1 Fonctions circulaires I. Les mesures d’un angle orienté 1°/ Le cercle trigonométrique On munit le plan d’un repère orthonormal , on considère le cercle de centre On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre montre , ou encore sens direct ou positif. et de rayon 1. de rayon 1, parcouru dans le sens contraire des aiguilles d’une Remarques : le sens des aiguilles d’une montre est dit indirect ( ou négatif ) la longueur du cercle trigonométrique est 2°/ Le radian et les mesures d’un angle Le radian est une unité de mesure d’angle, on la note rad Sur le cercle trigonométrique, un angle au centre mesure 1 radian lorsqu’il intercepte un arc de longueur 1 unité ( longueur d’arc égale au rayon du cercle ) Un angle plat intercepte un demi-cercle, il mesure donc radians ( ce qui correspond à 180 degrés ) Un angle droit intercepte un quart de cercle, il mesure donc radians ( ce qui correspond à 90 degrés ) La mesure d’un angle orienté est la mesure de l’arc intercepté sur le cercle par cet angle. Mesure positive dans le sens direct, négative dans le sens indirect. Un angle orienté a une infinité de mesures Quelques exemples : En posant , l’angle l’angle Conversion des mesures entre degrés et radians , il y a proportionnalité. Mesure en degrés 180 90 45 ( Voir votre livre page 51 ) -15 Mesure en radians La mesure principale d’un angle orienté est celle appartenant à l’intervalle Exemples : 2 3°/ Des mesures principales à bien connaître : mesures remarquables On munit le plan d’un repère orthonormal , et on pose : , (voir aussi livre page 50 : activité et cours ) II. Le cosinus et le sinus d’un angle orienté. 1°/ Définitions On considère un point M du cercle trigonométrique, et une mesure en radians de l’angle orienté Le cosinus de est l’abscisse de le sinus de est l’ordonnée de Quelques exemples de lecture sur le cercle : 2°/ Propriétés des cosinus et sinus Pour tout réel Propriété fondamentale : 3°/ Valeurs remarquables 0 3 III. Angles associés Les points est une mesure en radians de l’angle a pour mesure – a pour mesure a pour mesure a pour mesure a pour mesure Des symétries par rapport à : l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, le centre O, on déduit : Pour tout réel Applications : Voir votre livre page 55 Ex 1 : Simplifier les expressions suivantes : EX 2 : Donner, à l’aide des angles associés, les valeurs exactes des sinus et cosinus suivants : ; 4 Résumé sur les signes de sinus et cosinus : IV. Résolution d’équations trigonométriques et du type où L’équation et sont des réels est équivalente à : ou avec L’équation entier relatif est équivalente à : ou avec entier relatif Exemples : Résoudre dans ℝ , les équations suivantes Dans chaque cas, on donnera toutes les solutions, puis, quelques valeurs particulières 1. 2. 3. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4. On pose 5. , et on résout On pose , et on résout