COMPLEMENTS D`ALGEBRE LINEAIRE

1
PC Carnot
2016/2017
COMPLEMENTS D’ALGEBRE LINEAIRE
I)- Soit E un 𝕂-espace vectoriel. Soient p1,…..pn des endomorphismes de E vérifiant les relations :
pi o pj = 0L(E) si i≠j et ∑ni=1 pi = IdE .
Montrer que E = ⨁ni=1 Im pi . Interpréter géométriquement les pi.
II)- Soit E un K-ev de dimension finie n. Soit fL(E). On pose f0=idE et fof=f2, fp=fofp-1 pN*.
a) Montrer que pour tout entier naturel p : Ker(fp)  Ker(fp+1) et Im(fp)  Im(fp+1).
b) Montrer qu’il existe p0N tel que pN p<p0 Im(fp)Im(fp+1) et p>=p0 : Im(fp)=Im(fp+1).
c) Montrer: pN p<p0 Ker(fp)Ker(fp0) et p>=p0 : Ker(fp)=Ker(fp0).
d) Montrer que p0<=n et Ker (fp0)Im(fp0)=E.
p
III)-Soit uL(E). On pose u0=id, uou=u2, uouou=u3,....etc. Calculer pour pN : (id-u)o  u k . En
k 0
déduire que si u est nilpotent alors id-u est un automorphisme de E dont on précisera l’inverse.
IV)- (f,g)L(E)xL(E). On suppose que f est un projecteur et que gof = 0.
Montrer que 𝑔 ∘ 𝑓 = 0 ⇔ Im 𝑓 ⊂ ker 𝑔.
Montrer que gof = 0.  Im (f)  Ker(g) puis montrer que Im(f+g)=Im(f)+Im(g).
V)- (f,g)L(E)xL(E). On suppose que f² = f (f est idempotent). Montrer que gof = fog si et seulement si
Ker (f) et Im(f) sont stables par g.
VI)- Soit E un K-ev et uL(E). Montrer que Ker(u)=Ker(u2)  Ker(u)Im(u)={0}, puis que
Im(u)=Im(u2)  E=Ker(u)+Im(u).
VII)- Soit  une forme linéaire sur Mn(K).
a) Montrer qu’il existe une unique matrice F  Mn(K) telle que XMn(K) : (X) = tr(FX).
b) On suppose que  ( Mn(K))* vérifie (X,Y)( Mn(K))² : (XY)=(YX). Montrer qu’il existe
K tel que pour toute matrice carrée de taille n et coefficients dans K on ait : (X)=tr(X).
1
VIII)- Soit E= {f C0([0,1] ;R) et  f ( t )dt =0}. Montrer que E est un espace vectoriel réel. Soit f E, on
0
x
1
0
0
pose F(f)(x)=  f ( t )dt   tf ( t )dt pour x[0,1]. Montrer que F est un endomorphisme de E, que
F(f)(0)=F(f)(1) et que F est injective. F est-elle surjective ?
IX) Soient les polynômes P1(X) = X2+X , P2(X) = X +1 , P3(X) = X2 +1 de E = IR2[X] .
a ) Démontrer que la famille ( P1(X), P2(X) P3(X)) est une base B de E .
b) On considère l’application linéaire  de E dans E définie par :
(P1(X)) = 2X2+X+1 , ( P2(X)) = – X2 +3X+2 , ( P3(X)) = 2X+3 .
Quelle est la matrice de  dans la base B ?
c) Quelle est la matrice de  dans la base canonique de E : ( 1, X , X2 ) ?
X) Soit E un espace vectoriel sur IR et A l’ensemble des endomorphismes f de E tels que
f2 – 7 f + 12 IdE = 0 ( f2 = f o f , IdE est l’identité de E et 0 l’application nulle ).
2
a) Déterminer les homothéties de A.( homothétie = k Id)
b) Soit f  A, montrer que p = f – 3IdE est un projecteur .( projecteur=  tel que  o = )
c) Déterminer   IR* , tel que q =  ( f – 4IdE ) soit un projecteur . Que peut-on dire de poq ?
de qop ? de p+q?
d) Montrer que E = Ker( f – 3IdE )  Ker ( f – 4IdE ) .
e) Déterminer f puis f n en fonction de p et q .
XI) Soient f  L(E) et g  L(E). Démontrer les équivalences
a) Ker f = Ker(g of) . Im f  Ker g = { 0 }.
b) Im g = Im(g of)  Im f + Ker g = E
XII) Soient p et q, 2 projecteurs de l’ev E tels que p o q = q o p .
a) Montrer que p o q est un projecteur ,
b) Montrer que Im p o q = Imp  Imq et que Ker p o q = Ker p + Ker q .
XIII). Soit f  L(IRn) telle que f o f = 0 . Comparer Kerf et Imf .
a) A quelle condition a-t-on Kerf = Imf ? Donner une CNS pour que Kerf = Imf .
b) Montrer que pour un tel endomorphisme il existe une base B de IRn telle que sa matrice par rapport à
 0 I
cette base soit de la forme MB(f) = 
.
 0 0
XIV) Soit E , ev de dim n et f  L(E) telle que f n = 0 et f n–1  0 .
a) Montrer qu’il existe x  E tel que (x, f(x) , ..., f n-1(x) ) soit libre. En déduire le rang de f.
b) On pose Cf = { g L(E) / f o g = g o f } . Montrer que Cf est un ev et en donner une base .
XV) Polynômes d’interpolation de Lagrange.
a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 et soit K l’un des corps R ou C. Soit (a 0,……,an) Kn+1 un
n+1-uplet dont les éléments sont deux à deux distincts. Montrer que l’application :
f : K[X]  K n+1
est linéaire. Déterminer son noyau.
P
 P(a 0 ),......., P(a n ) 
b) Vérifier que Kn[X] est un supplémentaire de Ker(f) dans K[X]. En déduire que f est surjective.
c) Résoudre le problème d’interpolation suivant : étant donné un n+1-uplet (0,……. ,n)Kn+1 il existe
un unique polynôme PKn[X] tel que pour tout entier i entre 0 et n on ait P(ai)=i. Vérifier que si l’on
n
 (X  a )
j
pose Li 
j 0
j i
n
 (a
n
alors P =
i
 a j)
 L
i 0
i
i
.
j 0
j i
a
a
XVI° (a,b,c,d)K4. Calculer les déterminants: D 
a
a
a
b
b
b
a
b
c
c
a
1
b
1
, D' 
c
1
d
1
a
c
a
c
b
b
d
d
ab
cb
ad
cd
3
a
XVII) Soit (a,b)K², nN et n2. Calculer le déterminant d’ordre n :
. b
b .
.
a
XVIII) Soient A,B,C et D quatre K-matrices carrées d’ordre n N*. On leur associe la matrice M=
A B

 d’ordre 2n. On supposera D ou C inversible. Montrer que si C et D commutent alors det
 C D
M=det(AD-BC). Le résultat demeure-t-il lorsque CDDC ?
XIX) Soit E un K-ev. Soit E* une forme linéaire non nulle. On rappelle qu’un hyperplan de E est un
sev admettant un supplémentaire de dimension1.
a) Montrer que Ker  est un hyperplan de E.
b) Montrer que tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
c) Soit  une forme linéaire non nulle sur E et E*. Montrer que Ker  =Ker  si et seulement s’il
existe un scalaire  non nul tel que  = .
d) Montrer que tout hyperplan d’un espace vectoriel de dimension finie admet une équation du type :
n
 a i x i =0.
i 1
XX)- Soit nN, n ≥ 2. Rn[X] désigne l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
PRn[X], on pose u(P)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X).
a) Montrer que uL(Rn[X]).
b) Déterminer Im(u), Ker(u) et rg(u).
c) Soit QIm(u). Montrer qu’il existe un unique PRn[X] tel que u(P)=Q et P(0)=P’(0)=0.
XXI)- Soit E un R-ev de dimension 3. On étudie l’équation : u²+idE=0L(E) d’inconnue u dans L(E).
a) Supposons qu’il existe une solution u. Soit xE, x0, montrer que les vecteurs x et u(x) sont
linéairement indépendants.
b) Conclure en complétant la famille libre (x,u(x)) en une base de E.
XXII)- Soit E un K-ev de dimension finie, qN* et uL(E). On suppose que uq=idE. On pose v=
Montrer que E1 =Ker(u-id)=Im(v) puis en déduire que dim(E1)=
1 q 1 i
u .
q i 0
1 q 1
i
 tr (u ) .
q i 0
XXIII)- Soit E un espace vectoriel sur le corps K et fL(E). On suppose qu’il existe PK[X] admettant 0
comme racine simple et tel que P(f)=0L(E). Il existe donc QK[X] tel que P(X)=XQ(X) et Q(0)0.
Montrer :
a) Im(f)=Ker Q(f)
b) E=Ker(f)  Im(f).
XXIV)-Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n. Soit u un endomorphisme de E vérifiant
un=0L(E) et un-10L(E).
a) Montrer qu’il existe un vecteur x de E tel que la famille (x,u(x),u²(x),……,u n-1(x)) constitue une base
de E.
b) Déterminer la matrice de u dans la base précédente.
4
c) On suppose ici que n=3, u²=0 et u est non nul. Montrer qu’on peut trouver des bases de E de telle
0 0 1
 0 1 0




sorte que u soit représenté matriciellement par  0 0 0  ou bien par  0 0 0  .
 0 0 0
 0 0 0




XXV)- Soit E un espace vectoriel, (f,g)L(E)². Montrer que (i)  (ii)  (iii).
(i) fog GL(E).
(ii) f est surjective, g est injective et E est somme directe du noyau de f et de l’image de g.
(iii) f est surjective, g est injective, Im(gof)=Im(gofogof) et Ker(gof)=Ker(gofogof).
XXVI)- Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels. G est de dimension finie. On se donne g  L(E,G) et f 
L(E,F). Montrer l’équivalence des deux propositions suivantes :
(i)  h  L(G,F) tel que f=hog
(ii) Ker(g)  Ker(f).
XXVII)- Soient E un espace vectoriel de dimension finie, f et g deux endomorphismes de E. On suppose
que f+g=id et rg(f)+rg(g)≤dim(E). Montrer que f et g sont des projecteurs.
XXVIII)- Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que rg(f)=rg(f²)
𝐵 0
si et seulement s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est de la forme (
) où B est
0 0
une matrice carrée inversible.
XXIX)- Soit n∈ ℕ* et A une matrice carrée n× n à coefficients dans ℂ . On pose
D(A)={λ ∈ ℂ | λ In-A ∈ GLn(ℂ )}. On définit pour tout λ ∈ D(A) R(λ ,A)=(λ In-A)-1 appelée résolvante de
A.
a) Montrer que D(A) est le complémentaire d’une partie finie de ℂ.
b) ∀ A∈ Mn(ℂ ) , ∀ (λ , μ )∈ D(A)² , R(λ ,A)-R(μ,A)=-(λ-μ)R(λ, A)R(μ,A).
c) ∀ (A,B)∈ (Mn(ℂ ))² , ∀ λ∈ D(A)∩ D(B) , R(λ ,A)-R(λ ,B)=R(λ, A)(A-B)R(λ ,B).
XXX)- Soit n∈ ℕ*. Pour tous U et V dans Mn(ℂ ) on pose [U,V]=UV-VU appelé commutateur de U et V.
a) ∀ (U,V)∈ (Mn(ℂ ))², tr([U,V])=0.
b) Soit A∈ Mn(ℂ ), de trace nulle.
b.1) Montrer qu’il existe une matrice A’ semblable à A dont le terme (1,1) est nul.
b.2) En déduire que A est un commutateur.
c) Montrer que la somme de deux commutateurs est un commutateur.
XXXI)- Soit 𝑓 et 𝑔 deux endomorphismes d’un espace vectoriel 𝐸 de dimension finie 𝑛. En appliquant
le théorème du rang à la restriction de 𝑓 à 𝐼𝑚(𝑔), montrer que
a) 𝑟𝑔(𝑓) + 𝑟𝑔(𝑔) − 𝑛 ≤ 𝑟𝑔(𝑓 ∘ 𝑔 ).
b) dim ker(𝑓 ∘ 𝑔) ≤ dim ker 𝑓 + dim ker 𝑔 .