énoncé

Trigo - énoncés feuille d’exercices 1
arcs et angles dans un plan orienté page 1 / 3
exercice 1 Pour chacun des angles mis en évidence sur les …gures suivantes : l’orienter dans le sens direct puis
indiquer sa mesure principale en radian ( deux premières …gures ) ou bien une mesure en fonction de ou de 
ABC équilatéral
de centre de gravité G
ABC rectangle isocèle
de sommet principal A
ABCD quadrilatère inscriptible
dans un cercle de diamètre [BD]
ABC rectangle en A
[AH] hauteur issue de A
angles dits opposés
par le sommet
angles à côtés deux à
deux perpendiculaires
angles dits correspondants angles dits alternes internes angles dits alternes externes
deux situations utilisant
un angle inscrit \ (! MA; ! MB)et
un angle au centre \ (! OA; ! OB)
interceptant le même arc
orienté
y
AB d’un cercle donné
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exercice 2 mesures en radians et mesures en degrés page 2 / 3
En préalable
!L’arc orienté
y
II0utilise un demi-tour de longueur et est associé à
l’angle plat \ (! OI; ! OI0)de mesure radians ou bien de mesure 180 degrés .
!Les mesures de l’arc orienté
y
IM sont aussi les mesures de l’angle
orienté \ (! OI; ! OM).
Pour faire des conversions degrés ! radians on utilise le principe suivant :
mesure de l’arc
y
IM = quantité de demi-tour mesure d’un demi-tour
si on connaît une mesure de
y
IM alors la quantité qde demi-tour utilisée est : et la mesure de
y
IM convertie en
une mesure de
y
IM est radians q=(rad)
(rad)degrés est : d=q180 degrés
une mesure de
y
IM est ddegrés q=d(degrés)
180 (degrés)radians est : =qradians
Compléter le tableau suivant :
radians 1rad 
6rad 3 4rad 7 12 rad
quantité de demi-tour 
ou d 180
ddegrés 60o100o22:5o136o
exercice 3 Points images sur un cercle trigonométrique de réels dé…nis par un modulo
points images des réels xtels que : x3
8[]
points images des réels xtels que : x4
9h 2i
points images des réels xtels que : x  2
52 3
points images des réels xtels que : x  5
62 5
vocabulaire Le plan
orienté est muni d’un
repère orthonormal
(O; ! i ; ! j).
Cest le cercle
trigonométrique de
centre O.
Un point Mde ce cercle
trigonométrique est
appelé point image de
l’ensemble des réels de
la forme + 2k (k2Z)
lorsque : (! i ; ! OM)[2]
Compléter les quatre
…gures et justi…er .
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exercice 4 1) les outils : ! uet ! vsont deux vecteurs non nuls tels que (! u ; ! v)[2]
1-1 Compléter le théorème suivant : (a! u ; b! v)[2],::::::::::: et (a! u ; b! v)(+) [2],::::::::::::
1-2 En déduire : (! u ; ! v)::::::::::: [2];(! u ; ! v)::::::::::::::: [2];(! u; ! v)::::::: [2]
1-3 En déduire : Avec : (! AB; ! AC)[2]on a :
(! AB; ! CA) = (! AB; )donc : (! AB; ! CA)::::::::: [2] ; (! BA; ! AC) = ( ;)donc : (! BA; ! AC)::::::::::::: [2]
(! BA; ! CA) = ( ;)donc : (! BA; ! CA):::::::: [2];(! AC; ! AB)::::::::::::::::: [2]( mesure de l’angle ..................)
2) ABC sont trois points distincts deux à deux tels que (! AB; ! AC)2
5[2]Déduire de 1-3 ce qui suit :
(! AB; ! CA):::::: : [2];(! BA; ! AC):::::::::: [2];(! BA; ! CA):::::::::::: [2];(! AC; ! AB):::::::::: [2]
3) ABCD est un trapèze rectangle direct ( ! AB et ! DC sont colinéaires de même sens) avec DAC rectangle isocèle direct en D
et ABC isocèle direct de sommet principal A(AB =AC )
3-1 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté \ (! AB; ! DC)?
Quelle est la mesure principale de l’angle orienté \ (! AB; ! AD)?
3-2 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté \ (! AD; ! AC)?
3-3 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté \ (! CB; ! BA)?
3-4 Quelle est la mesure principale de l’angle orienté \ (! BC; ! AD)?
exercice 5 1) A,B,C,D,Esont cinq points du plan . \ (! CD; ! CB)est un angle droit direct et on suppose que les angles
orientés \ (! BC; ! BA)et \ (! DC; ! DE)ont respectivement pour mesures et . Déterminer une mesure de l’angle orienté \ (! AB; ! BC)
puis une mesure de l’angle orienté \ (! CD; ! DE). En déduire une mesure de l’angle orienté \ (! AB; ! DE).
2) Les deux …gures servent d’hypothèse
En préalable : convertir en radians les di¤érentes mesures en degrés intervenant dans ces deux …gures
…gure 1. Que peut-on dire des droites (AB)et (DE)?…gure 2. Que peut-on dire des droites (AB)et (DE)?
exercice 6 Le plan est muni d’un repère (O; ! OI; ! OJ)orthonormal direct ; Mest un point situé sur le cercle trigonométrique
Cde centre O. Dans chacun des quatre cas suivants on donne une mesure xde l’angle orienté \ (! i ; ! OM).
On demande de déterminer deux mesures de l’angle orienté \ (! i ; ! OM)
1) la mesure principale traduisant un trajet de moins d’un demi- tour de cercle en sens direct ou indirect pour aller de Ien M
2) la mesure , distincte de , traduisant un trajet de moins d’un tour de cercle en sens direct ou indirect pour aller de Ien M
1er cas : x=37
4;2me cas : x=121 5;3me cas : x=125 6;4me cas : x=69 8
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