DM de MPSI2
Devoir non surveill´e
Probl`eme – D’apr`es E3A PSI 2007
Dans tout le probl`eme, nest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2 et Mn(C) d´esigne l’espace vectoriel des
matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients complexes.
GLn(C) est le groupe des matrices inversibles de Mn(C). La matrice unit´e de cet espace sera not´ee Inet la
matrice nulle 0n.
On note (e1, . . . , en) la base canonique de E=Cn.
Si vest un endomorphisme de E, on rappelle que :
v0est l’endomorphisme unit´e (i.e. v0= Id E).
mN, vm+1 =vvm.
L’endomorphisme vsera dit nilpotent s’il existe un entier rNtel que vr= 0 (endomorphisme nul de E).
On d´efinit de mˆeme une matrice nilpotente.
On note Jla matrice carr´ee d’ordre ndont tous les coefficients sont nuls, sauf ceux en position (i, i + 1), qui
valent 1 (i[[1, n 1]]).
´
Etant donn´e une matrice nilpotente N, on appelle exponentielle de Net on note exp(N) la matrice X
k>0
Nk
k!.
Partie A – Quelques propri´et´es de J
A.1 D´eterminer le rang de J.
A.2
aD´eterminer Jkpour kN.
bV´erifier que toutes les puissances de J– sauf celle d’exposant 0 – sont nilpotentes.
A.3 Calculer exp(J).
A.4
aMontrer que toute combinaison lin´eaire de deux matrices nilpotentes qui commutent est encore une
matrice nilpotente.
bG´en´eraliser (rapidement) ce dernier r´esultat.
cDonner un exemple de deux matrices nilpotentes de taille 2 dont la somme n’est pas nilpotente.
A.5 Montrer que exp(J)Inest une matrice nilpotente de rang n1.
Partie B – Quelques r´esultats sur les noyaux it´er´es d’un endomorphisme
Soit uun endomorphisme de E.
B.1 Prouver que pour tous entiers naturels iet j, Ker(ui)Ker(ui+j).
B.2 Pour tout mN, on note tm= dim(Ker(um)). Prouver l’existence de
r= inf{mN, tm=tm+1}.
B.3 Montrer que :
aPour tout entier naturel m, tel que m<r, Ker(um) est strictement inclus dans Ker(um+1).
bKer(ur) = Ker(ur+1).
cPour tout entier m>r, Ker(um) = Ker(um+1).
Partie C – Recherche des endomorphismes nilpotents de rang n1
Soit Vune matrice de Mn(C) de rang n1 et v´erifiant Vn= 0n. On note vl’endomorphisme de E
canoniquement associ´e `a V.
C.1 Soient pet qdeux entiers naturels et wla restriction de vq`a =(vp).
aD´eterminer =(w).
bProuver que Ker(w)Ker(vq).
cV´erifier alors que l’on a
dim(Ker(vp+q)) 6dim(Ker(vp)) + dim(Ker(vq)).
dEn d´eduire que pour tout i[[1, n]], dim(Ker(vi)) 6i.
eD´emontrer qu’en fait dim(Ker(vi)) = i, pour tout i[[1, n]].
C.2 Prouver alors que vn16= 0.
C.3 En d´eduire qu’il existe un vecteur ede Etel que
B1= (vn1(e), . . . , v(e), e)
soit une base de E.
C.4 ´
Ecrire la matrice de vdans cette base.
C.5 Montrer que si uet vsont deux endomorphismes nilpotents de Cnde rang n1, Bet Csont des bases
de Cn, alors MB(u) et MC(v) sont semblables.
Partie D – Exponentielles des matrices nilpotentes en basse dimension
On dit qu’une matrice M∈ Mn(C) est unipotente si MInest nilpotente.
D.1 Montrer que l’exponentielle d’une matrice nilpotente est unipotente.
D.2 Soit N∈ Mn(C) une matrice nilpotente et PGLn(C). Montrer que P1N P est nilpotente, et que
exp(P1NP ) = P1exp(N)P.
D.3 Soit M∈ M2(C). Montrer que Mest unipotente si et seulement si elle est l’exponentielle d’une matrice
nilpotente.
Indication : discuter selon le rang de la matrice nilpotente MI2.
D.4 On se place d´esormais dans M3(C).
aMontrer que si N∈ M3(C) est nilpotente, alors N3= 0.
bSoit V∈ M3(C) une matrice unipotente, U=VI3,W=UU2/2. Montrer que West une matrice
nilpotente d’exponentielle V.
cMontrer que M∈ M3(C) est unipotente si et seulement si elle est l’exponentielle d’une matrice
nilpotente.
1 / 2 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !