LM383 Équations différentielles Méthodes de résolution numérique

Université Pierre et Marie Curie
Licence de Mathématiques
Année 2007-2008
LM383
Équations différentielles
Méthodes de résolution numérique
Sylvie DELABRIÈRE

Table des matières
1 Approximation numérique des fonctions 1
1.1 Approximation de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Interpolation d’une fonction par un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Approximation numérique des intégrales 33
2.1 Méthodes de quadrature à 1 point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Une méthode de quadrature à 2 points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Méthodes générales de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Approximation des solutions d’équations 55
3.1 Principe des méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Méthode de Newton pour les fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Méthode de la sécante pour les fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Cas des fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Équations différentielles 71
4.1 Introduction..................................... 71
4.2 Caslipschitzien................................... 78
4.3 Cas localement lipschitzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Équations différentielles linéaires 95
5.1 Équations différentielles linéaires sans second membre . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2 Équations différentielles linéaires avec second membre . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Wronskien d’un système de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Équations différentielles linéairesd’ordre m.................... 104
6 Méthodes d’approximation numérique à un pas 109
6.1 Convergence des schémas numériques explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Équations différentielles de type gradient et schémas implicites . . . . . . . . . . 123
6.3 Méthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Bibliographie 133
Index 135
iii

Chapitre 1
Approximation numérique des fonctions
On note Pkl’espace vectoriel des fonctions polynômes sur R, à coefficients dans R, de
degré inférieur ou égal à k. On rappelle que dim Pk=k+ 1.
L’espace vectoriel des fonctions continues sur un intervalle [a, b]à valeurs dans Rest
noté C([a, b]) et cet espace est muni de la norme de la convergence uniforme définie par
kfk= sup
x∈[a,b]|f(x)|. On rappelle que l’espace C([a, b]) muni de cette norme est un espace
vectoriel normé complet. L’espace Pkmuni de cette norme est un sous-espace fermé de
C([a, b]), donc est également un espace vectoriel normé complet (voir [5]).
1.1 Approximation de la dérivée d’une fonction
Définition 1.1.1 Soit fune fonction réelle ou complexe, définie dans un intervalle [a, b]
de R. Soit x0un point de [a, b]. On dit que fest dérivable en x0, de dérivée `, si
lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h=`.
Cette dérivée se note f0(x0)ou aussi d f
d x(x0). C’est donc la limite du quotient de l’ac-
croissement de la fonction par l’accroissement de la variable. L’accroissement hpeut être
positif ou négatif. Lorsque la fonction fa une dérivée en chaque point de l’intervalle
[a, b], on dit que fest dérivable dans [a, b], de dérivée f0. Dans ce cas, on peut itérer cette
définition, c’est-à-dire définir la dérivée de f0qu’on appelle dérivée seconde de fet qu’on
note f00 et définir ainsi de suite f(3), etc.
Définition 1.1.2 On dit que fest de classe Cksur l’intervalle [a, b]si toutes ses dérivées
jusqu’à l’ordre ksont définies et continues en tout point de [a, b].
On connaît des formules qui permettent de dériver les fonctions usuelles. Selon la fonc-
tion, le calcul de la dérivée est plus ou moins compliqué, mais comme c’est un procédé
systématique, il existe des langages de calcul formel qui permettent, dans la plupart des
cas, de calculer l’expression de la dérivée f0à partir de l’expression de la fonction f. On
peut donc légitimement se demander à quoi sert d’approcher la dérivée d’une fonction en
un point.
Il y a deux cas importants où on ne sait pas calculer la dérivée de manière exacte et où on
est obligé de l’approcher :
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