Mathématiques 2016 - 2017 Groupes — Contrôle no 1 UVSQ L3

Mathématiques
 - Groupes — Contrôle no1UVSQ
L3 Ma610
Exercice 1 2 3 4
Barème 4 7 4 5
Note
Exercice .
Soit Het Kdes sous-groupes d’un groupe G. Montrer que HK est un sous-groupe de Gsi et seulement si HK =KH.
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Exercice .
Soit G=R∗×R. On pose pour tous éléments (x, y)et (x′, y′)de G:
(x, y)∗(x′, y′) = (xx′, xy′+y)
. Vérifier que ∗est une loi interne associative sur G.
. Vérifier que (G, ∗)est un groupe. Est-il commutatif ?
. Donner une expression de (x, y)npour tout n∈Z.
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Exercice .
. Trouver deux sous-groupes de Rdont la réunion n’est pas un sous-groupe de R.
. Existe-t-il deux sous-groupes de R∗dont la réunion n’est pas un sous-groupe de R∗?
. Soit Gun groupe et (Hn)n∈Nune suite croissante de sous-groupes de G, c’est-à-dire telle que Hn⊂Hn+1 pour tout
n∈N. Montrer que Sn∈NHnest un sous-groupe de G.
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Exercice .
Pour tout n∈N∗on note Un={z∈C|zn= 1}le sous-groupe de C∗formé par les racines n-ièmes de l’unité.
On fixe un nombre premier pet on pose Gp=z∈C∃k∈N, zpk= 1.
. Montrer que Gpest un sous-groupe de C∗. Quel est le cardinal de Gp?
. Soit Hun sous-groupe propre de Gp.
.a. Montrer que EH={ord(g)|g∈H}est une partie finie de N.
.b. Déduire que Hest cyclique.
. Montrer que Gpne possède pas de sous-groupe maximal.
. Montrer que Gpn’est pas engendré par un système fini d’éléments.
Rappels : Soit Gun groupe et Hun sous-groupe de G. On dit que Hest propre si H6=Get H6={e}. On dit que Hest
maximals’il est propre et si pour tout sous-groupe propre H′de Gl’inclusion H⊂H′implique H=H′.
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