Exercices : 23 - Dipôles magnétiques

1 – Exercices : 23 - Dipˆoles magn´etiques Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 23 - Dipˆoles magn´etiques
A. Moments magn´etiques
1. Disque charg´e en surface
Soit un disque isolant d’axe Oz et de rayon aqui porte une charge superficielle σuniforme sur l’ensemble de
la surface. Ce disque est mis en rotation uniforme `a la vitesse angulaire ωautour de l’axe Oz. D´eterminer
l’expression du moment magn´etique et l’expression du champ magn´etique cr´e´e loin de la sph`ere en utilisant
l’expression du cours donnant le champ magn´etique d’un dipˆole.
2. Sph`ere charg´ee en volume
Soit une sph`ere d’axe Oz et de rayon aqui porte une charge volumique ρuniform´ement r´epartie. Cette sph`ere
est mise en rotation uniforme `a la vitesse angulaire ωautour de l’axe Oz. D´eterminer l’expression du moment
magn´etique et l’expression du champ magn´etique cr´e´e loin de la sph`ere en utilisant l’expression du cours donnant
le champ magn´etique d’un dipˆole.
R´eponses : ~m =4πρωa5
5~ez,~
B=µ0
5
ρωa5
r3(2 cos θ~er+ sin θ~eθ).
B. Dipˆole passif
3. Force exerc´ee sur une spire
I
i
b
a
D
Un fil rectiligne infini, parcouru par un courant I, est dispos´e dans le vide dans le
mˆeme plan qu’un rectangle de fil parcouru par un courant i. Les cˆot´es du rectangle
parall`eles au fil sont de longueur aet plac´es aux distances Det D+bdu fil ; les
deux autres cˆot´es du rectangle sont de longueur b. On supposera D≫b. Voir la
figure ci-contre.
D´eterminer la force de Laplace exerc´ee par le fil sur la spire en consid´erant cette
derni`ere comme un dipˆole passif.
4. Cadre plong´e dans un champ magn´etique
Un cadre rectangulaire ABCD ind´eformable peut pivoter autour d’un axe m´edian M N. La surface du cadre
est S. Il est parcouru par un courant Idans le sens ABCD. Il est plac´e dans un champ magn´etique uniforme
~
B0plac´e dans un plan horizontal perpendiculaire `a M N. On note Jle moment d’inertie du cadre par rapport
`a l’axe MN. Voir la figure 1. On donne AB =aet BC =b. La normale au cadre est repr´esent´ee en pointill´es.
M
N
A
D
B
C
θ
Inormale
~
B0
Figure 1 – Cadre
1. D´eterminer l’´equation diff´erentielle du mouvement du cadre.
2. Quelles sont les positions d’´equilibre ?
3. ` A quels endroits peut-on observer des oscillations de petites amplitudes dont on calculera la p´eriode ?
R´eponses : J¨ θ+IabB0sin θ= 0, θ= 0 stable, θ=πinstable, autour de θ= 0 avec T= 2πqJ
IabB0.
C. Dipˆole actif
5. Comparaison de deux mod`eles
Soit une spire circulaire de centre Oet de rayon Rparcourue par un courant I. Soient Aet A′deux points de
l’axe de la spire tels que OA =OA′=a. Soit ~ Ble champ cr´e´e par la spire. Voir la figure 2.
1. D´eterminer la circulation de ~ Ble long de −−→ AA′.
2. En utilisant le th´eor`eme d’Amp`ere (le long du circuit ferm´e AA′+C), en d´eduire la circulation de ~ Ble
long du circuit C, demi-cercle de centre Oet de rayon a.
JR Seigne Clemenceau Nantes

Sciences Physiques MP 2016-2017 Exercices : 23 - Dipˆoles magn´etiques – 2
z
O
A′
A
IC
L
Figure 2 – Spire et dipˆole
3. D´eterminer le moment magn´etique ~ Mde la spire, le champ cr´e´e par ce moment et la circulation de ce
champ le long de C. Comparer au r´esultat de la question pr´ec´edente.
6. Oscillateur `a deux dipˆoles
Deux dipˆoles magn´etiques (cf. fig. 3) de mˆeme moment dipolaire mconstant peuvent tourner librement autour
de deux axes parall`eles, fixes, perpendiculaires `a la droite AB qui les joint (AB =a).
a
α1
α2
~m1~m2
Figure 3 – Oscillateur `a deux dipˆoles
1. ´ Etablir l’expression de l’´energie potentielle d’interaction entre ces deux dipˆoles, en fonction des angles α1
et α2faits par les deux moments dipolaires avec la droite AB. On posera W0=µ0
4π
m2
a3.
2. D´eterminer les ´etats d’´equilibre du syst`eme. ´ Etudier leur stabilit´e.
3. On appelle Jle moment d’inertie d’un de ces dipˆoles par rapport `a son axe de rotation. D´eterminer
la pulsation des petites oscillations autour de l’´equilibre d’un dipˆole lorsque l’orientation de l’autre est
bloqu´ee.
R´eponses : ~ B1(A2) = µ0m
4πa3[2 cos α1~er+ sin α1~eθ], ~m2=m[cos α2~er−sin α2~eθ], W=W0[−2 cos α1cos α2+
sin α1sin α2] ; ∂W
∂α1= 0, ∂W ∂α2= 0, 2 cos α2sin α1=−cos α1sin α2, 2 cos α1sin α2=−cos α2sin α1, cos α1sin α2=
0 et sin α1cos α2= 0, (0,0) stable, (π, π) stable, ( π
2,−π 2) stable, (0, π) instable, (π, 0) instable, ( π 2,π 2) instable ;
J¨ǫ+ 2W0ǫ= 0, ω0=q2W0
Jautour de (0,0).
JR Seigne Clemenceau Nantes