1 Fonctions circulaires I. Les mesures d`un angle orienté 1°/ Le

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Fonctions circulaires
I. Les mesures d’un angle orienté
1°/ Le cercle trigonométrique
On munit le plan d’un repère orthonormal , on considère le cercle de centre  et de rayon 1.
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre de rayon 1, parcouru dans le sens contraire des aiguilles d’une
montre , ou encore sens direct ou positif.
Remarques : le sens des aiguilles d’une montre est dit indirect ( ou négatif )
la longueur du cercle trigonométrique est   
2°/ Le radian et les mesures d’un angle
Le radian est une unité de mesure d’angle, on la note rad
 Sur le cercle trigonométrique, un angle au centre mesure 1 radian lorsqu’il intercepte un arc de longueur 1 unité
( longueur d’arc égale au rayon du cercle )
Un angle plat intercepte un demi-cercle, il mesure donc  radians ( ce qui correspond à 180 degrés )
Un angle droit intercepte un quart de cercle, il mesure donc 
 radians ( ce qui correspond à 90 degrés )
 La mesure d’un angle orienté est la mesure de l’arc intercepté sur le cercle par cet angle.
Mesure positive dans le sens direct, négative dans le sens indirect.
 Un angle orienté a une infinité de mesures
Quelques exemples :
En posant  , l’angle 
l’angle 
Conversion des mesures entre degrés et radians , il y a proportionnalité. ( Voir votre livre page 51 )
 La mesure principale d’un angle orienté est celle appartenant à l’intervalle   
Exemples : 
Mesure en degrés
180
90
45
-15
Mesure en radians

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3°/ Des mesures principales à bien connaître : mesures remarquables
On munit le plan d’un repère orthonormal , et on pose :
,
(voir aussi livre page 50 : activité et cours )
II. Le cosinus et le sinus d’un angle orienté.
1°/ Définitions
On considère un point M du cercle trigonométrique, et  une mesure en radians de l’angle orienté 
Le cosinus de  est l’abscisse de le sinus de  est l’ordonnée de 
Quelques exemples de lecture sur le cercle :
2°/ Propriétés des cosinus et sinus
Pour tout réel      
Propriété fondamentale :   
3°/ Valeurs remarquables
0

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III. Angles associés
Les points    
 est une mesure en radians de l’angle 
 a pour mesure 
 a pour mesure   
 a pour mesure   
 a pour mesure 
 a pour mesure 
Des symétries par rapport à :
l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, le centre O,
on déduit :
Pour tout réel 
Applications :
Voir votre livre page 55
Ex 1 : Simplifier les expressions suivantes :
EX 2 : Donner, à l’aide des angles associés, les valeurs exactes des sinus et cosinus suivants :
  ; 

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Résumé sur les signes de sinus et cosinus :
IV. Résolution d’équations trigonométriques
du type    et    où  et  sont des réels
L’équation    est équivalente à :
ou
       avec  entier relatif     
L’équation    est équivalente à :
ou
         avec  entier relatif     
Exemples : Résoudre dans  , les équations suivantes
Dans chaque cas, on donnera toutes les solutions, puis, quelques valeurs particulières
1.   
 2.     3.   
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4.   
 5.   
On pose     
 , et on résout    On pose   , et on résout 