cours de mathématiques 1A MC "calcul matriciel"

1
1
ère
Année
Matériaux et Chimie
2015-2016
École Nationale Supérieure
d’Ingénieurs de Caen
Mathématiques pour l’ingénieur
1M1AB1

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5.1.2
Écritures matricielle et vectorielle
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I.1.3
Déterminant d’une matrice . . . .
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I.1.4
Inverse d’une matrice . . . . . . .
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I.2
Spectre d’une matrice n × n ; vecteurs propres .
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I.2.1 Polynôme caractéristique . . . . . . . .
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I.2.2 Vecteurs propres, valeurs propres et diagonalisation . . . . . . . . . .
I.2.3
Fonctions propres . . . .
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I.3 Matri
es particulières . . . . . .
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I.3.1
Définitions et pr opriétés
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I.3.2
Cas des matrices 2 × 2 .
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I.3.3
Matrice de Pauli . . . .
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I.4 Exponentielles de matrices et groupe des rotations . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.1
Exponentielles de matrices . .
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I.4.2
Rotations dans l’espace R3 . .
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I.4.3
Rotations et matrices de Pauli .
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I.5 Applications en physique milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.1
Déformations linéaires . . . . . . . .
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I.5.2
Contraintes . . . . . . . . . . . . . .
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Table des matières
I
Calcul matriciel 3
I.1 Bases du calcul matriciel 3
I.1.1 Addition et multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c

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Chapitre 2
Calcul matriciel
Les matrices sont utilisées pour de multiples applications et servent
notamment à
représenter les coefficients des systèmes d’équations linéaires ou à représenter les
applications linéaires (ex. matrice d’un opérateur en mécanique quantique).
Définition
Soient deux K-ev E et F et une application linéaire f de E dans F. f : E F.
Soient B
,  , ... une base de E et B' ,  , ... une base de F.
Soit  un vecteur de E, il s’écrit dans la base B :
Appelons  son image dans F, par l’application f.  s’écrit dans la base B’
Les deux vecteurs 
et  s’expriment donc, dans les bases respectives B et B’ sous la forme
suivante :
Les images des vecteurs de la base B de E, s’expriment de même dans B’ :

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Ou
Les composantes des images des vecteurs de la base B dans la base B’ constituent les colonnes de
la matrice A :
les composantes du vecteur  de F, image de  par f s’obtiennent alors grâce au produit :

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Exemple :
Soit f une application linéaire définie par les images des vecteurs d’une base de l’espace R2 :
La matrice associée à cette application linéaire est définie par :
Le vecteur courant de l’espace s’écrit :  . L’image de ce vecteur est
Matrice identité
Dans 3, la matrice identité est :