EXERCICE N°1:

Mathématiques
Durée : 3 heures
Devoir de contrôle n°2
4ème Maths
EXERCICE N°1:
Cocher la réponse exacte. On ne demande aucune justification
1°) La composée d’une similitude indirecte et d’un déplacement est :
a) une similitude indirecte
2°) Soit
( )=∫ √ −1
b) déplacement
c) translation
alors F est dérivable sur
a)[ , +∞[
b) ]0,1]
c)
]−∞, − ]
3°) soit
une fonction définie sur IR .On donne dans le graphique
ci-dessous les courbes représentatives (W) de la fonction
et
(C)d’une primitive de
et soit l’arc
={ ( , )
∶
= ( )
Le volume du solide de révolution de
abscisses vérifie
a) V =
Devoir de contrôle n°2
b)
>
2013-2014
0≤
≤2}
par rapport à l’axe des
c)
4éme maths
<
Page 1
y
C
y=2
1
W
-2
-1
0
1
2
x
-1
-2
4°) Une similitude directe qui fixe deux points distincts est :
a)symétrie orthogonale
b) translation
c)identité
5°) Si f est une similitude indirecte de rapport 2 et de centre A
et g une similitude directe de rapport
est
a)un déplacement
2 de centre A
alors fog
b) une symétrie glissante c) une symétrie axiale
6) L’application f qui à tout point M d’affixe z associe le pont M’
d’affixe z = 2 z − 3 est une similitude indirecte de rapport 2 de
centre A d’affixe (1 + 2 ) et d’axe
a)∆: +
+1 =0
Devoir de contrôle n°2
b)∆: −
+1 =0
2013-2014
c)∆: +
4éme maths
−1 =0
Page 2
EXERCICE N°2:
Soit
la fonction définie sur 0,
par :
√
et calculer F’( )
1) Montrer que F est dérivable sur 0,
2) Calculer F(0) ; exprimer
( )=∫
( ) en fonction de
=∫
3) Déduire alors la valeur de
EXERCICE N°3:
Le plan est orienté dans le sens direct. Soit ABC un triangle
⃗ , ⃗ ≡ [2 ]
rectangle tel que :
=4 ;
=2
On désigne par Ω le projeté orthogonal de A sur (
1°) Soit
)
la similitude directe qui transforme A en C
et B en A
a) Déterminer l’angle et le rapport de
b) Montrer que Ω est le centre de
c) On désigne par E le symétrique de Ω par rapport à (
et par F le symétrique de Ω par rapport à (
Montrer que A est le milieu de [EF] et que
2°) Soit
)
)
( )=
la similitude indirecte qui transforme E en Ω et Ω en F
a) Déterminer le rapport de
b) Déterminer
° ( )
3°)a) Déterminer
°
.Soit ш le centre de
et en déduire que ш ∈ (
( Ω)
b) Déterminer alors
et
( )
°
)
( ) et montrer que
°
( ).En déduire que ш ∈ (
=
(
)
)
c) Construire alors ш et l’axe ∆ de
4°) On rapporte le plan orienté au repère orthonormé ( , ⃗, ⃗)
Tel que : ⃗ =
⃗
⃗=
⃗
a) Préciser l’affixe de chacun des points A, B et C
b) Soit M un point d’affixe z et M’ d’affixe z’.
Montrer que
c) Montrer que
( )=
( )=
⇔
⇔
=2
+4
= −2
+4
d) Déterminer les affixes de ш, Ω et une équation de ∆
Devoir de contrôle n°2
2013-2014
4éme maths
Page 3
EXERCICE N°4:
la fonction définie sur [0 ,1[
1°) Soit
∶ ( )=
On désigne
sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , ⃗ , ⃗)
par
a) Etudier la dérivabilité de
à droite en 0.Interpréter
b) Dresser le tableau des variations de
c)Montrer que
∈ [0 , +∞[ on a :
d) Montrer que pour tout
e)Tracer
définie sur [0 , +∞[
admet une fonction réciproque
( )=
ainsi que la courbe de
2°) Soit A l’aire de la partie du plan limitée par
=0
D’équations :
= 1.
et les droites
Montrer que A=∫
=∫
3°) On considère la suite U définie sur IN par :
a) Montrer que U est décroissante
∈
b) Montrer que pour tout
∶ 0≤
≤
c) Déterminer la limite de U
4°) On considère la suite
a)Montrer que : pour tout
1−
+
=∑
définie par :
(
)
et
∈ [0 ,1] on a :
+∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ +(−1)
= (−1)
−
b) En passant à l’intégrale, montrer alors que pour tout
c) Montrer que : |
d) Calculer
− |≤
et déterminer
lim
→
et donner une valeur approchée de I
une fonction continue sur IR .On considère la fonction F
définie sur −
;
∶
( )=∫
( )
a) Montrer que F est dérivable sur −
b) Déterminer
*
∈
− = (−1)
on a
4°) Soit
=∫
;
et que
′( ) = (tan )
( ) pour chacun des cas suivants :
( )=1
c)En déduire que
∗∗
=
Devoir de contrôle n°2
( )=
et déterminer la valeur de A
2013-2014
4éme maths
Page 4
EXERCICE N°5:
Soit
la fonction définie sur IR par :
on donne sa courbe représentative
d’équations : = 1
= −1
( )=
dans l’annexe
√
et ses asymptotes horizontales
1°) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par :
des abscisses , les droites d’équations = −1
=0
2°) Montrer que
déterminer
réalise une bijection de IR sur un intervalle J à
3°) Tracer la courbe de
fonction réciproque de
∶ ℎ( ) = 2 tan − 1
;
4°) Soit ℎ la fonction définie sur −
a) Montrer que ℎ réalise une bijection de −
a)Déterminer
;
est dérivable sur IR et que : (ℎ ) ( ) =
b) Montrer que ℎ
5°) Soit l’arc
, l’axe
=
( , )
∶
= ( )
a et b tel que : ℎ( ) =
b) Vérifier que :
√
−1
√
−1≤
≤ 2√3 − 1
ℎ( ) = 2√3 − 1
( ) = 1 − 2(ℎ ) ( )
c)Déterminer alors le volume du solide de révolution de C par
rapport à l’axe des abscisses
BON TRAVAIL
Devoir de contrôle n°2
2013-2014
4éme maths
Page 5
FEUILLE A RENDRE :
y
1
-2
-1
0
1
2
x
-1
-2
Devoir de contrôle n°2
2013-2014
4éme maths
Page 6
CORRECTION DU DEVOIR DE CONTROLE N°2
EXERCICE N°1 :
1
a
EXERCICE N°2 :
2
b
1°)La fonction :
→
: → ( ) = √tan
(
( )=
)
3
c
5
c
6
c
est une fonction rationnelle continue sur [0, +∞[ et soit
→ tan
;
> 0 alors
√
4
c
est dérivable strictement positive sur 0,
0,
= lim
= ]0, +∞[ ⊂ [0, +∞[
; lim
′
et
de plus 0 ∈ [0, +∞[
alors
2°) F(0)=∫
√
)
√
√
=
√
= 0 ; On a : F ( ) = ∫
=∫
=∫
3°)
(
et F’( ) =
F est dérivable sur 0,
=∫
=
=
=
EXERCICE N°3:
1°)a) Soit
l’angle de
alors
≡ [2 ].Soit
Alors
b) Comme
( )=
et
⃗;
≡
le rapport de
≡ [2 ]
⃗ [2 ] ≡
alors
⃗;
=
alors le centre de
⃗ + [2 ]
=2
appartient au cercle
diamètre [ ] de plus ( ) = alors le centre de
appartient au cercle
[
]
diamètre
.
se coupent
en A et Ω car A ΩB et A ΩC sont deux triangles rectangles en Ω
or ( ) = ≠ donc (Ω) = Ω et Ω est le centre de
c)On a ( ) (Ω) =
donc ( ) ° ( ) (E) = ( ) (Ω) =
( ) (Ω) =
Or ( ) ° ( ) =
car ( ) et ( ) sont perpendiculaires en A
Alors
( )=
donc
de
de
A est le milieu de [EF]
On a : ΩE⃗; Ω ⃗ ≡ [2 ]
et
Ω
Ω
Ω
= tan ΩEA = tan E ΩA = tan ΩAC = Ω = 2
En effet ΩEA est un triangle isocèle en A car A est le milieu de [EF] et ΩEF est
rectangle en Ω on ajoute que
ΩA et ΩAC sont deux angles alternes internes égaux
du fait que (AB) et (ΩF) sont parallèles coupées par (ΩF) alors ( ) =
2°)a) Soit
′ le rapport de
alors
Ω
′=Ω =2
° ( ) = (Ω) = F. on a ° = ℎ(ш , ) donc ℎ(ш , ) ( ) = alors
ш ⃗ = 4ш ⃗ alors ш ∈ ( )
(Ω) = (Ω) = ; °
( )= ( )=Ω .
3°)a) °
On a :
est une similitude indirecte de rapport 2 et
est une similitude
b)
directe de rapport
°
donc
est un antidéplacement
°
est une similitude indirecte de rapport 1 alors
et on a :
°
(Ω ∗ F) = ∗ Ω donc Ω ∗ F est un point fixe par °
alors °
Est une symétrie orthogonale d’axe la médiatrice de [ΩF] alors °
( ) = ( )( ) = ; ( ) = °
( ) = ( )( ) =
b) ( ) = °
° = ℎ(ш; ) et
° ( ) = ( ) = alors ℎ(ш; ) ( ) =
alors ш ⃗ = 4ш ⃗ donc ш ∈ ( )
c) ш est le point d’intersection de (
intérieur de ш ⃗; ш ⃗
Devoir de contrôle n°2
) et (
2013-2014
)
=
(
)
et ∆ est la bissectrice
4éme maths
Page 7
4°)a)
b)
=0 ;
( )=
=2
⇔
et
( )=
⇔2
( )=
et
( )=
⇔
⇔
d)
ш
=
|
|
=
=2
+
⇔
=
= −2
M ∈∆ ⇔ ( )=
⇔
=4
=2
+4
( )=
= −4 ⇔
⇔
=4
= = −2
+4
et
Ω
=
=
(
)
= +
ш ⃗′ = 2ш ⃗
: ( )=
+
=
on a :
=− +
∆=
soit
= −4 ⇔
2 + 4 = 0 ⇔ −2
( )=
Conclusion :
⇔
=
( )=
on a
+4 =0 ⇔ 2
( )=
Conclusion ∶
c)
=4
+
=
; ( , )∈
ш ⃗′ = 2ш ⃗ ⇔
−
−2
ш = 2( − ш )
⇔
= −2 + 4
+4+ −
=2
+ −
⇔
= −2 + 4
−2 −2 +83+83 =0 ′=−2 +4⇔−2 − −2 + +83+83 =0 ′=−2 +4⇔−2 −2 +83+ −2 −2 +8
3=0 ′=−2 +4⇔−2 −2 +83=0 ′=−2 +4 d’où ∆: −2 −2 +83=0
Ω
EXERCICE N°4:
Devoir de contrôle n°2
2013-2014
4éme maths
Page 8
EXERCICE N°4:
1°)a)lim
( )
( )
→
= lim
= lim
→
= lim
→
→
= +∞
(
)
Alors
n’est pas dérivable à droite en 0.
admet au point (0,0) une demi
tangente verticale dirigée vers le haut
b) est dérivable sur ]0,1[ et pour tout ∈ ]0,1[ ;
′( ) =
(
)
=
>0
(
X
)
0
1
+∞
f
0
c) est strictement croissante sur [0 ,1[ donc
([0 ,1[).De la continuité de
sur [0 ,1[ on a :
([0 ,1[) =
(0); lim
= [0, +∞[ donc
réalise une bijection de [0 ,1[ sur
admet une fonction réciproque
définie sur
→
[0 , +∞[
d) pour tout
pour tout
⇔ pour tout
∈ [0 , +∞[ on a :
∈ [0 ,1[
∈ [0 ,1[
∶
;
( )=
=
=
=
⇔ ( )=
⇔ pour tout
∈ [0 ,1[ ⇔
∈ [0 ,1[
=
( )
e)
Cf
∆ :y=x
2°)En effectuant la symétrie orthogonale d’axe = du domaine limité par
;
=0
= 1 on trouve un domaine de même aire car la symétrie conserve les
mesure des aires le nouveau domaine est limité par :
; =0
=1
donc
A=∫
Devoir de contrôle n°2
2013-2014
4éme maths
Page 9
−
3°)a)
(
=∫
)
− ∫
= ∫
(
= ∫
)
≤0
↦1+
est continue strictement positive sur [0,1]
↦ − 1 est continue négative sur [0,1]
↦
est continue positive sur [0,1]
Car
Et
(
↦
Il en résulte que
)
est continue négative sur [0,1]
Alors U est décroissante
b) On a : 0 ≤ ≤ 1
0≤ ≤
≤
∈
c)On a pour tout
Alors lim
0≤
≤ 1 alors 1 ≤ 1 +
0 ≤ ∫
≤∫
∶ 0≤
≤
≤2
≤
≤
et lim
≤1
≤
≤
=0
→
=0
→
4°)a)On a:1 −
+
+∙∙∙∙∙∙∙ +(−1)
−
=−
=−
+∑
(− )
+
; −
=
(
≠1
)
= (−1)
+∑
b)On a −
+∫ ∑
−∫
∑
(− )
(−1)
donc − + ∑
alors |
− = (−1)
= 0 alors lim
→
(−1)
= (−1)
− | = |(−1)
|=
∫ (− )
− +
alors
(
|
)
= 1− + − = +
− |≤
≤
=
→
=∑
on a
⇔
alors – + ∑
= (−1) ∫
= (−1)
c)On a :
d)
alors
− = (−1)
alors
lim
(− ) = (−1)
⇔ − ≤
− ≤
=
=
⇔
− ≤ ≤
+
⇔
≤ ≤
0,581≤ ≤ 0,867
4°)a)
↦1+
est continue sur IR et pour tout
une fonction continue sur IR.
Et tan
−
;
=
( ) = (1 + (tan ) ).
de plus 0 ∈
(
)
(
)
( )=
+
Or F(0)= ∫
Premier cas: ( ) =
( ) = tan − +
∶ 1+
é
−
≠0
;
donc F est dérivable sur −
;
et que
= (tan )
b) Premier cas: ( ) = 1 alors
Alors
→ tan
∈
alors
( ) = 1 Or F est continue sur −
( )
=0
donc C =0
et
;
( )=
( ) = (tan ) et F est continue sur −
;
alors
de même F(0)=0 donc C=0 alors
( ) = tan −
c)I=∫
et A=∫
=∫
=∫
( )
( )
Devoir de contrôle n°2
=
avec
celle du Premier cas
= tan − = 1 −
2013-2014
4éme maths
Page 10
EXERCICE N°5:
1°) Soit B l’aire demandée.
= √
B=∫
= (√5 − 2) U.a
+2 +5
2°) est continue strictement croissante sur IR donc g réalise une bijection de IR
sur f( ) = ]−1 ,1[
3°) la courbe de
est la symétrique de celle de f par rapport à
=
La droite :
4°)a)ℎ ( ) = 2(1 + (tan ) ) > 0 .ℎ est continue strictement croissante sur −
;
donc ℎ réalise une bijection
de −
ℎ
;
−
= lim
;
ℎ ; lim
et ℎ ( ) ≠ 0
;
b)On a:ℎ est dérivable sur −
ℎ =
est dérivable sur IR. soit ℎ ( ) =
alors ℎ
ℎ ( ) = 2(1 + (tan ) )=2 1 +
5°)a) ℎ( ) =
√
− 1 ⇔ 2 tan − 1 =
√
− 1 ⇔ tan =
√
⇔
( )=
=
√
( )
c)V=
∫
∫
√
2√3 − 1 − 2 −
1 − 2(ℎ ) ( )
√
√
( )]
√
2√3 − 1 −
+1+2
=
= [ − 2ℎ
√
= ( 2√3 − 1 − 2ℎ
=
√
=
=1 − 2(ℎ ) ( )
= 1−2
=
( )
=
ℎ( ) = 2√3 − 1 ⇔ 2 tan − 1 = 2√3 − 1 ⇔ tan = √3 ⇔
b)
;
= 2 tan − 1
Or (ℎ ) ( ) =
=
∈ −
pour tout
=
√
2√3 −
− 1 − 2ℎ
√
√
−1
−
BON TRAVAIL
Devoir de contrôle n°2
2013-2014
4éme maths
Page 11