Troisième exercice Liban juin 2008

Ultrabac Terminale S - Troisième exercice du sujet obligatoire Liban juin 2008 Page 1 sur 2
Partie A - Une démonstration de cours
Pré-requis : définition d'une suite tendant vers +∞
∞∞
∞.
Une suite tend vers +∞, si et seulement si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont,
à partir d'un certain rang, supérieurs à A.
Démontrer le théorème suivant : toute suite croissante non majorée tend vers
+∞
.
(
)
n
u
est une suite strictement croissante non majorée.
Soit A un réel quelconque.
Comme la suite
(
)
n
u
est non majorée, alors il existe un terme de cette suite que nous
appellerons
p
u
qui est plus grand que A.
De plus, comme la suite
(
)
n
u
est croissante, alors si
n p
>
alors
n p
u u A
> >
.
Ainsi, à partir du rang p, tous les termes de la suite
(
)
n
u
sont plus grands que A.
Conclusion : la suite strictement croissante et non majorée
(
)
n
u
tend vers
+∞
.
Partie B - Etude d'une fonction f
On considère la fonction f définie sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
par :
( ) ( )
2
1
f x ln x 1 x
2
= + + ×
On appelle (C) sa courbe représentative qui est tracée à la question C.1.
1°) Etudier le sens de variations de la fonction f sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
.
Nul besoin de dériver ici ! En effet, comme :
 La fonction
(
)
(
)
u t ln t
= est strictement croissante sur
]
[
0;
+∞
.
 La fonction affine
(
)
v x x 1
= +
est strictement croissante et positive sur
]
[
1;
− +∞
.
Alors leur composée
(
)
(
)
u v x ln x 1
= +
est strictement croissante sur
]
[
1;
− +∞
.
De plus, la fonction
2
1
x
2
×
est strictement croissante sur l'intervalle
[
[
0;
+∞
.
Conclusion : comme ses termes
(
)
ln x 1
+
et
2
1
x
2
×
sont strictement croissants sur
l'intervalle
[
[
0;
+∞
, alors il en va de même pour leur somme f.
Une autre voie : on peut aussi calculer la dérivée
( )
1
f x x
x 1
′
= +
+
qui est une somme
positive de deux termes positifs sur l'intervalle
]
[
0;
+∞
.
2°) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.
D'abord, calculons l'ordonnée
(
)
f 0
du point A de la courbe (C) d'abscisse 0.
( ) ( ) ( ) ( )
2
A A
1
y f x f 0 ln 0 1 0 ln 1 0 0 0 0
2
= = = + + × = + = + =
La tangente (T) est la droite de coefficient directeur
(
)
f 0
′
passant par le point
(
)
A 0;0
.
Calculons le nombre dérivé de f en 0.
( )
Finalement, c'était peut-être mieux de calculer la dérivée de f à la question pr
écédente...
1
f 0 0 1 0 1
0 1
′= + = + =
+
Donc l'équation réduite de la tangente (T) est de la forme
y x p
= +
. Reste à trouver p !
Comme le point
(
)
A 0;0
appartient à la droite (T), alors les coordonnées du premier
vérifient l'équation de la seconde. Ainsi :
A A
Pr évisible car l'ordonnée à l'origine de la droite (T) est celle de l'origine O
ou A.
y x p 0 0 p p 0= + ⇔ = + ⇔ =
Conclusion : l'équation réduite de la tangente (T) est
y x
=
. La droite (T) est la
première bissectrice du plan. Elle est tracée sur le graphique de la question C.1.
Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle
]
[
0;
+∞
, la courbe (C) est située
au-dessus de la droite (T).
La preuve (non demandée) de ce fait important
Calculons la dérivée de la différence d'ordonnées
(
)
(
)
(C) (T)
x y y f x x
ϕ = − = −
entre
la courbe (C) et la tangente (T) pour une même abscisse x.
Pour tout réel
[
[
x 0;
∈ +∞
, nous pouvons écrire :
( ) ( )
( )
( )
1 1
' x f x x f x 1 x 1
x 1
′′
ϕ = − = − = + − =
+
2
x x+ + x−1−
2
x
x 1 x 1
=
+ +
Comme ses numérateur
2
x
et dénominateur
x 1
+
sont positifs sur
]
[
0;
+∞
, alors il en
va de même pour le quotient
(
)
x
′
ϕ . Donc ϕ est strictement croissante sur
]
[
0;
+∞
.
De plus, comme
(
)
(
)
0 f 0 0 0 0 0
ϕ = − = − =
, alors nous en déduisons que la fonction ϕ
est strictement positive sur l'intervalle
]
[
0;
+∞
.
Conclusion : La courbe (C) est au-dessus de sa tangente (T) sur
]
[
0;
+∞
Partie C - Une suite définie par récurrence à partir de la fonction f
On considère la suite
(
)
n
u
définie par :
(
)
0 n 1 n
u 1 et pour tout entier naturel n, u f u
+
= =

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1°) Sur le graphique ci-dessous, construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes
de la suite
(
)
n
u
en laissant apparents les traits de construction
On construit les cinq premiers termes de la suite
(
)
n
u
en s'appuyant sur la courbe (C) et
sur la droite (T), l'endroit du plan où l'abscisse de chaque point est égale à son ordonnée.
2°) A partir du graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la
suite
(
)
n
u
et son comportement lorsque n tend vers
+∞
?
Sur ses cinq premiers termes, la suite
(
)
n
u
semble croissante et tendre vers
+∞
.
3.a) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n,
n
u 1
≥
Avant d'aller plus loin, précisons que comme la courbe (C) représentant f est au-dessus
de la droite (T) d'équation
y x
=
sur
]
[
0;
+∞
, alors sur cet intervalle, nous avons :
(
)
f x x
>
Démontrons par récurrence sur l'entier naturel n la propriété : n n
u 1
≥
P .
 Au premier rang : comme 0
u 1 1
= ≥
, alors la propriété
0
P
est vraie.
 Le principe de récurrence : supposons que la propriété
n
P
soit vraie. Il vient alors :
(
)
(
)
[ [
( )
n
n n n 1 n 1
Pr opriété vraie Car f 1 1
Car f est croissante sur 0;
u 1 f u f 1 u 1 donc est vraie
+ +
>
+∞
≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥
P
P
Ainsi, si la propriété
n
P
est vraie, alors la propriété
n 1
+
P
est aussi vraie. Le principe de
récurrence est établi.
Conclusion : pour tout entier naturel n,
n
u 1
≥
3.b) Montrer que la suite
(
)
n
u
est croissante.
Soit n un entier naturel quelconque.
Comme pour tout réel strictement positif x, nous avons :
(
)
f x x
>
Alors, en particulier pour le réel strictement positif
n
u
(car plus grand que 1), on a :
(
)
n 1 n n
u f u u
+
= >
Conclusion : la suite
(
)
n
u
est strictement croissante.
3.c) Montrer que la suite
(
)
n
u
n'est pas majorée.
Procédons par l'absurde : supposons que la suite
(
)
n
u
soit majorée.
Vu que nous savons qu'elle est croissante, alors elle converge vers une limite finie .
Comme :
 Pour tout entier naturel n,
(
)
n 1 n
u f u
+
=.
 Tous les termes de la suite
(
)
n
u
appartiennent à l'intervalle
[
[
1;
+∞
.
 La fonction f est dérivable donc continue sur
[
[
1;
+∞
.
Alors la limite  est l'une des solutions de l'équation
(
)
f x x
=
dans l'intervalle
[
[
1;
+∞
.
Or sur l'intervalle
[
[
1;
+∞
, nous avons
(
)
f x x
>
.
Donc l'équation
(
)
f x x
=
n'a aucune solution dans l'intervalle
[
[
1;
+∞
. Donc cette
limite  ne peut pas exister ! C'est le beug !
Conclusion : ce que nous avions supposé était faux : la suite
(
)
n
u
ne peut pas être
majorée.
3.d) En déduire la limite de la suite
(
)
n
u
.
D'après ce qui a été démontré et rappelé lors de la partie A, nous en déduisons que
comme la suite
(
)
n
u
est croissante et non majorée, alors elle tend vers
+∞
.
(C)
(T) : y x
=
0
u
1
u
2
u
3
u
4
u
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
A