énoncé

Trigo - énoncés feuille d’exercices 1
arcs et angles dans un plan orienté
exercice 1
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Pour chacun des angles mis en évidence sur les …gures suivantes : l’orienter dans le sens direct puis
indiquer sa mesure principale en radian ( deux premières …gures ) ou bien une mesure en fonction de
ou de
ABC équilatéral
ABC rectangle isocèle
ABCD quadrilatère inscriptible
de centre de gravité G
de sommet principal A
dans un cercle de diamètre [BD]
ABC rectangle en A
angles dits opposés
angles à côtés deux à
[AH] hauteur issue de A
par le sommet
deux perpendiculaires
angles dits correspondants
angles dits alternes internes
angles dits alternes externes
deux situations utilisant
!
\!
un angle inscrit (M A; M B) et
!
\!
un angle au centre (OA; OB)
interceptant le même arc
y
orienté AB d’un cercle donné
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exercice 2
mesures en radians et mesures en degrés
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En préalable
y
! L’arc orienté II 0 utilise un demi-tour de longueur et est associé à
!
\!
l’angle plat (OI; OI 0 ) de mesure radians ou bien de mesure 180 degrés .
y
! Les mesures de l’arc orienté IM sont aussi les mesures de l’angle
!
\!
orienté (OI; OM ) .
Pour faire des conversions degrés
y
! radians on utilise le principe suivant :
mesure de l’arc IM = quantité de demi-tour
y
si on connaît une mesure de IM
y
une mesure de IM est
radians
y
une mesure de IM est d degrés
mesure d’un demi-tour
alors la quantité q de demi-tour utilisée est :
(rad)
q=
(rad)
d (degrés)
q=
180 (degrés)
y
et la mesure de IM convertie en
degrés est : d = q
radians est :
180 degrés
=q
radians
Compléter le tableau suivant :
radians
quantité de demi-tour
1 rad
ou
d
180
6
3
rad
4
rad
60o
d degrés
7
rad
12
100o
22:5o
136o
exercice 3
Points images sur un cercle trigonométrique de réels dé…nis par un modulo
2
3
points images des réels x tels que : x
points images des réels x tels que : x
[ ]
5
8
2
3
vocabulaire Le plan
orienté est muni d’un
repère orthonormal
! !
(O; i ; j ) .
C est le cercle
trigonométrique de
centre O .
Un point M de ce cercle
points images des réels x tels que : x
4 h i
9 2
points images des réels x tels que : x
5
6
2
5
trigonométrique est
appelé point image de
l’ensemble des réels de
la forme
+ 2k ( k 2 Z )
! !
lorsque : ( i ; OM )
[2 ]
Compléter les quatre
…gures et justi…er .
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exercice 4
1) les outils : !
u et !
v sont deux vecteurs non nuls tels que (!
u;!
v)
1-1 Compléter le théorème suivant : (a!
u ; b!
v)
[2 ] , ::::::::::: et (a!
u ; b!
v)
[2 ]
( + ) [2 ] , ::::::::::::
!
::::::::::: [2 ] ; ( !
u;!
v ) ::::::::::::::: [2 ] ; ( u; !
v ) ::::::: [2 ]
! !
1-3 En déduire : Avec : (AB; AC)
[2 ] on a :
! !
!
! !
! !
! !
(AB; CA) = (AB;
) donc : (AB; CA) ::::::::: [2 ] ; (BA; AC) = (
;
) donc : (BA; AC) ::::::::::::: [2 ]
! !
! !
! !
(BA; CA) = (
;
) donc : (BA; CA) :::::::: [2 ] ; (AC; AB) ::::::::::::::::: [2 ] ( mesure de l’angle ..................)
! !
2
2) ABC sont trois points distincts deux à deux tels que (AB; AC)
[2 ] Déduire de 1-3 ce qui suit :
5
! !
! !
! !
! !
(AB; CA) :::::: : [2 ] ; (BA; AC) :::::::::: [2 ] ; (BA; CA) :::::::::::: [2 ] ; (AC; AB) :::::::::: [2 ]
!
!
3) ABCD est un trapèze rectangle direct ( AB et DC sont colinéaires de même sens) avec DAC rectangle isocèle direct en D
1-2 En déduire : (!
u; !
v)
et ABC isocèle direct de sommet principal A ( AB = AC )
!
\!
3-1 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté (AB; DC) ?
!
\!
Quelle est la mesure principale de l’angle orienté (AB; AD) ?
!
\!
3-2 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté (AD; AC) ?
!
\!
3-3 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté (CB; BA) ?
!
\!
3-4 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté (BC; AD) ?
!
\!
1) A , B , C , D , E sont cinq points du plan . (CD; CB) est un angle droit direct et on suppose que les angles
!
!
!
\!
\!
\!
orientés (BC; BA) et (DC; DE) ont respectivement pour mesures et . Déterminer une mesure de l’angle orienté (AB; BC)
!
!
\!
\!
puis une mesure de l’angle orienté (CD; DE) . En déduire une mesure de l’angle orienté (AB; DE) .
exercice 5
2) Les deux …gures servent d’hypothèse
En préalable : convertir en radians les di¤érentes mesures en degrés intervenant dans ces deux …gures
…gure 1 . Que peut-on dire des droites (AB) et (DE) ?
…gure 2 . Que peut-on dire des droites (AB) et (DE) ?
! !
Le plan est muni d’un repère (O; OI; OJ) orthonormal direct ; M est un point situé sur le cercle trigonométrique
!
!
\
C de centre O . Dans chacun des quatre cas suivants on donne une mesure x de l’angle orienté ( i ; OM ) .
!
!
\
On demande de déterminer deux mesures de l’angle orienté ( i ; OM )
exercice 6
1) la mesure principale
traduisant un trajet de moins d’un demi- tour de cercle en sens direct ou indirect pour aller de I en M
2) la mesure
1er
, distincte de , traduisant un trajet de moins d’un tour de cercle en sens direct ou indirect pour aller de I en M
37
121
125
69
cas : x =
; 2me cas : x =
; 3me cas : x =
; 4me cas : x =
4
5
6
8
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