PROBLÈME 1

Pour le 16 septembre 2016 :
PROBLÈME 1
PARTIE I :
On considère, dans cette partie, les matrices de M3(R):A=
4 0 0
−590
−554
et I3=
100
010
001
.
1. Trouver, en fonction de I3et de A, deux matrices P1et P2de M3(R)telles que :
P1+P2=I3et 4P1+ 9P2=A.
Expliciter ensuite les coefficients de P1et ceux de P2.
2. a. Calculer les matrices P2
1, P1P2, P2P1et P2 2.
b. En déduire : ∀k∈N, Ak= 4kP1+ 9kP2.
3. Trouver au moins une matrice Bde M3(R), dont on explicitera les coefficients, telle que B2=A.
4. Définition : on dit que λest une valeur propre de Asi et seulement s’il existe une matrice colonne
X∈ M3,1(R)NON NULLE telle que AX =λ·X.
Quelles sont les valeurs propres de A?
Dans toute la suite du problème,Edésigne un R-espace vectoriel de dimension finie supérieure ou
égale à 1 et fun endomorphisme de E.
On note el’endomorphisme identité de Equi, à chaque élément de E, associe lui-même, et ˜ 0l’endomor-
phisme nul de Equi, à chaque élément de E, associe l’élément nul de E.
On suppose qu’il existe un entier mde N∗,des réels λ1, ..., λmdeux à deux distincts et des endomorphismes
p1, ..., pmde Etous différents de ˜ 0, tels que : ∀k∈[[0; m]], f k=
m
X
i=1
λk
ipi.
Enfin on considère les polynômes :
N=
m
Y
`=1
(X−λ`)et pour tout ide [[1; m]], Mi=Y
16`6m
`6=i
(X−λ`)et Li=1
Mi(λi)Mi.
On admet que, pour tous polynômes Pet Qde R[X]:(P×Q)(f) = P(f)◦Q(f).
PARTIE II : Étude des puissances de f
5. Montrer, pour tout polynôme Pde Rm[X]:P(f) =
m
X
i=1
P(λi)pi.
6. En déduire : N(f) = ˜ 0.
7. a. Montrer que, pour tout couple (i, j)de [[1; m]]2, Li(λj)est égale à 1 si i=jet égal à 0 si i6=j.
b. En déduire, pour tout ide [[1; m]] :Li(f) = pi.
8. a. Montrer : e=
m
X
i=1
pi.
b. En déduire que Eest la somme des msous-espaces vectoriels Im(p1), ..., Im(pm).
9. Soit iappartenant à [[1; m]].
a. Vérifier : N=Mi(λi)(X−λi)Li.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 6. : Im(pi)⊂Ker(f−λie).
10. Déduire des questions précédentes que fest diagonalisable, que les valeurs propres de fsont les réels
λ1, ..., λmet que, pour ide [[1; m]],le sous-espace propre de fassocié à la valeur propre λiest Im(pi).
11. a. Montrer, pour tout couple (i, j)de [[1; m]]2tel que i6=j:pi◦pj=˜ 0.
b. En déduire, en utilisant le résultat de la question 8.a., pour ide [[1; m]] :pi◦pi=pi.
1

c. Établir, pour tout ide [[1; m]] :pi◦f=λipi.
12. Montrer : ∀k∈N, fk=
m
X
i=1
λk
ipi,puis, pour tout polynôme Pde R[X]:P(f) =
m
X
i=1
P(λi)pi.
PARTIE III : Intervention de produit scalaire
On munit le R-espace vectoriel Ed’un produit scalaire h., .i.
On considère l’application ϕde E×Edans Rdéfinie, pour tout (x, y)∈E×E, par
ϕ(x, y) =
m
X
i=1
hpi(x), pi(y)i.
13. Montrer que ϕest un produit scalaire sur E.
On remarquera qu’ainsi Eest muni de deux produits scalaires, h., .iet ϕ.
14. Montrer que fest un endomorphisme symétrique de Epour le produit scalaire ϕ.
Quel résultat de la partie II peut-on alors retrouver sans calcul?
15. Démontrer que, pour tout ide [[1; m]],piest le projecteur orthogonal sur Im(pi)pour le produit scalaire
ϕ.
PROBLÈME 2
PARTIE I : Étude d’une fonction définie par la somme d’une série
On s’intéresse dans cette partie, pour tout x∈R,à la série X
n∈N∗
(−1)n+1
nx.
1. Justifier que, pour tout x∈R−, la série X
n∈N∗
(−1)n+1
nxdiverge.
2. Soit x∈R+∗.On note, pour tout n∈N∗, un=
n
X
k=1
(−1)k+1
kx.
a. Montrer que les suites (u2p)p∈N∗et (u2p−1)p∈N∗sont adjacentes, puis en déduire qu’elles convergent
vers une même limite notée S(x).
b. En déduire : ∀ε > 0,∃n0∈N∗\ ∀n>n0,|un−S(x)|6ε.
c. Justifier alors que la série X
n∈N∗
(−1)n+1
nxconverge et que l’on a : S(x) =
+∞
X
n=1
(−1)n+1
nx.
d. Justifier : ∀p∈N∗, u2p6S(x)6u2p+1 6u2p−1.
e. En déduire : ∀n∈N∗,|S(x)−un|61
(n+ 1)x.
On pourra séparer les cas npair et nimpair.
f. En déduire une fonction Scilab qui, étant donnés deux réels x > 0et ε > 0,renvoie une valeur
approchée de S(x)àεprès.
3. Soient x∈R+∗et p∈N∗.Montrer :
2p
X
k=1
(−1)k+1
kx=
p
X
k=1
1
(2k−1)x−1 2x
p
X
k=1
1
kxpuis :
2p
X
k=1
(−1)k+1
kx=
2p
X
k=1
1
kx−1 2x−1
p
X
k=1
1
kx.
4. On pose, pour tout n∈N∗, vn=
2n
X
k=1
(−1)k+1
k.
a. Soit n∈N∗.Montrer, en utilisant la question 3. :vn=
2n
X
k=n+1
1
k=1 n
n
X
k=1
1
1 + k
n
.
2

b. En déduire la convergence et la limite de la suite (vn)n∈N∗, puis la valeur de S(1).
5. On admet que
+∞
X
n=1
1
n2=π2 6.Déterminer la valeur de S(2).
PARTIE II : Étude d’une fonction définie par une intégrale
Uniquement pour les 5/2 ou les 3/2 curieux qui auraient quelques notions concernant les intégrales
généralisées.
On rappelle que la fonction Γest définie sur ]0; +∞[par : ∀x∈]0; +∞[,Γ(x) = Z+∞
0
tx−1e−tdt.
On rappelle également l’égalité suivante : ∀n∈N∗,Γ(n) = (n−1)!.
6. Soit x∈R.Montrer que l’intégrale Z+∞
0
tx
1 + etdtconverge si et seulement si x > −1.
On pose, pour tout réel xde ]−1; +∞[, I(x) = Z+∞
0
tx
1 + etdt.
7. Soit x∈]−1; +∞[.On définit la fonction gx:]0; +∞[, t 7→ tx
1 + et.
a. Montrer : ∀n∈N∗,∀t∈R+∗, gx(t) = (−1)ngx(t)e−nt +
n
X
k=1
(−1)k+1txe−kt.
b. Justifier, pour tout k∈N∗,que l’intégrale Z+∞
0
txe−ktdtconverge et que l’on a :
Z+∞
0
txe−ktdt=1
kx+1 Γ(x+ 1).
c. Montrer que, pour tout n∈N∗,l’intégrale Z+∞
0
gx(t)e−ntdtconverge, puis que la limite de Z+∞
0
gx(t)e−ntdt,
lorsque l’entier ntend vers +∞, est égale à 0.
d. En déduire la relation : I(x) = S(x+ 1)Γ(x+ 1),
où la fonction Sa été définie dans la partie I.
8. En utilisant la partie I., déterminer la valeur de I(1).
Conseils de lecture :
1. Exercice 8 d’analyse de la banque CCP 2016 (séries alternées)
2. Exercice 47 d’analyse de la banque CCP 2015 (sommes de Riemann)
3. Exercice 87 d’algèbre de la banque CCP 2016 (polynômes de Lagrange)
4. Exercice 90 d’algèbre de la banque CCP 2016 (polynômes de Lagrange)
3