Triangle rectangle : cosinus d`un angle aigu - Fichier

Triangle rectangle :
cosinus d’un angle aigu
C
H
A
P
I
T
R
E
13
1
Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes
• En classe de 5e, les élèves ont étudié la propriété de
la somme des angles d’un triangle. Cette propriété leur
a permis d’établir que:
– Si un triangleest rectangle, alors ses deux angles aigus
sont complémentaires.
– Si deux des angles d’un triangle sont complémen-
taires, alors ce triangle est rectangle.
2. Cosinus d’un angle aigu
• Dans l’activité 1, on propose d’utiliser un logiciel
de géométrie dynamique pour aider à la formulation
d’une conjecture. Le but de cette activité est d’amener
les élèves à constater que le quotient de AB par BC ne
dépend pas des longueurs AB et BC mais uniquement
de la mesure de l’angle
ABC
. C’est aussi l’occasion de
revenir sur le vocabulaire propre au triangle rectangle.
Les élèves ont déjà rencontré le mot « hypoténuse »
mais ne savent pas encore ce qu’est le côté adjacent à
un angle aigu dans un triangle rectangle.
• Dans l’activité 2, on démontre la conjecture de l’ac-
tivité précédente. Pour cela, on utilise le théorème de
Thalès vu au chapitre 12. Le côté adjacent à l’angle est
défini comme étant le côté qui relie le sommet de l’angle
droit au sommet de l’angle. On peut aussi remarquer
que, dans un triangle rectangle, chaque angle aigu est
délimité par deux côtés du triangle. L’un est l’hypoté-
nuse. L’autre est appelé côté adjacent à l’angle aigu. Il
est important d’insister sur le fait que le côté adjacent
à un angle n’est défini que pour un angle aigu dans un
triangle rectangle.
On remarquera également que le cosinus d’un angle
aigu est un rapport de longueurs donc est positif et
n’a pas d’unité. L’hypoténuse étant le plus long côté
du triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est un
nombre compris entre 0 et 1.
3. Utilisations du cosinus
On propose dans les activités suivantes, d’utiliser la pro-
priété démontrée précédemment pour résoudre des
problèmes proches de la vie courante. Dans ces activités,
les élèves seront amenés à utiliser la calculatrice.
• Dans l’activité 3, on utilise un cosinus pour calculer
des longueurs. L’égalité b×a
b=apermet de passer
de cos27° = AB
1,80 à AB = 1,80 ×cos27°. Ensuite, on insis-
tera sur l’utilisation de la calculatrice. Il faut d’abord
vérifier qu’elle est en mode degré (voir savoir-faire 4
p.255). Il faudra ensuite alerter les élèves sur le fait qu’en
tapant: «cos27 ×1.8 = » on obtient 0,661 311865 3
ce qui correspond au cosinus d’un angle de 27 fois
1,8° c’est-à-dire de 48,6°. Pour obtenir le produit de
cos27° par 1,80, on peut taper soit « 1,8 ×cos 27 = » soit
« cos 27 ×1,8 = ».
Le c. permet de réinvestir la propriété des angles aigus
d’un triangle rectangle vue en classe de 5e.
• L’activité 4peut être proposée en travail de groupes.
Sans calculatrice, les élèves peuvent penser qu’à hau-
teurs égales plus l’angle est grand plus le plan incliné
est long. Ceci permet de comparer les longueurs des
plans des modèles D et E ainsi que ceux des modèles B
et C. On pourra remarquer que plus un angle aigu est
grand plus son cosinus est petit. Avec la calculatrice, on
calculera dans chaque cas, le quotient de la hauteur par
le cosinus de l’angle.
• Dans l’activité 8, à partir de la donnée de deux lon-
gueurs, les élèves sont amenés àdéterminer une mesure
d’angle. L’utilisation de la calculatrice est essentielle
(voir savoir-faire 4p. 255). L’angle obtenu au a. est trop
grand. Manon devra augmenter la distance entre le pied
de l’échelle et le mur. On pourra demander aux élèves
de proposer une distance qui conviendrait.
4. Savoir-faire
• Dans l’énoncé 1, nous proposons de calculer les lon-
gueurs des côtés de l’angle droit à partir de la longueur
de l’hypoténuse et de la mesure d’un angle aigu. La
démarche, analogue à celle suivie dans l’activité 3, est
ici détaillée. Dans la rubrique « Je m’exerce », les exer-
cices 1et 2proposent des situations du même type. On
en retrouve également dans les exercices d’application
(23, 24 et 25).
• Dans l’énoncé 2, on propose de calculer la longueur
de l’hypoténuse à partir de la mesure d’un angle aigu
et de la longueur de son côté adjacent. Le passage de
« cos 27° = 6
EG » à « EG = 6 cos 27° » est souvent source
d’erreurs. C’est pourquoi nous avons détaillé en notant
l’étape intermédiaire : « EG × cos 27° = 6 ». Dans la
rubrique « Je m’exerce », les exercices 3et 4proposent
des situations du même type. Les élèves seront en plus

2
5. Compléments
L’utilisation de la relation dans un triangle rectangle
entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs de
l’hypoténuse et de son côté adjacent ne fait pas partie
du socle commun de 4e. C’est pourquoi il n’y a pas de
rubrique socle commun dans ce chapitre.
La rubrique « Cosinus d’un angle aigu » des exercices
d’application, permet d’entraîner les élèves à l’écriture
de la formule. Aucun de ces exercices ne nécessite l’uti-
lisation des touches cos ou arccos de la calculatrice.
Dans la rubrique « Utilisations du cosinus », on propose
une majorité d’exercices faisant référence à des situa-
tions concrètes. L’exercice 32 permet de déterminer la
valeur exacte de cos60° ainsi qu’une valeur approchée
de cos30°.
Les exercices de la rubrique « Rédiger, Communi-
quer, Argumenter » permettent de travailler la com-
pétence1: «Maîtrise de la langue française ». Ils per-
mettent aussi d’évaluer des capacités inscrites dans la
compétence 3, comme: « Présenter la démarche suivie,
les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un lan-
gage adapté ».
Dans les exercices d’approfondissement, l’exercice 65
permet de revoir le parallélépipède rectangle et de réflé-
chir à la représentation en perspective.
L’exercice 64 est issu d’un problème de brevet.
amenés à calculer la longueur du 3ecôté du triangle
rectangle. Ils pourront soit utiliser le cosinus de l’autre
angle aigu soit le théorème de Pythagore. On retrouve
également des démarches analogues dans les exercices
d’application (27, 30 et 33).
• Dans l’énoncé 3, on propose de calculer les mesures
des angles aigus à partir des longueurs de l’hypoténuse
et d’un côté de l’angle droit. On insiste sur l’importance
de conserver des valeurs exactes lors de l’utilisation de
la calculatrice. Une erreur de 5 centièmes sur la valeur
du cosinus peut entraîner une erreur de près de 4° sur la
mesure de l’angle. Dans la rubrique « Je m’exerce », les
exercices 5et 6proposent des situations du même type.
Dans l’exercice 6, les élèves seront amenés à s’interroger
sur la différence entre valeur exacte et valeur approchée.
On retrouve également des démarches analogues dans
les exercices d’application (26, 28, 29 et 31).
• Dans l’énoncé 4, nous détaillons le fonctionnement de
deux modèles de calculatrices couramment utilisés au
collège. On insiste sur la mise au mode degré.
Dans larubrique « Je m’exerce », les exercices 7et 8pro-
posent des exemples pour vérifier que les élèves savent
utiliser leur calculatrice correctement. L’utilisation de
la calculatrice est essentielle dans les exercices d’appli-
cation.

3
1. Devinettes
• Devinette*
Tri - Go - no - mètre - i.
La trigonométrie est une branche des mathématiques
étudiant les rapports entre les longueurs des côtés et les
mesures des angles dans les triangles rectangles.
• Devinette**
Le triangle est rectangle et isocèle. Les côtés de l’angle
droit ont la même longueur. La hauteur du phare est
27,4 m.
2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse: a.
2. Bonne réponse: c.
L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
3. Bonne réponse: a.
Les longueurs des côtés du triangle DEG sont propor-
tionnelles à celles des côtés du triangle DFH.
4. Bonne réponse: b.
Le quotient de xpar 6 est le nombre qui multiplié par 6
donne x, donc x= 0,7 ×6.
5. Bonne réponse: c.
0,6 ×x= 8 donc x= 80,6.
6. Bonne réponse: b.
3,2
5,6 =32 56 =4 7. Ce nombre n’est pas un nombre déci-
mal: 0,57 et 0,571 428 571 4 ne sont que des valeurs
approchées.
7. a. 34° b. 47°
c. 90° d. 80°
8. a. Non b. Non
c. Oui d. Non
9. 75° + 60° = 135°
3. Activités
1d. Le quotient ne change pas.
e. Lorsque l’on déplace le curseur, le quotient varie. Il
semble que la valeur du quotient dépend de la mesure
de l’angle
ABC
mais pas des longueurs des côtés [AB]
et [BC].
21. a. Les droites (AC) et (A’C’) sont toutes les deux
perpendiculaires à la même droite (AB), elles sont donc
parallèles entre elles. Les points B, A, A’ sont alignés ainsi
que les points B, C et C’. Cette figure correspond donc à
une figure-clé de Thalès. Le théorème de Thalès permet
d’écrire des rapports égaux, ici BA
BA’ =BC BC’ =AC A’C’ .
b. BA
BA’ =BC BC’ donc l’égalité des produits en croix permet
d’écrire BA ×BC’ = BA’ ×BC. On a donc BA
BC =BA’ BC’ .
c. Dans tous les triangles ABC rectangles en A ayant
le même angle aigu
B
, le quotient BA
BC c’est-à-dire
longueur du côtéadjacent à B
longueur de l'hypoténuse est le même.
3a. Dans le triangle ABC rectangle en A, cos ABC
=BA
BC
c’est-à-dire cos27° = AB
1,80 . Ainsi AB = 1,80 ×cos27°.
b. Avec la calculatrice, on trouve AB ≈ 1,60 m.
c. Les angles
ACB
et
ABC
sont deux angles aigus d’un
triangle rectangle, ils sont donc complémentaires. Ainsi
ACB
= 90° – 27° = 63°.
Dans le triangle ABC rectangle en A, cos
ACB
=CA
CB c’est-
à-dire cos63° = AC
1,80 .
Ainsi AC = 1,80 ×cos63°. Avec la calculatrice, on trouve
AC ≈ 0,82 m.
4Sans calculatrice: À hauteurs égales, plus l’angle
a
est grand, plus le plan incliné est long. Ainsi E<Det
C< B.
On peut penser que plus la hauteur hest grande, plus
le plan incliné est long. Ainsi la longueur pour A serait
inférieure à celles de B et C, elles-mêmes inférieures à
celles de D et E.
On obtiendrait alors: A - C - B - E - D.
Avec calculatrice: En notant L la longueur du plan
incliné, pour tous les modèles, on a cos
a
=h
Let donc
L = h
cosa
.
Pour le modèle A: L = 1,1
cos73°. Avec la calculatrice, on
trouve L ≈ 3,76 m.
Pour le modèle B: L = 1,5
cos71
°
. Avec la calculatrice, on
trouve L ≈ 4,61 m.
Pour le modèle C: L = 1,5
cos66°. Avec la calculatrice, on
trouve L ≈ 3,69 m.
Pour le modèle D: L = 2
cos69°. Avec la calculatrice, on
trouve L ≈ 5,58 m.
Pour le modèle E: L = 2
cos64°
. Avec la calculatrice, on
trouve L ≈ 4,56 m.
En rangeant les modèles selon les longueurs croissantes
de plan incliné, on obtient: C - A - B - E - D.
5a. L’échelle, le mur et le sol forment un triangle rec-
tangle. Dans ce triangle rectangle, en notant
a
l’angle
entre l’échelle et le sol, on a cos
a
=1
3,3.
Avec la calculatrice, on trouve
a
≈ 72°.
b. L’angle entre l’échelle et le sol est trop grand. Manon
doit reculer le pied de l’échelle du mur.
Par exemple, 20 cm suffisent alors
a
≈ 68,7°.
L’angle
a
se trouve alors compris entre 65° et 70°.
Corrigés

4
11 a. L’hypoténuse est le côté [GI].
b. L’autre angle aigu est
IGB
et son côté adjacent est
[GB].
12 a. [OR] est le côté adjacent à l’angle
ORD
.
b. [OD] est le côté adjacent à l’angle
ODR
.
13 Dans le triangle ELO rectangle en L, cosLEO
=LE
EO
et cos LOE
=OL
OE.
14 Dans le triangle DAN rectangle en D,
a. DA
AN est le cosinus de l’angle
DAN
.
b. ND
AN est le cosinus de l’angle
DNA
.
15 a. LO2+ LP2= 42+ 32=16+9=25etOP2= 52= 25.
Ainsi OP2= LO2+ LP2.
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle LOP
est rectangle en L. Dans ce triangle, cosLOP
=LO
PO =4 5
et cosLPO
=LP
PO =3 5.
b. AJ2+JR2= 2,82+ 4,52= 28,09 et AR2= 5,32= 28,09.
Ainsi AR2= AJ2+JR2.
L’égalité de Pythagore est vérifiée donc le triangle AJR
est rectangle en J. Dans ce triangle,
cos JAR
=JA
AR =2,8 5,3 , ainsi cos JAR
=28
53 .
De même, cos JRA
=JR
AR =4,5 5,3 et donc cos JRA
=45
53 .
16 AC2+ AB2= 2,62+ 1,52= 9,01 et BC2= 2,92= 8,41.
Ainsi [BC] est le plus long côté du triangle ABC et
BC2AC2+ AB2. L’égalité de Pythagore n’est pas véri-
fiée donc le triangle ABC n’est pas rectangle. On ne peut
donc pas utiliser la formule du cosinus dans ce triangle.
17 a. Dans le triangle MNP rectangle en M,
cosMPN
=MP
NP
.
b. Dans le triangle MHP rectangle en H, cos MPN
=HP
MP.
18 a. Dans le triangle ABD rectangle en A,
cos ABD
=AB
BD .
b. On peut aussi donner l’expression de cos
ABD
dans
le triangle ABO qui est rectangle en O puisque les dia-
gonales d’un carré sont perpendiculaires.
Dans ce triangle, cos ABD
=OB
AB .
19 a. Dans le triangle TON rectangle en T,
cos TNO
=NT
NO .
Dans le triangle SON rectangle en O, cos TNO
=NO
NS .
b. D’après a.,NT
NO =NO NS , c’est-à-dire 4
5=5 NS .
En utilisant l’égalité des produits en croix, on obtient
NS = 5×5
4=25 4. Soit NS = 6,25 cm.
TS = NS – NT donc TS = 6,25 – 4 = 2,25 cm.
c. Le triangle SON est rectangle en O donc son aire est
égale à NO ×OS
2. En prenant pour base [NS], la hauteur
relative à ce côté est [OT]. L’aire du triangle SON est donc
aussi égale à NS ×OT
2.
4. Je m’exerce
11. a.
A
B
70°
20°
80,1 cm
C
b. • cos 20° = CA
CB =CA 80,1 donc CA = 80,1 ×cos 20° et
CA≈ 75,3 cm
• cos 70° = BA
BC =BA 80,1 donc BA = 80,1 ×cos 70° et
BA≈27,4 cm
2• cos 28° = SO
CS =SO 4,25 donc SO = 4,25 ×cos 28° et
SO ≈ 3,76 m
• cos 62° = CO
CS =CO 4,25 donc CO = 4,25 ×cos 62° et
CO≈2,00 m
3• cos 41° = BA
BC =10,4 BC donc BC ×cos41° = 10,4 et
BC = 10,4
cos 41°
Ainsi BC ≈ 13,8 cm
•cos49° = AC
BC donc AC= BC×cos49°= 10,4
cos 41° ×cos49°
Ainsi AC ≈ 9 cm
4• cos 65° = DS
DU =1,2 DU donc DU = 1,2
cos 65°
Ainsi DU ≈ 2,8 m
• cos25° = SU
DU
donc
SU = DU ×cos25° = 1,2
cos 65° ×cos25° et SU ≈ 2,6 cm
Le périmètre de ce triangle est environ 6,6 m, donc
Carole a tort.
5• cos GEF
=EG
EF =6 11 .
Donc
GEF
≈ 57°.
• Alors
EFG
≈ 90° – 57° soit
EFG
≈ 33°.
6• AR2= 722– 512= 2583 et AR ≈ 50,8 mm
Donc Alex a tort, ce triangle n’est pas isocèle.
• cos ATR
=RT
AT =5
1
72.
Donc
ATR
≈ 44,9° et Zora a raison.
7a. 0,996 • 0,707 • 0,087
b. cos0° = 1 et cos90° = 1
8a. 70° b. 34°
5. Exercices d’application
9a. Le triangle ATS rectangle en T a pour angles aigus:
– l’angle
TAS
dont le côté adjacent est [AT]
– l’angle
TSA
dont le côté adjacent est [TS].
b. Le triangle RTS rectangle en S a pour angles aigus:
– l’angle
TRS
dont le côté adjacent est [RS]
– l’angle
STR
dont le côté adjacent est [ST].
10 a. Le côté adjacent à l’angle
ANT
est [AN].
b. Le côté adjacent à l’angle
ATN
est [AT].

5
Ainsi
GSP
= 90° – 5° = 85°.
Dans le triangle GPS rectangle en P, cos GSP
=PS
GS
c’est-à-dire cos85° = PS
2 350 .
Ainsi PS = 2350 ×cos85°.
Avec la calculatrice, on trouve PS ≈ 205 m.
625+ 205 = 830.
Le sommet S est à une altitude d’environ 830 m.
26 a.
U
O H5 cm
8 cm
b. Dans le triangle HOU rectangle en O, cos OHU
=OH
UH
c’est-à-dire cos OHU
=5
8.
Avec la calculatrice, on trouve
OHU
= 51,3°.
Les angles
OHU
et
HUO
sont complémentaires, ainsi
HUO
≈ 90° – 51,3° soit
HUO
≈ 38,7°.
La valeur approchée de
HUO
par excès au degré près
est 39°.
27 a. Dans le triangle HTL rectangle en H, cosLTH
=TH
TL
c’est-à-dire cos89,12° = 6 400
TL .
Ainsi TL ×cos89,12° = 6400.
D’où TL = 6 400
cos 89,12° .
Avec la calculatrice, on trouve TL ≈ 416713 km.
b. Actuellement, la distance moyenne Terre-Lune est
estimée à 384 400 km.
La plus grande distance entre la Terre et la Lune est esti-
mée à 405696km.
28 • Dans le triangle rectangle AHP, on a AH = 30 m.
De plus: AP2= 302+ 0,62= 900,36, donc AP ≈ 30,006 m.
Donc cosPAH
≈30
30,006 et PAH
≈ 1,15°.
• Dans le triangle rectangle BHP, on a BH = 40 m.
De plus: BP2= 402+ 0,62= 1600,36 donc BP ≈ 40,004 m
Donc cos PBH
≈40
40,004 et
PBH
≈ 0,81°.
29 Dans le triangle QKZ rectangle en K:
• L’égalité de Pythagore donne:
QZ2= QK2+ KZ2.
Donc QZ2= (2 ×3,66 + 2,4)2+ 4,12.
Soit QZ2= 9,722+ 4,12= 111,2884
Avec la calculatrice, on trouve QZ ≈ 10,55 m.
• cosKZQ
=KZ
QZ c’est-à-dire cosKZQ
≈4,1
10,55 .
Avec la calculatrice, on trouve KZQ ≈ 67,1°.
Dans le triangle PKZ rectangle en K:
• L’égalité de Pythagore donne:
PZ2= PK2+ KZ2.
Donc PZ2= 2,42+ 4,12= 22,57.
Dans ce triangle SON rectangle en O, l’éga-
lité de Pythagore donne NS2= NO2+ OS2. Donc
OS2= 6,252– 52= 14,062 5 donc OS = 14,062 5 = 3,75.
L’aire du triangle SON est donc égale à 5×3,75
2soit
9,375cm2.
Dans le triangle NOT rectangle en T, l’égali-
té de Pythagore donne NO2= NT2+ OT2. Donc
OT2= 52– 42= 9 donc OT = 3. L’aire du triangle NOT est
donc égale à 6,25 ×3
2soit 9,375cm2.
20 a. Dans letriangleABCrectangleenB,cosCAD
=AB
AC.
Dans le triangle ADE rectangle en E, cos CAD
=AE
AD .
b. D’après a.,AB
AC =AE AD, c’est-à-dire 2
3=AE 6.
En utilisant l’égalité des produits en croix, on obtient
AE = 2×6
3=12 3. Soit AE = 4 cm.
EC=AE–ACdoncEC=4cm–3cm=1cm.
c. D’après a., l’angle
DAC
a pour cosinus 2
3.
Avec la calculatrice, on trouve
DAC
≈ 48°.
L’affirmation de Jenny est fausse car si les triangles ABC
et ADEétaient isocèles cet angle mesurerait exactement
45°.
21 a.
LIU =NID
car ces deux angles sont opposés par
le sommet.
b. Dans le triangle LUIrectangle en L, cos
L
IU =LI
UI.
Dans le triangle NID rectangle en N, cosNID
=NI
ID.
Donc LI
UI=NI ID, c’est-à-dire 2,6
4,2 =6,3 ID.
En utilisant l’égalité des produits en croix, on obtient
ID = 4,2 ×6,3
2,6 .
Avec la calculatrice, on trouve ID ≈ 10,2 cm.
22 a. cos72° = AB
9donc AB = 9 ×cos72°.
Avec la calculatrice, on trouve AB ≈ 2,8.
b. cos14° = AB
7donc AB = 7 ×cos14°.
Avec la calculatrice, on trouve AB ≈ 6,8.
c. cos81° = 2
AB donc AB ×cos81° = 2 et AB = 2
cos 81° .
Avec la calculatrice, on trouve AB ≈ 12,8.
23 Le triangle GAR est un triangle rectangle en A donc
les angles
ARG
et
AGR
sont complémentaires.
Ainsi
AGR
= 90° – 56° = 34°.
Dans le triangle GAR rectangle en A, cos AGR
=AG
GR
c’est-à-dire cos34° = AG
9,1.
Ainsi AG = 9,1 ×cos34°.
Avec la calculatrice, on trouve AG ≈ 7,6 cm.
24 On ne sait pas si le triangle ABC est rectangle en A.
On ne peut donc pas utiliser le cosinus dans ce triangle
et par conséquent, on ne peut pas calculer AD. Aucun
élève n’a raison.
25 Le triangle GPS est un triangle rectangle en P donc
les angles
GSP
et
SGP
sont complémentaires.