Mardi 20 janvier 2009 T°S1 DEVOIR de Mathématiques (2h

Mardi 20 janvier 2009
DEVOIR de Mathématiques (2h)
T°S1
Exercice 2 (8 points)
Une balle de 0,5 kg est lancée verticalement en l’air avec une vitesse initiale de
15m.s-1.
Sur la balle agissent deux forces, celle due à la gravité et celle due à la
résistance de l’air, égale à 1/10 de sa vitesse.
On admet que la vitesse v vérifie l’équation différentielle :
(E) : 0,5v’ = – 0,1v – 5.
(Calculatrice autorisée)
Exercice 1 (9 points)
On considère les suites (un) et (vn) définies sur N par u0 = 3 et pour tout n de N :
u n+1 =
u n + vn
7
et vn =
2
un
Partie A
1°) Calculer v0, u1, v1, u2 et v2.
Comparer les valeurs approchées de u2 et v2.
1°) a) Résoudre l’équation différentielle (E) dans [0 ; +∞[.
b) Justifier que v(0) = 15, en déduire que v(t) = –50 + 65e–0,2t.
c) Résoudre l’inéquation : v(t) ≥ 0 sur [0 ; +∞[.
2°) En utilisant une démonstration par récurrence, démontrer que, pour tout n de
N, un et vn sont tous deux strictement positifs.
3°) Démontrer que, pour tout n de N, on a :
u n+1 − vn+1 =
2°) Soit h la fonction qui exprime la hauteur de la balle en fonction du temps, on
a donc : h’ = v.
a) Déterminer les primitives de v sur [0 ; +∞[.
b) Justifier que h(0) = 0, en déduire l’expression de h.
1
(u n − vn ) 2 .
4u n+1
En déduire que pour tout n de N on a : un – vn ≥ 0.
Partie B
4°) Démontrer que la suite (un) est décroissante puis que la suite (vn) est
croissante.
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : f(t) = 325(1 – e–0,2t) – 50t.
7
.
3
b) Démontrer que pour tout n de N on a : u n +1 − vn +1 ≤ k (u n − vn ) 2
3
avec k =
28
n
c) En déduire, par récurrence, que pour tout n de N on a : u n − v n ≤ k 2 −1 .
5°) a) Justifier que pour tout n de N on a : un ≥
1°) Etudier les variations de f (on pourra utiliser le résultat du A-1-c)
2°) Démontrer que l’équation f(t) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; +∞[
dont on donnera une valeur approchée α à 10-1 près.
3°) En déduire une valeur approchée de la hauteur maximale atteinte par la balle
et du temps t1 que met la balle pour revenir au sol depuis son point le plus haut.
Exercice 3 (3 points)
Des jetons portant une lettre parmi A, B, C, D, E, F sont dans un sac.
On tire au hasard un jeton, la probabilité d’obtenir la lettre E est le double de
celle d’obtenir la lettre A. De plus, on a les probabilités suivantes :
P({B}) = P({D}) = 1/10, P({C}) = 3/10, P({F}) = 2/25.
6°) a) En déduire que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
b) Résoudre l’équation x =
7
dans ]0 ; +∞[ et en déduire la limite des suites
x
(un) et (vn).
1°) Déterminer la probabilité d’obtenir une lettre du mot BAC en tirant un jeton.
Lettre
Points
A
1
B
3
C
3
D
2
E
1
F
4
2°) Un score est associé à chaque lettre (voir tableau à gauche)
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X correspondant au
nombre de points associés à la lettre tirée, et calculer l’espérance mathématique
de la variable aléatoire X.