COMPLEMENTS D`ALGEBRE LINEAIRE

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PC Carnot
2016/2017 
I)- Soit E un -espace vectoriel. Soient p1n des endomorphismes de E vérifiant les relations :
pi o pj = 0L(E)  et 
 .
Montrer que   
. Interpréter géométriquement les pi.
II)- Soit E un K-ev de dimension finie n. Soit fL(E). On pose f0=idE et fof=f2, fp=fofp-1 pN*.
a) Montrer que pour tout entier naturel p : Ker(fp)  Ker(fp+1) et Im(fp)  Im(fp+1).
b) 0N tel que pN p<p0 Im(fp)Im(fp+1) et p>=p0 : Im(fp)=Im(fp+1).
c) Montrer: pN p<p0 Ker(fp)Ker(fp0) et p>=p0 : Ker(fp)=Ker(fp0).
d) Montrer que p0<=n et Ker (fp0)Im(fp0)=E.
III)-Soit uL(E). On pose u0=id, uou=u2, uouou=u3,....etc. Calculer pour pN : (id-u)o
p
0k
k
u
. En
déduire que si u est nilpotent alors id-
IV)- (f,g)L(E)xL(E). On suppose que f est un projecteur et que gof = 0.
Montrer que         
Montrer que gof = 0.  Im (f)  Ker(g) puis montrer que Im(f+g)=Im(f)+Im(g).
V)- (f,g)L(E)xL(E). On suppose que f² = f (f est idempotent). Montrer que gof = fog si et seulement si
Ker (f) et Im(f) sont stables par g.
VI)- Soit E un K-ev et uL(E). Montrer que Ker(u)=Ker(u2)  Ker(u)Im(u)={0}, puis que
Im(u)=Im(u2)  E=Ker(u)+Im(u).
VII)- Soit  une forme linéaire sur Mn(K).
 Mn(K) telle que XMn(K) : (X) = tr(FX).
b) On suppose que  ( Mn(K))* vérifie (X,Y)( Mn(K))² : (XY)=
K tel que pour toute matrice carrée de taille n et coefficients dans K on ait : (X)=tr(X).
VIII)- Soit E= {f C0([0,1] ;R) et
1
0dt)t(f
=0}. Montrer que E est un espace vectoriel réel. Soit f E, on
pose F(f)(x)=
 1
0
x
0dt)t(tfdt)t(f
pour x[0,1]. Montrer que F est un endomorphisme de E, que
F(f)(0)=F(f)(1) et que F est injective. F est-elle surjective ?
IX) Soient les polynômes P1(X) = X2+X , P2(X) = X +1 , P3(X) = X2 +1 de E = IR2[X] .
a ) Démontrer que la famille ( P1(X), P2(X) P3(X)) est une base B de E .
de E dans E définie par :
(P1(X)) = 2X2+X+1 , ( P2(X)) =  X2 +3X+2 , ( P3(X)) = 2X+3 .
Quelle est la matrice de dans la base B ?
c) Quelle est la matrice de dans la base canonique de E : ( 1, X , X2 ) ?
X) Soit E un espace vectoriel sur IR 
f2  7 f + 12 IdE = 0 ( f2 = f o f , IdE 

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a) Déterminer les homothéties de A.( homothétie = k Id )
b) Soit f A, montrer que p = f  3IdE est un projecteur .( projecteur= tel que o = )
c) Déterminer IR* , tel que q = ( f  4IdE ) soit un projecteur . Que peut-on dire de poq ?
de qop ? de p+q?
d) Montrer que E = Ker( f  3IdE ) Ker ( f  4IdE ) .
e) Déterminer f puis f n en fonction de p et q .
XI) Soient f L(E) et g L(E). Démontrer les équivalences
a) Ker f = Ker(g of) . Im f Ker g = { 0 }.
b) Im g = Im(g of) Im f + Ker g = E
XII) o q = q o p .
a) Montrer que p o q est un projecteur ,
b) Montrer que Im p o q = Imp Imq et que Ker p o q = Ker p + Ker q .
XIII). Soit f L(IRn) telle que f o f = 0 . Comparer Kerf et Imf .
a) A quelle condition a-t-on Kerf = Imf ? Donner une CNS pour que Kerf = Imf .
b) Montrer que pour un tel endomorphisme il existe une base B de IRn telle que sa matrice par rapport à
cette base soit de la forme MB(f) =
0
0 0
I
.
XIV) Soit E , ev de dim n et f L(E) telle que f n = 0 et f n1 0 .
E tel que (x, f(x) , ..., f n-1(x) ) soit libre. En déduire le rang de f.
b) On pose Cf = { g L(E) / f o g = g o f } . Montrer que Cf est un ev et en donner une base .
a) 0n) Kn+1 un
n+1- :
n+1
0n
f : K[X] K
P P(a ),.......,P(a )
est linéaire. Déterminer son noyau.
b) Vérifier que Kn[X] est un supplémentaire de Ker(f) dans K[X]. En déduire que f est surjective.
c)  : étant donné un n+1-uplet (0 ,n)Kn+1 il existe
un unique polynôme PKn[X] tel que pour tout entier i entre 0 et n on ait P(ai)=i. 
pose
n
j
j0
ji
in
ij
j0
ji
(X a )
L(a a )
alors P =
n
ii
i0 L
.
XVI° (a,b,c,d)K4. Calculer les déterminants:
cddc1
adda1
cbbc1
abba1
'D ,
dcba
ccba
bbba
aaaa
D

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XVII) Soit (a,b)K², nN et n :
a
.b
b.
a
.
XVIII) Soient A,B,C et D quatre K-N*. On leur associe la matrice M=
DC
BA
M=det(AD-BC). Le résultat demeure-t-il lorsque CDDC ?
XIX) Soit E un K-ev. Soit E* 
sev admettant un supplémentaire de dimension1.
a) Montrer que Ker  est un hyperplan de E.
c) Soit  une forme linéaire non nulle sur E et E*. Montrer que Ker  =Ker  
existe un scalaire  non nul tel que  = .
d) Montrer que tout hyperplan ddimension finie admet une équation du type :
n
1i ii xa
=0.
XX)- Soit nN, n 2. Rn
PRn[X], on pose u(P)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X).
a) Montrer que uL(Rn[X]).
b) Déterminer Im(u), Ker(u) et rg(u).
c) Soit QPRn
XXI)- Soit E un R- : u²+idE=0L(E) 
a) E, x0, montrer que les vecteurs x et u(x) sont
linéairement indépendants.
b) Conclure en complétant la famille libre (x,u(x)) en une base de E.
XXII)- Soit E un K-ev de dimension finie, qN* et uL(E). On suppose que uq=idE. On pose v=
1q
0i
i
u
q
1
.
Montrer que E1 =Ker(u-id)=Im(v) puis en déduire que dim(E1)=
1q
0i
i)u(tr
q
1
.
XXIII)- Soit E un espace vectoriel sur le corps K et fK[X] admettant 0
comme racine simple et tel que P(f)=0L(E). Il existe donc QK[X] tel que P(X)=XQ(X) et Q(0)0.
Montrer :
a) Im(f)=Ker Q(f)
b) E=Ker(f)  Im(f).
XXIV)-Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n. Soit u un endomorphisme de E vérifiant
un=0L(E) et un-10L(E).
n-1(x)) constitue une base
de E.
b) Déterminer la matrice de u dans la base précédente.

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sorte que u soit représenté matriciellement par
000
000
100
ou bien par
000
000
010
.
XXV)- Soit E un espace vectoriel, (f,g)L(E)². Montrer que (i)  (ii)  (iii).
(i) fog GL(E).
(iii) f est surjective, g est injective, Im(gof)=Im(gofogof) et Ker(gof)=Ker(gofogof).
XXVI)- Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels. G est de dimension finie. On se donne g L(E,G) et f
 :
(i) h L(G,F) tel que f=hog
(ii) Ker(g) Ker(f).
XXVII)- Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E. On suppose
rs.
XXVIII)- 
  où B est
une matrice carrée inversible.
XXIX)-  * 
n-nn-A)-1 appelée résolvante de
A.
b) n---
n--
XXX)- *. Pour tous U et V dans Mn-VU appelé commutateur de U et V.
n
n
b.2) En déduire que A est un commutateur.
c) Montrer que la somme de deux commutateurs est un commutateur.
XXXI)- Soit  et  deux endomorphismes dun espace vectoriel  de dimension finie  En appliquant
le théorème du rang à la restriction de  à , montrer que
a)      
b)      