loi normale, échantillonnage, prise de décision, estimation
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LOI NORMALE, ÉCHANTILLONNAGE, PRISE DE DÉCISION, ESTIMATION I. Loi normale : 1°) Définition : La loi normale est une loi à densité. La courbe représentative de la fonction densité de la loi normale est en forme de cloche. Lorsqu'une variable aléatoire suit une loi normale de paramètres et , beaucoup de valeurs prises par la V.A. se situent autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne, et ceci de façon symétrique. Notation : Une loi normale de paramètres et est notée n( ; ). 2°) Calculs de probabilité : Définition : La probabilité que la variable aléatoire soit comprise entre deux valeurs et est égale à l'aire sous la courbe entre les droites d'équation x = et x = . Cette probabilité est notée, P( X ) = P([ ; ]). Remarque : La probabilité que la variable aléatoire soit égale à une valeur particulière correspond à l'aire sous la courbe entre les droites d'équation x = et x = . Elle est donc nulle : P(X = ) = 0. Conséquence : P( X ) = P( < X ) = P( X < ) = P( < X < ) = P([ ; ]) = P(] ; ]) = P([ ; [) = P(] ; [) Utilisation de la calculatrice : Pour calculer des probabilités, nous utiliserons la calculatrice. Pour la TI 82, il faut aller dans le menu « distrib » (2nde var) puis prendre la deuxième fonction : « 2 : normalFRép( » pour les versions en français, ou « 2 : normalcdf( » Cette fonction nécessite 4 arguments : si l'on veut calculer P([ ; ]) pour une variable aléatoire suivant la loi normale n( ; ) il faut saisir : normalFRép(,,,). Exemple : Une expérience aléatoire consiste à choisir un individu au hasard dans la population et à regarder son Quotient Intellectuel. Les tests de QI sont étalonnés pour suivre une loi normale n(100 ; 15). Dans ces conditions, la probabilité que l'individu ait un QI compris entre 80 et 120 est de P([80 ; 120]) ≈ 81,8 %. On a tapé à la calculatrice normalFRép(80,120,100,15). Si l'on veut connaître la probabilité que le QI soit supérieur à 130, on tape normalFRép(130,1E99,100,15). On demande en fait la probabilité que le QI soit compris entre 130 et 10 99. On trouve P(X>130) ≈ 2,28 %. Si l'on veut connaître la probabilité que le QI soit inférieur à 90, on tape normalFRép(-1E99,90,100,15). On demande en fait la probabilité que le QI soit compris entre –1099 et 90. On trouve P(X<90) ≈ 25,25 %. II. Propriétés de la loi normale : 1°) Espérance et écart type : Propriété : La droite d'équation x = est l'axe de symétrie de la courbe. En faisant varier , on fait donc se déplacer la courbe vers la droite ou vers la gauche : Propriété : Nous savons que plus l'écart type est petit, plus les valeurs de la variable aléatoire sont regroupées autour de l'espérance , et plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées. a donc une influence sur l'évasement de la courbe. 2°) Valeur à retenir : Propriété : Quelles que soient les valeurs de l'espérance et de l'écart type , on a toujours : ● P([ – 2 ; + 2]) = 0,95 Remarque : Cela illustre très bien ce que nous disions dans la définition, à savoir que beaucoup de valeurs prises par la V.A. se situent autour de la moyenne, de moins en moins au fur à mesure qu’on s’en éloigne. Exemple : Reprenons l'exemple du quotient intellectuel. On rappelle qu'il suit n(100 ; 15). D'après la propriété précédente, 95 % de la population a un Q.I. dans [70 ; 130]. III. Échantillonnage, prise de décision, intervalle de fluctuation : 1°) Échantillonnage : Définitions : Lorsqu'on étudie une partie de la population, on dit qu'on étudie un échantillon. Le nombre d'individus formant l'échantillon est appelé taille de l'échantillon. Nous le noterons n. Notations : On note p la probabilité associée au caractère étudié sur une population (ou la proportion de ce caractère dans la population). On note f la fréquence observée du caractère sur l'échantillon de taille n. 2°) Intervalle de fluctuation : La fréquence f observée du caractère varie d'un échantillon à l'autre. On se rend bien compte toutefois qu'il existe un lien entre la fréquence observée sur un échantillon et la proportion p de ce caractère sur l'ensemble de la population dont est issu l'échantillon. Exemple : Le caractère étudié est le fait de mesurer plus de 1,5m. Deux populations sont disponibles : 1. les élèves de cinquième du collège « Les Jasmins » dont la proportion d'élèves mesurant plus de 1,5m est de 18 % ; 2. les élèves de seconde du lycée « A. de Tocqueville » dont la proportion d'élèves mesurant plus de 1,5m est de 95 % ; Si on prélève un échantillon dans chacune de ces deux populations, on imagine sans mal que la fréquence des élèves mesurant plus de 1,5m sera bien plus élevée dans l'échantillon issu des élèves de seconde que dans celui issu des élèves de cinquième. Remarque : Plus la taille n de l'échantillon est grande, plus f se rapproche de p. Propriété : Quand on prélève un échantillon de taille n dans une population qui contient une proportion p du 1 1 caractère étudié, alors la fréquence f du caractère dans l'échantillon appartient à l'intervalle p− ; p+ √n √n avec une probabilité de 95 %. [ ] Définition : Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Remarques : Plus la taille de l'échantillon est grande, plus l'amplitude de l'intervalle de fluctuation est petite. 3°) Prise de décision : Dans cette partie, on connaît la proportion p dans la population et la fréquence f dans un échantillon et on se demande si l'échantillon peut provenir de la population. Propriété : [ ] 1 1 ; p+ , on rejette l'hypothèse que l'échantillon provient de la √n √n population au seuil de 95 %, sinon on ne la rejette pas. Si f n'appartient pas à l'intervalle p− IV. Estimation : 1°) Intervalle de confiance : Dans cette partie, on veut estimer la proportion dans la population connaissant la fréquence dans l'échantillon (c'est le principe des sondages). Propriété : Quand un échantillon de taille n contient une proportion f du caractère étudié, alors la proportion p du 1 1 caractère dans la population appartient à l'intervalle f − ; f + avec une probabilité de 95 %. √n √n [ Définition : Cette intervalle s'appelle l'intervalle de confiance à 95 %. ]
