Cours n° 12 : Régime sinusoïdal forcé et filtres

Cours n° 12 : Régime sinusoïdal forcé et filtres
En France, Lucien Gaulard invente le transformateur (brevet du 7 novembre 1882). La machine synchrone est
inventée aux États-Unis par le physicien Nikola Tesla (dépôt de brevets du 1er mai 1888). Ces deux inventions
permettent de surmonter les limitations imposées par l'utilisation du courant continu pour la distribution de
l'électricité alors préconisée par Thomas Edison qui avait déposé de nombreux brevets en rapport avec cette
technique (et possédait des réseaux de distribution de courant continu). Les avantages apportés par le transport et
la distribution de l'énergie électrique par courants alternatifs sont indéniables. L'industriel George Westinghouse,
détenteur des brevets, finit par l'imposer aux États-Unis.
La volonté de Westinghouse de développer l'utilisation du courant alternatif se heurte à celle d'Édison qui a misé sur le courant continu. Les deux hommes mènent
une véritable « Guerre des courants ». Édison affirme que les hauts voltages sont dangereux, puis Westinghouse lui répond que ces risques sont évitables et de
toute façon de faible importance en comparaison des bénéfices attendus du courant alternatif. Dans plusieurs États américains, Édison se voit refuser une demande
de limitation des tensions à 800 volts pour le transport de l'électricité. En 1887, l'État de New York cherche à déterminer la meilleure manière d'exécuter les
condamnés à mort et consulte Edison à ce sujet. Ce dernier est d'abord réticent, car opposé à la peine de mort, mais face aux succès remportés par Westinghouse
sur le front la distribution d'électricité, il voit là une occasion de porter un coup décisif. Il engage alors Harold P. Brown, un ingénieur jusque-là extérieur au conflit
et donc impartial, afin de tuer par électrocution des animaux lors d'expériences publiques, en utilisant bien sûr un courant alternatif. Édison affirme alors aux
autorités que le courant alternatif est si puissant qu'il peut tuer instantanément une personne, ce qui en fait un moyen idéal pour procéder à des exécutions. En août
1890 a lieu la première exécution capitale au moyen de la chaise électrique de Brown. Westinghouse tente de riposter en engageant le meilleur avocat de l'époque,
qui condamne l'électrocution en arguant de la cruauté du procédé. L'exécution de William Kemmler se révèle particulièrement laborieuse, si bien que
Westinghouse affirme qu'une hache aurait été plus adaptée. Toutefois, Édison ne parvient pas à donner à ce procédé le nom de « Westinghouse ». Édison échouera
finalement dans sa campagne de dénigrement du courant alternatif et son entreprise, la General Electric, se lancera à son tour dans la production d'équipements
adaptés à ce type de courant.
Les circuits avec des résistances, condensateurs et bobines peuvent être utilisés en régime sinusoïdal forcé.
Cette étude alternative à l’étude de la réponse à un échelon menée aux deux chapitres précédents, peut être
réalisée selon deux techniques. La technique graphique de la représentation de Fresnel et la technique
algébrique de la représentation complexe des tensions et courants. Dans les deux cas , on a accès aux
grandeurs qui caractérisent les variations sinusoïdales amplitude (ou valeur crête) et déphasage. Ces deux
valeurs dépendent de la fréquence. La technique de la représentation complexe permet de substituer aux
équations différentielles qui décrivent tout régime dépendant du temps, des équations algébriques faciles à
résoudre, analogues à celles des circuits de l’ARQP. La notion d’impédance complexe se substitue alors à
celle de résistance. On peut ainsi étudier les phénomènes de résonance en tension ou en courant et les
filtres de toute nature passe bande, passe bas, passe haut ou coupe-bande. On pourra lire le data sheet du
MEMS dont le réglage fait appel à des filtres passe-bande à bande passante réglable.
Cette étude, dite harmonique, sera justifiée dans deux chapitres, par le puissant théorème des séries de Fourier que nous
avions évoqué au début de l’année et sur lequel nous reviendrons.

0) Rappel déphasage
1 1 0 1 2 2 2 0
0 0 0
02
0
2 2 2
onsidérons deux signaux ( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( ) cos 2
on pose qui exprime une règle de 3, les proportions devant etre identiques U ( )
22
C U t C t C t U t C t C t T
T T T
Tt
T
20
1
2
2
cos
On peut voir que si le premier signal U a son argument qui s'annule à la date t = 0,
le deuxième U a son argument qui s'annule à la date t = - pour laquelle son argument t+ est ef
Ct
T
21
fectivement nul.
On peut donc dire que le signal U (t) est en avance sur le signal U ( )
Pour cette raison la quantité est appelée avance de phase du signal 2 sur le signal 1
Un synonyme d'avance de
t
22
0
phase est déphasage
2
Remarque : Si on avait travaillé avec la convention ( ) cos( ) ,
ce que l'on ne fera pas a priori dans ce cours, on aurait alors parlé pour de retard de phase.
U t C t
T
Remarque 1 : attention il ne s’agit pas d’une photo du tiercé à un instant donné où on voit l’abscisse des chevaux, ce
qui donnerait alors l’impression que le cheval rouge est en retard sur le noir. Il s’agit d’un graphe temporel : la
courbe rouge touche l’axe des temps en descendant à une date plus petite que celle à laquelle la courbe noire
touche l’axe des temps en descendant. La courbe rouge est donc bien en avance sur la courbe noire.
Remarque 2 : comme on a affaire à des signaux périodiques, les déphasages doivent être inférieurs à  en valeur
absolue et les retards à T0/2 en valeur absolue aussi.
Remarque 3 : quand des signaux sont en quadrature retard ou avance, l’un est nul quand l’autre est extremum.
Remarque 4 : pour mesurer un déphasage on mesurera un écart temporel :
21
0
2
1
2
il faudra se débrouiller pour que <
2
représente la date du passage par 0 en montant du signal de référence
t représente la date du passage par 0 en montant du signal déphasé
si t est
tt
T
t
1
supérieur à t le signal est en avance
Opération de dérivation :
La courbe noire est f(t)= cos(t), la courbe rouge est sa dérivée df/dt= -sin(t)=cos(t+/2) , quand on dérive
cela fait prendre de l’avance (une quadrature =
242
) et cela multiplie l’amplitude par la pulsation.
U1(t)
t
τ
0
U2(t)
t2
t1

La dérivée possède un caractère prédictif, lorsque l’on conduit on le fait en réagissant à la variable d’écart avec la voiture qui
nous précède mais aussi en fonction de la variation ou dérivée de cette variable. Si la voiture devant nous freine, on freine
encore plus fort. Imaginer la prolongation d’une courbe selon la tangente, c’est extrapoler, c’est prédire.

I) Expérience circuit RC
Pour notre circuit, on constate que la tension condensateur est en retard sur la tension délivrée par le générateur
Il apparait expérimentalement que l’amplitude du signal de sortie est identique à celui du signal d’entrée à basse
fréquence, les deux signaux étant même confondus.
Quand la fréquence augmente, l’amplitude du signal de sortie diminue jusqu’à 0, en même temps qu’il prend du
retard sur le signal d’entrée jusqu’à atteindre une quadrature retard.
Disons tout de suite que l’on a ici affaire à un filtre passe bas du premier ordre, on y reviendra dans une leçon
ultérieure.
i = dq/dt
uR = Ri
q
uS=uC = q/C
CH1
CH2
C =100 nF
ug(t)
R=100 Ohms