Trigo - corrigés feuille d’exercices 1
arcs et angles dans un plan orienté page 1 /10
En préalable : des vocabulaires , des outils dans un plan orienté
1) un triangle ABC est dit de sens direct lorsque les angles orientés \
(!
AB; !
AC),\
(!
BC; !
BA)\
(!
CA; !
CB)associés aux sommets
du triangle ont des mesures principales positives .
!En utilisant le cercle Ccirconscrit au triangle ABC , pour aller de Avers B
puis de Bvers Cpuis de Cvers Aon se déplace sur Cdans le sens direct .
!Les arcs orientés indiquant les mesures ,,des angles \
(!
AB; !
AC),
\
(!
BC; !
BA)\
(!
CA; !
CB)sont orientés dans le sens direct .
!\
(!
u ; !
v),\
(!
u ; !
v)sont de même mesure ;\
(!
i ; !
j),\
(!
i ; !
j)sont de même
mesure .
! !
uet !
jétant colinéaires de sens contraires , L’angle orienté \
(!
u ; !
j)
est un angle plat de mesure
!L’angle orienté \
(!
u ; !
j)étant un angle plat de mesure , la relation de Chasles
…gure : ABC de sens direct
concernant les mesures des angles orientés permet d’a¢ rmer : ++=
2) un triangle ABC est dit de sens indirect lorsque les angles orientés \
(!
AB; !
AC),\
(!
BC; !
BA)\
(!
CA; !
CB)associés aux sommets
du triangle ont des mesures principales négatives dont la somme vaut . Dans ce cas , pour aller de Avers Bpuis de Bvers C
puis de Cvers Aon se déplace dans le sens indirect sur le cercle Ccirconscrit au triangle ABC . Sur la …gure ci-dessus il
su¢ t de conserver la position de Aet de permuter les sommets Bet Cpour obtenir un triangle ABC de sens indirect et alors
"tout tourne en sens indirect " !
3) Le cercle circonscrit à un triangle ABC rectangle en A est un cercle de diamètre [BC].
4) Le cercle de diamètre [BC]est l’ensemble des points Mtels que !
MB ?!
MC ( avec Mdisctinct de Bet C, le triangle MBC
est rectangle en M) .
5) angle opposé de \
(!
u ; !
v): avec mesure de \
(!
u ; !
v)on a : mesure de \
(!
v ; !
u). Autrement dit : (!
v ; !
u) (!
u ; !
v) [2].
6) angle \
(a!
u ; b!
v): avec aet bnon nuls : (a!
u ; b!
v)(!
u ; !
v) [2],ab > 0;(a!
u ; b!
v)+ (!
u ; !
v)[2],ab < 0.
7) Relations de Chasles concernant les angles orientés
!avec des vecteurs !
u ; !
v ; !
w ; !
t:8
<
:
(!
u ; !
v)(!
u ; !
w) + (!
w ; v)[2]
(!
u ; !
v)(!
t ; !
v)(!
t ; !
u)[2]
!avec des vecteurs !
OA; !
OB; !
OC; !
OI :8
>
>
<
>
>
:
(!
OA; !
OB)(!
OA; !
OC) + (!
OC; !
OB)[2]
(!
OA; !
OB)(!
OI; !
OB)(!
OI; !
OA)[2]
http://www.math-lycee.com Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
1
exercice 1 page 2 /10
ABC équilatéral de
centre de gravité G
ABC rectangle isocèle
de sommet principal A
ABCD quadrilatère inscriptible
dans un cercle de diamètre [AB]
ABC rectangle en A
[AH] hauteur issue de A
angles dits opposés
par le sommet
angles à côtés deux à
deux perpendiculaires
angles dits correspondants angles dits alternes internes angles dits alternes externes
deux situations utilisant
un angle inscrit \
(!
MA; !
MB)et
un angle au centre \
(!
OA; !
OB)
interceptant le même arc
y
AB
A savoir :
(!
OA; !
OB)2(!
MA; !
MB)[2]
http://www.math-lycee.com Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
2
exercice 2 mesures en radians et mesures en degrés page 3 / 10
En préalable
!L’arc orienté
y
II0utilise un demi-tour de longueur et est associé à
l’angle plat \
(!
OI; !
OI0)de mesure radians ou bien de mesure 180 degrés .
!Pour les mesures de l’arc orienté
y
IM , qui sont aussi les mesures de
l’angle orienté \
(!
OI; !
OM), on utilise le principe suivant pour faire des
conversions degrés ! radians :
mesure de
y
IM = quantité de demi-tour mesure d’un demi-tour
Pour compléter le tableau on commence par déterminer la quantité de demi-tour utilisée ( deuxième ligne du tableau )
radians ; =q1rad
6rad 1
3=
3
5
9
3
4rad
quantité qde demi-tour utilisée : q=
=d
180
1
'0;32 1
6
60
180 =1
3
100
180 =5
9
3
4
ddegrés ; d=q180 1
180 '57;31
6180 = 30 60o100o3
4180 = 135
radians ; =q7
12 rad
8
34
45
quantité qde demi-tour utilisée : q=
=d
180
7
12
22;5
180 =45
360 =1
8
136
180 =34
45
ddegrés ; d=q180 7
12 180 = 105 22;5o136o
exercice 3 Points images sur un cercle trigonométrique de réels dé…nis par un modulo
le principe On a : 2
nn= 2et donc intuitivement : il su¢ t de faire successivement narcs de cercle de même mesure 2
npour
faire un tour complet du cercle C. En raisonnant modulo n, un ensemble de réels xdé…nis modulo 2
npeut être décomposé en une
partition de ncatégories de réels dé…nis modulo 2et représentés par un seul point image sur le cercle trigo . Un tel ensemble est
donc représenté par un ensemble de nsommets distincts qui sont les extrémités d’un diamètre de C(n= 2) ou bien les sommets
d’un polygone régulier à ncôtés ( n3)
! …gure 1 : points images des réels xtels que : x3
8[]
On a : x3
8[], 9K2Z; x =3
8+K()et avec deux demi-tours (2 )on e¤ectue un tour complet de cercle . En utilisant
les deux restes ( 0et 1) de la division d’un entier par 2on obtient deux formes possibles pour l’entier K:2k+ 0 soit 2k,2k+ 1
D’où : x3
8[], 9k2Z; x =3
8+ 2k ou x=3
8+ (2k+ 1) ()
Puis : x3
8[], 9k2Z; x =3
8+ 2k ou x=3
8++ 2k
Soit : x3
8[], 9k2Z; x =3
8+ 2k ou x=11
8+ 2k
Soit : x3
8[],x
8[2]ou x 11
8[2]
On crée ainsi deux catégories de réels modulo 2associées à deux points
images sur le cercle Cqui sont diamétralement opposés .
entier K0 1 2
x=3
8+K()3
8
3
8+soit : 11
8
3
8+ 2
point image sur CA1A2A1
Pour placer le point A1sur le cercle trigo on utilise : 3
8radians correspond à 3180
8degrés soit à 67;5o
http://www.math-lycee.com Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
3
! …gure 2 : points images des réels xtels que : x 2
5[2
3]page 4 / 10
On a : x 2
52
3, 9K2Z; x =2
5+K2
3et avec trois tiers de tour 32
3on e¤ectue un tour complet de cercle .
En utilisant les trois restes ( 0,1et 2) de la division euclidienne d’un entier par 3on obtient trois formes possibles pour l’entier K:
3k,3k+ 1 ,3k+ 2 .
D’où : x 2
52
3, 9k2Z; x =2
5+ 3k2
3ou x=2
5+ (3k+ 1) 2
3ou x=2
5+ (3k+ 2) 2
3
Puis : x 2
52
3, 9k2Z; x =2
5+ 3k2
3ou x=2
5+2
3+ 3k2
3ou x=2
5+ 2 2
3+ 3k2
3
D’autre part : 2
5=6
15 et 2
3=10
15 donc : 2
5+2
3=4
15 et : 2
5+ 2 2
3=2
5+2
3+2
3=4
15 +2
3=14
15
Par conséquent : x 2
52
3, 9k2Z; x =2
5+k(2)ou x=4
15 +k(2)ou x=14
15 +k(2)
Soit : x 2
52
3,x 2
5[2]ou x4
15 [2]ou x14
15 [2]
On crée ainsi trois catégories de réels modulo 2associées à trois points images sur le cercle C.
entier K0 1
x=2
5+K2
3;2
3=10
15 2
52
5+2
3=4
15
point image sur CA1A2
K2 3
x=2
5+ 2 2
3=14
15 2
5+ 3 2
3=2
5+ 2
point image A3A1
Pour placer le point A1sur le cercle trigo avec un rapporteur on utilise :
2
5radians correspond à 2180
5degrés soit à 72o
Les trois points images A1,A2,A3sont les sommets d’un triangle équilatéral de sens direct .
En e¤et : les trois angles au centre Ode Cinterceptant les arcs
y
A1A2,
y
A2A3,
y
A3A1sont de mesure 2
3( on passe d’un sommet
du triangle au suivant en faisant un tiers de tour ) . Par conséquent les trois angles inscrits \
(!
A1A2;!
A1A3),\
(!
A2A3;!
A2A1),
\
(!
A3A1;!
A3A2)interceptant respectivement les arcs
y
A2A3,
y
A3A1
y
A1A2sont tous de même mesure
3.
! …gure 3 : points images des réels xtels que : x4
9[
2]
x4
9h
2i, 9K2Z;(!
u ; !
v) =
9+K
2et 4
2= 2soit : quatre quarts de tour pour e¤ectuer un tour complet de cercle .
Avec les quatre restes ( 0,1,2et 3) de la division d’un entier par 4on obtient pour K:K= 4kou 4k+ 1 ou 4k+ 2 ou 4k+ 3
x4
9h
2i, 9k2Z; x =4
9+ 4k
2ou x=4
9+ (4k+ 1)
2ou x=4
9+ (4k+ 2)
2ou x=4
9+ (4k+ 3)
2
x4
9h
2i, 9k2Z; x =4
9+ 2k ou x=4
9+ 1
2+ 2k ou x=4
9+ 2
2+ 2k ou x=4
9+ 3
2+ 2k
x4
9h
2i, 9k2Z; x =4
9+ 2k ou x=4
9+
2+ 2k ou x=4
9++ 2k ou x=4
9+3
2+ 2k
D’autre part : 4
9=8
18 ;
2=9
18 ;=18
18 ;3
2=27
18 . Par conséquent :
x4
9h
2i, 9k2Z; x =4
9+ 2k ou x=17
18 + 2k ou x=26
18 + 2k ou x=35
18 + 2k
Ainsi : x4
9h
2i,x4
9[2]ou x17
18 [2]ou x13
9[2]ou x35
18 [2]
On a donc quatre catégories de réels modulo 2associées à quatre points images sur le cercle C.
http://www.math-lycee.com Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
4
page 5 / 10
entier K0 1 2
4
9+K
24
9
4
9+
2=17
18
4
9+=13
9
point image sur CA1A2A3
K2 3
x=4
9+3
2=35
18
4
9+ 4
2=4
9+ 2
point image A4A1
Pour placer le point A1sur le cercle trigo avec un rapporteur on utilise :
4
9radians correspond à 4180
9degrés soit à 80o
Les réels 13
9et 4
9ont une di¤érence égale à : leurs points images respectifs A3et A1sont donc diamétralement opposés .
Les réels 35
18 et 13
18 ont une di¤érence égale à : leurs points images respectifs A4et A2sont donc diamétralement opposés .
Les diamètres [A1A3]et [A2A4]sont portés par des droites perpendiculaires car \
(!
OA1;!
OA2)et
y
A1A2de même mesure
2.
Les quatre points images A1,A2,A3,A4sont les sommets d’un carré . Les côtés [A1A2],[A2A3],[A3A4],[A4A1]sont de
même longueur p2comme hypothénuses de triangles rectangles isocèles en Oayant les autres côtés de longueur 1( rayon de C) .
! …gure 4 : points images des réels xtels que : x7
10 [2
5]
x7
10 2
5, 9K2Z;(!
u ; !
v) = 7
10 +K2
5et 52
5= 2( on raisonne par cinquième de tour )
En utilisant les cinq restes ( 0,1,2,3et 4) de la division euclidienne d’un entier par 5on obtient cinq formes possibles pour
l’entier K:5k,5k+ 1 ,5k+ 2 ,5k+ 3 et 5k+ 4 . On peut donc remplacer 9K2Z;(!
u ; !
v) = 7
10 +K2
5par : 9k2Z;
x=7
10 + 5k2
5ou x=7
10 + (5k+ 1) 2
5ou x=7
10 + (5k+ 2) 2
5ou x=7
10 + (5k+ 3) 2
5ou x=7
10 + (5k+ 4) 2
5
D’autre part : 7
10 + 5k2
5=7
10 + 2k ;7
10 + (5k+ 1) 2
5=7
10 +2
5+ 5k2
5=11
10 + 2k
7
10 + (5k+ 2) 2
5=7
10 +4
5+ 2k =15
10 + 2k =3
2+ 2k ;7
10 + (5k+ 3) 2
5=7
10 +6
5+ 2k =19
10+ 2k ;
7
10 + (5k+ 4) 2
5=7
10 +8
5+ 2k =23
10+ 2k . Par conséquent :
x7
10 2
5, 9k2Z; x =7
10 + 2k ou x=11
10 + 2k ou x=3
2+ 2k 2
5ou x=19
10+ 2k ou x=23
10+ 2k
x7
10 2
5,x7
10 [2]ou x11
10 [2]ou x3
2[2]ou x19
10 [2]ou x23
10 [2]
entier K0 1 2 3 4 5
7
10 +K2
57
10
11
10
3
2
19
10
23
10
7
10 + 2
point image sur CA1A2A3A4A5A1
Pour placer le point A1sur le cercle trigonométrique de centre Oon
utilise : 7
10 radians correspond à 7180
10 degrés soit à 126o
Les cinq points images A1,A2,A3,A4,A5sont les sommets d’un
pentagone régulier (pentagone ayant 5 angles égaux et cinq côtés de
même longueur ) .
http://www.math-lycee.com Trigo Feuille d’exos 1 corrigés
5
6
7
8
9
10
1
/
10
100%
