L`ensemble non-errant du flot géodésique des surfaces hyperboliques

Enseignement d’approfondissement
L’ensemble non-errant du flot géodésique des
surfaces hyperboliques
Sebastian Lunz
Inhaltsverzeichnis
1 Introduction
3
2 Groupes fuchsiens
2.1 Notations fondamentales . . . . . .
2.2 Propriétés des isométries . . . . . .
2.3 Action des isométries hyperboliques
2.4 Groupes fuchsiens . . . . . . . . . .
2.4.1 Définition . . . . . . . . . .
2.4.2 Lemme 2.4.2 . . . . . . . . .
2.5 Définition ensemble limite . . . . .
2.6 Lemme 2.6. . . . . . . . . . . . . .
2.7 Proposition 2.7. . . . . . . . . . . .
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16
3 Dynamique topologique
3.1 Le flot géodésique sur T 1 H . . . .
3.2 L’espace quotient . . . . . . . . .
3.3 Lemme 3.3. . . . . . . . . . . . .
3.4 Le flot géodésique sur T 1 S . . . .
3.5 Les points errants et non-errants .
3.6 Lemme 3.6 . . . . . . . . . . . . .
3.7 Lemme 3.7. . . . . . . . . . . . .
3.8 Lemme 3.8 . . . . . . . . . . . . .
3.9 Théorème 3.9. . . . . . . . . . . .
3.10 Définition 3.10 . . . . . . . . . . .
3.11 Proposition 3.11 . . . . . . . . . .
3.12 Théorème 3.12 . . . . . . . . . . .
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sur
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leur axe
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1 Introduction
Le but de ce mémoire est la démonstration de deux théorèmes sur la dynamique topologique (théorèmes 3.9 et 3.12). Sans donner touts les détails, je veux quand même
formluler ces deux théorèmes de facon informelle: Les théorèmes caractérisent l’ensemble
des points points non-errants du flot géodésique des surfaces hyperbolique: Un surface
hyperbolique est un espace quotient de l’espace tangent du demi-plan de Poincaré par
un sous group des isométries du demi-plan de Poincaré. Les points non-errants par le
flot géodésique, ce sont les points desquels tout voisinage est "périodique" par le flot
géodésique. Le prémier théorème dit que la propriété d’être non-errant d’un point π 1 (u)
ne dépend que de la position des extrimités de la géodésique définit par u. Le deuxième
théorème montrera que les points périodiques sont denses dans l’ensemble des points
non-errants. Ensemble, les deux théorèmes donnent une caractérisation très forte de
l’ensemble des points non-errants.
J’ai essayé de me focaliser sur les théorèmes, propositions et lemmes qui sont nécessaires
pour les preuves de ces deux théorèmes, que j’ai fait en détail. J’ai donc essayé de passer
les définitions et lemmes les plus faciles, aussi rapide que possible.
Les idées fondamentales des preuves sont toutes du livre de Dal’bo: Trajectoires géodésiques et horocycliques. Il y a quand même des petits étapes que j’ai faites moi-même,
parce qu’ils n’étaient par faits en détail dans le livre de Dal’bo.
2 Groupes fuchsiens
2.1 Notations fondamentales
Comme la plupart des résultats suivants ont déjà été montrés dans le cours, la preuve
ne sera pas fait répétée ici. Les définitions les plus basiques sont quand même donnés
ici.
On munit le demi-plan de Poincaré (noté H) de la distance hyperbolique qui vient de la
structure riemanienne (on note gz le produit scalaire local en z, (u, v) le produit scalaire
standard):
gz (u, v) =
1
(u, v)
(Im(z))2
On note T 1 H l’espace tangent unitaire. On pose:
G := P SL(2, R)
G contient donc les matrices de déterminant 1, modulo A ≡ −A
G agit sur T 1 H par la formule (g ∈ G):
g(z, u) = (
az + b
u
,
)
cz + d (cz + d)2
L’action de G sur T 1 H est simplement transitive.
Les isométries de H préservant l’orientation sont exactement les éléments de G.
Les géodésiques completes (dèsormais, on va les appeller juste géodésiques) sont les cercles euclidiens centrés en un point dans R et les droites parallèles à l’axe imaginaire.
On note: (x, y) pour la géodésique définite par x, y ∈ R. Le segment hyperbolique de
deux points x, y ∈ H (partie de la géodésique unique qui passe par x et y) est noté par:
[x, y]h .
Le cercle hyperbolique, c’est-à-dire l’ensemble des points qui ont la distance r d’un point
x = a + ib ∈ H a le diamètre euclidien:
[a + iber , a + ibe−r ]
Les géodésiques pointées orientées sont en bijection avec T 1 H. En détail, on associe à
chaque point (z, v) ∈ T 1 H la géodésique pointée (point: z), orientée (orientation donné
par v), telle que v est tangent à cette géodésique en z.
Pour chaque point u := (z, v) ∈ T 1 H on paramétrise la géodésique pointée orientée par
la longeur. On note u(t) pour le point dans H donné par cette paramètrage. Les deux
extremités de cette géodésique sont notées: u(+∞) resp. u(−∞).
Maintentant on va introduire des objets qui n’était plus introduits dans le cours:
Distance invariante Le but sera maintenant l’introduction d’une distance sur T 1 H,
qui est invariantepar l’action de G.
On définit:
Z +∞
d(v, w) :=
e−|t| d(v(t), w(t))dt
−∞
On commence par montrer que l’intégrael est bien définie:
Pour faire cela, on remarque que l’integrant est plus petit que:
(2|t| + d(v(0), w(0)))e−|t|
Ce terme est intégrable, donc l’intégrale est bien définie.
L’invariance de cette distance par G résulte du fait que γ(v(t)) = γ(v)(t).
La preuve que cela défini vraiment une distance (la seule chose qui doit vraiment être
montrée est l’inégalité triangulaire) est laissée au lecteur.
Compactification de H On note H la compactification d’Alexandroff de H ∪ R. On
remarque que H ∪ R peut être munit avec la topologie induit par la distance euclidienne
sur H ∪ R. On a donc:
H = H ∪ H(∞) = H ∪ R ∪ ∞
La topologie sur H est cela donnée par la compactification d’Alexandroff.
On proplonge les isométries de H à H en utilisant les définitions suivantes:
1
= 0, 10 = ∞, γ(∞) = ac .
∞
Disque de Poincaré On remarque que l’application suivante
Ψ:H→D
z−i
z→i
z+i
définit und bijection entre H et D.
Cette application munit D d’une structure riemannienne. Dans ce modèle, les géodésiques sont les cercles qui sont perpendiculaires à S1 . L’avantage de ce modèle pour ces
mémoires, c’est que dans ce modèle, la compactification D(∞) = S1 est beaucoup plus
facile à traiter.
2.2 Propriétés des isométries
Dans cette section,on classifier les isométries. La classification sera invariante par conjugaison.
Les preuves, assez techniques, ne seront pas faites ici (Dal’bo, page 12 à 14).
On introduit la valeur absolue de la trace d’une isométrie hyperbolique qui est défini
par: |tr(g)| = |a + d|
On remarque ici que le fait que tr(AB) = tr(BA) pour n’importe quel couple de matrices (A, B) implique:
tr(h−1 gh) = tr(ghh−1 ) = tr(g),
donc la valeur absolue de la trace est invariante par conjugaison.
On a aussi besoin de la définition suivante: On note Mg la géodésique qui est la médiatrice du segment hyperbolique [z, g(z)]h .
Isométries hyperboliques g est dit hyperbolique si |tr(g)| > 2. C’est équivalent au fait
que g est conjugé à une isométrie de la forme γ(z) = az (a > 0). Si g est hyperbolique, il
fixe exactement deux points de H et ces deux points appartiennent à H(∞). On appelle
" axe de g" la géodésique définie par les deux points fixes de g.
Être hyperbolique est équivalent au fait que Mg et Mg−1 sont disjoints dans H.
Démonstation de la dernière assertation:
Par conjugaison, il suffit à traiter le cas γ(z) = az(a 6= 1). Les médiatrices Mg resp.
Mg−1 sont les cercles centrés en 0, qui passent par les points p± , qui sont inclus dans
les intervalles ouvertes bordées par i et ai resp. i et ai . Comme a 6= 1, p+ et p− sont
différents, donc un des médiatrices et un cercle de rayon strictement inférieur que le rayon
de l’autre. Comme ils sont cenrtré au même point, Mg et Mg−1 sont donc disjoints.
Isométries paraboliques g est dit parabolique si |tr(g)| = 2. Dans ce cas, g fixe
exactement un point de H et ce point appartient à H(∞). Être parabolique est équivalent
au fait que Mg et Mg−1 ont exactement une éxtremité en commun.
Isométries elliptiques g est dit elliptique si |tr(g)| < 2. Dans ce cas, g fixe exactement
un point de H et ce point appartient à H. Être elliptique est équivalent au fait que Mg
et Mg−1 sont sécants.
2.3 Action des isométries hyperboliques sur leur axe
Soit γ une isométrie hyperbolique. Pour n’importe quel z sur l’axe de γ, les
suites (γ n (z)) et (γ −n (z)) appartiennent à l’axe de γ et converge vers deux
points, appellés γ − resp. γ + . En plus, d(z, γ(z)) = const. =: l(γ).
Démonstration:
Quitte à conjuguer γ, on peut supposer que γ(z) = λz pour un λ > 0. Les deux points
fixes sont donc évidamment 0 et ∞, l’axe de γ et l’axe imaginaire. Le fait que (γ n (z))
et (γ −n (z)) appartiennent à l’axe et la convergence de ces suites vers 0 resp. ∞ sont
évidents. Pour démontrer que d(z, γ(z)) ne dépend pas de z on fait le calcul suivant:
d(z, γ(z))
r
λz
1
dx
=
x2
z
= ln(λz) − ln(z)
= ln(λ)
Z
2
2.4 Groupes fuchsiens
2.4.1 Définition
On appelle un sous-groupe Γ de G fuchsien, s’il satisfait la propriété suivante:
Soit A une (2x2)-matrice. Il existe un ouvert U pour la topologie euclidienne sur les
quadruplets (On voit A comme quadruplet), telle que A ∈ U et:
Pour chaque représentant B d’une classe d’équivalence [B] ∈ Γ, B n’appartient pas à U.
Sans faire attention à l’identification de A et -A, on peut facilement dire qu’un sousgroupe est fuchsien s’il est discret pour la métrique induit par la distance euclidienne
sur les quadruplets.
Un exemple d’un groupe fuchsien est l’ensemble P SL(2, Z).
2.4.2 Lemme 2.4.2
Un groupe fuchsien opère proprement discontinûment sur H.
On commence par la définition d’une action proprement discontinue: Γ opère proprement discontinûment sur H si et seulement si pour tout compact K dans H, seulement
un nombre fini d’éléments γ ∈ Γ vérifient γK ∩ K 6= ∅.
Démonstration:
Soit K un compact dans H. Pour pouvoir appliquer le fait que G agit simplement transitivement sur T 1 H, on définit K 1 ⊂ T 1 H comme l’ensemble des points (z, ~u) avec z ∈ K.
On remarque que, si on emploie la distance sur T 1 H qui et définit par la somme de la
distance hyperbolique sur H et la différence des angles, K 1 est homéomorphe au produit
vectoriel de deux compacts, donc compact.
Maintenant on fixe un élément v ∈ T 1 H. Comme l’action est continue et simplement
transitive, il existe un compact C dans G qui vérifie C(v) = K 1 .
Soit maintenant γ ∈ Γ, telle que γK ∩ K 6= ∅. Par définition de K 1 on sait aussi que:
γK 1 ∩ K 1 6= ∅. Il existe donc un élément x ∈ K 1 telle que x, γ(x) ∈ K 1 . On considère:
c1 ∈ C tel que c1 (v) = x et c2 ∈ C tel que c2 (v) = γ(x). Donc: c2 c−1
1 (x) = γ(x). Comme
−1
l’action est simple, ceci implique déjà: c2 c1 = γ. C’est pourquoi γ ∈ CC −1 . La compacité de C implique cell de C −1 . Comme le groupe Γ est discret, γ son intersection avec
un compact est finie.
2
2.5 Définition ensemble limite
Motivation: Soit Γ un groupe fuchsien infini et z dans H. On considère l’ensemble
Γz. Comme Γ agit proprement discontinuement sur H, Γz ne contient pas de point
d’adherence dans H: Pour montrer cela, on fait une preuve par absurde. Soit p le point
d’adhérence dans H. Si K est un compact tel que K 0 contient p et z, un nombre infini
d’élements γ dans Γ satisfait γK ∩ K 6= ∅. Cela contredit le lemme 2.4.2.
Comme H est compact, on conclut que l’ensemble Γz s’accumule sur H(∞).
On définit l’ensemble limite de Γ par:
L(Γ) := Γz ∩ H(∞)
Remarque: La fermature doit être vue comme la fermature dans H, qui est munit de la
topologie introduite au-dessus.
On dit le groupe fuchsien élémentaire, si son ensemble limite est fini. On peut démontrer
que cela est équivalent au fait que Γ contient au moins deux isométries hyperboliques
sans point fixe commun (Proposition 1.3.11. dans le livre de Dal’bo).
Exemple: L’ensemble limite de P SL(2, Z) est H(∞).
Maintenant on va montrer que l’ensemble limite ne dépend pas du choix de z:
2.6 Lemme 2.6.
Soit γn une suite dans H telle que γn (z) converge vers un point x ∈ H(∞).
Pour tout point ze ∈ H la suite γn (e
z ) converge aussi vers x.
Démonstration:
Quitte à conjuguer Γ, on peut supposer que x = 0. On définit:
γn (z) = an + ibn
Par hypothèse, an , bn tendent vers 0. Comme γn conserve la distance hyperbolique, on
sait que pour tout ze ∈ H, γn (e
z ) appartient au circle centré en z de radius r := d(z, ze). Plus
précisement, d’après l’introduction, cela signifie que γn (e
z ) appartient au circle euclidien
de diamètre:
[an + ibn er , an + ibn e−r ]
Comme le diamètre euclidien de ce cercle tends vers 0, on peut conclure la convergence
voulue.
2
La proposition suivante montrera une propriété de minimalité de l’ensemble limite L(Γ).
Le résultat sera aussi important pour la preuve du lemme 3.8., qui est à nouveau point
important.
2.7 Proposition 2.7.
Si Γ n’est pas élémentaire, tout fermé non-vide et invariant par Γ dans
H(∞) contient L(Γ). L(Γ) est donc le plus petit fermé non-vide et invariant.
Démonstration:
Soit F un fermé non-vide, invariant par Γ. Pour montrer la proposition, il faut démontrer
que L(Γ) est inclus dans F. Comme Γ n’est pas élémentaire, il contient une isométrie
hyperbolique (Proposition I.3.11. de Dal’bo). Soit f ∈ F . Les suites γ ±n (f ) convergent
vers les points γ ± . Comme F est fermé et invariant par Γ, γ ± appartiennent à F. On va
maintenant montrer que n’importe quel point x ∈ L(Γ) appartient à F. On choisit un
point z dans H sur la géodésique (γ − , γ + ) et gn une suite dans Γ telle que
lim gn (z) = x
n→∞
Cette suite existe car x ∈ L(Γ) et la convergence ne dépend pas du choix du point
(Lemme 2.6.). Comme R ∪ ∞ est compact, les suites gn (γ − ) et gn (γ + ) possèdent un
point d’adherence. Quitte à soustraire une sous-suite, on peut admettre la convergence
de gn (γ − ) et gn (γ + ) vers des points f − et f + , qui appartiennent à F, parce que γ −
et γ + appartiennent à F et F est invariant par Γ. Comme l’image d’une géodésique
par une isométrie est une géodésique, on sait que gn (z) appartient à la géodésique
(gn (γ − ), gn (γ + )). En excluant le cas qu’un des points est ∞ par conjugaison et en appliquant l’inégalité triangulaire pour la distance euclidienne, on conclut que x est soit f − ,
soit f + . Du coup, x appartient à F.
2
3 Dynamique topologique
3.1 Le flot géodésique sur T 1 H
Chaque vecteur v = (z, ~v ) ∈ T 1 H est associé à une géodésique orienté pointée. v(t) est
(0) = ~v . On définit
le paramétrage par longeur de cette géodésique tel que v(0) = z et dv
dt
maintenant le flot géodésique par:
d
get (v) := (v(t), v(t))
dt
Une définition équivalente est la suivante:
Soit A l’isométrie telle que A(i) = v. On définit:
get (v) := AGt (i)
t/2
e
0
.
òu Gt est la matrice: Gt =
0 e−t/2
La deuxième définition montre directement que le flot géodésique sur T 1 H est vraiment
un flot, c’est-à-dire qu’il vérifie:
(i) ge0 (v) = v;
(ii) ges (e
gt (v)) = get+s (v);
(iii) ge continue
3.2 L’espace quotient
Pour le reste du mémoire Γ est un groupe fuchsien pas élémentaire. On note S := Γ\H
et T 1 S := Γ\T 1 H. On munit les éspaces quotients des distances:
dΓ (π(x), π(y)) = inf d(x, γ(y))
γ∈Γ
1
1
dΓ (π (u), π (v)) = inf d(u, γ(v))
γ∈Γ
Ou d sont les distances définites au-dessus sur les ésoaces H et T 1 H.
La preuve que cela définit vraiment une distance est laissée au lecteur..
3.3 Lemme 3.3.
Soit zn une suite dans H, un une suite dans T 1 H.
1. π(zn ) dans S converge vers π(z) ⇔ Il existe une suite (γn ) dans Γ telle
que (γn (zn )) converge vers z.
2. π 1 (un ) dans T 1 S converge vers π 1 (u) ⇔ Il existe une suite (γn ) dans
Γ telle que (γn (un )) converge vers u.
Démonstration:
On ne fera que la preuve de (1.), la preuve de (2.) est très similaire. L’implication "⇐ "
est évidente. On montre "⇒ ". Par définition
inf d(z, γ(zn )) → 0(n → ∞)
γ∈Γ
On choisit γn tel que
inf |d(z, γ(zn )) − d(z, γn (zn ))| <
γ∈Γ
1
n
Ceci implique que:
d(z, γn (zn )) → 0(n → ∞)
2
3.4 Le flot géodésique sur T 1 S
L’espace T 1 S n’est pas toujours le fibré unitaire de S, mais on peut quand même trouver
une définition d’un flot g sur T 1 S. Avant de donner la définition on remarque que:
get (γ(v)) = γ(e
gt (v))
Ce résultat est évident si on utilise la deuxième définition donnée pour le flot géodésique
sur T 1 H.
Donc la formule suivante définit une transformation gt : T 1 S → T 1 S qu’on appele le flot
géodésique sur T 1 S (v ∈ T 1 H):
gt (π 1 (v)) := π 1 (e
gt (v))
Le fait que get est un flot implique directement que gt est aussi un flot.
3.5 Les points errants et non-errants
Soit y ∈ T 1 S. S’il existe un voisinage V de y et un réel T, tels que
gt V ∩ V 6= ∅
pour tout |t| ≥ T , y est dit errant. L’ensemble des points non(!)-errants est noté Ωg (T 1 S).
3.6 Lemme 3.6
Soit (vn ) une suite dans T 1 H, v ∈ T 1 H. Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) limn→∞ d(vn , v) = 0.
(ii) limn→∞ vn (+∞) = v(+∞) et limn→∞ vn (0) = v(0).
(iii) limn→∞ vn (−∞) = v(−∞) et limn→∞ vn (0) = v(0).
La démonstration formelle est un peu technique et ne sera pas faite ici. D’un point de
vue de la géométrie élémentaire et par continuité, le résultat est très plausible.
Le lemme suivant est un peu technique, mais nécessaire pour la démonstration du théorème 3.12.
3.7 Lemme 3.7.
Soit (un )une suite dans T 1 H et u ∈ T 1 H. Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) Il existe une suite (sn ) dans R telle que:
limn→∞ gsn (π 1 (un )) = π 1 (u).
(ii) Il existe une suite (γn ) dans Γ telle que:
limn→∞ (γn (un (−∞)), γn (u(+∞)) = (u(−∞), u(+∞)).
Démonstration:
(i) =⇒ (ii) . Par définition de la distance sur T 1 S (i) est équivalent à l’égalité:
lim inf d(γe
gsn (un ), u) = 0
n→∞ γ∈Γ
Pour tout n on choisi un γn ∈ Γ telle que
inf |d(γe
gsn (un ), u) − d(γn gesn (un ), u)| <
γ∈Γ
1
n
Donc
lim d(γn gesn (un ), u) = 0
n→∞
Comme gesn (un )(±∞) = (un )(±∞), le lemme 3.6. entraîne la convergence voulue du
couple (γn (un (−∞), γn (un (+∞)) vers (u(−∞, u(+∞))).
(ii) =⇒ (i) . (ii) implique par continuité l’existence d’une suite de points
zn ∈ (γn (un (−∞)), γn (un (+∞)))
qui converge vers u(0). Soit vn ∈ T 1 H le couple formé du point zn et du vecteur tangent
en ce point au rayon [zn , γn (un (+∞))). Par cette définition, vn et γn (un ) appartiennent
à la même géodésique. Il existe donc un réel sn , tel que vn = gesn (γn (un )). On a donc
lim vn (0) = u(0)
n→∞
et
lim vn (+∞) = lim gesn (γn (un ))(+∞) = lim γn (un )(+∞) = u(+∞)
n→∞
n→∞
n→∞
(par hypothèse). En appliquant encore le lemme 3.6., ceci entraîne la convergence de vn
vers u dans T 1 H. On a donc:
lim gsn π 1 (un ) = lim gsn π 1 ((γn (un ))) = π 1 (u)
n→∞
n→∞
.
2
Le lemme suivant est très important pour les preuves des théorèmes 3.9 et 3.12
3.8 Lemme 3.8
Soient x, y ∈ L(Γ). Il existe une suite (γn ) dans Γ telle que limn→∞ γn (i) = x
et limn→∞ γn−1 (i) = y.
Démonstration:
L’idée principale de la preuve est l’application de la proposition 2.7. qui dit que L(Γ)
est l’ensemble le plus petit qui est non-vide, fermé et invariant par L(Γ). On fixe donc
x ∈ L(γ) et on appelle A l’ensemble y pour lesquels il y a une suite (hn ) dans Γ qui vérifie
limn→∞ hn (i) = x et limn→∞ h−1
n (i) = y. Pour pouvoir conclure il donc reste seulement
à montrer que A est non-vide, fermé et invariant.
non-vide: Comme x ∈ L(Γ) il existe une suite (hn ) dans Γ telle que limn→∞ hn (i) = x.
Or H est compact, la suite h−1
n (i) a une valeur d’adhérence p. Pour conclure il suffit de
voir que p n’appartient pas à H et donc appartient à H(∞). Cela découle de ce que Γ
agit proprement discontinument sur H (voir la définition de l’ensemble limite).
invariant : Soit y ∈ A, γ ∈ Γ. Soit la suite (hn ) dans Γ telle que limn→∞ hn (i) = x
−1
e
et limn→∞ h−1
. D’après la définition 2.6. la limite de la
n (i) = y. On définit hn := hn ◦ γ
suite hn (p) est indépendante du choix de p. Donc
lim e
hn (i) = lim hn (γ −1 (i)) = x
n→∞
n→∞
En plus
−1
lim e
h−1
n (i) = lim γ(hn ((i))) = γ(y)
n→∞
n→∞
Donc γ(y) ∈ A.
fermé: Soit (yp ) une suite dans A convergeant vers un point y dans H(∞). Pour tout p
il existe donc une suite (hp,k ) dans Γ telle que
lim hp,k (i) = x et lim h−1
p,k (i) = yp
k→∞
k→∞
Pour tout p il existe un kp tel que
d(hp,kp (i), x) <
1
1
et d(h−1
p,kp (i), yp ) <
p
p
Par conséquent (inégalité triangulaire), cette suite satisfait:
lim h−1
p,kp (i) = y et lim hp,kp (i) = x
p→∞
p→∞
Donc y appartient à A.
2
Le théorème suivant caractérise les points non-errants π 1 (u) dans T 1 S.
3.9 Théorème 3.9.
u ∈ T 1 H. Les assertations suivantes sont équivalentes:
(i) π 1 (u) ∈ Ωg (T 1 S)
(ii) u(±∞) ∈ L(Γ)
Remarque: N’import quel couple de deux points (x,y) dans H(∞) × H(∞)\M (òu M
est l’ensemble des couples (x, x), x ∈ H) peut être associé à une géodésique. On peut
donc voir l’ensemble des géodésiques comme H(∞)×H(∞)\M . Du même facon, on peut
-d’après ce théorème- voir Ωg (T 1 S) comme π 1 (L(Γ) × L(Γ)\M ).
Démonstration:
(ii) =⇒ (i). Pour démontrer cette implication, on applique le lemme 3.8. Soit (γn ) une
suite dans Γ fournie ce lemme:
lim γn (i) = u(+∞) et lim γn−1 (i) = u(+∞)
n→∞
n→∞
(u(±∞) ∈ L(Γ) par hypothèse). Le but sera maintenant la construction d’une suite vn
telle que π 1 (vn ) et gtn (π 1 (vn )) convergent vers π 1 (u) pour une suite tn → ∞(n → ∞)
bien choisi. Cela impliquera que pour chaque voisinage V de π 1 (u) que pour n assez
grand π 1 (vn ) et gtn (π 1 (vn )) appartiennent à V, donc gtn V ∩ V 6= ∅. On déduira que
π 1 (u) ne peut pas être errant.
Il reste à construire vn et tn . Les objets qu’on définira sont visualisés dans la figure
1. Soit vn ∈ T 1 H telle que vn (0) = γn−1 (u(0)) et le vecteur tangent est tangent au segment [γn−1 (u(0)), u(0)]h . La géodésique pointée orientée, définie par vn , contient donc
γn−1 (u(0)) et u(0). De plus vn (tn ) = u(0), si tn est défini par tn := d(u(0), γn−1 (u(0)). On
remarque que la suite tn converge vers ∞.
On commence par démontrer que limn→∞ getn (vn ) = u:
Or γn−1 (u(0)) → u(−∞) (n → ∞), par continuité, limn→∞ vn (−∞) = u(−∞). L’élément
ven := getn (vn ) satisfait donc aussi limn→∞ ven (−∞) = u(−∞). Or ven (0) = u(0), on peut
appliquer le lemme 3.6. pour conclure la convergence dans T 1 H de ven vers u.
Par un raisonnement similaire on montrera que limn→∞ π 1 (vn ) = π 1 (u):
On considère γn (vn ). Par définition de vn , γn (vn )(0) = u(0). En plus le vecteur tangent
de γn (vn ) est tangent au segment géodésique [u(0), γn (u(0))]h . Or γn (u(0)) → u(+∞),
on conclut comme ci-dessus que limn→∞ γn (vn )(+∞) = u(+∞). On peut donc encore
une fois appliquer le lemme 3.6., cette fois à γn (vn ), pour déduire la convergence de
γn (vn ) → u (n → ∞). Comme γn ∈ Γ, ceci entraîne que limn→∞ π 1 (vn ) = π 1 (u). D’après
le début de la preuve, cela suffit pour montrer l’implication.
Figure 1:
(i) =⇒ (ii) . Cette implication peut être montrée sans employer des autres théorèmes forts, seulement en relevant le problème de l’espace quotient à T 1 H. Soit (Vn ) une
T
1
suite de voisinages de π 1 (u) telle que +∞
n=1 Vn = π (u). Par hypothèse, il existe une
suite tn → ∞(n → ∞) telle que gtn Vn ∩ Vn 6= ∅. Soit (un ) n’importe quel élément de
π 1 −1 (gtn Vn ∩ Vn ). Puisque π 1 (un ) ∈ Vn limn→∞ π 1 (un ) = π 1 (u). Soit u
en := ge−tn (un ),
1
1
donc gtn π ((e
un )) = π (un ). Comme ci-dessus on montre que
lim g−tn π 1 (un ) = lim π 1 (e
un ) = π 1 (u)
n→∞
n→∞
.
Quitte à remplacer un par un autre élément dans Γ(un ) et en appliquant le lemme 3.3.
on obtient une suite γn telle que: limn→∞ un = u et limn→∞ γn ge−tn (un ) = u. On sait que
limn→∞ un (−tn ) = u(−∞), parce que tn → ∞. En plus
lim d(γn un (−tn ), u(0)) = 0 =⇒ lim d(un (−tn ), γn−1 u(0)) = 0
t→∞
t→∞
Ceci entraîne que limn→∞ γn−1 (i) = u(−∞) (on emploie l’indépendence de la limite
montrée dans 2.6). Du coup u(−∞) ∈ Γ.
Pour obtenir le même résultat pour u(+∞)on remarque que gtn Vn ∩Vn 6= ∅ =⇒ g−tn Vn ∩
Vn 6= ∅, parce que g−tn est une bijection. On peut donc remplacer tn par −tn .
2
Exemple: On a déjà vu que L(P SL(2, Z)) = H(∞). D’après le théorème ci-dessus, on
sait donc que aucun point de T 1 S n’est errant. On aurait aussi pu obtenir ce résultat en
applicant les théorèmes du cours: Comme d’après le cours prèsque tout point (pour le
mesure construit dans le cours) est récurrent, par la construction de ce mesure, l’ensemble
des points récurrents est dense dans T 1 S. Le fait qu’un point récurrent est non-errant
implique que l’ensemble des points non-errant est dense dans T 1 S. Comme l’ensemble
des points non-errants est fermé, cela montre l’hypothèse.
3.10 Définition 3.10
Un élément π 1 (u) ∈ Ωg (T 1 S) est dit périodique s’il éxiste un t > 0 tel que:
gt (π 1 (u)) = π 1 (u)
La proposition suivante donne une caractérisation des points périodiques. Elle est aussi
nécessaire pour le preuve du théorème 3.12
3.11 Proposition 3.11
Soit u ∈ T 1 H. Les assertations suivantes sont équivalentes:
(i) π 1 (u) est périodique
(ii) Il existe γ ∈ Γ hyperbolique telle que γ ± = u(±∞)
Démonstration:
(ii) =⇒ (i). Par hypothèse, u appartient à l’axe de γ. D’après la proposition 2.3.,
une isométrie hyperbolique préserve son axe avec d(z, γ(z)) = l(γ). On sait donc que
γ(u) = gel(γ) (u). On prend la projection et on obtient: π 1 (u) = gl(γ) (π 1 (u))
(i) =⇒ (ii). On veut relever le problème de l’espace quotient à T 1 H. L’hypothèse
donne l’éxistence de γ ∈ Γet T, telle que geT (u) = γ(u). Pour le flot géodésique que
limn→±∞ genT (u)(0) = u(±∞). De plus genT (u)(0) = γ n (u). En utilisant la continuité de
γ sur H on conclut que γ fixe u(±∞). Comme u(+∞)et u(−∞) sont différents, γ a au
moins deux points fixes sur H(∞). Or γ n’est pas l’identité, parce qu’il n y a pas de u
telle que geT (u) = u, γ doit être hyperbolique (propriété 3.8).
2
Les propriétes non-errant et périodique sont liées, un point périodique est toujours nonerrant. Le théorème suivant montre une rélation très forte entre l’ensemble des points
non-errants et le sous-ensemble des points périodiques.
Ce résultat n’est pas correct pour tout système dynamique:
Si on regarde le cercle S1 et l’application φ : S1 → S1 ; x → e2πα x avec α ∈ R\Q, on voit
que l’ensemble des points non-errant est tout le cercle (argument: l’ensemble des points
récurrents est dense et il est un sous-ensemble de l’ensemble des points non-errants et
l’ensemble des points non-errants est fermé), mais il n’y a pas de point périodique.
3.12 Théorème 3.12
L’ensemble des éléments périodiques est dense dans Ωg (T 1 S)
Démonstration:
fg (T 1 S). Commencons par la fin de la preuve: On admet provisoirement
Soit u ∈ Ω
l’existence d’une suite γn ∈ Γ hyperbolique telle que
lim (γn− , γn+ ) = (u(−∞), u(+∞))
n→∞
(Convergence du premier point au premier point et du deuxième point au deuxième
point). Nous employons maintenant le lemme 3.7: On choisit un ∈ (γn− , γn+ ) quelconque
mais bien orienté (un (+∞) = γn+ ). On sait que un (±∞) = γn± . Donc l’assertion (ii) du
lemme 3.7. est satisfaite par γn et un . On peut conclure l’éxistence de sn ∈ R tels que
lim gsn (π 1 (un )) = π 1 (u)
n→∞
L’hypothèse (ii) de la proposition 3.11 est évidamment satisfaite par construction de un
et γn , donc π 1 (un ) est périodique, alors gsn (π 1 (un )) l’est aussi. On a donc trouvé une
suite d’élements périodiques qui converge vers π 1 (u).
Il reste à démontrer l’éxistence de la suite γn :
D’après le théorème 3.9. et le lemme 3.8., il existe une suite γn ∈ Γ telle que
lim γn (i) = u(+∞) et lim γn−1 (i) = u(−∞)
n→∞
n→∞
On montre que pour n assez grand, les isométries γn sont hyperboliques. Il est commode
de se placer dans le disque de Poincaré. Considérons la médiatrice Mγ du segment
[0, γn (0)]h .
La clé de la preuve est la démostration que Mγn et Mγn−1 sont disjoints. Cela implique
que γn est hyperbolique. Il suffit de montrer que le diamètre euclidien des cercles Mγn
et Mγn−1 converge vers 0. (On utilise le fait que u(+∞) et u(−∞) sont différents). Du
point de vue de géométrie élémentaire c’est clair que si limn→∞ pn = u(∞) pour une
suite de points qui tend (distance euclidienne) vers le bord de la disque de Poincaré,
alors le diamètre de la géodésique qui contient pn et qui est orthogonal à la droite qui
passe par pn et 0, converge vers 0. On applique cela aux points pn qui sont les points
d’intersection de Mγ est la droite qui passe par 0 et γn (0). Comme d(0, γn (0)) (distance
hyperbolique) tend vers infini, d(pn , 0) doit forcement tendre vers ∞. En utilisant le fait
que la distance hyperbolique entre 0 et les points dans un cercle euclidien centré en 0
de radius <1 est bornée, on conclut que pn doit forcement tendre (distance euclidienne)
vers D(∞). Par choix de pn , cela signifie que la diamètre euclidienne de Mγ tend vers 0.
On applique le même raisonnement à Mγ −1 .
La dernière chose qu’il faut montrer c’est la convergence de γn± vers u(±∞):
En utlisant la compacticité de R ∪ ∞ on peut trouver une sous-suite de (γn ) telle que
limn→∞ γn± = x± . Par continuité et un argument de géométrie élémentaire, on conclut
à l’éxistence d’une suite yn ∈ (γn− , γn+ ) qui converge vers un élément y ∈ H. La suite
γn±1 (y) converge vers u(±∞). De plus (distance hyperbolique)
lim d(yn , y) = 0 =⇒ lim d(γn (yn ), γn (y)) = 0
n→∞
n→∞
Or γn (yn ) appartient à l’axe de γn , pour n assez grand, γn (y) est proche de l’axe de γn
pour la distance hyperbolique, donc aussi pour la distance euclidienne (le cas qu’un des
points est infinité doit être évité par conjugaison). Comme γn (y) tend vers un point dans
H(∞) mais est aussi proche de l’axe, ob obtient forcement (inégalité triangulaire):
lim γn±1 (y) = x± =⇒ x± = u(±∞)
n→∞
.
2