1 Divisibilité dans Z. Congruences. 2 Algorithme d`Euclide, identité

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Arithmétique dans Z. Exercices de révision pour la séance du 13 septembre
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Divisibilité dans Z. Congruences.
Exercice 1 Soient a et b deux entiers naturels. Est-il vrai que si aa divise bb alors a divise b.
Exercice 2
1. Prouver que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux.
2. Prouver que deux termes consécutifs de la suite (pn + 1)n∈N sont premiers entre eux quel que soit le
nombre premier p.
Exercice 3 Trouver les p de Z tels que 3p + 4 divise 11p + 8.
Exercice 4 Montrer que si la somme des deux fractions irréductibles est un entier, alors leurs dénominateurs
sont égaux.
Exercice 5 Résoudre dans N2 l’équation a2 − b2 = 239.
Exercice 6 Calculs modulo 7.
1. Dresser la table de multiplucation dans Z/7Z.
2. Resoudre dans Z la congruence x2 + 3 ≡ 0 mod 7.
Exercice 7 Trouver le plus petit entier qui a exactement 35 diviseurs positifs.
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Algorithme d’Euclide, identité de Bezout, lemme chinois.
Exercice 8
1. Trouver par deux méthodes differentes les P GCD et P P CM de 5940 et 924.
2. Trouver tous les diviseurs communs de 5940 et 924.
Exercice 9
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide trouver deux entiers u et v tels que 70u + 99v = 1.
2. Tel couple (u, v) est-il unique ?
3. Resoudre dans Z2 l’equation 70u + 99z = 11.
Exercice 10 On considère le nombre premier p = 5. Elever au carré, ajouter 11, diviser par 24. Quel est le
reste ? Idem avec p = 37. Idem avec un nombre premier de votre choix. Est-ce un hasard ? Indication : vérifier
que pour p > 3 premier, p2 ≡ 1 mod (2) (puis p2 ≡ 1 mod (8)) et p2 ≡ 1 mod (3) puis utiliser le lemme
chinois.
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Primalité
Exercice 11
1. Soit p un nombre premier. Montrer que xp ≡ x mod (p) pour tout entier x. En déduire que xp−1 ≡ 1
mod (p) si p ne divise pas x.
2. Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul tel que 2k ≡ 1 mod (p).
3. Soit k un entier naturel non nul tel que 2k ≡ 1 mod (p) et soit n un entier naturel. Montrer que si k
divise n alors 2n ≡ 1 mod (p).
4. Soit b tel que 2b ≡ 1 mod (p), b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en
utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2n ≡ 1 mod (p), alors b divise n.
Exercice 12
1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1.
2. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 1.
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