Partie A 1. L`algorithme no 1 calcule tous les termes de v1 à vn à

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C ORRIGÉ E XERCICE 1
(barème sur 10 points)
Partie A
1. L’algorithme no 1 calcule tous les termes de v 1 à v n à partir de v 0 mais n’affiche que le dernier v n
car l’affichage est à l’extérieur de la boucle. Cet algorithme ne convient pas.
L’algorithme no 2 affiche v 0 et calcule v 1 n fois de suite à chaque passage dans la boucle : il n’affiche pas tous les termes de 0 à v n . Cet algorithme ne convient pas.
L’algorithme no 3 est donc celui qui convient. En effet, ilaffiche v 0 , calcule v 1 et l’affiche, il fait de
meme jusqu’à v n−1 puis il calcule v n lors du dernier passage dans la boucle et l’affiche à la sortie
de la boucle. Il affiche donc bien tous les termes de v 0 à v n . (1,5 points)
2. D’après la représentation des cinq premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses, il semble
que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3 (abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite). (1 point pour la construction et 0,5 point pour les conjectures)
3. a. Montrons par récurrence que la propriété P n : 0 < v n < 3 est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie.
Hérédité : Supposons que pour un entier naturel n, P n est vraie et montrons alors que P n+1
est vraie.
Par hypothèse de récurrence, on a : 0 < v n < 3.
On multiplie par (-1) qui est strictement négatif, donc :
−3 < −v n < 0.
On ajoute 6, donc
6 − 3 < 6 − v n < 6 c’est à dire 3 < −v n < 6.
Par stricte décroissance de la fonction inverse, les inverses de ces nombres strictement positifs
sont rangés dans l’ordre contraire :
1
1
1
< .
<
6 6 − vn 3
Enfin on multiplie par 9 (9>0) :
1
1
1
3
9
9× < 9×
< 9 × , soit <
< 3.
6
6 − vn
3
2 6 − vn
9
3
Or 0 < et v n+1 =
2
6 − vn
Donc : 0 < v n+1 < 3 et la propriété est bien héréditaire.
Conclusion : Par le principe de récurrence, on a démontré que la propriété P n : 0 < v n < 3 est
vraie pour tout entier naturel n. (2 points)
9
9 − v n (6 − v n ) 9 − 6v n + v n2 (v n − 3)2
− vn =
=
=
.
6 − vn
6 − vn
6 − vn
6 − vn
Or, d’après la question précédente, pour tout entier naturel n, 0 < v n < 3, d’où
b. Pour tout entier naturel n, v n+1 − v n =
• v n − 3 > 0, donc (v n − 3)2 > 0
• v n < 3 < 6, donc 6 − v n > 0,
(v n − 3)2
> 0, ainsi pour tout entier naturel n, v n+1 > v n .
donc v n+1 − v n =
6 − vn
La suite (v n ) est strictement croissante. (1,5 points)
1
Partie B
1. Méthode : on montre que la différence de deux termes consécutifs quelconques est égale à −
ou on montre que w n+1 et w n −
1
sont égaux.
3
Pour tout entier naturel n,
1
1
w n+1 − w n =
−
=
v n+1 − 3 v n − 3
1
vn − 3
=− .
−
3 (v n − 3)
3
1
9
6−v n
−
−3
1
6 − vn
1
6 − vn − 3
−v n + 3
=
−
=
=
=
vn − 3
3v n − 9 v n − 3
3v n − 9
3v n − 9
1
Ainsi la suite (w n ) est arithmétique de raison r = − .(1,5 points)
3
1
1
1 1
2. Pour tout entier naturel n, w n = w 0 + nr =
− n = − − n.
1−3 3
2 3
6
1
1
1
, on a v n =
+3 = 1 1 +3 =
+ 3. (1,5 points)
Comme w n =
vn − 3
wn
−3 − 2n
−2 − 3n
3.
1
3
lim −3 − 2n = −∞ car −2 < 0
n→+∞
6
= 0 et par somme lim v n = 3.(0,5 point)
n→+∞
n→+∞ −3 − 2n
donc par quotient lim
2
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