BAC BLANC n°1 2013, Série B

MINISTERE DE L’EDUCATION NATIONALE
REPUBLIQUE GABONAISE
UNION – TRAVAIL – JUSTICE
LYCEE Joseph AMBOUROUE-AVARO
Tél : 55 21 73
FAX : 55 12 02
BP : 236 PORT-GENTIL
BAC BLANC n°1 2013, Série B
Epreuve de
Durée:3h
MATHEMATIQUES
Coef :3
Exercice1 ( 4,5 points)
1° Déterminer la primitive F sur IR, qui s’annule en 1 de la fonction f avec f ( x ) = 6x 2 - 6x - 5 .
2° Soit P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 - 5 x + 6
a) Calculer P ( 1 ) et en déduire une factorisation de P ( x )
b) Résoudre dans IR , l’équation P ( x ) = 0 .
c) Etudier le signe de P ( x ) et en déduire l’ensemble des solutions de l’inéquation P ( x ) ≥ 0.
3° Déduire de ce qui précède la résolution des équations et inéquations suivantes :
a) 2(lnx)3 - 3 (lnx)2 - 5(lnx) + 6 = 0.
b) ln (2 x 3 - 2 x ) = ln ( 3 x 2 + 3 x - 6 )
c) 2 ln x + ln ( x – 1) ≥ ln ( x 2 + 5 x – 6) - ln2.
Exercice 2,( 4,5 points)
Une urne contient 5 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges indiscernables au toucher.
1° On tire simultanément 3 boules de l’urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir un tirage unicolore » .
B : « Ne pas obtenir de boule blanche »
C : « Obtenir au moins une boule blanche »
D : « Obtenir au plus 2 boule blanche »
2° On tire successivement sans remise, 3 boules de l’urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E : « Obtenir dans l’ordre 2 boules blanches suivies d’une boule qui n’est pas blanche »
F : « Obtenir exactement 2 boules blanches »
3° On tire successivement avec remise, 3 boules de l’urne.
Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
G : « Obtenir un tirage tricolore »
H : Obtenir au moins une boule blanche »
NB : On donnera toutes les probabilités sous forme de fraction irréductible.
( 1 / 2)
PROBLEME ( 11 points)
Soit la fonction f définie sur ] 0; +oo[ par: f ( x) = x - 1 +
1− lnx
x
On désigne par( C ) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (0; l, ])
d'unité graphique 1 cm.
Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur]O; +oo [ par: g(x) = 𝑥 2 - 2 + lnx .
1°a) Calculer g'(x) où g' est la dérivée de la fonction g.
b) Préciser le signe de g’ ( x ) et en déduire le sens de variation de g.
2° a) Calculer les limites de g aux bornes de ] 0 ; +∞[
b) Dresser le tableau de variation de g.
3°a) Montrer que l’équation g ( x ) = 0 admet une seule solution ∝.
b) Montrer que 1,3 < ∝ < 1,4 .
c) Déterminer le signe de g ( x ) sur ] 0 ; ∝ [ et sur ] ∝ ; +∞[ .
Partie B: Etude de la fonction f
1°a) Déterminer le limite de f ( x ) en 0 et interpréter graphiquement le résultat.
b) Déterminer de f ( x ) en +∞.
2° Soit f ' la dérivée de f.
a) Calculer f '(x) et montrer que f ’ ( x ) =
g(x)
x2
b) Préciser le signe de f ’ ( x ) et en déduire le sens de variation de f.
c) Etablir le tableau complet des variations de f.
3°a) Montrer que ln ∝ = 2 - ∝2 et que f ( ∝ ) = 2 ∝ - 1 -
1
.
∝
b) En prenant ∝ = 1,3, calculer f ( ∝).
4° a) Montrer que la droite ( D ) d’équation y = x – 1 est une asymptote à la courbe ( C ) de f.
b) Etudier la position de ( C ) par rapport à la droite ( D ) .
5°a) Déterminer les coordonnées du point A où la tangente à la courbe ( C ) est parallèle à la droite ( D ).
1
b) Montrer qu’une équation de la tangente ( T ) au point d’abscisse e2 est y = x – 1 – 2
e
6° Dans le repère ( O ; I ; J ), tracer la droite ( D ) , la tangente ( T ) et la courbe ( C ) avec soin.
Partie C: Calcul d'aire.
On considère la fonction F définie sur] 0; +∞ [ par : F ( x ) =
1
2
x 2 - x + ln x -
1
2
( lnx )2
1) Vérifier que F est une primitive de f sur] 0 ; +∞[.
2) Calculer F ( e ) – f ( 1 ) .
NB : : Pour la figure, prendre e = 2, 7 ; 𝐞𝟐 = 7,4 et 𝐞−𝟐 =
𝟏
𝐞𝟐
= 0,14 .
(2/2)