PROBLÈME 1

Pour le 16 septembre 2016 :
PROBLÈME 1
PARTIE I :



4 0 0
1
On considère, dans cette partie, les matrices de M3 (R) : A =  −5 9 0  et I3 =  0
−5 5 4
0
0
1
0

0
0 .
1
1. Trouver, en fonction de I3 et de A, deux matrices P1 et P2 de M3 (R) telles que :
et
P1 + P2 = I3
4P1 + 9P2 = A.
Expliciter ensuite les coefficients de P1 et ceux de P2 .
2. a. Calculer les matrices P12 , P1 P2 , P2 P1 et P22 .
b. En déduire : ∀k ∈ N, Ak = 4k P1 + 9k P2 .
3. Trouver au moins une matrice B de M3 (R), dont on explicitera les coefficients, telle que B 2 = A.
4. Définition : on dit que λ est une valeur propre de A si et seulement s’il existe une matrice colonne
X ∈ M3,1 (R) NON NULLE telle que AX = λ · X.
Quelles sont les valeurs propres de A ?
Dans toute la suite du problème, E désigne un R-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou
égale à 1 et f un endomorphisme de E.
On note e l’endomorphisme identité de E qui, à chaque élément de E, associe lui-même, et 0̃ l’endomorphisme nul de E qui, à chaque élément de E, associe l’élément nul de E.
On suppose qu’il existe un entier m de N∗ , des réels λ1 , ..., λm deux à deux distincts et des endomorphismes
m
X
p1 , ..., pm de E tous différents de 0̃, tels que : ∀k ∈ [[0; m]], f k =
λki pi .
i=1
Enfin on considère les polynômes :
N=
m
Y
(X − λ` ) et pour tout i de [[1; m]], Mi =
`=1
Y
(X − λ` ) et Li =
16`6m
1
Mi .
Mi (λi )
`6=i
On admet que, pour tous polynômes P et Q de R[X] : (P × Q)(f ) = P (f ) ◦ Q(f ).
PARTIE II : Étude des puissances de f
5. Montrer, pour tout polynôme P de Rm [X] : P (f ) =
m
X
P (λi )pi .
i=1
6. En déduire : N (f ) = 0̃.
7. a. Montrer que, pour tout couple (i, j) de [[1; m]]2 , Li (λj ) est égale à 1 si i = j et égal à 0 si i 6= j.
b. En déduire, pour tout i de [[1; m]] : Li (f ) = pi .
m
X
8. a. Montrer : e =
pi .
i=1
b. En déduire que E est la somme des m sous-espaces vectoriels Im(p1 ), ..., Im(pm ).
9. Soit i appartenant à [[1; m]].
a. Vérifier : N = Mi (λi )(X − λi )Li .
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 6. : Im(pi ) ⊂ Ker(f − λi e).
10. Déduire des questions précédentes que f est diagonalisable, que les valeurs propres de f sont les réels
λ1 , ..., λm et que, pour i de [[1; m]], le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λi est Im(pi ).
11. a. Montrer, pour tout couple (i, j) de [[1; m]]2 tel que i 6= j :
pi ◦ pj = 0̃.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a., pour i de [[1; m]] :
1
pi ◦ pi = pi .
c. Établir, pour tout i de [[1; m]] : pi ◦ f = λi pi .
m
X
12. Montrer : ∀k ∈ N, f k =
λki pi , puis, pour tout polynôme P de R[X] :
P (f ) =
i=1
m
X
P (λi )pi .
i=1
PARTIE III : Intervention de produit scalaire
On munit le R-espace vectoriel E d’un produit scalaire h., .i.
On considère l’application ϕ de E × E dans R définie, pour tout (x, y) ∈ E × E, par
ϕ(x, y) =
m
X
hpi (x), pi (y)i.
i=1
13. Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E.
On remarquera qu’ainsi E est muni de deux produits scalaires, h., .i et ϕ.
14. Montrer que f est un endomorphisme symétrique de E pour le produit scalaire ϕ.
Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul ?
15. Démontrer que, pour tout i de [[1; m]], pi est le projecteur orthogonal sur Im(pi ) pour le produit scalaire
ϕ.
PROBLÈME 2
PARTIE I : Étude d’une fonction définie par la somme d’une série
On s’intéresse dans cette partie, pour tout x ∈ R, à la série
X (−1)n+1
.
nx
∗
n∈N
X (−1)n+1
1. Justifier que, pour tout x ∈ R− , la série
diverge.
nx
∗
n∈N
2. Soit x ∈ R+∗ . On note, pour tout n ∈ N∗ , un =
n
X
(−1)k+1
k=1
kx
.
a. Montrer que les suites (u2p )p∈N∗ et (u2p−1 )p∈N∗ sont adjacentes, puis en déduire qu’elles convergent
vers une même limite notée S(x).
b. En déduire :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ \ ∀n > n0 , |un − S(x)| 6 ε.
c. Justifier alors que la série
+∞
X (−1)n+1
X
(−1)n+1
converge
et
que
l’on
a
:
S(x)
=
.
x
n
nx
∗
n=1
n∈N
d. Justifier :
∗
∀p ∈ N ,
e. En déduire :
u2p 6 S(x) 6 u2p+1 6 u2p−1 .
1
∀n ∈ N∗ , |S(x) − un | 6
.
(n + 1)x
On pourra séparer les cas n pair et n impair.
f. En déduire une fonction Scilab qui, étant donnés deux réels x > 0 et ε > 0, renvoie une valeur
approchée de S(x) à ε près.
3. Soient x ∈ R+∗ et p ∈ N∗ . Montrer :
2p
X
(−1)k+1
k=1
kx
=
p
X
k=1
p
1
1 X 1
−
(2k − 1)x
2x
kx
4. On pose, pour tout n ∈ N∗ , vn =
puis :
k=1
2n
X
(−1)k+1
k=1
k
2p
X
(−1)k+1
k=1
kx
=
2p
p
X
1
1 X 1
−
.
kx
2x−1
kx
k=1
k=1
.
a. Soit n ∈ N∗ . Montrer, en utilisant la question 3. :
vn =
2n
n
X
1
1X 1
=
k
n
1+
k=n+1
2
k=1
k
n
.
b. En déduire la convergence et la limite de la suite (vn )n∈N∗ , puis la valeur de S(1).
+∞
X
1
π2
5. On admet que
=
. Déterminer la valeur de S(2).
n2
6
n=1
PARTIE II : Étude d’une fonction définie par une intégrale
Uniquement pour les 5/2 ou les 3/2 curieux qui auraient quelques notions concernant les intégrales
généralisées.
Z +∞
On rappelle que la fonction Γ est définie sur ]0; +∞[ par : ∀x ∈]0; +∞[, Γ(x) =
tx−1 e−t dt.
On rappelle également l’égalité suivante :
∀n ∈ N∗ , Γ(n) = (n − 1)!.
0
+∞
tx
dt converge si et seulement si x > −1.
1 + et
0
Z +∞
tx
On pose, pour tout réel x de ] − 1; +∞[, I(x) =
dt.
1 + et
0
tx
7. Soit x ∈] − 1; +∞[. On définit la fonction gx :]0; +∞[, t 7→
.
1 + et
n
X
a. Montrer : ∀n ∈ N∗ , ∀t ∈ R+∗ , gx (t) = (−1)n gx (t)e−nt +
(−1)k+1 tx e−kt .
6. Soit x ∈ R. Montrer que l’intégrale
Z
k=1
+∞
Z
b. Justifier, pour tout k ∈ N∗ , que l’intégrale
tx e−kt dt converge et que l’on a :
0
Z
+∞
tx e−kt dt =
0
c. Montrer que, pour tout n ∈ N , l’intégrale
∗
Z
1
Γ(x + 1).
k x+1
+∞
gx (t)e
−nt
dt converge, puis que la limite de
0
lorsque l’entier n tend vers +∞, est égale à 0.
d. En déduire la relation : I(x) = S(x + 1)Γ(x + 1),
où la fonction S a été définie dans la partie I.
8. En utilisant la partie I., déterminer la valeur de I(1).
Conseils de lecture :
1. Exercice 8 d’analyse de la banque CCP 2016 (séries alternées)
2. Exercice 47 d’analyse de la banque CCP 2015 (sommes de Riemann)
3. Exercice 87 d’algèbre de la banque CCP 2016 (polynômes de Lagrange)
4. Exercice 90 d’algèbre de la banque CCP 2016 (polynômes de Lagrange)
3
Z
0
+∞
gx (t)e−nt dt,