Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Liban juin 2008 Partie A - Une démonstration de cours Page 1 sur 2 2°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0. D'abord, calculons l'ordonnée f ( 0 ) du point A de la courbe (C) d'abscisse 0. Pré-requis : définition d'une suite tendant vers +∞ ∞. Une suite tend vers +∞, si et seulement si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A. 1 y A = f ( x A ) = f ( 0 ) = ln ( 0 + 1) + × 02 = ln (1) + 0 = 0 + 0 = 0 2 La tangente (T) est la droite de coefficient directeur f ′ ( 0 ) passant par le point A ( 0;0 ) . Démontrer le théorème suivant : toute suite croissante non majorée tend vers +∞ . ( u n ) est une suite strictement croissante non majorée. Calculons le nombre dérivé de f en 0. Soit A un réel quelconque. Comme la suite ( u n ) est non majorée, alors il existe un terme de cette suite que nous appellerons u p qui est plus grand que A. De plus, comme la suite ( u n ) est croissante, alors si n > p alors u n > u p > A . Ainsi, à partir du rang p, tous les termes de la suite ( u n ) sont plus grands que A. Conclusion : la suite strictement croissante et non majorée ( u n ) tend vers +∞ . Partie B - Etude d'une fonction f On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0; +∞[ par : 1 f ( x ) = ln ( x + 1) + × x 2 2 On appelle (C) sa courbe représentative qui est tracée à la question C.1. 1°) Etudier le sens de variations de la fonction f sur l'intervalle [ 0; +∞[ . Nul besoin de dériver ici ! En effet, comme : La fonction u ( t ) = ln ( t ) est strictement croissante sur ]0; +∞[ . La fonction affine v ( x ) = x + 1 est strictement croissante et positive sur ]−1; +∞[ . 1 f ′(0) = + 0 = 1+ 0 = 1 0 +1 Finalement, c'était peut-être mieux de calculer la dérivée de f à la question précédente... Donc l'équation réduite de la tangente (T) est de la forme y = x + p . Reste à trouver p ! Comme le point A ( 0;0 ) appartient à la droite (T), alors les coordonnées du premier vérifient l'équation de la seconde. Ainsi : yA = x A + p ⇔ 0 = 0 + p ⇔ p = 0 Pr évisible car l'ordonnée à l'origine de la droite (T) est celle de l'origine O ou A. Conclusion : l'équation réduite de la tangente (T) est y = x . La droite (T) est la première bissectrice du plan. Elle est tracée sur le graphique de la question C.1. Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle ]0; +∞[ , la courbe (C) est située au-dessus de la droite (T). La preuve (non demandée) de ce fait important Calculons la dérivée de la différence d'ordonnées ϕ ( x ) = y(C) − y(T) = f ( x ) − x entre la courbe (C) et la tangente (T) pour une même abscisse x. Pour tout réel x ∈ [ 0; +∞[ , nous pouvons écrire : 1 1 + x2 + x − x − 1 x2 ϕ ' ( x ) = ( f ( x ) − x )′ = f ′ ( x ) − 1 = + x −1 = = x +1 x +1 x +1 Alors leur composée u v ( x ) = ln ( x + 1) est strictement croissante sur ]−1; +∞[ . Comme ses numérateur x 2 et dénominateur x + 1 sont positifs sur ]0; +∞[ , alors il en 1 × x 2 est strictement croissante sur l'intervalle [ 0; +∞[ . 2 1 Conclusion : comme ses termes ln ( x + 1) et × x 2 sont strictement croissants sur 2 l'intervalle [ 0; +∞[ , alors il en va de même pour leur somme f. va de même pour le quotient ϕ′ ( x ) . Donc ϕ est strictement croissante sur ]0; +∞[ . De plus, la fonction Une autre voie : on peut aussi calculer la dérivée f ′ ( x ) = positive de deux termes positifs sur l'intervalle ]0; +∞[ . 1 + x qui est une somme x +1 De plus, comme ϕ ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 = 0 − 0 = 0 , alors nous en déduisons que la fonction ϕ est strictement positive sur l'intervalle ]0; +∞[ . Conclusion : La courbe (C) est au-dessus de sa tangente (T) sur ]0; +∞[ Partie C - Une suite définie par récurrence à partir de la fonction f On considère la suite ( u n ) définie par : u 0 = 1 et pour tout entier naturel n, u n +1 = f ( u n ) Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Liban juin 2008 1°) Sur le graphique ci-dessous, construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite ( u n ) en laissant apparents les traits de construction On construit les cinq premiers termes de la suite ( u n ) en s'appuyant sur la courbe (C) et sur la droite (T), l'endroit du plan où l'abscisse de chaque point est égale à son ordonnée. y (C) 4 (T) : y = x Page 2 sur 2 Au premier rang : comme u 0 = 1 ≥ 1 , alors la propriété P0 est vraie. Le principe de récurrence : supposons que la propriété Pn soit vraie. Il vient alors : un ≥ 1 ⇒ f ( u n ) ≥ f (1) ⇒ u n +1 ≥ 1 donc Pn +1 est vraie Pr opriété Pn vraie Car f est croissante sur [ 0;+∞[ Car f (1) >1 Ainsi, si la propriété Pn est vraie, alors la propriété Pn +1 est aussi vraie. Le principe de récurrence est établi. Conclusion : pour tout entier naturel n, u n ≥ 1 3.b) Montrer que la suite ( u n ) est croissante. Soit n un entier naturel quelconque. Comme pour tout réel strictement positif x, nous avons : f (x) > x 3 Alors, en particulier pour le réel strictement positif u n (car plus grand que 1), on a : u n +1 = f ( u n ) > u n 2 Conclusion : la suite ( u n ) est strictement croissante. 3.c) Montrer que la suite ( u n ) n'est pas majorée. 1 A u0 1 u1 u 2 2 u3 3 u4 x 4 5 Procédons par l'absurde : supposons que la suite ( u n ) soit majorée. Vu que nous savons qu'elle est croissante, alors elle converge vers une limite finie . Comme : Pour tout entier naturel n, u n +1 = f ( u n ) . Tous les termes de la suite ( u n ) appartiennent à l'intervalle [1; +∞[ . La fonction f est dérivable donc continue sur [1; +∞[ . 2°) A partir du graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite ( u n ) et son comportement lorsque n tend vers +∞ ? Sur ses cinq premiers termes, la suite ( u n ) semble croissante et tendre vers +∞ . 3.a) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, un ≥ 1 Avant d'aller plus loin, précisons que comme la courbe (C) représentant f est au-dessus de la droite (T) d'équation y = x sur ]0; +∞[ , alors sur cet intervalle, nous avons : f (x) > x Démontrons par récurrence sur l'entier naturel n la propriété : Pn un ≥ 1 . Alors la limite est l'une des solutions de l'équation f ( x ) = x dans l'intervalle [1; +∞[ . Or sur l'intervalle [1; +∞[ , nous avons f ( x ) > x . Donc l'équation f ( x ) = x n'a aucune solution dans l'intervalle [1; +∞[ . Donc cette limite ne peut pas exister ! C'est le beug ! Conclusion : ce que nous avions supposé était faux : la suite ( u n ) ne peut pas être majorée. 3.d) En déduire la limite de la suite ( u n ) . D'après ce qui a été démontré et rappelé lors de la partie A, nous en déduisons que comme la suite ( u n ) est croissante et non majorée, alors elle tend vers +∞ .