corrigé - résumés de cours , exercices de maths avec corrigés 1S et

Trigo - corrigés feuille d’exercices 1
arcs et angles dans un plan orienté
page 1 /10
En préalable : des vocabulaires , des outils dans un plan orienté
! !
!
!
!
!
\
\
\
1) un triangle ABC est dit de sens direct lorsque les angles orientés (AB;
AC) , (BC; BA) (CA; CB) associés aux sommets
du triangle ont des mesures principales positives .
…gure : ABC de sens direct
! En utilisant le cercle C circonscrit au triangle ABC , pour aller de A vers B
puis de B vers C puis de C vers A on se déplace sur C dans le sens direct .
!
\!
! Les arcs orientés indiquant les mesures , , des angles (AB; AC) ,
!
!
\!
\!
(BC; BA) (CA; CB) sont orientés dans le sens direct .
!
!
!
\
\!
\
\
! (!
u;!
v),( !
u; !
v ) sont de même mesure ; ( i ; j ) , ( i ; j ) sont de même
mesure
!
!
u et
.
!
\!
j étant colinéaires de sens contraires , L’angle orienté ( !
u; j )
est un angle plat de mesure
\!
! L’angle orienté ( !
u ; j ) étant un angle plat de mesure
concernant les mesures des angles orientés permet d’a¢ rmer :
, la relation de Chasles
+
+
=
! !
!
!
!
!
\
\
\
2) un triangle ABC est dit de sens indirect lorsque les angles orientés (AB;
AC) , (BC; BA) (CA; CB) associés aux sommets
du triangle ont des mesures principales négatives dont la somme vaut
. Dans ce cas , pour aller de A vers B puis de B vers C
puis de C vers A on se déplace dans le sens indirect sur le cercle C circonscrit au triangle ABC . Sur la …gure ci-dessus il
su¢ t de conserver la position de A et de permuter les sommets B et C pour obtenir un triangle ABC de sens indirect et alors
"tout tourne en sens indirect " !
3) Le cercle circonscrit à un triangle ABC rectangle en A est un cercle de diamètre [BC] .
!
!
4) Le cercle de diamètre [BC] est l’ensemble des points M tels que M B ? M C ( avec M disctinct de B et C , le triangle M BC
est rectangle en M ) .
\
5) angle opposé de (!
u;!
v ) : avec
\
mesure de (!
u;!
v ) on a :
\
6) angle (a!
u ; b!
v ) : avec a et b non nuls : (a!
u ; b!
v)
\
mesure de (!
v ;!
u ) . Autrement dit : (!
v ;!
u)
(!
u;!
v ) [2 ] , ab > 0 ; (a!
u ; b!
v)
+ (!
u;!
v ) [2 ] , ab < 0 .
7) Relations de Chasles concernant les angles orientés
8
< (!
u;!
v)
(!
u;!
w ) + (!
w ; v) [2 ]
!
!
: (!
u;!
v)
( t ;!
v ) ( t ;!
u ) [2 ]
8
!
!
!
!
! !
>
>
(OA; OB)
(OA; OC) + (OC; OB) [2 ]
<
! ! ! !
! avec des vecteurs OA; OB; OC; OI :
>
! !
! !
! !
>
: (OA; OB)
(OI; OB) (OI; OA) [2 ]
!
! avec des vecteurs !
u;!
v ;!
w; t :
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(!
u;!
v ) [2 ] .
Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
exercice 1
page 2 /10
ABC équilatéral de
ABC rectangle isocèle
ABCD quadrilatère inscriptible
centre de gravité G
de sommet principal A
dans un cercle de diamètre [AB]
ABC rectangle en A
angles dits opposés
angles à côtés deux à
[AH] hauteur issue de A
par le sommet
deux perpendiculaires
angles dits correspondants
angles dits alternes internes
angles dits alternes externes
deux situations utilisant
!
\!
un angle inscrit (M A; M B) et
!
\!
un angle au centre (OA; OB)
y
interceptant le même arc AB
A savoir :
! !
! !
(OA; OB) 2(M A; M B)[2 ]
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Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
exercice 2
mesures en radians et mesures en degrés
page 3 / 10
En préalable
y
! L’arc orienté II 0 utilise un demi-tour de longueur et est associé à
!
\!
l’angle plat (OI; OI 0 ) de mesure radians ou bien de mesure 180 degrés .
y
! Pour les mesures de l’arc orienté IM , qui sont aussi les mesures de
!
\!
l’angle orienté (OI; OM ) , on utilise le principe suivant pour faire des
conversions degrés
! radians :
y
mesure de IM = quantité de demi-tour
mesure d’un demi-tour
Pour compléter le tableau on commence par déterminer la quantité de demi-tour utilisée ( deuxième ligne du tableau )
radians ;
=q
1 rad
quantité q de demi-tour utilisée : q =
d degrés ; d = q
radians ;
=
d
180
1
1
180
d degrés ; d = q
=
180 ' 57; 3
7
rad
12
7
12
7
180 = 105
12
=q
quantité q de demi-tour utilisée : q =
' 0; 32
d
180
180
6
1
6
1
6
rad
180 = 30
1
=
3
3
60
1
=
180
3
5
9
100
5
=
180
9
60o
100o
8
45
1
22; 5
=
=
180
360
8
34
45
34
136
=
180
45
22; 5o
136o
3
rad
4
3
4
3
180 = 135
4
exercice 3
Points images sur un cercle trigonométrique de réels dé…nis par un modulo
2
2
le principe On a :
n = 2 et donc intuitivement : il su¢ t de faire successivement n arcs de cercle de même mesure
pour
n
n
2
faire un tour complet du cercle C . En raisonnant modulo n , un ensemble de réels x dé…nis modulo
peut être décomposé en une
n
partition de n catégories de réels dé…nis modulo 2 et représentés par un seul point image sur le cercle trigo . Un tel ensemble est
donc représenté par un ensemble de n sommets distincts qui sont les extrémités d’un diamètre de C ( n = 2) ou bien les sommets
d’un polygone régulier à n côtés ( n
3)
3
! …gure 1 : points images des réels x tels que : x
[ ]
8
3
3
On a : x
[ ] , 9K 2 Z; x =
+ K ( ) et avec deux demi-tours (2
) on e¤ectue un tour complet de cercle . En utilisant
8
8
les deux restes ( 0 et 1 ) de la division d’un entier par 2 on obtient deux formes possibles pour l’entier K : 2k + 0 soit 2k , 2k + 1
3
3
3
D’où : x
[ ] , 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+ (2k + 1) ( )
8
8
8
3
3
3
Puis : x
[ ] , 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+
+ 2k
8
8
8
3
3
11
Soit : x
[ ] , 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+ 2k
8
8
8
3
11
Soit : x
[ ],x
[2 ] ou x
[2 ]
8
8
8
On crée ainsi deux catégories de réels modulo 2 associées à deux points
images sur le cercle C qui sont diamétralement opposés .
entier K
3
x=
+K( )
8
0
3
8
point image sur C
A1
1
3
+
8
soit :
A2
2
11
8
3
+2
8
A1
Pour placer le point A1 sur le cercle trigo on utilise :
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3
3 180
radians correspond à
degrés soit à 67; 5o
8
8
Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
On a : x
2 2
! …gure 2 : points images des réels x tels que : x
[ ]
5 3
2
2
2
2
, 9K 2 Z; x =
+K
et avec trois tiers de tour
5
3
5
3
page 4 / 10
3
2
3
on e¤ectue un tour complet de cercle .
En utilisant les trois restes ( 0 , 1 et 2) de la division euclidienne d’un entier par 3 on obtient trois formes possibles pour l’entier K :
3k , 3k + 1 , 3k + 2 .
2
2
2
2
2
D’où : x
, 9k 2 Z; x =
+ 3k
ou x =
+ (3k + 1)
5
3
5
3
5
2
2
2
2
2
2
Puis : x
, 9k 2 Z; x =
+ 3k
ou x =
+
+ 3k
5
3
5
3
5
3
2
6
2
10
2
2
4
2
D’autre part :
=
et
=
donc :
+
=
et :
+2
5
15
3
15
5
3
15
5
2
2
2
4
Par conséquent : x
, 9k 2 Z; x =
+ k (2 ) ou x =
+ k (2
5
3
5
15
2
2
2
4
14
,x
Soit : x
[2 ] ou x
[2 ] ou x
[2 ]
5
3
5
15
15
2
2
2
ou x =
+ (3k + 2)
3
5
3
2
2
2
2
ou x =
+2
+ 3k
3
5
3
3
2
2
2
2
4
2
14
=
+
+
=
+
=
3
5
3
3
15
3
15
14
) ou x =
+ k (2 )
15
On crée ainsi trois catégories de réels modulo 2 associées à trois points images sur le cercle C .
x=
entier K
2
2
2
10
+K
;
=
5
3
3
15
point image sur C
K
x=
point image
2
2
2
+2
5
3
0
1
2
5
2
2
4
+
=
5
3
15
A1
A2
3
=
A3
14
15
2
+3
5
2
3
=
2
+2
5
A1
Pour placer le point A1 sur le cercle trigo avec un rapporteur on utilise :
2
2 180
radians correspond à
degrés soit à 72o
5
5
Les trois points images A1 , A2 , A3 sont les sommets d’un triangle équilatéral de sens direct .
y
y
y
2
En e¤et : les trois angles au centre O de C interceptant les arcs A1 A2 , A2 A3 , A3 A1 sont de mesure
( on passe d’un sommet
3
!
!
\ !
\ !
du triangle au suivant en faisant un tiers de tour ) . Par conséquent les trois angles inscrits (A1 A2 ; A1 A3 ) , (A2 A3 ; A2 A1 ) ,
y
y
y
!
\ !
(A3 A1 ; A3 A2 ) interceptant respectivement les arcs A2 A3 , A3 A1 A1 A2 sont tous de même mesure
.
3
4
! …gure 3 : points images des réels x tels que : x
[ ]
9 2
h
i
4
x
, 9K 2 Z; (!
u;!
v)= +K
et 4
= 2 soit : quatre quarts de tour pour e¤ectuer un tour complet de cercle .
9 2
9
2
2
Avec les quatre restes ( 0 , 1 , 2 et 3) de la division d’un entier par 4 on obtient pour K : K = 4k ou 4k + 1 ou 4k + 2 ou 4k + 3
4 h i
4
4
4
4
x
, 9k 2 Z; x =
+ 4k
ou x =
+ (4k + 1)
ou x =
+ (4k + 2)
ou x =
+ (4k + 3)
9 2
9
2
9
2
9
2
9
2
4 h i
4
4
4
4
x
, 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+1
+ 2k ou x =
+2
+ 2k ou x =
+3
+ 2k
9 2
9
9
2
9
2
9
2
h
i
4
4
4
4
4
3
x
, 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+ + 2k ou x =
+ + 2k ou x =
+
+ 2k
9 2
9
9
2
9
9
2
4
8
9
18
3
27
D’autre part :
=
; =
; =
;
=
. Par conséquent :
9
18
2
18
18
2
18
4 h i
4
17
26
35
x
, 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+ 2k ou x =
+ 2k ou x =
+ 2k
9 2
9
18
18
18
h
i
4
4
17
13
35
Ainsi : x
,x
[2 ] ou x
[2 ] ou x
[2 ] ou x
[2 ]
9 2
9
18
9
18
On a donc quatre catégories de réels modulo 2 associées à quatre points images sur le cercle C .
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page 5 / 10
entier K
4
+K
9
2
0
4
9
1
4
17
+ =
9
2
18
point image sur C
A1
A2
K
2
x=
4
3
35
+
=
9
2
18
point image
A4
2
4
+
9
=
13
9
A3
3
4
+4
9
2
=
4
+2
9
A1
Pour placer le point A1 sur le cercle trigo avec un rapporteur on utilise :
4
4 180
radians correspond à
degrés soit à 80o
9
9
13
4
Les réels
et
ont une di¤érence égale à : leurs points images respectifs A3 et A1 sont donc diamétralement opposés .
9
9
35
13
Les réels
et
ont une di¤érence égale à : leurs points images respectifs A4 et A2 sont donc diamétralement opposés .
18
18
y
!
\!
Les diamètres [A1 A3 ] et [A2 A4 ] sont portés par des droites perpendiculaires car (OA1 ; OA2 ) et A1 A2 de même mesure
.
2
Les quatre points images A1 , A2 , A3 , A4 sont les sommets d’un carré . Les côtés [A1 A2 ] , [A2 A3 ] , [A3 A4 ] , [A4 A1 ] sont de
p
même longueur 2 comme hypothénuses de triangles rectangles isocèles en O ayant les autres côtés de longueur 1 ( rayon de C) .
x
7 2
[ ]
! …gure 4 : points images des réels x tels que : x
10 5
7
2
7
2
2
+K
= 2 ( on raisonne par cinquième de tour )
, 9K 2 Z; (!
u;!
v)=
et 5
10 5
10
5
5
En utilisant les cinq restes ( 0 , 1 , 2 , 3 et 4) de la division euclidienne d’un entier par 5 on obtient cinq formes possibles pour
7
2
l’entier K : 5k , 5k + 1 , 5k + 2 , 5k + 3 et 5k + 4 . On peut donc remplacer 9K 2 Z; (!
u;!
v)=
+K
par : 9k 2 Z;
10
5
7
7
7
7
7
2
2
2
2
x=
+ 5k
ou x =
+ (5k + 1)
ou x =
+ (5k + 2)
ou x =
+ (5k + 3)
ou x =
+ (5k + 4)
10
5
10
5
10
5
10
5
10
7
2
7
2
2
2
7
7
11
D’autre part :
+ 5k
+ 2k ;
+ (5k + 1)
+
+ 5k
+ 2k
=
=
=
10
5
10
10
5
10
5
5
10
2
7
4
15
3
7
2
7
6
19
7
+ (5k + 2)
=
+
+ 2k =
+ 2k =
+ 2k ;
+ (5k + 3)
=
+
+ 2k =
+ 2k ;
10
5
10
5
10
2
10
5
10
5
10
7
2
7
8
23
+ (5k + 4)
=
+
+ 2k =
+ 2k . Par conséquent :
10
5
10
5
10
7
2
7
11
3
2
19
23
x
ou x =
, 9k 2 Z; x =
+ 2k ou x =
+ 2k ou x =
+ 2k
+ 2k ou x =
+ 2k
10 5
10
10
2
5
10
10
11
3
19
23
7
2
7
x
,x
[2 ] ou x
[2 ] ou x
[2 ] ou x
[2 ] ou x
[2 ]
10 5
10
10
2
10
10
entier K
7
2
+K
10
5
point image sur C
0
1
2
3
4
5
7
10
11
10
3
2
19
10
23
10
7
+2
10
A1
A2
A3
A4
A5
A1
Pour placer le point A1 sur le cercle trigonométrique de centre O on
7
7 180
utilise :
radians correspond à
degrés soit à 126o
10
10
Les cinq points images A1 , A2 , A3 , A4 , A5 sont les sommets d’un
pentagone régulier (pentagone ayant 5 angles égaux et cinq côtés de
même longueur ) .
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2
5
exercice 4
1) les outils : !
u et !
v sont deux vecteurs non nuls tels que (!
u;!
v)
1-1 Compléter le théorème suivant : (a!
u ; b!
v)
1-2 En déduire : (!
u; !
v)
[2 ] , ab > 0 et (a!
u ; b!
v)
!
( + ): [2 ] ; ( u; !
v)
[2 ]
page 6 / 10
( + ) [2 ] , ab < 0
( + ) [2 ] ; ( !
u;!
v)
[2 ]
! !
1-3 En déduire : Avec : (AB; AC)
[2 ] on a :
! !
!
!
! !
! !
! !
! !
(AB; CA) = (AB; AC) donc : (AB; CA) ( + ) [2 ] ; (BA; AC) = ( AB; AC) donc : (BA; AC) ( + ) [2 ]
! !
!
!
! !
! !
!
\!
(BA; CA) = ( AB; AC) donc : (BA; CA)
[2 ] ; (AC; AB)
[2 ] ( mesure de l’angle opposé de (AB; AC) )
! !
2
2) ABC sont trois points distincts deux à deux tels que (AB; AC)
[2 ] Déduire de 1-3 ce qui suit :
5
! !
! !
! !
! !
2
7
7
7
2
2
+
=
donc : (AB; CA)
[2 ] ; (BA; AC)
[2 ] ; (BA; CA)
[2 ] ; (AC; AB)
[2 ]
5
5
5
5
5
5
!
!
3) ABCD est un trapèze rectangle direct ( AB et DC sont colinéaires de même sens)
avec DAC rectangle isocèle direct en D et ABC isocèle direct de sommet principal A
( AB = AC ) .
!
\!
3-1 mesure principale de l’angle orienté (AB; DC)
!
!
!
\!
AB et DC sont colinéaires de même sens donc (AB; DC) est un angle nul de
mesure principale 0 .
!
\!
mesure principale de l’angle orienté (AB; AD)
!
! !
\!
La …gure permet d’observer : (AB; AD) est un angle droit direct . On doit donc justi…er : (AB; AD)
[2 ]
2
!
!
!
!
! !
! !
! !
AB et DC colinéaires de même sens donc : 9a 2 ]0; +1[ ; AB = aDC et : (AB; AD) = (aDC; AD) = (DC; AD) =
car a >0
! !
(AD; DC)
! !
! !
! !
D’autre part : ! (AD; DC) = ( DA; DC) entraîne : (AD; DC) =
! !
+ (DA; DC)
! !
! et DAC rectangle isocèle direct en D entraîne : (DA; DC)
[2 ]
2
! !
! !
! !
3
Par conséquent : (AD; DC) = + (DA; DC) = + soit : (AD; DC) =
.
2
2
! !
! !
! !
! !
3
3
Ainsi : (AB; AD) = (AD; DC) et (AD; DC) =
entraînent : (AB; AD) =
.
2
2
!
!
3
3
\!
\!
Une mesure de (AB; AD) étant
, sa mesure principale est :
+ 2 soit :
( résultat conforme avec (AB; AD) droit direct ) .
2
2
2
!
\!
3-2 mesure principale de l’angle orienté (AD; AC)
!
!
\!
\!
DAC étant un triangle rectangle isocèle direct en D , les angles orientés (AC; AD) et (CD; CA) ont une même mesure
!
!
!
\!
\!
\!
strictement positive . La somme des mesures principales des angles (AC; AD) , (CD; CA) ,(DA; DC) étant égale à , on obtient :
!
\!
+ + = . D’où : 2 = entraînant : = . (AC; AD) est donc de mesure principale
.
2
2
4
4
!
!
! !
!
\!
\!
\!
(AD; AC) est l’angle opposé de l’angle (AC; AD) et (AC; AD) = . Donc : (AD; AC) a pour mesure principale
.
4
4
!
\!
3-4 mesure principale de l’angle orienté (BC; AD)
! !
! !
! !
On a : (BC; AD)
(BC; BA) + (BA; AD) [2 ] ( relation de Chasles concernant les angles orientés ) .
!
!
\!
\!
D’autre part : ! le triangle ABC étant isocèle direct en A , les angles orientés (BC; BA) et (CA; CB) ont une même mesure
!
!
!
\!
\!
\!
strictement positive . La somme des mesures principales des angles (AB; AC) , (BC; BA) , (CA; CB) étant égale à , on obtient :
8
! !
! !
! !
!
\!
>
>
< ! (AB; AC) + (AC; AD) = (AB; AD) = (car : (AB; AD) angle droit direct)
! !
2
+ + (AB; AC) = . D’autre part :
!
\!
>
>
: ! (AC; AD) est de mesure principale (d’après 3-2)
4
! !
! !
!
3
3
\!
D’où : (AB; AC) =
(AC; AD) =
= entraînant : 2 + = puis : =
. Une mesure de (BC; BA) est donc
.
2
2
4
4
4
8
8
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Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
!
! !
! !
\!
\
! (BA; AD) = ( AB; AD) donc : (BA; AD)
mesure principale
2
! !
donc (BA; AD)
! !
Par conséquent : (BC; AD)
! !
! !
+ (AB; AD) [2 ] devient (BA; AD)
! !
! !
! !
(BC; BA) + (BA; AD) [2 ] devient : (BC; AD)
!
15
\!
Une mesure de (BC; AD) est donc
8
exercice 5
! !
!
\!
+ (AB; AD) [2 ] . (AB; AD) est un angle droit direct de
et sa mesure principale est :
15
8
2 soit
+
2
page 7 / 10
! !
[2 ] soit (BA; AD)
3
3
+
8
2
3
[2 ]
2
! !
15
[2 ] soit : (BC; AD)
[2 ]
8
8
1) A , B , C , D , E sont cinq points du plan tels que :
!
\!
! (CD; CB) est un angle droit direct
!
!
\!
\!
! Les angles orientés (BC; BA) et (DC; DE) ont respectivement
pour mesures
et
.
!
\!
une mesure de l’angle orienté (AB; BC)
!
! !
!
! !
\!
\
\!
On a (AB; BC) = ( BA; BC) donc (AB; BC) de mesure + (BA; BC) .
! !
!
!
!
\!
\!
\!
D’autre part : (BA; BC) est l’angle opposé de (BC; BA) et (BC; BA) de mesure donc : (BA; BC) =
!
! !
!
\!
\!
Par conséquent : (AB; BC) de mesure + (BA; BC) devient : (AB; BC) de mesure
!
\!
une mesure de l’angle orienté (CD; DE)
!
! !
!
! !
!
\!
\
\!
\!
On a : (CD; DE) = ( DC; DE) donc (CD; DE) de mesure + (DC; DE) et (DC; DE) de mesure
! !
! !
!
\!
Donc : (CD; DE) = + (DC; DE) = + . Ainsi : (CD; DE) de mesure + .
! !
(BC; BA) =
.
!
\!
déduction : une mesure de l’angle orienté (AB; DE)
! !
! !
! !
! !
En utilisant la relation de Chasles concernant les angles orientés on obtient : (AB; DE) (AB; BC) + (BC; CD) + (CD; DE)[2 ]
! !
! !
On vient de prouver : (AB; BC) (
) [2 ] et (CD; DE) ( + ) [2 ] (1)
!
! !
! !
! !
\!
\
D’autre part : ! (BC; CD) = ( CB; CD) donc (BC; CD) = + (CB; CD) .
!
!
! !
! !
\!
\!
! (CB; CD) est l’angle opposé de l’angle droit direct (CD; CB) donc : (CB; CD) = (CD; CB) =
.
2
! !
! !
Par conséquent : (BC; CD) = + (CB; CD) =
=
(2)
2
2
! !
! !
! !
! !
5
En utilisant (1) et ( 2) on obtient : (AB; DE) = (AB; BC) + (BC; CD) + (CD; DE) = (
+
)+ +( + )=
2
2
!
!
5
5
\!
\!
Une mesure de (AB; DE) est donc : (
)+
+ 2 . Une autre mesure de (AB; DE) est : (
)+
2 .
2
2
!
\!
Conclusion : une mesure de (AB; DE) est donc : (
)+
2
2) En préalable : convertir en radians les di¤érentes mesures en degrés intervenant dans ces deux …gures
En utilisant le principe expliqué dans l’exercice 2 on obtient :
136
34
108
3
136o correspond à
radians soit à
radians ; 108o correspond à
radians soit à
radians .
180
45
180
5
46
23
72
2
46o correspond à
radians soit à
radians ; 72o correspond à
radians soit à
radians .
180
90
180
5
!
!
!
!
\
\!
\!
Les deux …gures de la page 08 mettent en évidence un angle droit direct (CD; CB) et deux angles orientés (BC; BA) , (DC; DE) .
Elles représentent donc deux illustrations de la situation dé…nie à la question 1) . En notant et les mesures en radian
!
!
!
\!
\!
\!
respectives des angles orientés (BC; BA) , (DC; DE) on sait d’après la question 1) que l’angle orienté (AB; DE) est
de mesure : (
)+
2
.
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Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
Que peut-on dire des droites (AB) et (DE) ?
page 8 / 10
…gure 1
…gure 2
!
34
34
\!
(BC; BA) de mesure 136o et
rad . Donc : =
45
45
!
23
23
\!
(DC; DE) de mesure 46o et
rad . Donc : =
90
90
23
34
Donc : (
)+ =
+
2
90
45
2
23
68
45
Soit : (
)+ =
+
=0
2
90
90
90
!
\!
L’angle orienté (AB; DE) est donc de mesure : 0
!
\!
On peut donc a¢ rmer : ! (AB; DE) est un angle nul
! !
! les vecteurs AB; DE sont colinéaires de même sens
!
3
\!
(BC; BA) de mesure 108o et
5
!
\!
(DC; DE) de mesure 72o et
2
Donc : (
)+ =
2
5
! les droites (AB) et (DE) sont parallèles
! les droites (AB) et (DE) sont perpendiculaires
Soit : (
3
rad . Donc : =
5
2
rad . Donc : =
5
3
+
5
2
2
5
)+
=( )+ =
2
2
2
!
\!
L’angle orienté (AB; DE) est donc de mesure :
2
!
\!
On peut donc a¢ rmer : ! (AB; DE) est un angle droit indirect
! !
! les vecteurs AB; DE sont orthogonaux
! !
Le plan est muni d’un repère (O; OI; OJ) orthonormal direct ; M est un point situé sur le cercle trigonométrique C
!
!
\
de centre O . Dans chacun des quatre cas suivants on donne une mesure x de l’angle orienté ( i ; OM ) .
!
!
\
On demande de déterminer les deux mesures suivantes de l’angle orienté ( i ; OM ) :
exercice 6
1) la mesure principale
2) la mesure
traduisant un trajet de moins d’un demi-tour de cercle en sens direct ou indirect pour aller de I en M
, distincte de
En préalable
, traduisant un trajet de moins d’un tour de cercle en sens direct ou indirect pour aller de I en M
1) point de vue trigonométrique
Pour se rendre en M à partir de I en moins d’un tour de cercle C , on peut , selon le sens choisi pour le parcours , utiliser deux arcs
orientés de longueurs respectives
et
dont la somme des valeurs absolues vaut 2 . En notant
la longueur du trajet le plus court
( qui utilise moins d’un demi-tour de cercle ) deux cas se présentent selon le sens ( direct ou indirect ) dans lequel il est e¤ectué :
si le trajet le plus court est e¤ectué en sens direct alors :
si le trajet le plus court est e¤ectué en sens indirect alors :
! sa longueur
! sa longueur
véri…e :
! le trajet de longueur
longueur
véri…e :
> 0 et
2 [0; ]
! le trajet de longueur
est e¤ectué en sens indirect et la
< 0 et
+(
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) = 2 d’où :
=
véri…e :
2
longueur
véri…e :
< 0 et
2]
; 0]
est e¤ectué en sens direct et la
> 0 et
+(
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) = 2 d’où :
=
+2
2) point de vue algébrique : comment déterminer une mesure principale
méthode 1
page 9 / 10
En notant x la mesure d’un arc orienté , toute autre mesure y de cet arc peut se dé…nir par une égalité du type :
y = x + 2k avec k entier relatif . Rechercher la mesure principale
appartenant à l’intervalle ]
; ].
On est donc amené à résoudre un encadrement du type
La mesure principale
de cet arc est alors :
1er exemple d’application :
de cet arc revient donc à rechercher la mesure du type y
1er cas : x =
37
4
< x + 2k 6 avec x connu et k à déterminer .
= x + 2k0 , k0 étant la valeur trouvée précédemment pour k .
37
+ 2k avec k 2 Z et
4
. Toute mesure de cet arc est de la forme
la mesure
dite principale de cet arc est la seule à véri…er l’encadrement :
<
. D’autre part :
37
37
37
41
33
41
33
+ 2k
,
< 2k
,
< 2k
,
< 2k
( > 0)
< x + 2k
,
<
4
4
4
4
4
4
4
41
33
D’où :
< x + 2k
,
<k
( car 2 > 0 )
8
8
41
33
41
33
Or :
= 5; 125 ;
= 4; 125 . Donc le seul entier k véri…ant
<k
est : 5 .
8
8
8
8
37
3
3
.
Et avec k = 5 on obtient : x + 2k =
10 =
. La mesure principale demandée est donc : =
4
4
4
3
5
La deuxième mesure à déterminer est alors : = + 2 =
+2 =
.
4
4
121
121
2eme exemple d’application : 2eme cas : x =
. Toute mesure de cet arc est de la forme
+ 2k avec k 2 Z
5
5
et la mesure
dite principale de cet arc est la seule à véri…er l’encadrement :
<
. D’autre part :
121
121
121
116
126
< x + 2k
,
<
+ 2k
,
+
< 2k
+
,
< 2k
5
5
5
5
5
116
126
116
126
< x + 2k
,
<k
(2 > 0) et
= 11; 6 ;
= 12; 6 .
10
10
10
10
116
126
121
121
120
Le seul entier k véri…ant
<k
est : 12 . Avec k = 12 on obtient : x + 2k =
+ 24 =
+
10
10
5
5
5
La mesure principale demandée est donc : =
.
5
4
+2 =
La deuxième mesure à déterminer est alors : = + 2 =
.
5
5
=
a 2 N; n 2 N; n 6= 0
; .
a et n premiers entre eux
en sens direct pour x > 0
L’idée est d’approcher la mesure x donnée par un nombre de tours complets
en sens indirect pour x < 0
a
a
a
a
Par exemple avec x =
on peut écrire x =
=
=
2
.
|{z}
n
n
n
2n
|{z}
méthode 2
En général la mesure x est donnée sous la forme
a
avec
n
.
longueur d’un tour
quantité de tour
On est donc amené à utiliser la division euclidienne de a par 2n pour rechercher le multiple de 2n le plus proche de de a .
On calcule ainsi la quantité de tours complets utilisés pendant le trajet de longueur x . Le trajet de moins d’un demi-tour
restant à e¤ectuer pour terminer le trajet de longueur x va fournir la mesure principale demandée .
1er exemple d’application :
1er cas : x =
37
4
. On raisonne par huitième de tour
4
car : 8
4
= 2 ( un tour ) .
37
40
3
3
3
=
= 10
= + 10 en posant : =
4
4
4
4
4
D’autre part ! est une autre mesure de l’arc car : x = + 10 entraîne : = x 10 = x + 2k avec k = 5 , 5 2 Z
3
! 2]
; ] car
<
<0.
4
3
37
Par conséquent :
répond bien à la dé…nition de la mesure principale de l’arc de mesure
4
4
Le multiple de 8 le plus proche de 37 est 40 . Donc : x =
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5
.
Attention pour le choix du multiple de 8 le plus proche de 37 ! ( seul problème de la méthode 2 )
page 10 / 10
37
= 4; 625 . Deux multiples de 8 encadrent 37 : 32( soit 4 8 ) et 40 (soit 5 8) . Si par erreur on choisissait 32 on obtiendrait
8
37
32
5
5
5
comme égalité : x =
=
+
=8 +
= + |{z}
8 en posant : =
. Avec ce choix de multiple de 8 , on
4
4
4
4
4
4tours
trouve bien une autre mesure de l’arc ( en fait la deuxième mesure ) mais cette mesure n’est pas la mesure principale car
5
37
> entraîne : 2]
=
; ] . Le choix de 5 8 s’explique aussi par
= 4; 625 et 4; 625 > 4; 5 ce qui donne un trajet de
4
8
4 tours (4 2 ) avec un reste dépassant un demi-tour ( 0; 625
) et donc ! une mesure principale négative et donc ! pour
40
trouver cette mesure principale : approcher le trajet par 5 tours soit la mesure x par
!
4
2eme exemple d’application :
2eme cas : x =
121
5
. On raisonne par dixième de tour
10
car : 10
5
= 2 ( un tour ) .
121
= 12; 1 . Le multiple de 10 le plus proche de 121 est : 12 10 = 120 .
10
121
120
Donc : x =
=
= 12
=
12 en posant : =
5
5
5
5
5
D’autre part ! est une autre mesure de l’arc car : x =
12 entraîne : = x + 12 = x + 2k avec k = 6 , 6 2 Z
!
Par conséquent :
3eme cas : x =
2]
5
125
6
; ] car
<
<0.
5
répond bien à la dé…nition de la mesure principale de l’arc de mesure
121
5
avec la méthode 1
125
+ 2k avec k 2 Z et la mesure dite principale de cet arc est la seule à véri…er
6
l’encadrement :
<
. D’autre part :
125
125
125
131
119
< x + 2k
,
<
+ 2k
,
< 2k
,
< 2k
6
6
6
6
6
131
119
131
119
< x + 2k
,
<k
(2 > 0) et
' 10; 9 ,
' 9; 92 .
12
12
12
12
131
119
125
125
120
5
Le seul entier k véri…ant
<k
est 10 . Avec k = 10 on obtient x + 2k =
20 =
=
.
12
12
6
6
6
6
5
La mesure principale demandée est donc : =
.
6
5
7
La deuxième mesure à déterminer est alors : =
2 =
2 =
.
6
6
5
une remarque concernant et la mesure =
traduit sur le cercle trigo un trajet en sens direct depuis le point I jusqu’en M de
6
5
7
longueur
. Pour compléter ce tour et revenir en I , il faut donc e¤ectuer à partir de M , un trajet en sens direct de longueur
6
6
5
7
12
7
+
=
. La mesure correspond à ce trajet de longueur
mais en l’e¤ectuant en sens indirect pour aller de I vers M .
6
6
6
6
Toute mesure de cet arc est de la forme
4eme cas : x =
69
8
avec la méthode 2 ( ma préférée , la plus rapide et très utile pour calculer certaines lignes trigonométriques )
On raisonne par seizième de tour
car : 16
= 2 ( un tour ) .
16
8
69
69
' 4; 3 et 4; 3 < 4; 5 (
: " moins de 4; 5 tours en sens indirect ") . Le multiple de 16 le plus proche de 69 est : 4
16
8
69
64
5
5
5
Donc : x =
=
= 8
=
8 en posant : =
8
8
8
8
8
D’autre part ! est une autre mesure de l’arc car : x =
8 entraîne : = x + 8 = x + 2k avec k = 4 , 4 2 Z
5
! 2]
; ] car
<
<0.
8
5
69
Par conséquent :
est la mesure principale de l’arc de mesure
.
8
8
5
11
La deuxième mesure à déterminer est alors : = + 2 =
+2 =
.
8
8
http://www.math-lycee.com
Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
16 = 64