Devoir Libre n 7 Math PSI Exercice 1 Exercice 2

Devoir Libre n◦7
Math PSI
à rendre le 16 Janvier 2015
Instructions : Ceux qui ont eu moins de 5 au dernier devoir feront ex 1,2,et 3 et les autres
ex 1, 2 et le Problème
Exercice 1
Soit λ∈R.
Trouver α∈Rpour qu’il existe une unique probabilité Psur (N,P(N)) telle que :
∀k∈N, P ({k}) = αλk
k!
Exercice 2
Trois enfants A, B et C jouent à la balle.
Lorsque A a la balle, il la lance à B avec une probabilité 0.75 ou à C avec une probabilité
0.25.
Lorsque B a la balle, il la lance à A avec une probabilité 0.75 ou à C avec une probabilité
0.25.
Lorsque C a la balle, il la lance toujours à B .
On note A0(respectivement B0et C0), l’évènement : le joueur A (respectivement B
et C) a la balle au début du jeu.
Pour tout entier nstrictement positif, on note An(respectivement Bnet Cn), l’évène-
ment : le joueur A (respectivement B et C) a la balle après le nième lancer.
Pour tout entier naturel n, on note an, bn, cnles probabilités respectives des évènements
An, Bn, Cnet Xnle vecteur colonne 
an
bn
cn
.
1. Justifier que : ∀n∈N,1 = an+bn+cn
2. Montrer qu’il existe une matrice M∈ M3(R), vérifiant
∀n∈N, Xn+1 =MXn
3. En déduire pour tout entier naturel n,Xnen fonction de M, n et X0.
4. Montrer que χM(λ)est factorisable par (λ−1).
5. Diagonaliser M.
6. Montrer qu’il existe un unique vecteur propre u0associé à 1 et dont la somme des
coordonnées soit égale à 1.
7. On considère une base de vecteurs propres (u0, u1, u2). On note (a, b, c)les coordon-
nées de vecteur X0dans cette base, λ1et λ2les deux valeurs propres de Mdistinctes
de 1.
(a) Justifier que : ∀n∈N, Xn=au0+bλn
1u1+cλn 2u2.
(b) En utilisant la question 1., montrer que :
∃(s1, s2)∈R2,∀n∈N,1 = a+bλn
1s1+cλn 2s2
(c) En déduire a= 1.
8. En déduire que les suites (an)n,(bn)n,(cn)nconvergent vers des limites à déterminer.
1

Exercice 3
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général (−1)nx2n+5
n!(n+ 2).
2. Soit f(x)sa somme. Déterminer une série entière de somme g(x)telle que
∀x∈R, f(x) = xg(x2).
3. Montrer que gest dérivable sur Ret calculer sa dérivée.
4. En déduire fà l’aide des fonctions usuelles.
2

Problème
Notations.
On note :
–N: l’ensemble des entiers naturels,
–R: l’ensemble des nombres réels,
–e: le nombre réel dont le logarithme népérien est égal 1.
Pour xappartenant à R, on note |x|la valeur absolue de x.
Pour tout entier naturel, on note n!la factorielle de navec la convention 0!1 =.
Si jet nsont deux entiers naturels fixes tels que 0≤j≤n, on note :
–[|j, n|]l’ensemble des naturels kvérifiant j≤k≤n,
–n
jle nombre de parties ayant jéléments d’un ensemble de néléments.
On rappelle que pour tout entier naturel jélément de [|0, n|]on a : n
j=n! j!(n−j)! .
Si fest une fonction kfois dérivable sur un intervalle I(avec k≥1) on note f0(resp.
f(k)) sa fonction dérivée (resp. sa fonction dérivée k-ième).
Si uest une application de Ndans R, donc une suite réelle, on utilise la notation usuelle :
u(n) = unpour tout nappartenant à N.
Soit xun nombre réel, on rappelle que s’il existe un nombre entier pqui vérifie |p−x|<1
2
alors pest l’entier le plus proche de x.
Objectifs.
L’objet du problème est d’une part d’établir, pour tout entier naturel non nul, un lien
entre l’entier naturel βnle plus proche de e−1n!et le nombre γnd’éléments sans point fixe
du groupe symétrique Sn.
Dans la partie Ion étudie βnet on le caractérise grâce à une récurrence, dans la partie
II on étudie γnet on établit un lien avec βn.
1 Les suites αet β.
On définit la suite αpar α0= 1 et la relation de récurrence :
∀n∈N, αn+1 = (n+ 1)αn+ (−1)n+1
On rappelle que pour tout xréel, la série P
n≥0
xn
n!est convergente, et que
+∞
P
n=0
xn
n!=ex; en
particulier, pour x=−1
+∞
X
n=0
(−1)n
n!=e−1
Pour n∈N, on note : βn=n!
n
P
k=0
(−1)k
k!et ρn=
+∞
P
k=n+1
(−1)k
k!.
I.1. Etude de la suite α.
I.1.1 Expliciter αkpour kdans [|0,4|].
I.1.2 Montrer que αnest un entier naturel pour tout nde N.
I.2. Etude de la suite β.
I.2.1 Expliciter βkpour kdans [|0,4|].
I.2.2 Montrer que βnest un entier relatif pour tout nde N.
I.2.3 Expliciter βn+1 −(n+ 1)βnen fonction de n, pour tout entier nde N.
I.2.4 Comparer les deux suites αet β.
I.3. Etude de ρn.
I.3.1 Préciser le signe de ρnen fonction de l’entier naturel n.
I.3.2 Etablir, pour tout entier naturel n, l’inégalité suivante : n!|ρn| ≤ 1
n+1 . L’in-
égalité est-elle stricte ?
3

I.3.3 Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel n≥1,βnest l’entier
naturel le plus proche de e−1n!.
I.4. Etude d’une fonction.
On désigne par fla fonction définie et de classe C1(au moins) sur l’intervalle ]−1,1[
à valeurs réelles, vérifiant les deux conditions :
f(0) = 1 et ∀x∈]−1,1[,(1 −x)f0(x)−xf(x) = 0
I.4.1 Justifier l’existence et l’unicité de la fonction f. Expliciter f(x)pour tout x
de ]−1,1[.
I.4.2 Justifier l’affirmation : “fest de classe C∞sur ]−1,1[".
I.4.3 Expliciter (1 −x)f(x), puis exprimer pour tout entier naturel n:
(1 −x)f(n+1)(x)−(n+ 1)f(n)(x)
en fonction de net de x.
I.4.4 En déduire une relation, valable pour tout entier naturel n, entre βnet f(n)(0).
2 La suite γ.
Dans cette partie, on désigne par nun entier naturel.
Pour n≥1, on note :
–Snl’ensemble des permutations de [|1, n|],
–γnle nombre d’éléments de Snsans point fixe (τappartenant à Snest sans point
fixe si pour tout kde [|1, n|], on a τ(k)6=k).
Pour n= 0 on adopte la convention : γ0= 1.
II.1. Calculer γ1et γ2.
II.2. Classer les éléments de S3selon leur nombre de points fixes et calculer γ3.
II.3. On suppose dans cette question que n= 4.
II.3.1 Quel est le nombre d’éléments τappartenant à S4ayant deux points fixes ?
II.3.2 Quel est le nombre d’éléments τappartenant à S4ayant un point fixe ?
II.3.3 Calculer γ4.
II.4. Relation entre les γk.
II.4.1 Rappeler sans justification le nombre d’éléments de Sn.
II.4.2 Si 0≤k≤n, combien d’éléments de Snont exactement kpoints fixes ?
II.4.3 Etablir pour tout entier naturel nla relation :
n
P
k=0 n
kγk=n!.
II.5. On considère la série entière P
n≥0
γn
n!xnet l’on pose g(x) =
+∞
P
n=0
γn
n!xnlorsque la
série converge.
II.5.1 Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est supérieur ou
égal à 1.
II.5.2 Pour tout xde ]−1,1[, on pose h(x) = exg(x). Justifier l’existence du
développement en série entière de la fonction hsur ]−1,1[ et expliciter ce déve-
loppement.
II.5.3 Expliciter g(x)pour tout nombre réel xde ]−1,1[. En déduire la valeur du
rayon de convergence de la série P
n≥0
γn
n!xn.
II.5.4 Comparer les deux suites βet γ.
II.5.5 La fonction gest-elle définie en 1?
II.5.6 La fonction gest-elle définie en −1?
II.5.7 Calculer γ8.
4