Estimation de la probabilité d`événements rares

Krigeage
Vision bayésienne
Échantillonnage préférentiel
Estimation de la probabilité d’événements rares
Yves AUFFRAY1, Pierre BARBILLON2, Jean-Michel MARIN3
Université Paris-Sud 11
Projet SELECT (Inria Saclay -île-de-France)
[email protected]
1Dassault Aviation, Université Paris-sud 11
2Université Paris-Sud 11, INRIA Saclay
3Université Montpellier 2
P. Barbillon Estimation de la probabilité d’événements rares

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Échantillonnage préférentiel
Problématique
Soient
Xest une variable aléatoire à valeurs dans E⊂Rdde loi connue,
simulable
gsa densité par rapport à la mesure de Lebesgue.
f:E⊂Rd→R+une fonction “boîte noire” coûteuse
R={x∈E⊂Rd:f(x)≤ρ}où ρ > 0 est fixé.
{X∈R}est un événement redouté et rare.
Objectif : Borner supérieurement tρ=P(X∈R) = P(f(X)< ρ)avec un bon
niveau de confiance.
Compte tenu de son coût d’évaluation, on dispose d’un “budget”maximal de
Nappels à f.
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Limite de l’estimateur de Monte-Carlo
Pour un N-échantillon (X1,...,XN)de copies de X, l’estimateur de
Monte-Carlo est
ˆ
tMC
ρ=1/N
N
X
i=1
IR(Xi).
E(ˆ tMC
ρ) = P(X∈R) = tρ,
Var(ˆ tMC
ρ) = 1
Ntρ(1−tρ).
Si tρ<< 1/N,ˆ tMC
ρsera nul, très probablement et l’intervalle de confiance
associé à l’estimateur, de forme [0,t+
ρ]pourra ne pas être assez précis.
Exemple : si tρ=4.7·10−4et N=100,
ˆ
tMC
ρ=0 avec probabilité (1−tρ)N=0.95,
le cas échéant, l’intervalle de confiance à 99%est
[0;1−(1/100)1/N] = [0;0.045].
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