TD 9 : Probabilités conditionnelles.

E1 TD 9 : Probabilités conditionnelles.
TD 9 : Probabilités conditionnelles.
Exercice 1.
Dans une urne se trouvent quatre boules noires et deux boules blanches. Cinq
personnes tirent successivement et sans remise au hasard équiprobable une boule
dans l’urne. Le premier qui tire une boule blanche a gagné.
Quelle est la probabilité de victoire de chacune des cinq personnes ?
Exercice 2.
Paulin et Émilie font un concours de tirs au but. Paulin et Émilie tirent à tour
de rôle jusqu’à ce que l’un des deux marque. C’est Paulin qui tire en premier.
La probabilité que Paulin marque est de 1
2. La probabilité qu’Émilie marque est
de 2
3.
On suppose que tous les tirs sont indépendants les uns des autres.
1. Soit n∈N∗. Quelle est la probabilité que Paulin gagne lors de son n-ème tir ?
2. Soit N∈N∗. Paulin et Émilie décident de déclarer match nul si aucun des deux
ne marque après Ntirs chacun. Quelle est la probabilité que Paulin gagne ?
Exercice 3.
Véronique essaie d’arrêter de fumer. Le premier jour elle ne fume pas. Si elle
ne fume pas un jour, la probabilité qu’elle ne fume pas le lendemain est de 3
5. Si
elle fume un jour, la probabilité qu’elle fume le lendemain est de 1
2. On note pnla
probabilité que Véronique ne fume pas le n-ème jour.
Montrer que (pn)n∈N∗est une suite arithmético-géométrique et donner sa formule
explicite.
Exercice 4.
Soit n≥2. On dispose de nurnes numérotées de 1 à n. Dans l’urne numéro kse
trouvent kboules blanches et n−kboules rouges. On choisit au hasard équiprobable
une urne, puis on tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne.
On note
•B1: « la première boule tirée est blanche »
•B2: « la deuxième boule tirée est blanche »
• ∀k∈J1; nK,Uk: « on choisit l’urne k»
1. Soit k∈J1; nK. Déterminer la probabilité de Uk∩B1∩B2
2. Quelle est la probabilité d’avoir deux boules blanches.
Exercice 5.
Avec les notations du premier exemple du cours. On tire au hasard un portable
et l’on constate que son écran ne fonctionne pas. Quelle est la probabilité que ce
portable soit sorti de l’atelier A?
Exercice 6.
On considère un ensemble de maisons équipées d’alarmes vendues par la même
compagnie.
D’après la compagnie, leurs alarmes sont fiables à 99% : la probabilité qu’elles
se déclenchent en présence d’un cambrioleur est de 99%, la probabilité qu’elle se
déclenche en l’absence d’un cambrioleur est de 1%.
L’une des maisons équipées est choisie au hasard équiprobable. On estime que
la probabilité qu’une maison soit cambriolée est de 0.1%.
Quelle est la probabilité qu’elle ait été cambriolé sachant que l’alarme s’y est
déclenchée ? (On utilisera une calculatrice pour l’application numérique.)
Exercice 7.
Dans un jeu télévisé on demande au candidat de choisir au hasard entre trois
portes numérotées de 1 à 3. Derrière l’une d’entre elles se trouve une voiture,
derrière les deux autres se trouve une chèvre.
Le candidat choisit au hasard la porte 3. Le présentateur ouvre au hasard une
porte ne cachant pas la voiture, parmi les deux autres portes. Il demande au can-
didat s’il souhaite changer de porte.
On pose Oi: « le présentateur ouvre la porte i» et Vi: « la voiture est derrière
la porte i».
Si le présentateur ouvre la porte 1, le candidat a-t-il intérêt à changer de porte ?
Exercice 8.
Soit (Ω,P(Ω),P)un espace probabilisé fini. Soit Aun événement. Déterminer
une condition nécessaire et suffisante pour que Asoit indépendant de A.
Exercice 9.
Soit (Ω,P(Ω),P)un espace probabilisé fini. Existe-t-il deux événements Aet B
indépendants et incompatibles ?
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Exercice 10.
Soit (Ω,P(Ω),P)un espace probabilisé fini. Soient A,Bet Ctrois événements
mutuellement indépendants.
1. Montrer que Aet B∩Csont indépendants.
2. Montrer que Aet B∪Csont indépendants.
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