le rapport du côté d’un carré à sa diagonale ne peut pas s’exprimer par le rapport de
deux nombres entiers. On ne peut pas trouver deux nombres
entiers tels que le carré de l’un
√
soit égal au double du carré de l’autre. (équivalent : 2 n’est pas un nombre rationnel !)
Citons également Archimède (287 à 212 av J.-C.) qui cherchait à déterminer des longueurs de courbes ou l’aire de surfaces gauches (non planes). Il remarqua que les axiomes
généraux ne suffisaient pas.
Archimède va faire de l’approximation et de l’intégration (cela ne s’appelle pas encore
ainsi). Il est considéré comme le précurseur du calcul intégral (calcul d’aire avec sa méthode d’exhaustion) et différentiel (tangente à des spirales).
Il faudra attendre la fin du XVIIe siècle pour voir éclore le calcul différentiel et intégral
avec Newton (1642 – 1727) et Leibniz (1646 – 1716) qui développent parallèlement et
chacun à leur manière cette nouvelle théorie (1670 – 1700). On ne parle pas encore de limite.
Newton parle de « fluente » et de « fluxion » alors que Leibniz utilise la notion de « nombre
infiniment petit » (cette notion est en contradiction avec la propriété archimédienne des
nombres réels). Voici ce que disait l’évêque Georges Berkley, un contemporain de Newton
et Leibniz : « Que sont ces fluxions ? Les vitesses d’accroissements infiniment petits. Et que
sont ces accroissements infiniment petits eux-mêmes ? Ce ne sont ni des quantités finies,
ni des quantités infiniment petites, pas même rien. Ne pouvons-nous pas les appeler des
fantômes de quantités disparues ? »
Néanmoins, tous les résultats obtenus par Leibniz et Newton étaient corrects et ont été
utilisés jusqu’au milieu du XIXe siècle. Cette contradiction va amener les mathématiciens
de l’époque à rechercher une approche qui permette de la contourner. Il faudra attendre
encore quelques années et la venue des mathématiciens Euler (vers 1750), Cauchy (1821),
Bolzano (1781 – 1848), Weierstrass (1815 – 1897. 1861 : définition rigoureuse de la limite
et en usage depuis) et d’autres pour compléter la théorie des limites en particulier et
du calcul différentiel et intégral en général. Dans les années 1960, des mathématiciens
ont tenté de redonner vie à la notion de nombre infiniment petit (Abraham Robinson,
1
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Edouard Nelson). Cette approche s’appelle l’analyse non-standard. Elle est actuellement
en plein développement.
La théorie du calcul différentiel et intégral aura mis environ 200 ans pour être formulée
telle qu’elle est aujourd’hui. Alors qu’il ne vous faudra qu’une petite année pour l’étudier !
2
2
Entrée en matière
Activité 1
Dans un aéro-club il y a un type d’avion qui décolle dès qu’il atteint la vitesse de 30 m/s
(soit 108 km/h). Un pilote observe qu’au roulage (et également quelques secondes après
le décollage), la position p en mètres de son avion en fonction du temps t en secondes est
t3
.
donnée par la fonction p : t 7→ 10
(1) Est-ce que l’avion décolle ou a décollé après 5 secondes ?
(2) Est-ce que l’avion décolle ou a décollé après 10 secondes ?
(3) Est-ce que l’avion décolle ou a décollé après 20 secondes ?
Activité 2
Supposons qu’une voiture se déplace avec une vitesse constante égale à 60 km/h.
(1) Soit p la fonction qui décrit la position de la voiture en fonction du temps.
Dessiner le graphe de la position p de la voiture en fonction du temps t, pour des
valeurs de t variant de 0 à 3 heures.
(2) Soit v la fonction qui décrit la vitesse de la voiture en fonction du temps.
Dessiner le graphe de la vitesse v de la voiture en fonction du temps t, pour des
valeurs de t variant de 0 à 3 heures.
(3) Connaissant le graphe de la position, comment peut-on dessiner le graphe de la vitesse
de la voiture à chaque instant ?
(4) Connaissant le graphe de la vitesse, comment peut-on dessiner le graphe de la position
de la voiture à chaque instant ?
3
CHAPITRE 2. ENTRÉE EN MATIÈRE
Activité 3
La vitesse v d’une voiture (en km/h) est donnée par la fonction suivante dépendante
du temps t (en h) :

60
si 0 ≤ t ≤ 0, 5



120 si 0, 5 < t ≤ 2
v : t 7→
.

80
si
2
<
t
≤
2,
5



60
si 2, 5 < t ≤ 3
Calculer la position de la voiture aux temps t = 1, t = 2 et t = 3.
Dessiner le graphe de la vitesse et indiquer sur le graphique de la vitesse où la position
au temps t = 2 peut être dessinée.
Activité 4
La courbe suivante peut être approximée par
une fonction linéaire par morceaux dont la pente
pour chaque morceau est facile à calculer. Si cette
courbe est la représentation de la fonction position
p d’un objet en mouvement, utiliser la fonction linéaire par morceaux pour représenter graphiquement la fonction vitesse v. (Les valeurs exactes ne
sont pas importantes ici, des valeurs approximatives
feront l’affaire.)
p
30
20
10
1
2
t
3
Activité 5
30
La courbe suivante peut être approximée
par une fonction en « escalier ». Si cette courbe
représente la fonction vitesse v d’un objet en
mouvement, utiliser les rectangles pour donner
une représentation graphique de la fonction position p. (Les valeurs exactes ne sont pas importantes ici, des valeurs approximatives feront
l’affaire.)
v en km/h
20
10
1
2
3
t en h
Le but principal du sujet appelé analyse consiste à déterminer quand et comment
approximer une courbe par des morceaux de droites et d’approximer des aires par des
rectangles et de comprendre comment les utiliser pour calculer. Intuitivement, il paraît
claire que, pour que l’approximation soit bonne, les morceaux de droites ou les rectangles
doivent être petit. La question est : petit comment ? Ou le nombre de parties à prendre
doit être grand relativement à la question : grand comment ?
4
3
Principes de base
Niveau de référence
Les réels R sont constitués de niveaux imbriqués.
Au niveau le plus grossier on observe, par exemple, les nombres
√
1
3
;
;
2 ; π.
10
4 1010
On peut considérer une métaphore tirée de la physique. Au niveau le plus grossier se
trouvent les nombres qu’on peut observer sans microscope ni télescope. Chaque expérience
détermine un contexte et, relativement à ce contexte, certains nombres ne sont pas observables parce que trop petits ou trop grands. Pensez au millimètre comparé à la distance
terre-lune. Mais les nombres réels sont en quantité infinie. On ne peut pas tous les observer aussi facilement. Il y a des nombres dont ont sait qu’ils existent mais qui sont moins
observables. On peut penser à l’intervalle [0; 1]. Il contient une infinité de nombres qui sont
tellement serrés les uns contre les autres qu’on peut imaginer que certains sont, d’une certaine manière, séparés par une distance ultrapetite. Ceci permet de concevoir les niveaux
plus fins.
Proche de zéro, il y a des nombres qui sont tellement petits (on dira ultrapetits) qu’on
ne peut pas les observer. Ils ne sont pas du niveau le plus grossier. Mais on pourra utiliser
leur propriété d’être ultrapetit. Leur inverse sera ultragrand. Si on voulait imaginer écrire
sous forme décimale un nombre ultrapetit, on écrirait « 0, suivi d’un nombre ultragrand
de zéros, suivis d’au moins une décimale non nulle ». Mais un nombre ultragrand de zéros,
c’est un nombre tellement grand qu’il est en quelque sorte au delà de notre horizon de
connaissance.
Mais il n’y a pas que le niveau le plus grossier et un autre niveau plus fin. Relativement
à chaque niveau, il existe des niveaux plus fins. Même quand on utilise un microscope, il se
trouve des nombres qui ne sont pas observables à l’aide de ce microscope. Chaque niveau
est contenu dans les niveaux plus fins.
10
0 ; 1 ; 7 ; −3 ; 1010
;
5
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE
En résumé :
Propriétés des niveaux
(1) Les nombres définis sans référence au concept de niveau sont observables au niveau
le plus grossier.
(2) Soient x1 , . . . , xn . Il existe un niveau le plus grossier où x1 , . . . , xn sont observables.
(3) Si un nombre est observable à un niveau, il est aussi observable à tous les niveaux
plus fins.
Définition 1
Le niveau d’un nombre réel x est le niveau le plus grossier où x est observable.
On étend la notion de niveau de la manière suivante :
– Le niveau de a, b, c, . . . , x est le niveau le plus grossier où a, b, c, . . . , x sont observables.
– Si une fonction d’une variable x est définie au moyen des paramètres a, b, c, . . . , on
dira que le niveau de la fonction est le niveau des paramètres de a, b, c . . . .
– Le niveau d’un intervalle I est le niveau des bornes de l’intervalle.
Le niveau d’une fonction, d’une propriété ou d’un ensemble est donc le niveau des paramètres dont on a besoin pour définir la fonction, la propriété ou l’ensemble. Ceci définit le
niveau de référence :
Niveau de référence :
Le niveau de référence d’une propriété c’est le niveau de tous les paramètres de cette
propriété.
On pourra aussi parler de niveau d’observation comme synonyme pour le niveau de
référence.
On travaillera toujours relativement à un niveau de référence. Par exemple, cela veut
dire que si on désire étudier une fonction f en a, alors on va travailler relativement au
niveau de f et a. Si l’on désire étudier le comportement de deux fonctions f et g sur un
intervalle [a; b], alors on travaillera relativement au niveau de f , g, a et b.
Définition 2
Relativement à un niveau de référence :
(1) On dira qu’un nombre est ultrapetit s’il est non nul et plus petit, en valeur absolue,
que n’importe quel nombre positif du niveau de référence.
(2) On dira qu’un nombre est ultragrand s’il est plus grand, en valeur absolue, que
n’importe quel nombre du niveau de référence.
(3) On dira que deux nombres a et b sont ultraproches, ce qu’on écrit
a ' b,
si leur différence est ultrapetite relativement au niveau de référence ou nulle.
6
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE
Existence des ultrapetits et des ultragrands :
Relativement à n’importe quel niveau de référence, il existe des ultrapetits et des ultragrands.
Si un nombre est ultrapetit ou ultragrand relativement au niveau de référence, il ne
peut être dans le niveau de référence.
Par définition, si x est ultragrand (ou ultrapetit) alors −x est ultragrand (ou ultrapetit).
Notons que si x 6= 0 est un nombre réel, alors, relativement au niveau de référence, il y
a trois possibilités exclusives :
– x est ultrapetit.
– Il existe des nombres positifs r1 , r2 du niveau de référence tels que r1 < |x| < r2 .
– x est ultragrand.
Relativement à un niveau
les ultrapetits sont par là
0
Relativement à un niveau
les ultragrands sont par là-bas
/
/
/
/
/
/
/
/
0
Pour terminer, les niveaux sont imbriqués les uns dans les autres. Dans le niveau le
plus grossier se trouvent les nombres observables, ceux avec lesquels vous avez l’habitude
de travailler. Dans un niveau plus fin, on trouvera des nombres ultrapetits, des nombres
ultragrands relativement aux nombres du niveau le plus grossier, et également des nombres
ultraproches des nombres du niveau le plus grossier.
7
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE
...
δ,
1
,
δ
1 + δ, . . .
ε, 1ε , 1 + ε, . . .
√
0, 1, 2, π, . . .
ε ultrapetit relativement au niveau le plus grossier.
δ ultrapetit relativement au niveau de ε.
Principe de Clôture
Le principe de clôture nous dit qu’il est impossible de quitter le niveau de référence en
effectuant des opérations sur des données du niveau de référence.
Principe de clôture
Les nombres définis en utilisant des données dans un niveau sont dans ce niveau.
Le principe de clôture implique qu’un nombre est du niveau contenant toute l’information nécessaire à le calculer. Il se peut que le niveau de ce nombre soit plus grossier. Par
exemple,
a + b, a − b, a · b, a/b pour b 6= 0, ab , . . .
sont du niveau de a et de b (ou d’un niveau plus grossier). Si on peut observer toute
l’information nécessaire à calculer un nombre, alors on peut observer ce nombre.
En particulier, on a
f (x) est du niveau de f et de x.
Exemples
Soit ε un ultrapetit relativement au niveau le plus grossier.
(1) 3 + ε est-il du niveau le plus grossier ?
(2) Trouver deux nombres r1 et r2 du niveau le plus grossier tels que r1 < 3 + ε < r2 .
(3) Soit f : x 7→ x2 + x + 1. Quel est le niveau de référence de cette fonction ? Peut-on
calculer l’image de 3 + ε ?
Théorème 1
Relativement à un niveau de référence : si a et b sont du niveau de référence et si a ' b,
alors a = b.
8
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE
Activité 6
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses. Justifier par une preuve ou un
contre-exemple.
(1) Soient x ' 2 et y ' 3.
(a) x + y ' 5
2
3
(b) x − y ' −1
(c) x · y ' 6
(d)
x
y
'
(b) x − y ' −3
(c) x · y ' 0
(d)
x
y
'0
(d)
x
y
'
(d)
x
y
'0
(2) Soient x ' 0 et y ' 3.
(a) x + y ' 3
(3) Soient x ' N et y ' M avec M et N ultragrands positifs.
(a) x+y ' N +M
(b) x−y ' N −M
(c) x · y ' N · M
N
M
(4) Soient x ' 0 et y ' M avec M ultragrands positifs.
(a) x + y ' M
(b) x − y ' −M
(c) x · y ' 0
Théorème 2 (Ultracalcul)
Relativement à un niveau de référence :
Si a ' x et b ' y, alors
(1) a + b ' x + y.
(2) a − b ' x − y.
(3) Si a et b ne sont pas ultragrands, alors a · b ' x · y.
a
x
(4) Si a n’est pas ultragrand et b 6' 0, alors
' .
b
y
Le théorème précédent sera souvent utilisé dans la suite. Nous nous y référerons en
disant simplement « par ultracalcul ».
Exemple
Soit x ultragrand relativement au niveau de référence. Peut-on dire que
x
1+
1
x
' x?
Principe de la partie observable
Le principe suivant reflète que les niveaux sont tellement imbriqués que si un nombre
n’est pas ultragrand alors il est ultraproche de ou égale à un nombre du niveau de référence.
Il est de la forme x = a+δ avec a observable et δ ultrapetit. a sera donc la partie observable
de x.
Principe de la partie observable
Relativement à un niveau de référence :
Si un nombre n’est pas ultragrand, alors il existe un nombre du niveau de référence qui
en est ultraproche.
9
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE BASE
Exemple
Montrer que si x n’est pas ultragrand, il n’existe qu’un seul nombre du niveau de référence
ultraproche de x.
Ce nombre unique dans le niveau de référence s’appelle la partie observable de x.
On utilisera souvent le fait suivant :
Théorème 3
Soit [a; b] un intervalle. Le niveau de référence est le niveau de a et b. Si x ∈ [a; b], alors sa
partie observable se trouve dans [a; b].
C’est faux pour les autres types d’intervalles : par exemple si x ∈]0; 1] est ultrapetit
(relativement au niveau le plus grossier), sa partie observable est 0 et n’est pas dans
l’intervalle. De même si x ∈ [a; +∞[ (relativement au niveau de a) est ultragrand, il n’a
pas de partie observable.
Convention et Principe de Référence
Nous avons défini de nouveaux concepts relatifs comme ultrapetit, ultragrand et ultraproche. Il faut donc donner des règles pour les utiliser correctement, c’est-à-dire sans créer
de situations paradoxales. Pour cela, il suffira de respecter la convention suivante :
Convention de Référence
Dans une propriété, si on se réfère à un niveau, ça ne peut être qu’au niveau de référence
ou à un niveau plus fin.
En particulier, les concepts d’ultrapetit, ultragrand et ultraproche sont toujours
interprétés relativement au niveau de référence.
On peut maintenant énoncer le dernier principe :
Principe de Référence
Une propriété est vraie relativement à son niveau de référence si et seulement si elle est
vraie relativement à n’importe quel niveau plus fin.
Le principe de référence nous dit que le choix du niveau de référence n’a pas d’importance s’il est suffisamment fin.
10
4
Limite
4.1
Notion de limite
Activité 7
On considère les fonctions f et g données par
100 000 − (100 − (x − 2)30 )2
f : x 7→
(x − 2)30
√
et g : x 7→
x+2−2
.
x−2
Ces deux fonctions ne sont pas définie pour x = 2. Examiner le comportement de f et
g autour de 2 (pour des valeurs de x « proches » de 2)
Activité 8
On pose S1 = 12 , S2 =
1
2
+ 14 , S3 =
1
2
+ 14 + 18 , S4 =
1
2
+ 14 + 81 +
1
,
16
etc..
(1) Calculer la valeur numérique (décimale) de S1 , S2 , S3 et S4 .
(2) Calculer la valeur en fraction de S1 , S2 , S3 et S4 .
(3) Peut-on prédire la valeur de Sn lorsque n devient très grand (n → +∞) ?
(4) Un peu de géométrie ! Voici un carré de côté 1.
R1
R5
R4
R6
R2
R3
(a) Calculer l’aire des différents rectangles R1 , R2 , R3 , R4 .
(b) Calculer R1 + R2 + R3 + R4 .
(c) Comparer le résultat obtenu en (2) avec celui obtenu en (4b).
(d) Peut-on prédire la valeur de R1 + R2 + R3 + R4 + . . . + Rn lorsque n devient très
grand (n → +∞) ?
11
4.2. PROPRIÉTÉS DES LIMITES
CHAPITRE 4. LIMITE
On va définir la notion de limite qui est une propriété de f et de a, le niveau de référence
est celui de f et a. Pour cela, il faut d’abord que f soit définie autour de a, c’est-à-dire
que f (x) existe pour x ' a, mais pas nécessairement en a.
Définition 3
Soit f une fonction réelle définie autour de a (mais pas nécessairement en a). Le niveau de
référence est le niveau de f et de a. On dit que f possède une limite en a, s’il existe un
nombre L du niveau de référence, tel que pour chaque x
x ' a et x 6= a implique f (x) ' L.
Formellement,
∀x
x ' a et x 6= a
=⇒
f (x) ' L.
Si f possède une limite en a, alors c’est la partie observable de f (a + dx) dans le niveau
de référence, pour dx ' 0. Par le résultat sur la partie observable, si f possède une limite
en x = a, cette limite est unique.
Si f possède la limite L en a on écrira
lim f (x) = L,
x→a
ce qu’on lit aussi « f (x) tend vers L quand x tend vers a » ou
lim f (a + h) = L.
h→0
Exemples
Calculer, si elles existent, les limites suivantes :
x2 + 2x + 1
x→−1
x+1
x3 − 2x + 1
x→1
x−1
(1) lim
4.2
(2) lim
Propriétés des limites
La propriété « f possède une limite en a » satisfait la convention de référence. Ainsi, par
le principe de référence, on va pouvoir travailler relativement à n’importe quel niveau au
moins aussi fin que le niveau de f et a, ce qui va nous permettre de combiner les fonctions.
12
CHAPITRE 4. LIMITE
4.2. PROPRIÉTÉS DES LIMITES
Théorème 4
Soient f et g des fonctions réelles et c un nombre.
Supposons que
lim f (x) = L et lim g(x) = K.
x→a
x→a
Alors
(1) lim (c · f )(x) = c · L = c · lim f (x).
x→a
x→a
(2) lim (f + g)(x) = L + K = lim f (x) + lim g(x).
x→a
x→a
x→a
(3) lim (f − g)(x) = L − K = lim f (x) − lim g(x).
x→a
x→a
x→a
(4) lim (f · g)(x) = L · K = lim f (x) · lim g(x).
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
L
f
(x) =
= x→a
.
(5) Si K =
6 0 alors lim
x→a
g
K
lim g(x)
x→a
Activité 9
Considérons la fonction sgn, définie par


−1 si x < 0,
sgn : x 7→ 0
si x = 0,


+1 si x > 0.
Vérifier que f est définie autour de 0. Possède-t-elle une limite en 0 ? Expliquer ce qui se
passe.
Dans l’activité précédente, on a vu qu’on pouvait regarder la limite à gauche et à droite.
On dit qu’une fonction est définie à gauche (respectivement à droite) de a, si f (x)
existe pour x ' a, x < a (respectivement x ' a, x > a.)
Définition 4
Soit f une fonction définie à gauche de a. On dit que f possède une limite à gauche
en a, s’il existe un nombre L du niveau de référence tel que pour chaque x
x ' a et x < a impliquent f (x) ' L.
Remarque
Si la limite à gauche existe, alors elle est unique (c’est la partie observable des valeurs f (x),
pour x ' a, x < a) et on écrit :
lim f (x) = L ou lim− f (x) = L,
x→a
x<a
x→a
ce qu’on lit f tend vers L quand x tend vers a par la gauche. Le symbole a− indique
que l’on choisit des nombres x qui sont inférieurs à a.
De manière similaire,
13
4.3. ASYMPTOTES
CHAPITRE 4. LIMITE
Définition 5
Soit f une fonction définie à droite de a. On dit que f possède une limite à droite en
a, s’il existe L du niveau de référence tel que f (x) ' L, pour chaque x ' a, x > a.
Remarque
Si la limite à droite existe, alors elle est unique et on écrit :
lim f (x) = L ou lim+ f (x) = L,
x→a
x>a
x→a
ce qu’on lit f tend vers L quand x tend vers a par la droite. Le symbole a+ indique
que l’on choisit des nombres x qui sont supérieurs à a.
Exemples
Calculer, si elles existent, les limites suivantes :
√
√
x+3−3
x2 − 5 − 2
(1) lim+
.
(2) lim−
.
x→6
6−x
x→3
x−3
4.3
Asymptotes
Activité 10
Observons la courbe de la fonction f : x 7→
1
x
5
4
3
2
1
0
−5 −4 −3 −2 −1 0 1
−1
2
3
4
5
−2
−3
−4
−5
(1) Quel est le domaine de définition de cette fonction ?
(2) Comment caractériser la courbe de cette fonction proche de l’axe vertical, c’est-à-dire
pour x proche de zéro ? Considérer des valeurs ultrapetites (relativement au niveau
de référence).
14
CHAPITRE 4. LIMITE
4.3. ASYMPTOTES
(3) Comment caractériser la courbe de cette fonction pour de très grandes valeurs de x ?
Considérer x ultragrand (positif ou négatif).
(4) Dessiner cette fonction pour un intervalle horizontal [−100; 100] et un intervalle vertical [−100; 100].
(5) Est-ce que f possède une limite en 0 ?
Donnée une courbe, une asymptote est une droite (du niveau de la courbe) telle que
le graphe de la courbe et le graphe de la droite sont ultraproches dès que la coordonnée
horizontale est ultragrande, ou que la coordonnée verticale est ultragrande (relativement
au niveau de la courbe).
On va distinguer trois sortes d’asymptote : verticale (lorsque la droite est verticale),
horizontale (lorsque la droite est horizontale), ou oblique (lorsque la droite n’est ni
verticale ni horizontale).
Nous allons les décrire en utilisant les limites. Pour cela nous étendons la définition de
limite pour les cas où la fonction atteint des valeurs ultragrandes.
Définition 6
Soit f une fonction réelle définie autour de a. Le niveau de référence est le niveau de f
et a. On dira que f tend vers +∞ (respectivement −∞) quand x tend vers a, ce qu’on
écrira
lim f (x) = +∞ (respectivement −∞),
x→a
si f (x) est ultragrand positif (respectivement négatif) pour chaque x ' a, x 6= a.
On écrira
lim f (x) = ±∞
x→a
si lim f (x) = +∞ ou lim f (x) = −∞.
x→a
x→a
On étend de manière similaire les définitions pour les limites infinies à gauche et à
droite.
le symbole ∞ ne représente pas un nombre. Ce symbole ne peut donc pas être
utilisé pour effectuer des opérations. Il indique seulement que dans certains intervalles, la
fonction atteint des valeurs ultragrandes.
Définition 7
On dit que f a une asymptote verticale en x = a si
lim f (x) = +∞
ou
lim f (x) = +∞
ou
x→a
x<a
lim f (x) = −∞.
x→a
x<a
ou
x→a
x>a
lim f (x) = −∞.
x→a
x>a
Dans le cas d’une asymptote verticale, la droite est x = a : le graphe de f et le graphe
de la droite sont ultraproche (x ' a) quand la coordonnée verticale est ultragrande.
Exemple
La fonction f : x 7→
1
x
a une asymptote verticale en x = 0, puisque si dx > 0 est ultrapetit
15
4.3. ASYMPTOTES
CHAPITRE 4. LIMITE
(par rapport au niveau le plus grossier), alors
f (dx) =
1
dx
est ultragrand et positif
donc
lim f (x) = +∞.
x→0
x>0
On peut aussi s’intéresser au comportement asymptotique d’une fonction en regardant
la valeur de f (x) pour x ultragrand (par rapport à f ). Il faut pour cela que f soit définie
sur un intervalle de la forme [b; +∞[ ou ] − ∞; b]. Par clôture, on peut toujours trouver un
tel b du niveau de f .
Définition 8
Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle de la forme [b; +∞[ (respectivement
] − ∞; b]), où b est du niveau de f . Le niveau de référence est le niveau de f . Soit L du
niveau de référence. On dira que f tend vers L quand x tend vers +∞ (respectivement
−∞), ce qu’on écrira
lim f (x) = L (respectivement lim f (x) = L),
x→+∞
x→−∞
si f (x) ' L pour chaque x ultragrand positif (respectivement négatif).
Définition 9
On dit que f a une asymptote horizontale lorsque x tend vers +∞ (respectivement
−∞) d’équation y = L, s’il existe un nombre L du niveau de f , tel que
lim f (x) = L (respectivement lim f (x) = L).
x→+∞
x→−∞
Le niveau de référence est celui de f , donc x est pris comme ultragrand par rapport au
niveau de f .
Dans ce cas, l’asymptote est la droite y = L : le graphe de f et le graphe de la droite
sont ultraproches (f (x) ' L) dès que la coordonnée horizontale x est ultragrande.
Exemple
Considérons la limite
2x2 − 3x + 1
.
x→+∞
x2 + 1
lim
2x2 − 3x + 1
est définie sur tout R et son niveau est le niveau le plus
x2 + 1
grossier. Soit x ultragrand. Alors
La fonction f : x 7→
f (x) =
x2 (2 − x3 + x12 )
2 − x3 + x12
2x2 − 3x + 1
2−0+0
=
=
'
= 2,
1
1
x2 + 1
1+0
x2 (1 + x2 )
1 + x2
par ultracalculs. On en conclut que f a une asymptote horizontale d’équation y = 2 lorsque
x tend vers +∞ ou lorsque x tend vers −∞.
16
CHAPITRE 4. LIMITE
4.3. ASYMPTOTES
On termine ce chapitre avec les asymptotes obliques.
Définition 10
Une fonction f a une asymptote oblique lorsque x tend vers +∞ (respectivement −∞)
s’il existe des nombres m, h du niveau de f tels que
lim [f (x) − (mx + h)] = 0 (respectivement lim [f (x) − (mx + h)] = 0).
x→+∞
x→−∞
On dit que la droite d’équation y = mx + h est l’asymptote oblique de f lorsque x tend
vers +∞ (respectivement −∞.)
L’existence de l’asymptote oblique est une propriété de f , donc la limite est à prendre
au sens du niveau de f .
Dans ce cas, l’asymptote est la droite y = mx+h : le graphe de f et le graphe de la droite
sont ultraproches (f (x) ' mx + h) dès que la coordonnée horizontale x est ultragrande.
Exemple
Considérons la fonction
x3 + 2x2 + x − 1
x2 + 1
définie partout dans R. En utilisant l’algorithme de division des polynômes on a
f : x 7→
f (x) = x + 2 −
x2
3
.
+1
Soit x ultragrand par rapport à f , c’est-à-dire relativement au niveau le plus grossier. On
a
−3
f (x) − (x + 2) = 2
' 0,
x +1
puisque x2 +1 est ultragrand. On en déduit que f possède une asymptote oblique d’équation
y = x + 2 (lorsque x tend vers +∞ ou −∞), c’est-à-dire que m = 1 et h = 2.
Pour trouver m et h dans des cas plus généraux que les fonctions rationnelles, on
utilisera le théorème suivant.
Théorème 5
Soit f une fonction. Soient m, h du niveau de f . Alors f a une asymptote oblique d’équation
y = mx + h lorsque x tend vers +∞ (respectivement −∞) si et seulement si
f (x)
=m
x→+∞ x
lim
lim [f (x) − mx] = h
et
x→+∞
(respectivement
f (x)
=m
x→−∞ x
lim
lim [f (x) − mx] = h.)
et
x→−∞
Remarque
Lorsque m = 0, l’équation y = mx + h devient y = h, soit une asymptote horizontale.
Nous finissons ce chapitre par un résumé sur les asymptotes pour les fonctions rationnelles sous la forme d’un exercice.
17
4.3. ASYMPTOTES
CHAPITRE 4. LIMITE
Exercice
On rappelle que f est une fonction rationnelle s’il existe des polynômes p et q tels
que
p(x)
.
f (x) =
q(x)
Le domaine de f est l’ensemble des nombres x tels que q(x) 6= 0.
Considérons une fonction rationnelle
f : x 7→
p(x)
q(x)
où p et q sont des polynômes.
(1) Démontrer que la fonction f possède une asymptote verticale d’équation x = a si
p(a) 6= 0 et q(a) = 0.
(2) Soient n le degré de p et m le degré de q, (Rappel : le degré d’un polynôme est la
plus haute puissance à laquelle on rencontre l’inconnue.)
Conjecturer puis démontrer la conjecture :
(a) Dans quels cas a-t-on une asymptote horizontale ?
(b) Dans quels cas a-t-on une asymptote horizontale d’équation y = 0 ?
(c) Dans quels cas a-t-on une asymptote oblique ?
Remarque
On observera que si une fonction f possède une asymptote oblique y = mx + h avec m > 0,
alors pour x ultragrand positif, la fonction et l’asymptote atteignent toutes deux des valeurs
ultragrandes positives mais ultraproches l’une de l’autre. Il faut donc faire attention en
manipulant les ultragrands et ne pas aboutir hâtivement à de fausses conclusions. Une
asymptote oblique indique que la fonction « part à l’infini » mais quasiment comme une
droite.
Exemples
Déterminer toutes les asymptotes de la fonction f suivante et indiquer la position de la
courbe relativement aux asymptotes :
(1) f : x 7→
x
.
x−3
(2) f : x 7→
18
x2 +3
.
x+2
5
Continuité
5.1
Continuité en un point
Activité 11
Un observateur regarde les avions décoller. De son emplacement, il voit les avions disparaître derrière la tour de contrôle. Un de ces avions a une longueur apparente exactement
égale à la largeur de la tour de contrôle et se trouve complètement caché 5 secondes après
le décollage. Immédiatement avant ou après, une partie de l’avion est visible.
La hauteur h de l’avion, en mètres, en fonction du temps t mesuré en secondes, peu
après qu’il a décollé et pendant les premières secondes de vol, est donnée par
h : t 7→
2t2 − 4t − 30
.
t−5
On observe que la hauteur n’est pas définie en t = 5 (division par zéro) car l’avion n’est
pas visible à cet instant.
Est-il possible de calculer la hauteur de l’avion au moment où il est caché ?
Définition 11 (Continuité)
Soit f une fonction réelle définie autour de a. On dit que f est continue en a, si pour
chaque x, x ' a implique f (x) ' f (a).
Plus formellement, f est continue en a si
∀x
x ' a
=⇒
19
f (x) ' f (a).
5.1. CONTINUITÉ EN UN POINT
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ
La continuité de f en a est une propriété de f et de a. Par notre convention de référence,
on interprète cette définition relativement à un niveau contenant f et a (par le principe de
référence, peu importe lequel !).
Une autre manière d’exprimer la continuité, est de dire que si a est la partie observable
de x, alors f (a) est la partie observable de f (x).
On peut aussi récrire la définition de la manière suivante :
La fonction f est continue en a si, pour dx ultrapetit quelconque,
f (a + dx) ' f (a).
Avec la notation de limite, la définition devient
Définition 12 (Continuité)
Soit f une fonction réelle définie autour de a. On dit que f est continue en a, si
lim f (x) = f (a) ou
x→a
lim f (a + h) = f (a).
h→0
Exemples
Montrer que la fonction f est une fonction continue en a si :
(2) f : x 7→ x2 − x et a = 0.
(1) f : x 7→ 2x − 1 et a = 2.
Notation : La différence f (a + dx) − f (a) sera souvent notée ∆f (a). Donc, f est
continue en a si et seulement si ∆f (a) ' 0 (avec la notation de limite : limx→a ∆f (x) = 0)
Théorème 6
Soient f et g deux fonctions continues en a. Alors
(1) f ± g est continue en a.
(2) f · g est continue en a.
f
(3)
est continue en a, si g(a) 6= 0.
g
Rappelons que si g est définie en a et f est définie en g(a), on définit (f ◦g)(a) = f (g(a)).
Théorème 7
Supposons que g soit continue en a et f continue en g(a). Alors la fonction f ◦g est continue
en a.
Une fonction f est définie à gauche de a (resp. à droite de a) si f (x) est définie
pour chaque x ' a, x < a (resp. x > a). Il est clair que f est définie autour de a si et
seulement si f est définie à gauche et à droite de a.
20
5.2. CONTINUITÉ SUR I
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ
Définition 13 (Continuité à gauche et à droite)
Soit f une fonction et a ∈ R.
(1) Supposons que f soit définie à gauche de a. Alors f est continue à gauche en a si
pour chaque x, x < a et x ' a impliquent f (x) ' f (a).
(2) Supposons que f est définie à droite de a. Alors f est continue à droite en a si
pour chaque x, x > a et x ' a impliquent f (x) ' f (a).
On voit immédiatement que f est continue en a si et seulement si f est continue à
gauche et à droite en a.
Avec la notation de la limite, les définitions deviennent :
Définition 14 (Continuité à gauche et à droite)
Soit f une fonction et a ∈ R.
(1) Supposons que f soit définie à gauche de a. Alors f est continue à gauche en a si
lim− f (x) = f (a).
x→a
(2) Supposons que f est définie à droite de a. Alors f est continue à droite en a si
lim+ f (x) = f (a).
x→a
Exemples
(
(1) Montrer que f : x 7→
√x+2
x+2
si x > −2
0
si x = −2
(√
(2) La fonction f : x 7→
5.2
5−x
5−x
0
est une fonction continue à droite de −2.
si x < 5
est-elle continue à gauche de 5 ?
si x = 5
Continuité sur un intervalle
Nous étendons maintenant la continuité d’un point à un intervalle.
Définition 15 (Continuité sur un intervalle)
(1) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert ]a; b[. On dit que f est continue
sur ]a; b[ si f est continue en chaque x ∈]a; b[.
(2) Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé [a; b]. On dit que f est continue
sur [a; b] si f est continue en chaque x ∈]a; b[ et si, de plus, f est continue à droite
en a et à gauche en b.
Informellement : une fonction f est continue sur un intervalle si la courbe représentative
de f peut être dessinée sans lever le crayon sur tout l’intervalle, ou si la fonction est là où
vous espérez qu’elle soit si vous la cachez par une droite verticale.
21
5.2. CONTINUITÉ SUR I
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ
Exemples
(1) Montrer que la fonction f : x 7→ 2 − x est une fonction continue sur R.
2−x
(2) Montrer que la fonction f : x 7→ x−1
est une fonction continue sur R\{1}.
En étendant l’exercice précédent, on montre que tous les polynômes sont continus sur R
et par conséquent les fonctions rationnelles (le quotient de deux polynômes) sont également
continues sur leur domaine (les nombres pour lesquels le dénominateur est non nul).
Rappelons que si f : I → J est une fonction bijective, sa réciproque rf : J → I est
la seule fonction qui satisfait rf (f (x)) = x (pour tout x ∈ I) et f (rf (y)) = y (pour tout
y ∈ J).
Théorème 8
Soit f : I → J continue et bijective, avec I, J des intervalles fermés. Alors rf : J → I est
continue.
∆x
∆y
x
y
∆y
∆x
f
rf
x
y
On déduit que la réciproque d’une fonction continue et bijective sur tout type d’intervalle est également continue. Comme les puissances sont continues, les racines (qui sont les
réciproques) sont également continues sur leur domaine (R ou [0; +∞[).
Activité 12
(1) Soit
f : Q −→ Q
x 7→ x2 − 2.
On calcule aisément que f (0) = −2 et f (2) = 2.
(a) Existe-t-il un nombre c dans l’intervalle [0; 2] tel que f (c) = −1 ?
(b) Existe-t-il un nombre c dans l’intervalle [0; 2] tel que f (c) = 0 ?
(2) Soit
f : R −→ R
x 7→ x2 − 2.
22
5.2. CONTINUITÉ SUR I
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ
(a) Existe-t-il un nombre c dans l’intervalle [0; 2] tel que f (c) = −1 ?
(b) Existe-t-il un nombre c dans l’intervalle [0; 2] tel que f (c) = 0 ?
(c) Existe-t-il, pour n’importe quel y dans l’intervalle [−2; 2], un nombre x dans
l’intervalle [0; 2] tel que f (x) = y ?
(3) Soit la fonction
f : R −→ R
x 7→ x5 + x4 − 3.
A nouveau on calcule aisément que f (0) = −3 et f (2) = 45. Comme la fonction f est
continue, intuitivement, on voit bien qu’il devrait y avoir une valeur c ∈ [0; 2] pour
laquelle f (c) = 0, c’est-à-dire que l’on aimerait trouver une solution de l’équation
x5 + x4 − 3 = 0 entre 0 et 2.
(a) Diviser l’intervalle [0; 2] en 10 sous-intervalles de longueur identique : x0 = 0,
x1 , . . . , x10 = 2. En partant de la gauche, calculer les image par f de x0 = 0,
x1 , . . . , x10 = 2 jusqu’à ce que le signe change entre deux valeurs consécutives.
(b) Répéter la procédure sur l’intervalle [xj ; xj+1 ] (intervalle où la fonction f change
de signe). La racine se trouve alors comprise entre deux valeurs plus proches.
Quelles sont ces valeurs ?
(c) Combien de fois faudrait-il répéter l’opération pour avoir un résultat avec une
précision de 10−8 ? (Ne pas faire le calcul)
(d) Comment peut-on procéder pour montrer qu’il existe une valeur ultraproche de
la racine de la fonction f ?
Théorème 9 (Théorème de la valeur intermédiaire)
Soit f une fonction continue sur [a; b]. Alors f admet un maximum absolu, un minimum
absolu sur cet intervalle, et prend toutes les valeurs entre ces extremums.
y
M
f (a)
m =f (b)
f
a
x
b
Exemple
On considère l’équation x3 − x2 + 1 = 0. Montrer que cette équation possède une solution
entre −1 et 0. Déterminer sa valeur avec 2 décimales exactes en utilisant la même démarche
que dans l’activité 12 point (3).
23
5.2. CONTINUITÉ SUR I
CHAPITRE 5. CONTINUITÉ
En résumé, toutes les fonctions usuelles (polynomiales, racines, rationnelles) sont continues sur leur domaine. De plus, toutes les autres fonctions obtenues à partir de ces fonctions
par addition, soustraction, multiplication, division et composition, sont donc également
continues sur leur domaine.
Remarque
On a vu dans ce chapitre deux outils importants.
Pour analyser le comportement local d’une fonction, c’est-à-dire le comportement d’une
fonction f dans un voisinage d’un nombre déterminé a, on utilise des x ultraproches du
nombre a en posant x = a + dx.
Pour analyser le comportement global d’une fonction, c’est-à-dire le comportement d’une
fonction f sur un intervalle, disons [a; b], on partitionne l’intervalle en un nombre N ultragrand d’intervalles ultrapetits. Ces deux outils nous suffiront pour développer toute
l’analyse.
24
6
Dérivée
6.1
La dérivée
Soit h > 0. Soit f une fonction réelle définie sur l’intervalle [a; a + h]. Le taux de
variation moyen de f sur l’intervalle [a; a + h] est donné par le quotient
f (a + h) − f (a)
.
h
f
f (a + h)
f (a + h) − f (a)
f (a)
h
a
a+h
Par exemple, si f représente la position d’un objet en fonction du temps, alors ce
taux de variation moyen représente la vitesse moyenne de cet objet pendant l’intervalle
[a; a + h]. Géométriquement, ce taux de variation moyen représente la pente moyenne de
f sur l’intervalle [a; a + h]. Si l’on s’intéresse au taux de variation instantané, il est
naturel de considérer le taux de variation moyen pour un intervalle ultracourt, c’est-à-dire
pour un h ultrapetit. Considérons par exemple, la fonction f : x 7→ x2 en a = 3. Le niveau
de référence est le niveau de f et a, c’est-à-dire le niveau le plus grossier. Soit h ultrapetit
relativement au niveau de référence. On a
f (a + h) − f (a)
(3 + h)2 − 32
32 + 6h + h2 − 32
=
=
= 6 + h ' 6.
h
h
h
Le nombre 6 est indépendant de l’ultrapetit choisi (c’est le même résultat si h est négatif),
c’est la contribution du taux de variation moyen qui est détectable au niveau de référence
lorsque l’intervalle est ultracourt. On dira que le taux de variation instantané de f en 3 est
6. Si on zoom suffisamment sur la fonction f au point (3; f (3)), elle devient dans ce cas
25
6.1. LA DÉRIVÉE
CHAPITRE 6. DÉRIVÉE
indistinguable d’une droite : la valeur 6 est la composante de la pente de cette droite qui
est observable au niveau de référence. Géométriquement, c’est la pente de la fonction en
ce point. Si f est la position d’un objet en fonction du temps, alors ce taux de variation
instantané représente la vitesse instantanée.
Le taux d’accroissement instantané s’appelle la dérivée. On formalise la définition cidessous. Pour la définition de la dérivée en a, il faut que f soit définie au moins sur un
intervalle ouvert ]b; c[ contenant a. Comme le domaine de f est du niveau de f , nous
pouvons toujours supposer que b et c sont du niveau de f (par clôture).
Définition 16
Soit a un nombre réel et f une fonction réelle définie sur un intervalle ouvert contenant a.
Le niveau de référence est le niveau de f et de a.
On dit que f est dérivable en a si il existe L du niveau de référence tel que
f (x) − f (a)
' L pour chaque x ' a (x 6= a),
x−a
On note la dérivée f 0 (a) lorsqu’elle existe et on appelle f 0 (a) la dérivée de f en a.
Remarques
– Cette définition concerne f au point (a; f (a)). Son niveau de référence est donc le
(a)
. Par unicité de la partie
niveau de f et de a. L est la partie observable de f (x)−f
x−a
0
observable, le nombre f (a) est unique et se trouve dans ce même niveau.
– Notation : On utilise souvent le symbole dx pour désigner un accroissement (appelé
aussi incrément) ultrapetit de la variable x relativement au niveau de référence. On
souligne le fait que dx est un symbole unique à deux lettres et ne suit pas la convention
habituelle de la juxtaposition des lettres : dx ne signifie pas d multiplié par x.
– En posant x = a + dx avec dx ' 0, la définition devient
f 0 (a) '
f (a + dx) − f (a)
.
dx
– En utilisant la notation avec la limite, la définition devient :
f (x) − f (a)
x→a
x−a
f 0 (a) = lim
f (a + h) − f (a)
.
h→0
h
ou f 0 (a) = lim
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f en x = 0 si f est définie par :
(1) f : x 7→ x2 − 1
(2) f : x 7→ |x|
Notation : Soit dx ultrapetit relativement au niveau de f et x. On écrit
∆f (a) = f (a + dx) − f (a) ou f (a + dx) = f (a) + ∆f (a).
Avec cette notation, si f est dérivable en a, on a
∆f (a)
' f 0 (a) ou
dx
26
∆f (a)
.
h→0
h
lim
CHAPITRE 6. DÉRIVÉE
f (a + dx)
∆f (a)
f (a)
6.2. RÈGLES DE DÉRIVATION
Note : les dessins contenant des ultrapetits et des ultragrands ne sont
pas dessiné à l’échelle et ne donnent
pas une représentation correcte. Le
but est d’aider à se faire une idée et
non pas d’être une preuve.
adx
a + dx
Définition 17
Soit f une fonction dérivable en a. La droite tangente à f au point (a; f (a)), notée Ta ,
est l’unique droite passant par (a; f (a)) de pente f 0 (a).
Théorème 10 (Équation de la tangente)
Soit f une fonction dérivable en a. L’équation de la droite tangente au graphe de f en
x = a est donnée par :
Ta : x 7→ f 0 (a)(x − a) + f (a).
Exemples
Déterminer l’équation de la droite tangente au graphe de f en a si :
(1) f : x 7→ x2 + x et a = 2.
(2) f : x 7→ x3 et a = 1.
Nous montrons maintenant une conséquence importante de la dérivabilité de f en a.
Théorème 11
Soit f une fonction réelle et a un nombre réel. Si f est dérivable en a alors f est continue
en a.
6.2
Règles de dérivation
Maintenant, au lieu d’étudier des fonctions particulières, nous allons démontrer des
résultats sur les fonctions en général. Cela va paraître difficile car cela veut dire que l’on
va travailler sur des objet dont on ne connaît pas grand chose, excepté qu’ils ont certaines
propriétés.
Rappelons que si f et g sont définies en a, on définit (f ± g)(a) = f (a) ± g(a), (f ·
(a)
f
g)(a) = f (a) · g(a),
(a) = fg(a)
, si g(a) 6= 0 et si g est définie en a et f est définie en
g
g(a), on définit (f ◦ g)(a) = f (g(a)).
Théorème 12 (La dérivée d’une constante)
Soit λ ∈ R, I un intervalle ouvert et f : I → R définie par f : x 7→ λ. Soit a ∈ I. Alors
f 0 (a) = 0.
27
6.2. RÈGLES DE DÉRIVATION
CHAPITRE 6. DÉRIVÉE
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f en a si :
(1) f : x 7→ 4 et a = 3.
(2) f : x 7→ −12 et a = 5.
Théorème 13 (Dérivée de xn , avec n rationnel)
Soit n rationnel (n ∈ Q), alors
(xn )0 = n · xn−1 .
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f en a si :
(1) f : x 7→ x2 et a = −2
(2) f : x 7→ x3 et a =
√
2.
Théorème 14 (La dérivée du produit d’une fonction par une constante)
Soit λ ∈ R. Soit f une fonction dérivable en a. Alors la fonction λ · f est dérivable en a et
(λ · f )0 (a) = λ · f 0 (a).
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f définie par :
(1) f : x 7→ 4x2
(2) f : x 7→ 5x4
Nous considérons maintenant la somme, le produit et le quotient de fonctions.
Théorème 15 (La dérivée d’une somme de deux fonctions)
Soient f et g des fonctions dérivables en a. Alors la fonction f + g est dérivable en a et on
a
(f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a).
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f en a si :
(1) f : x 7→ x2 + x et a = 0
(2) f : x 7→ x3 + 4x2 + 2 et a = −1.
Théorème 16 (La dérivée d’un produit de deux fonctions)
Soient f et g des fonctions dérivables en a. Alors la fonction f · g est dérivable en a et on a
(f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a).
28
CHAPITRE 6. DÉRIVÉE
6.2. RÈGLES DE DÉRIVATION
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f si :
(1) f : x 7→ x3 · x5
(2) f : x 7→ x4 · x2
Théorème 17 (La dérivée d’un quotient de deux fonctions )
Supposons que f et g sont des fonctions dérivables en a et que, de plus, g(a) 6= 0. Alors la
f
fonction est dérivable en a et on a
g
0
f
f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a)
(a) =
.
g
g 2 (a)
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f en a si :
(1) f : x 7→
x
x2 +1
(2) f : x 7→
et a = 1
2x2
x3 +x
et a = 2.
Théorème 18 (Règle de dérivation en chaîne)
Soit a ∈ R. Soient f et g des fonctions telles que g soit dérivable en a et f soit dérivable
en g(a). Alors la fonction f ◦ g est dérivable en a et on a
(f ◦ g)0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a).
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction f en a si :
(1) f : x 7→ (x2 + x)5
(2) f : x 7→ (x3 − 2x2 + x)6
Théorème 19 (Dérivée de la réciproque)
Soit f : I → J dérivable et bijective (I et J sont des intervalles fermés). Soit x ∈ I avec
f 0 (x) 6= 0. Alors rf : J → I est dérivable en y = f (x) et
(rf )0 (y) =
1
f 0 (x)
=
1
f 0 (rf (y))
.
Exemples
Calculer la dérivée de la fonction rf si :
(2) f : x 7→ x2
(1) f : x 7→ 3x − 1
29
6.2. RÈGLES DE DÉRIVATION
CHAPITRE 6. DÉRIVÉE
30
7
Le calcul différentiel
Activité 13
Considérons la fonction f définie par
f : x 7→ x5 − 5x3 + 10x + 1.
On donne les images par f suivantes :
x
f (x)
−2
−11
−1
−5
0
1
1
7
2
13
Dessiner la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−2; 2]
7.1
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Définition 18
On dit qu’une fonction f atteint son maximum (respectivement son minimum) sur
l’intervalle I s’il existe c ∈ I tel que f (c) ≥ f (x) pour tout x ∈ I (respectivement f (c) ≤
f (x) pour tout x ∈ I).
Remarque
Le théorème de la valeur intermédiaire (théorème 9) nous dit que si une fonction f est
continue sur un intervalle fermé [a; b], alors elle atteint son maximum et son minimum sur
[a; b].
Théorème 20 (La dérivée en un maximum et un minimum)
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert ]a; b[ et dérivable en c ∈]a; b[. Si f (c)
est un maximum (ou un minimum) alors f 0 (c) = 0.
Remarque
Pour une fonction dérivable, la condition f 0 (c) = 0 est nécessaire pour avoir un extremum
31
7.1. LES ACCROISSEMENTS FINIS
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
mais elle n’est pas suffisante, c’est-à-dire que si f 0 (c) = 0, f (c) n’est pas nécessairement un
extremum. En effet, pour la fonction f : x 7→ x3 , on a bien f 0 (0) = 0, pourtant f (0) n’est
pas un extremum de f .
y
f
x
Exemple
Soit la fonction f : x 7→ ax2 + bx + c dont la représentation graphique est une parabole.
b
∆
On sait que l’extemum de la parabole se trouve en (− 2a
; − 4a
). Vérifier que la dérivée de f
s’annule pour cette valeur de x.
Théorème 21 (Théorème de Rolle a )
Soit f une fonction continue sur l’intervalle fermé borné [a; b] et dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a; b[. Si f (a) = f (b), alors il existe c ∈]a; b[ tel que
f 0 (c) = 0.
a. Michel Rolle, 1652 – 1719
Interprétation graphique
y
f (c)
f (a) = f (b)
Tc
f
a
c
x
b
Exemple
Trouver la valeur de c prévue par le théorème de Rolle pour la fonction f définie par
f : x 7→ x2 − 3x sur l’intervalle [0; 3].
Théorème 22 (Théorème des accroissements finis ou de Lagrange a )
Soit f une fonction continue sur l’intervalle fermé borné [a; b] et dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a; b[. Alors il existe un nombre c dans l’intervalle ]a; b[ tel que
f (b) − f (a) = f 0 (c) · (b − a).
a.
Joseph-Louis Lagrange, 1736 – 1813
32
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
7.2. CROISSANCE
Interprétation graphique
y
Tc
f (c)
S
f (b)
f
f (a)
a
c
x
b
Exemple
Trouver la valeur de c prévue par le théorème des accroissements finis pour la fonction f
définie par f : x 7→ x3 + 3x sur l’intervalle [0; 2].
7.2
Croissance
Nous déduisons maintenant un théorème liant la croissance d’une fonction et sa dérivée.
Définition 19
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
(1) On dit que f est (strictement) croissante sur I si f (x) ≤ f (y) (resp. f (x) < f (y)),
pour chaque x < y dans I.
(2) On dit que f est (strictement) décroissante sur I si f (x) ≥ f (y) (resp. f (x) >
f (y)), pour chaque x < y dans I.
y
y
f
f (x)
f (y)
y
I
x
y
x
I
x
x
f (y)
f (x)
f
Théorème 23 (Croissance et dérivée première)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors
(1) Si f 0 (x) ≥ 0 (> 0) pour chaque x ∈ I alors f est (resp. strictement) croissante sur I.
(2) Si f 0 (x) ≤ 0 (< 0) pour chaque x ∈ I alors f est (resp. strictement) décroissante sur
I.
(3) Si f 0 (x) = 0 sur I alors f est constante sur I.
Exemples
Étudier la croissance des fonctions f suivantes :
33
7.3. EXTREMUM RELATIF
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
(2) f : x 7→ x3 − 3x2 .
(1) f : x 7→ −2x + 6.
7.3
Extremum relatif
Définition 20 (Extremum relatif )
Soit f une fonction continue en a. On dit que f (a) est
– un maximum relatif (ou maximum local) de la fonction f , s’il existe un intervalle
ouvert I autour de a tel que f (x) ≤ f (a) pour tout x ∈ I ;
– un minimum relatif de la fonction f , s’il existe un intervalle ouvert I autour de a tel
que f (x) ≥ f (a) pour tout x ∈ I ;
– un extremum relatif de la fonction f , si c’est un maximum local ou un minimum
local.
Exemples
y
y
1
4
f
x
−1 0
−1
1
2
3
4
3
5
2
−2
1
f
−3
−3 −2 −1 0
−1
−4
1
2
x
3
Théorème 24 (Extremum relatif)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a ∈ I. Si f 0 (a) = 0 et f 0 (x) change de
signe autour de a, alors f (a) est un extremum relatif.
Remarque
D’après le théorème 24, pour trouver les extrema relatifs d’une fonction f , il faudra :
(1) Chercher f 0 (x) et résoudre l’équation f 0 (x) = 0,
(2) Étudier le signe de f 0 pour déterminer si f 0 (x) change de signe autour des zéros de
f 0.
Exemples
Déterminer les extrema relatifs de la fonction f définie par :
34
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
(1) f : x 7→
(2) f : x 7→
x3
−
3
2
x −4
x−3
7.4. COURBURE
3x2 + 5x − 1
(3) f : x 7→
√
3
x2
On peut résumer la situation avec le schéma suivant :
Calcul de f 0 (x)
f 0 (a) @
f discontinue
en x = a
pas de min/max
7.4
f 0 (a) = 0
f continue
en x = a
f 0 (x) ne change pas
de signe autour
de x = a
f 0 (x) change de
signe autour
de x = a
pas de min/max
min/max
f 0 (x) ne change pas
de signe autour
de x = a
f 0 (x) change de
signe autour
de x = a
pas de min/max
min/max
Concavité/convexité
Nous démontrons maintenant le lien entre la concavité et la dérivée seconde. La dérivée
seconde de f est simplement la dérivée de la fonction f 0 : x 7→ f 0 (x). On écrit f 00 (x) =
(f 0 (x))0 et on dit que f est deux fois dérivable sur un intervalle si f 00 (x) existe pour tous
les x sur cet intervalle.
Exemples
Calculer la dérivée seconde des fonctions f dérinies par :
(1) f : x 7→
(2) f : x 7→
x3
−
3
2
x −4
x−3
3x2 + 5x − 1
(3) f : x 7→
√
3
x2
Définition 21
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. On dit que f est convexe sur I si pour
chaque u, v ∈ I, f (v) se trouve au dessus de la tangente de f en (u, f (u)), c’est-à-dire :
Si pour tout u, v ∈ I, f (v) ≥ f 0 (u)(v − u) + f (u) .
On dit que f est concave sur I si −f est convexe.
f (v)
t(v)
f (u)
u
v
35
7.4. COURBURE
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
Théorème 25 (Concavité et dérivée seconde)
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. Alors
(1) Si f 00 (x) ≥ 0 pour chaque x ∈ I alors f est convexe sur I.
(2) Si f 00 (x) ≤ 0 pour chaque x ∈ I alors f est concave sur I.
Exemple
Montrer que la fonction f : x 7→ x2 − 2x est convexe sur R.
Définition 22 (Point d’inflexion)
On appelle point d’inflexion d’une courbe y = f (x) d’une fonction f continue le point
P de la courbe où il y a un changement de courbure.
Exemple
Reprenons la fonction f : x 7→ x3 . On a f 00 (x) = 6x et f 00 (0) = 0. De plus, f 00 change de
signe autour de 0.
Le point (0; 0) est un point d’inflexion.
y
f
x
Comment trouver les points d’inflexions
C’est en calculant la dérivée seconde, en considérant les changements de signes de cette
dérivée seconde autour d’un point où elle s’annule ou n’existe pas et en s’assurant de
l’existence du point sur la courbe que l’on peut trouver les points d’inflexion. Résumons la
recherche des points d’inflexion dans le schéma suivant :
Calcul de f 00 (x)
f 00 (a) @
f discontinue
en x = a
pas de P.I.
f 00 (a) = 0
f continue
en x = a
f 00 (x) ne change pas f 00 (x) change de
de signe autour
signe autour
de x = a
de x = a
pas de P.I.
P.I. en x = a
36
f 00 (x) ne change pas
de signe autour
de x = a
f 00 (x) change de
signe autour
de x = a
pas de P.I. en x = a
P.I. en x = a
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
7.4. COURBURE
Remarque
Pour étudier la convexité/concavité d’une fonction f , il faudra
(1) Chercher f 00 (x) et résoudre l’équation f 00 (x) = 0,
(2) Étudier le signe de f 00 .
Exemples
Étudier la convexité/concavité des fonctions f suivantes :
√
3
x.
√
3
(4) f : x 7→ x2 .
(1) f : x 7→ x2 .
(3) f : x 7→
(2) f : x 7→ x3 − 3x2 .
37
7.4. COURBURE
CHAPITRE 7. CALCUL DIFF.
38
8
Étude de fonction
Pour étudier une fonction, on prendra le soin de traiter les points suivants :
Marche à suivre :
+ déterminer le domaine de définition ;
+ déterminer l’intersection avec les axes ;
+ déterminer l’équation de toutes les asymptotes (limites aux bornes
du domaine) ;
+ déterminer la dérivée première et ses zéros ;
+ étudier la croissance à l’aide d’un tableau des signes et déterminer les
extrema locaux ;
+ déterminer la dérivée seconde et ses zéros ;
+ étudier la concavité à l’aide d’un tableau des signes et déterminer les
points d’inflexions ;
+ à l’aide de toutes les informations récoltées, choisir une échelle convenable et représenter graphiquement la fonction.
Exemple
Étudier complètement la fonction f définie par f : x 7→
39
x2
x−5
CHAPITRE 8. ÉTUDE DE FONCTION
40
9
Fonctions trigonométriques
9.1
Rappel
Activité 14
Rappel :
La mesure d’un angle en radians est le quotient de la longueur de l’arc de cercle intercepté par le rayon du cercle. Sur le cercle trigonométrique, la mesure d’un angle en radians
représente la longueur de l’arc de cercle intercepté par l’angle, mais sans unité.
y
1
x
x
O
−1
1
x
−1
On aimerait connaître la valeur de
lim
x→0
sin(x)
.
x
Pour cela, compléter le tableau ci-dessous (
x
−0, 1
−0, 01
−0, 001
→
: les angles sont en radians).
0
sin(x)
x
Conjecturer la valeur de lim
x→0
sin(x)
.
x
41
←
0, 001
0, 01
0, 1
9.1. RAPPEL
CHAPITRE 9. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
y
1
B
sin(x)
x
A
x
O
−1
x
cos(x)1
On définit les fonctions trigonométriques (appelées également fonctions circulaires) de la manière suivante : soit le cercle trigonométrique
(cercle de rayon 1 et centré en O).
Le point situé en A se déplace sur
le cercle et parcours un chemin de
longueur x sur celui-ci pour s’arrêter au point B. La valeur x de
la longueur de l’arc de cercle parcouru par le point représente la valeur de l’angle en radians (mesure
[
sans unité) de l’angle au centre AOB.
Par définition, on appelle sin(x) la
coordonnée verticale du point B et
cos(x) la coordonnée horizontale du
point B :
−1
B(cos(x); sin(x)) .
Lorsque le point tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (sens trigonométrique) la valeur de l’angle (orienté) est positive et lorsque le point tourne dans le sens des
aiguilles d’une montre (sens rétrograde) la valeur de l’angle est négative.
Activité 15
Considérons f définie par
1
f : x 7→ sin
,
x
pour x > 0.
Vérifier que f est définie à droite de 0. Possède-t-elle une limite à droite en 0 ? Expliquer.
42
CHAPITRE 9. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
9.2
9.2. DÉRIVÉE
Dérivée des fonctions trigonométriques
Pour la dérivée des fonctions sinus et cosinus, on utilise la définition de la dérivée. Nous
allons avoir besoin des théorèmes suivants :
Théorème 26
Les fonctions trigonométriques sin, cos et tan sont continues sur leur domaine.
Théorème 27
sin(x)
= 1.
x→0
x
lim
Théorème 28
(1) sin0 (x) = cos(x).
(2) cos0 (x) = − sin(x).
1
= 1 + tan2 (x).
(3) tan0 (x) =
cos2 (x)
Exemples
Calculer la dérivée des fonctions f suivantes :
(1) f : x 7→ sin2 (x)
(2) f : x 7→ cos(x2 )
Le théorème suivant va nous permettre de calculer la dérivée des fonctions trigonométriques réciproques :
Théorème 29
Sur leurs domaines respectifs, on a :
1
(1) arcsin0 (x) = √
.
1 − x2
1
(2) arccos0 (x) = − √
.
1 − x2
1
(3) arctan0 (x) =
.
1 + x2
Exemples
Calculer la dérivée des fonctions f suivantes :
(1) f : x 7→ arcsin2 (x)
(2) f : x 7→ arccos(x2 )
43
9.2. DÉRIVÉE
CHAPITRE 9. FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
44
10
Problèmes d’optimisation
Activité 16
Un fabriquant de produits alimentaires veut mettre sur le marché un nouveau légume. Il
envisage de le mettre dans des boîtes de conserves cylindriques de 750 cm3 . Quelles doivent
être les dimensions de la boîte pour qu’il utilise le moins de métal possible ?
h
r
45
CHAPITRE 10. OPTIMISATION
Trouver le maximum ou le minimum d’une fonction est une application fréquente des
mathématiques. Pour résoudre ce genre de problèmes, on prendra le soin d’effectuer la
marche à suivre suivante :
Marche à suivre :
+ bien lire le problème (faire un schéma ?) ;
+ identifier et déclarer la ou les variables (inconnues)
en jeu, en particulier celle à optimiser.
+ trouver le lien entre les variables ;
+ trouver la fonction à optimiser (dépendante d’une
seule variable) (domaine ?) ;
+ étudier la croissance de la fonction à optimiser :
calculer la dérivée de la fonction à optimiser,
faire un tableau de signe afin d’étudier le signe
de la dérivée,
déterminer les extrema de la fonction à optimiser ;
+ répondre à la question.
Exemple
Trouver les dimensions d’un triangle rectangle d’aire maximale dont l’hypoténuse a une
longueur de 1 m.
46
11
Taux relatifs
11.1
Notion de différentielle
Définition 23
Soit f une fonction dérivable en x. Soit dx ultrapetit. On définit la différentielle de f
en x, notée df (x), comme
df (x) = f 0 (x) · dx.
Même si la notation ne l’indique pas, il faut rappeler que df (x) dépend de x et de dx.
On a donc par définition que
df (x)
= f 0 (x),
dx
ou encore
dy
= f 0 (x)
dx
si on note y = f (x). Ces quantités sont de véritables quotients.
La différentielle, c’est la variation verticale le long de la tangente qui correspond à dx.
Cette variation est ultrapetite (ou nulle si la tangente est horizontale).
∆y = dy + ε · dx,
avec ε ' 0.
Ainsi, on peut approximer la variation ∆y par la différentielle dy avec une erreur extrêmement petite.
f (x + dx)
f (x) + f 0 (x) · dx
∆f (x)
df (x)
f (x)
f
Tx
x
47
x + dx
11.1. NOTION DE DIFFÉRENTIELLE
CHAPITRE 11. TAUX RELATIFS
Exemples
Calculer la différentielle des fonctions f suivantes :
(1) f : x 7→ x2 − x.
(2) f : x 7→
2x
.
x2 −1
Les règles de dérivation peuvent se traduire en manipulations algébriques sur les différentielles. Par exemple, si y = f (x) et z = g(x), où f et g sont dérivables en x, on a, pour
dx ultrapetit :
d(y + z)
dy dz
=
+ ,
dx
dx dx
ce qui implique (en multipliant par dx)
d(y + z) = dy + dz.
On déduit de la même manière
d(y · z) = dy · z + y · dz
et pour z(x) 6= 0 (on abrège z = z(x) ci-dessous)
d
y z
=
dy · z − y · dz
.
z2
Pour la règle de dérivation en chaîne, on considère y = g(x) et z = f (y). Notre convention sur la notation dx est que c’est un ultrapetit, c’est-à-dire non nul. On ne peut, en
général, garantir que dy est non nul, puisque y dépend de x. On dirait dans ce contexte
que x est la variable indépendante et y une variable dépendante. Pour pouvoir utiliser la
variable y et écrire dz = g 0 (y) · dy, il faut donc imposer que dy 6= 0. Si dy 6= 0, alors la
règle de dérivation en chaîne donne
dz dy
dz
=
· .
dx
dy dx
On a donc une simplification des dy. Réciproquement, dx l’ultrapetit, on a dy = g 0 (x)·dx 6=
0. Alors dz = f 0 (y) · dy et on obtient
dz = f 0 (y) · dy = f 0 (y) · g 0 (x) · dx.
On en déduit (comme y = g(x))
0 dz
f (g(x)) =
= f 0 (y) · g 0 (x) = f 0 (g(x)) · g 0 (x).
dx
C’est la preuve historique de la règle de dérivée en chaîne.
On peut finalement reformuler le théorème de la dérivée de la réciproque avec les différentielles
dx
1
1
(rf )0 (y) =
= dy = 0 .
dy
f (x)
dx
C’est l’illustration du fait que la droite tangente à rf en (y; x) est la réciproque de la
droite tangente à f en (x; y). Ainsi, à un incrément ultrapetit dy correspond un incrément
ultrapetit dx le long de la tangente et réciproquement.
48
CHAPITRE 11. TAUX RELATIFS
11.2. TAUX RELATIFS OU TAUX LIÉS
r
f
dx
f
y
x
dy
dy
dx
y
x
11.2
Taux relatifs ou taux liés
Activité 17
On a une machine permettant d’insuffler du gaz dans un ballon sphérique au taux de
10 cm3 /s. Trouver le taux d’accroissement du rayon quand celui-ci est de 4 cm.
C
49
r
11.2. TAUX RELATIFS OU TAUX LIÉS
CHAPITRE 11. TAUX RELATIFS
On a déjà vu la dérivée comme étant la pente de la tangente en un point d’une courbe.
Dans ce paragraphe, nous allons considérer des problèmes dans lesquels la dérivée sera vue
comme un taux d’accroissement (instantané) ou comme une vitesse, c’est-à-dire comme le
quotient de deux différentielles. La difficulté des problèmes qui vont suivre va consister à
traduire un langage écrit en français dans un langage écrit en langage « mathématique ».
Dans ce genre de problème, on vous demandera généralement de trouver un taux de variation, ou une vitesse, lorsqu’on en connaît un autre ou lorsqu’on est en mesure d’en calculer
un autre. Pour pouvoir établir une relation entre des taux, il faut connaître un lien entre
les variables impliquées. C’est l’élément clé de la solution.
Voici une méthode de résolution de ces problèmes :
Marche à suivre :
+
+
+
+
+
+
bien lire le problème ;
identifier les variables et les taux donnés ;
traduire les données en termes mathématiques ;
trouver le lien entre les variables ;
effectuer les calculs requis (dérivées) ;
répondre à la question posée.
Exemple
Un homme se tient en haut d’une échelle de 25 m de longueur, appuyée contre un mur. Un
farceur passant par là tire le pied de l’échelle en l’éloignant du mur à une vitesse de 2 m/s.
A quelle vitesse l’homme descend-il quand le pied de l’échelle est à 7 m du mur ?
50
12
L’intégrale
12.1
Primitive d’une fonction
Le problème fondamental de l’analyse est de retrouver une fonction à partir de sa
dérivée. Ce problème peut être délicat en général, mais il est simple lorsque la dérivée est
continue.
Activité 18
Représenter graphiquement les fonctions dont les dérivées sont représentées ci-dessous :
4
6
3
5
2
4
1
0
3
−4 −3 −2 −1 0 1
−1
2
3
2
4
1
0
−2
−4 −3 −2 −1 0 1
−1
−3
(1)
−4
(3)
3
5
2
4
1
0
−4 −3 −2 −1 0 1
−1
2
1
0
−4 −3 −2 −1 0 1
−1
(2)
−2
2
3
−3
4
−4
−2
(4)
51
3
4
2
3
4
−2
6
3
2
−5
12.1. PRIMITIVE
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
Activité 19
Dans l’activité 18, le but était de déterminer graphiquement une fonction dont on
connaît la fonction dérivée sous forme graphique. Il s’agit maintenant de trouver l’expression algébrique d’une fonction dont la fonction dérivée est donnée sous forme algébrique.
(1) Pour chacune des fonctions f ci-dessous, trouver une fonction F dont f est la dérivée :
(a) f : x 7→ 2
(c) f : x 7→ −3x2 + 2
(b) f : x 7→ 2x
(d) f : x 7→ sin( x2 )
Comment vérifier les solutions proposées ?
(2) Soit la fonction F : x 7→ 2x + 3
(a) La fonction F est-elle solution de (1)(a) ?
(b) Combien existe-t-il de solution de (1)(a) ?
(c) Peut-on trouver une forme générale pour les exprimer toutes ?
(3) La recherche de ces fonctions est en quelque sorte l’opération « inverse » de la dérivation.
A l’aide des exemples ci-dessus ainsi que des règles de dérivation, essayer de déterminer des règles générales applicables à cette opération « inverse ». Pour cela,
(a) Trouver une fonction F dont f définie ci-dessous est la dérivée :
i. f : x 7→ cos(x)
iv. f : x 7→ x2 + cos(x)
vii. f : x 7→ 2x cos(x2 )
ii. f : x 7→ x2
v. f : x 7→ x2 · cos(x)
viii. f : x 7→ x cos(x2 )
iii. f : x 7→ 5 cos(x)
vi. f : x 7→ cos(x2 )
ix. f : x 7→
cos(x)
x
(b) Soient G une fonction dont g : x 7→ cos(x) est la dérivée et H une fonction
dont h : x 7→ x2 est la dérivée. Reprendre toutes les questions à partir du point
(3)(a)iii et écrire F en fonction de (à l’aide de) G, H et f et énoncer les règles
que vous avez pu déduire. Par exemple, pour (a)iii, on a F (x) = 5 · G(x).
Définition 24
Soit f : I → R une fonction, avec I un intervalle. On appelle primitive de f (sur I)
toute fonction F : I → R telle que F 0 (x) = f (x), pour chaque x ∈ I.
Exemples
Trouver une primitive F des fonctions f suivantes :
(1) f : x 7→ 2x
(4) f : x 7→ x2
(7) f : x 7→ 4x3 − x
(2) f : x 7→ 3x2
(5) f : x 7→ x3
(8) f : x 7→
(3) f : x 7→ x
(6) f : x 7→ xn
(9) f : x 7→ sin(x)
1
x2
Théorème 30 (Non unicité d’une primitive)
Si F (x) est une primitive de f (x), alors F (x) + C est aussi une primitive de f (x).
52
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
12.2. VITESSE ET ACCÉLÉRATION
Théorème 31
Soient f et g deux fonctions et I un intervalle.
f 0 (x) = g 0 (x) ⇔ il existe un nombre C tel que f (x) = g(x) + C
Remarques
– Le théorème 30 est un des deux sens du théorème 31. Vous aurez besoin du théorème
23 (page 33) pour démontrer l’autre sens.
– Le sens ⇒ du théorème 31 peut également s’énoncer de la manière suivante : Soient
F et G deux primitives d’une fonction f . Alors il existe un nombre C tel que F (x) =
G(x) + C.
Voici un tableau avec une primitive F des principales fonctions f , avec n ∈ Q\{−1} :
12.2
f
F
xn
(ax + b)n
xn+1
, n 6= −1
n+1
(ax+b)n+1
a(n+1)
(h(x))n · h0 (x)
(h(x))n+1
n+1
sin(x)
− cos(x)
cos(x)
sin(x)
sin(ax + b)
cos(ax + b)
− cos(ax+b)
a
sin(ax+b)
a
h0 (x) · sin(h(x))
− cos(h(x))
h0 (x) · cos(h(x))
sin(h(x))
Des problèmes liés aux primitives
Nous avons vu, en étudiant les dérivées, que la fonction vitesse est la dérivée de la
fonction position. Maintenant nous pouvons aussi énoncer cette relation en utilisant les
primitives.
Si x(t) représente la fonction position (en mètres par exemple), on a alors :
Z
0
v(t) = x (t) ou bien x(t) =
v(t)dt .
Activité 20
Soient trois objets en chute dont la vitesse en m/s est donnée par les trois fonctions
ci-dessous :
– v1 (t) = −9, 8t√
– v2 (t) = −9, 8 t
53
12.2. VITESSE ET ACCÉLÉRATION
– v3 (t) = −9, 8 1 −
1
(1+t)2
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
(1) Pour chacune des fonctions vitesse trouvez sa fonction x(t) correspondante sachant
que l’objet touche terre après 6 secondes.
(2) Calculez la hauteur initiale de chaque objet.
Activité 21
On rappelle que :
– la vitesse instantanée est donnée par :
Z
0
v(t) = x (t) ou bien x(t) =
v(t)dt .
– l’accélération instantanée est donnée par :
Z
0
a(t) = v (t) ou bien v(t) =
(1) Quelques instants après son départ, un
TGV passe de 60 km/h à 240 km/h
en 50 secondes, avec une accélération
constante.
(a) Déterminez l’accélération.
(b) Quelle distance a-t-il parcourue
pendant cette durée ?
(2) Un TGV lancé à 240 km/h doit freiner. Son accélération est alors proportionnelle au temps : a(t) = −t m/s2 .
(a) En 10 secondes sur quelle distance
a-t-il freiné ?
(b) Après combien de temps s’arrêtet-il ?
(3) Même cas que précédemment mais son
accélération est : a(t) = k · t m/s2 , avec
k < 0. S’il s’arrête en 16 secondes, sur
quelle distance a-t-il freiné ?
54
a(t)dt .
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
12.3
12.3. AIRE
L’aire sous la courbe
Le problème est le suivant : comment calculer l’aire sous une courbe donnée (aire située
entre la courbe, l’axe des horizontal, x = a et x = b), si cette courbe n’est pas formée de
segments de droite ?
Activité 22
Déterminer un moyen d’approximer l’aire sous la courbe de f entre 0 et 1 si f est définie
par f : x 7→ x2
x2
y
1
1
2
x
1
2
55
1
12.3. AIRE
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
L’activité 22 nous a montré que l’aire peut être découpée en « tranches » et que l’aire de
chaque tranche peut être approximée par un rectangle de largeur dx et de hauteur f (xi ).
Il restera à montrer que la somme des aires « oubliées » dans l’approximation ne doit pas
être plus grande qu’une quantité ultrapetite. Par conséquent, on a pour l’aire A
A'
N
−1
X
f (xi )dx.
i=0
f
f(x i )
xi xi+1
{
a
b
dx
Sur ce dessin, chaque quantité f (xi )·dx donne l’aire d’un rectangle qui approxime l’aire
sous la courbe f sur l’intervalle [xi ; xi+1 ]. Par continuité, on peut se convaincre que l’erreur
sur chaque intervalle est de la forme εi · dx (avec εi ' 0), puisque la distance entre le point
le plus haut et le point le plus bas est ultrapetite. En sommant toutes ces approximations,
comme la somme des erreurs est ultrapetite, on voit que cela correspond à l’aire sous la
courbe de f entre a et b.
Définition 25
Soit f : [a; b] → R une fonction continue. L’intégrale de f entre a et b est le nombre du
niveau de référence noté
Z b
f (x)dx
a
tel que
Z
b
f (x)dx '
a
N
−1
X
f (xi )dx,
i=0
pour tout entier positif ultragrand N , dx =
(b−a)
N
et xi = a + i · dx.
Le niveau de référence est un niveau deR f , a et b. Par définition, l’intégrale de f entre a
et b est du niveau de f , a et b. Le symbole doit s’interpréter comme « la partie observable
de la somme ».
Avec nos définitions sur les limites, on peut récrire
Z
b
f (x)dx = lim
a
n→+∞
On peut donner une définition équivalente :
56
n−1
X
i=0
f (xi )dx.
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
12.4. THÉORÈME FONDAMENTAL
Définition 26
On dira qu’une fonction f est intégrable sur [a; b] si il existe un nombre L du niveau de
et xi = a + i · dx pour i = 0, . . . ,
référence tel que pour tout N ultragrand, avec dx = b−a
N
N , nous avons
N
−1
X
f (xi )dx ' L.
i=0
Théorème 32
Soit f une fonction continue sur [a; b]. Alors f est intégrable sur [a; b].
Exemple
R1
Calculer 0 (−x + 4)dx en utilisant la définition.
12.4
Théorème fondamental de l’analyse
On va établir le lien entre le calcul de l’aire sous une courbe (calcul difficile et long
d’une intégrale à l’aide de la définition) et la recherche d’une primitive : c’est le théorème
fondamental de l’analyse qui établit ce lien.
Théorème 33 (Théorème fondamental de l’analyse, 2ème partie)
Soit f : [a; b] → R une fonction continue. Soit F : [a; b] → R une primitive de f sur [a; b].
Alors
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Notation : On écrit
Z
a
b
b
f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a).
a
Ce résultat montre que lorsque f a une primitive, non seulement l’intégrale est bien
définie (la somme des différentielles n’est pas ultragrande et sa partie observable est indépendante de l’entier N choisi), mais l’intégrale est la variation globale de la primitive entre
a et b.
Exemples
Calculer les intégrales définies suivantes :
Z 1
(1)
x2 dx
Z
0
Notation : on écrira
0
Z
f (x)dx
57
1
(4 − x)dx
(2)
12.5. RÈGLES D’INTÉGRATION
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
pour dénoter l’ensemble des primitives de f . On parle d’intégrale indéfinie.
Pour l’intégrale
Z b
f (x)dx,
a
on parle d’intégrale définie.
Il y a une différence majeure entre ces deux calculs : l’un donne une fonction, alors que
l’autre donne un nombre.
Z
Définition 27 (Intégrale impropre)
Soit f une fonction intégrable sur [a; +∞[. On note
+∞
f (x)dx la valeur de la limite
a
Z
n
f (x)dx.
lim
n→+∞
a
Z
Pour calculer une intégrale impropre, on choisit un ultragrand N , on calcule
N
f (x)dx
a
et on prend la partie observable du niveau de référence (si elle existe et est indépendante
du choix de N ).
Exemples
Calculer :
Z
+∞
(1)
1
Z
1
dx
x3
(2)
3
+∞
1
dx
(x − 2)4
Théorème 34 (Théorème fondamental de l’analyse, 1ère partie)
Soit f : [a; b] → R une fonction continue. Alors la fonction A : [a; b] → R définie par
Z x
A(x) =
f (t)dt
a
est une primitive de f qui s’annule en a.
Exemple
Soit la fonction f définie par f : x 7→
Rx
(1) Calculer 1 (t3 − 4t2 )dt.
Rx
1
(t3 − 4t2 )dt
(2) Déterminer la dérivée de f .
12.5
Règles d’intégration
Nous généralisons maintenant la somme des aires.
58
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
12.5. RÈGLES D’INTÉGRATION
Théorème 35 (Additivité de l’intégrale)
Soit f une fonction continue sur [a; c] et b ∈ [a; c]. Alors
Z
b
c
Z
Z
f (x)dx.
a
b
a
c
f (x)dx =
f (x)dx +
Exemple
R3
R5
R5
On donne 1 f (x)dx = 6 et 3 f (x)dx = 7. Calculer 1 f (x)dx.
Théorème 36 (Monotonicité de l’intégrale)
Soit f une fonction continue sur [a; b].
(1) Si f (x) ≥ 0 (resp. > 0) pour chaque x ∈ [a; b] alors
b
Z
f (x)dx ≥ 0 (resp. > 0).
a
(2) Si f (x) = 0 pour chaque x ∈ [a; b] alors
Z
b
f (x)dx = 0.
a
(3) Si f (x) ≤ 0 (resp. < 0) pour chaque x ∈ [a; b] alors
b
Z
f (x)dx ≤ 0 (resp. < 0).
a
On en déduit que si f et g sont des fonctions continues sur [a; b] telles que f (x) ≤ g(x)
pour tous les x ∈ [a; b] on a que
Z
b
b
Z
f (x)dx ≤
a
g(x)dx.
a
Exemple
Vrai ou faux ? Justifier.
Rb
Si f (x) ≤ 2 pour tout x ∈ [a; b], alors a f (x)dx ≤ 2.
Nous démontrons maintenant la linéarité de l’intégrale. Notons que si f et g sont continues, alors toute combinaison linéaire de f et g est continue.
Théorème 37 (Linéarité de l’intégrale)
Soient f et g des fonctions continues sur [a; b]. Soient λ, µ des nombres réels. Alors
Z
b
Z
(λ · f (x) + µ · g(x)) dx = λ ·
a
Z
f (x)dx + µ ·
a
59
b
b
g(x)dx.
a
12.5. RÈGLES D’INTÉGRATION
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
On peut donc considérer la linéarité comme la version intégrale des théorèmes du calcul
différentiel : (f + g)0 = f 0 + g 0 et (λ · f )0 = λ · f 0 .
Exemples
Vrai ou faux ? Justifier.
Rb
Rb
(1) Si f (x) = −3 · g(x) pour tout x ∈ [a; b], alors a f (x)dx = −3 · a g(x)dx.
Rb
Rb
(2) Si a f (x)dx = −3 · a g(x)dx pour tout x ∈ [a; b], alors f (x) = −3 · g(x).
L’intégration par parties consiste à utiliser la règle du produit : (f · g)0 = f 0 · g + f · g 0 .
Théorème 38 (Intégration par parties)
Soient f et g des fonctions dérivables sur [a; b] telles que f 0 et g 0 soient continues sur [a; b].
Alors
b Z b
Z b
0
f (x) · g 0 (x)dx .
f (x) · g(x)dx = f (x) · g(x) −
a
a
a
Exemple
Z
π/2
x · sin(x)dx.
Considérons l’intégrale
0
Pour intégrer par partie, on pose f 0 : x 7→ sin(x) et g : x 7→ x. On a f (x) = − cos(x) et
g 0 (x) = 1, d’où on tire
π/2 Z π/2
π/2
Z π/2
x · sin(x)dx = −x · cos(x) +
cos(x)dx = sin(x) = 1.
0
On déduit aussi
0
0
0
Z
x · sin(x)dx = −x · cos(x) + sin(x) + C.
Exemples
Calculer les intégrales suivantes par partie.
Z 4
√
(1)
x · xdx
Z
0
10
(x + 1) ·
(2)
√
x − 1dx
1
Nous terminons cette section avec l’intégration par substitution et par changement de
variables, qui sont des réciproques de la règle de dérivée en chaîne : (f (g(x)))0 = f 0 (g(x)) ·
g 0 (x).
Théorème 39 (Intégration avec la dérivée intérieure)
Soient g une fonction dérivable sur [a; b] et f une fonction dérivable sur g([a; b]) telles que
g 0 soit continues sur [a; b] et f 0 soit continue sur g([a; b]). Alors
Z
a
b
b
f (g(x)) · g (x)dx = f (g(x)) .
0
0
a
60
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
12.5. RÈGLES D’INTÉGRATION
Exemples
Calculer les intégrales suivantes.
Z 1
(1)
2x2 · (x3 + 1)3 dx
Z
(2)
0
2
x3 · (x4 + 1)5 dx
0
Avant d’aborder la dernière méthode d’intégration, nous reparlons de différentielle.
Le contexte de l’intégration que nous considérons est le contexte d’une fonction lisse (la
primitive) sur un intervalle [a; b]. On peut donc, là aussi, utiliser les différentielles pour
simplifier le formalisme. Par exemple, le théorème fondamental de l’analyse dit que, pour
une fonction dérivable f dont la dérivée est continue sur [a; b] on a que
b
Z
f 0 (x)dx = f (b) − f (a).
a
On a donc que
Z
b
Z
0
df (x) '
f (x)dx =
a
N
−1
X
b
a
df (xi ) =
N
−1
X
i=0
N
−1
X
0
f (xi ) · dx '
i=0
∆f (xi ) = f (b) − f (a).
i=0
Théorème 40 (Intégration par changement de variable)
Soit f une fonction continue sur [a; b]. Soit g dont la dérivée est continue et e, d ∈ R tels
que g(d) = a et g(e) = b. Alors
b
Z
e
Z
f (g(u)) · g 0 (u)du .
f (x)dx =
a
d
Exemple
Considérons l’intégrale
Z
1
q
√
1 + xdx.
0
√
Soit le changement de variable u = 1 + x. Alors x = (u − 1)2 = g(u), la dérivée de g est
continue et√son image contient [0; 1] : Si x = 0 alors u = 1 et si x = 1 alors u = 2. De plus
f (g(u)) = u et
dx = 2 · (u − 1) · du.
Ainsi, en remplaçant tous les facteurs, on obtient
Z
1
Z
q
√
1 + x · dx = 2
0
2
√
Z
u · (u − 1) · du = 2
1
de sorte que
2
2
1
√
2
2 5/2 2 3/2 8+8 2
u − u
.
=
5
3
15
1
61
u3/2 − u1/2 · du
12.5. RÈGLES D’INTÉGRATION
CHAPITRE 12. L’INTÉGRALE
√
Puisque g est une bijection sur [1; 2] dont la réciproque x 7→ 1 + x est dérivable (sauf en
x = 0), on peut revenir à la variable x et trouver une primitive :
q
q
Z q
√
√ 5 4
√ 3
4
1 + x · dx =
1+ x −
1 + x + C.
5
3
Exemples
Calculer les intégrales suivantes par changement de variable :
Z 1
Z 3
√
√
(x + 1) · 5 − xdx
x2 1 + xdx
(1)
(2)
0
1
62
13
Le calcul intégral
Ce chapitre contient quelques applications de l’intégrale. On a déjà vu l’aire sous la
courbe.
13.1
Aire entre deux courbes
On a déjà vu l’aire entre la courbe
et l’axe des x pour une fonction f positive entre
Rb
x = a et x = b est donnée par a f (x)dx. Le théorème suivant nous permet de calculer
l’aire bornée par deux courbes.
Théorème 41 (Aire entre deux courbes)
Soient f et g deux fonctions continues sur [a; b] telles que f (x) > g(x) pour x ∈]a; b[, f (a) =
g(a) et f (b) = g(b). Alors l’aire A du domaine limité par les deux courbes représentatives
de f et g est donnée par
Z
b
(f (x) − g(x))dx.
A=
a
Exemples
Déterminer l’aire du domaine limité par la courbe représentative de la fonction f et la
courbe représentative de la fonction g si :
(1) f : x 7→ x2 et g : x 7→ x
(2) f : x 7→ x2 − 3x et g : x 7→ −x + 3.
63
13.2. LA MOYENNE
13.2
CHAPITRE 13. LE CALCUL INTÉGRAL
La moyenne
Activité 23
La fonction f : x 7→ 10 + 8x2 − x4 , pour 0 ≤ x ≤ 3, dans laquelle x est le temps en
semaines depuis le début d’une épidémie, représente le nombre de milliers de personnes
atteintes d’un certain virus.
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
f
0
1
2
3
(1) Calculer le nombre de personnes atteintes au début de l’épidémie, après une semaine,
deux semaines et trois semaines. En déduire la moyenne arithmétique du nombre de
personnes atteintes par le virus durant ces trois semaines.
(2) Calculer le nombre de personnes atteintes chaque jour lors des trois semaines de
l’épidémie. En déduire la moyenne arithmétique du nombre de personnes atteintes
par le virus pendant les trois semaines.
(3) Comment procéder pour obtenir la moyenne de la fonction f sur l’intervalle [0; 3] ?
64
CHAPITRE 13. LE CALCUL INTÉGRAL
13.2. LA MOYENNE
On aimerait donner un sens précis à la notion de moyenne d’une fonction continue sur
un intervalle [a; b]. Ce sens n’est pas ambigu lorsque nous considérons la moyenne de n
points, où n est un nombre entier. On va montrer que définir la moyenne d’une fonction
continue f sur un intervalle [a; b] comme
1
b−a
Z
b
f (x)dx
a
est une simple extension.
Considérons f une fonction continue sur l’intervalle [a; b]. Le niveau de référence est
le niveau de a, b, f . Soit N un entier positif ultragrand. On définit dx = (b − a)/N et
xi = a + i · dx, pour i = 0, . . . , N . Alors la moyenne des N points f (xi ) (i = 0, . . . , N − 1)
donne une bonne estimation de la valeur moyenne de la fonction. Comme N = (b − a)/dx
on a
N
−1
X
!
f (xi )
Z b
N
−1
N
−1
X
X
i=0
dx
1
1
= b−a ·
f (xi ) = b−a ·
f (xi ) · dx ' b−a
f (x)dx.
N
i=0
a
i=0
On peut donc poser la définition suivante :
Définition 28
Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a; b]. On appelle la moyenne µ de f sur
[a; b] le nombre
Z b
1
f (x)dx.
µ=
b−a a
La moyenne est le nombre µ tel que l’aire sous la courbe f est µ · (b − a), c’est-à-dire
Rb
que µ est la hauteur du rectangle de base [a; b] dont l’aire vaut a f (x)dx. Le prochain
théorème nous dit alors que cette valeur µ est atteinte par f pour un certain c ∈ [a; b].
f
µ
a
f
µ
a
b
b
Exemple
Un météorologiste estime que la température en degré centigrade d’une froide journée
d’hiver varie en fonction de l’heure selon l’équation :
π
T (t) = sin( π3 · t) − 8 cos( 12
· t) − 3
où t est exprimé en heures et t = 0 correspond à minuit. Quelle est la température moyenne
exacte entre 6 heures et midi ?
65
13.3. LE VOLUME DE RÉVOLUTION
CHAPITRE 13. LE CALCUL INTÉGRAL
Théorème 42
Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a; b]. Alors il existe un nombre c dans l’intervalle [a; b] tel que f (c) est la valeur moyenne de f sur [a; b].
Ce théorème est simplement la version intégrale du théorème des accroissements finis :
dire qu’il existe un nombre c dans l’intervalle [a; b] tel que
1
f (c) =
b−a
b
Z
f (x)dx
a
Rb
revient à dire que f (c) · (b − a) = a f (x)dx, ce qui s’écrit aussi F 0 (c) · (b − a) = F (b) − F (a)
par le théorème fondamental de l’analyse.
Exemple
Calculer la valeur moyenne µ de la fonction f sur l’intervalle [a; b], puis déterminer les
valeurs de c ∈ [a; b] telles que f (c) = µ :
(2) f : x 7→ 3x2 − 2x, a = 0 et b = 1.
(1) f : x 7→ 3x − 4, a = −1 et b = 4.
13.3
Le volume de révolution
On s’intéresse à trouver la mesure du volume du corps engendré par la rotation de la
courbe f : x 7→ f (x) autour de l’axe horizontal entre x = a et x = b. On suppose f continue
sur [a; b].
Théorème 43
Soit f une fonction continue sur [a; b]. Le volume V du corps engendré par la rotation de
la courbe représentative de f autour de l’axe horizontal entre x = a et x = b est donné
par :
Z b
f 2 (x)dx .
V =π·
a
Exemple
(1) Soit la fonction f définie par f : x 7→ x2 + 1. Déterminer le volume du corps obtenu
par la rotation du graphe de f autour de l’axe Ox entre x = 0 et x = 2.
√
(2) Soit la fonction f définie par f : x 7→ x. Déterminer le volume du corps obtenu par
la rotation du graphe de f autour de l’axe Ox entre x = 1 et x = 4.
13.4
La longueur d’arc
On s’intéresse à trouver la longueur d’un arc de la courbe f : x 7→ f (x) entre les
nombres x = a et x = b. Supposons que f soit dérivable et que sa dérivée soit continue sur
[a; b].
66
CHAPITRE 13. LE CALCUL INTÉGRAL
13.4. LA LONGUEUR D’ARC
Théorème 44 (Longueur d’arc)
Soit f : [a; b] 7→ R une fonction lisse. Alors la longueur L de l’arc de la courbe représentative
de f entre x = a et x = b est donné par :
Z bp
1 + (f 0 (x))2 dx .
L=
a
Exemple
3
Déterminer la longueur de l’arc de courbe donnée par son équation : y = (x − 2) 2 entre
x = 2 et x = 6.
67
13.4. LA LONGUEUR D’ARC
CHAPITRE 13. LE CALCUL INTÉGRAL
68
Bibliographie
[1] John Kimber, Bernard Lenggenhager, Olivier Lessmann, Richard O’Donovan, Andreas
Pichler, Analyse, Ressources et Développement, 2009, 88 pages.
[2] Commission romande de mathématique (CRM), Analyse, Édition du Tricorne, Collection Fondamentum de mathématique, 1997, 243 pages.
[3] Ouellet Gilles, Calcul 1, Les éditions Le Griffon d’Argile, 1988, 672 pages.
[4] Deborah Hughes-Hallett, Andrew M. Gleason, Calcul intégral, Chenelière/Mc GrawHill, 2001, 371 pages.
[5] Bertrand Hauchecorne, Daniel Surreau, Des mathématiciens de A à Z, Édition Ellipse,
1996, 382 pages.
[6] Amy Dahan-Dalmenico, Jeanne Peiffer, Une histoire des mathématiques : Routes et
dédales, Édition du Seuil, 1986, 322 pages.
[7] Déclic, Maths, Terminale S, HACHETTE éducation, 1998, 414 pages.
[8] ChronoMath, Une chronologie des MATHÉMATIQUES, http://www.chronomath.com
[9] Tangente, Hors série nunéro 13 L’infini, Édition Pôle, 2002, 96 pages.
69
Index
activité
asymptotes, 14
continuité, 11
croissance d’une fonction, 31
limite, 13
sin(x)
, 41
x
gauche/droite, 42
optimisation, 45
taux relatifs, 49
ultracalculs, 9
additivité de l’intégrale, 59
aire sous la courbe
x2 , 55
aire sous une courbe, 56
angle
radians, 42
angle orienté, 42
concavité, 36
continuité
d’un produit, 20
d’un quotient, 20
d’une différence, 20
d’une somme, 20
définition, 19, 20
des fonctions composées, 20
sur un intervalle, 21
à droite, 21
à gauche, 21
convexité, 36
croissance, 33
degré d’un polynôme, 18
dérivée
arccos, 43
arcsin, 43
arctan, 43
d’un extremum, 31
d’un produit, 28
d’un produit par une constante, 28
d’un quotient, 29
d’une constante, 27
d’une somme, 28
de xn
n ∈ Q, 28
de fonctions composées, 29
de la réciproque, 29
de la tangente, 43
définition, 26
des fonctions circulaires, 43
du cosinus, 43
du sinus, 43
en chaîne, 29
première, 26
seconde, 35
différentielle, 47
droite tangente, 27
extremum
local, 34
relatif, 34
fonction
concave, 35
convexe, 35
croissante, 33
décroissante, 33
dérivable, 26
intégrable, 56
lisse, 67
strictement croissante, 33
strictement décroissante, 33
70
INDEX
fraction rationnelle, 18
domaine, 18
intégrale
additivité, 59
définie, 58
impropre, 58
indéfinie, 58
monotonicité, 59
intégration
avec la dérivée intérieure, 60
par additivité, 59
par changement de variable, 61
par linéarité, 59
par parties, 60
intégrable, 56
intégrale, 56
linéarité, 59
linéarité de l’intégrale, 59
longueur d’arc, 66
maximum
local, 34
relatif, 34
minimum
local, 34
relatif, 34
moyenne, 65
niveau, 5, 6
d’observation, 6
d’une fonction, 6
d’une propriété, 6
de x, 6
imbrication, 6
le plus grossier, 5
plus fin, 5
propriétés, 6
point d’inflexion, 36
position, 3
primitive, 52
non-unicité, 52
vitesse/accélération, 53
principe
de clôture, 8
de la partie observable, 9
de référence, 10
INDEX
réciproque, 29
règles
d’intégration, 58
de dérivation, 27
sens
rétrograde, 42
trigonométrique, 42
somme d’ultrapetits, 56
théorème
aire entre 2 courbes, 63
continue ⇒ intégrable, 57
continuité
cosinus, 43
sinus, 43
tangente, 43
convexité et f 00 , 36
de la moyenne, 66
de la valeur intermédiaire, 23
de Rolle, 32
dérivable ⇒ continue, 27
dérivée et croissance, 33
des accroissements finis, 32
extremum relatif, 34
fonctions continues, 20
fondamental partie 1, 58
fondamental partie 2, 57
lim sin(x) , 43
x→0 x
longueur d’arc, 67
règles sur les limites, 13
ultracalculs, 9
volume de révolution, 66
ultragrand, 6
ultrapetit, 6
ultraproche, 6
vitesse, 3
volume de révolution, 66
radians, 42
71