Bac Blanc

Bac Blanc
Terminale S
SÉRIE SPECIALITE
SESSION avril 2012
Durée de l’épreuve : 4 heures – Coefficient : 9
Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction dans l’évaluation
de la copie.
Les calculatrices sont AUTORISÉES pour cette épreuve.
Le devoir comporte 4exercices indépendants.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 2 à 4

Exercice 1 Nouvelle-Calédonie, mars 2011 (extrait) 3 points
Restitution Organisée de Connaissances
On utilisera le résultat suivant : les solutions de l’équation différentielle y0=ay où a∈sont les fonctions
gdéfinies sur par g(x)=Keax où K ∈.
Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l’équation différentielle (E) y0=ay +boù a∈∗
et b∈.
1. Démontrer que la fonction udéfinie sur par u(x)= − b
aest une solution de (E).
2. Soit fune fonction définie et dérivable sur . Démontrer l’équivalence suivante :
fest solution de (E) si et seulement si f−uest solution de l’équation différentielle y0=ay.
3. En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
Exercice no2 Polynésie septembre 2011 7 points
Partie A Question de cours
Soit I un intervalle de .
Soient uet vdeux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées u0et v0soient
continues sur I.
Rappeler la formule d’intégration par parties sur un intervalle [a;b] de I.
Partie B
On considère les fonctions fet gdéfinies sur par :
f(x)=(x−1)2e−xet g(x)=3
2(x−1)2.
On note respectivement C1et C2les courbes représentatives de fde gdans le plan muni d’un repère
orthonormal (O;~ ı;~ ).
Les courbes sont tracées en annexe.
1. a) Déterminer les coordonnées des points communs à C1et C2.
b) Donner les positions relatives de C1et C2sur .
2. a) À l’aide de deux intégrations par parties successives, déterminer Z1
0f(x)dx.
b) Calculer, en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C1,C2et les droites
d’équations x=0 et x=1.
Partie C
On considère la suite (un)définie pour tout entier naturel nnon nul par :
un=Z1
0(x−1)2ne−xdx.
1. a) Démontrer que, pour tout xde [0 ; 1] et pour tout entier naturel nnon nul,
0É(x−1)2ne−xÉ(x−1)2n.
2

b) Démontrer que, pour tout entier naturel nnon nul, on a :
0ÉunÉ1
2n+1.
2. En déduire que la suite (un)est convergente et déterminer sa limite.
Exercice no3 Asie juin 2009 5 points
1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs N tels que
(N≡5 (13)
N≡1 (17)
a) Vérifier que 239 est solution de ce système.
b) Soit N un entier relatif solution de ce système.
Démontrer que N peut s’écrire sous la forme N =1+17x=5+13yoù xet ysont deux entiers
relatifs vérifiant la relation 17x−13y=4.
c) Résoudre l’équation 17x−13y=4 où xet ysont des entiers relatifs.
d) En déduire qu’il existe un entier relatif ktel que N =18 +221k.
e) Démontrer l’équivalence entre N ≡18 (221) et (N≡5 (13)
N≡1 (17) .
2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
a) Existe-t-il un entier naturel ktel que 10k≡1 (17) ?
b) Existe-t-il un entier naturel ltel que 10l≡18 (221) ?
Exercice no4 Antilles-Guyane septembre 2010 5 points
On considère la suite de nombres réels (un)définie sur par :
u0= −1, u1=1
2et, pour tout entier naturel n,un+2=un+1−1 4un.
1. Calculer u2et en déduire que la suite (un)n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. On définit la suite (vn)en posant, pour tout entier naturel n:
vn=un+1−1
2un.
a) Calculer v0.
b) Exprimer vn+1en fonction de vn.
c) En déduire que la suite (vn)est géométrique de raison 1
2.
d) Exprimer vnen fonction de n.
3. On définit la suite (wn)en posant, pour tout entier naturel n:
wn=un
vn
.
3

a) Calculer w0.
b) En utilisant l’égalité un+1=vn+1
2un, exprimer wn+1en fonction de unet de vn.
c) En déduire que pour tout nde , wn+1=wn+2.
d) Exprimer wnen fonction de n.
4. Montrer que pour tout entier naturel n
un=2n−1
2n.
5. Pour tout entier naturel n, on pose : Sn=
k=n
X
k=0
uk=u0+u1+ · · · + un.
Démontrer par récurrence que pour tout nde :
Sn=2−2n+3
2n.
ANNEXE, exercice 2
Cette page ne sera pas à rendre avec la copie
−2−1 0 1 2 3 4 5 6 x
y
0
1
2
3
4
5
6
7
C1
C2
4