1 Divisibilité dans Z. Congruences. 2 Algorithme d`Euclide, identité
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Arithmétique dans Z. Exercices de révision pour la séance du 13 septembre 1 Divisibilité dans Z. Congruences. Exercice 1 Soient a et b deux entiers naturels. Est-il vrai que si aa divise bb alors a divise b. Exercice 2 1. Prouver que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux. 2. Prouver que deux termes consécutifs de la suite (pn + 1)n∈N sont premiers entre eux quel que soit le nombre premier p. Exercice 3 Trouver les p de Z tels que 3p + 4 divise 11p + 8. Exercice 4 Montrer que si la somme des deux fractions irréductibles est un entier, alors leurs dénominateurs sont égaux. Exercice 5 Résoudre dans N2 l’équation a2 − b2 = 239. Exercice 6 Calculs modulo 7. 1. Dresser la table de multiplucation dans Z/7Z. 2. Resoudre dans Z la congruence x2 + 3 ≡ 0 mod 7. Exercice 7 Trouver le plus petit entier qui a exactement 35 diviseurs positifs. 2 Algorithme d’Euclide, identité de Bezout, lemme chinois. Exercice 8 1. Trouver par deux méthodes differentes les P GCD et P P CM de 5940 et 924. 2. Trouver tous les diviseurs communs de 5940 et 924. Exercice 9 1. En utilisant l’algorithme d’Euclide trouver deux entiers u et v tels que 70u + 99v = 1. 2. Tel couple (u, v) est-il unique ? 3. Resoudre dans Z2 l’equation 70u + 99z = 11. Exercice 10 On considère le nombre premier p = 5. Elever au carré, ajouter 11, diviser par 24. Quel est le reste ? Idem avec p = 37. Idem avec un nombre premier de votre choix. Est-ce un hasard ? Indication : vérifier que pour p > 3 premier, p2 ≡ 1 mod (2) (puis p2 ≡ 1 mod (8)) et p2 ≡ 1 mod (3) puis utiliser le lemme chinois. 3 Primalité Exercice 11 1. Soit p un nombre premier. Montrer que xp ≡ x mod (p) pour tout entier x. En déduire que xp−1 ≡ 1 mod (p) si p ne divise pas x. 2. Montrer qu’il existe un entier naturel k, non nul tel que 2k ≡ 1 mod (p). 3. Soit k un entier naturel non nul tel que 2k ≡ 1 mod (p) et soit n un entier naturel. Montrer que si k divise n alors 2n ≡ 1 mod (p). 4. Soit b tel que 2b ≡ 1 mod (p), b étant le plus petit entier non nul vérifiant cette propriété. Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2n ≡ 1 mod (p), alors b divise n. Exercice 12 1. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n − 1. 2. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 1. 1
