L`ensemble non-errant du flot géodésique des surfaces hyperboliques

Enseignement d’approfondissement
L’ensemble non-errant du flot géodésique des
surfaces hyperboliques
Sebastian Lunz

Inhaltsverzeichnis
1 Introduction 3
2 Groupes fuchsiens 3
2.1 Notations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Propriétés des isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Action des isométries hyperboliques sur leur axe . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Groupesfuchsiens............................... 6
2.4.1 Définition ............................... 6
2.4.2 Lemme2.4.2.............................. 7
2.5 Définition ensemble limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Lemme2.6. .................................. 8
2.7 Proposition2.7................................. 8
3 Dynamique topologique 9
3.1 Le flot géodésique sur T1H.......................... 9
3.2 L’espacequotient............................... 9
3.3 Lemme3.3. .................................. 10
3.4 Le flot géodésique sur T1S.......................... 10
3.5 Les points errants et non-errants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.6 Lemme3.6................................... 11
3.7 Lemme3.7. .................................. 11
3.8 Lemme3.8................................... 12
3.9 Théorème3.9.................................. 13
3.10Définition3.10................................. 15
3.11Proposition3.11................................ 15
3.12Théorème3.12................................. 16

1 Introduction
Le but de ce mémoire est la démonstration de deux théorèmes sur la dynamique to-
pologique (théorèmes 3.9 et 3.12). Sans donner touts les détails, je veux quand même
formluler ces deux théorèmes de facon informelle: Les théorèmes caractérisent l’ensemble
des points points non-errants du flot géodésique des surfaces hyperbolique: Un surface
hyperbolique est un espace quotient de l’espace tangent du demi-plan de Poincaré par
un sous group des isométries du demi-plan de Poincaré. Les points non-errants par le
flot géodésique, ce sont les points desquels tout voisinage est "périodique" par le flot
géodésique. Le prémier théorème dit que la propriété d’être non-errant d’un point π1(u)
ne dépend que de la position des extrimités de la géodésique définit par u. Le deuxième
théorème montrera que les points périodiques sont denses dans l’ensemble des points
non-errants. Ensemble, les deux théorèmes donnent une caractérisation très forte de
l’ensemble des points non-errants.
J’ai essayé de me focaliser sur les théorèmes, propositions et lemmes qui sont nécessaires
pour les preuves de ces deux théorèmes, que j’ai fait en détail. J’ai donc essayé de passer
les définitions et lemmes les plus faciles, aussi rapide que possible.
Les idées fondamentales des preuves sont toutes du livre de Dal’bo: Trajectoires géodé-
siques et horocycliques. Il y a quand même des petits étapes que j’ai faites moi-même,
parce qu’ils n’étaient par faits en détail dans le livre de Dal’bo.
2 Groupes fuchsiens
2.1 Notations fondamentales
Comme la plupart des résultats suivants ont déjà été montrés dans le cours, la preuve
ne sera pas fait répétée ici. Les définitions les plus basiques sont quand même donnés
ici.
On munit le demi-plan de Poincaré (noté H) de la distance hyperbolique qui vient de la
structure riemanienne (on note gzle produit scalaire local en z,(u, v)le produit scalaire
standard):
gz(u, v) = 1
(Im(z))2(u, v)
On note T1Hl’espace tangent unitaire. On pose:
G:= P SL(2,R)
G contient donc les matrices de déterminant 1, modulo A≡ −A
G agit sur T1Hpar la formule (g∈G):
g(z, u)=(az +b
cz +d,u (cz +d)2)

L’action de G sur T1Hest simplement transitive.
Les isométries de Hpréservant l’orientation sont exactement les éléments de G.
Les géodésiques completes (dèsormais, on va les appeller juste géodésiques) sont les cer-
cles euclidiens centrés en un point dans Ret les droites parallèles à l’axe imaginaire.
On note: (x, y)pour la géodésique définite par x, y ∈R. Le segment hyperbolique de
deux points x, y ∈H(partie de la géodésique unique qui passe par x et y) est noté par:
[x, y]h.
Le cercle hyperbolique, c’est-à-dire l’ensemble des points qui ont la distance r d’un point
x=a+ib ∈Ha le diamètre euclidien:
[a+iber, a +ibe−r]
Les géodésiques pointées orientées sont en bijection avec T1H. En détail, on associe à
chaque point (z, v)∈T1Hla géodésique pointée (point: z), orientée (orientation donné
par v), telle que v est tangent à cette géodésique en z.
Pour chaque point u:= (z, v)∈T1Hon paramétrise la géodésique pointée orientée par
la longeur. On note u(t)pour le point dans Hdonné par cette paramètrage. Les deux
extremités de cette géodésique sont notées: u(+∞)resp. u(−∞).
Maintentant on va introduire des objets qui n’était plus introduits dans le cours:
Distance invariante Le but sera maintenant l’introduction d’une distance sur T1H,
qui est invariantepar l’action de G.
On définit:
d(v, w) := Z+∞
−∞
e−|t|d(v(t), w(t))dt
On commence par montrer que l’intégrael est bien définie:
Pour faire cela, on remarque que l’integrant est plus petit que:
(2|t|+d(v(0), w(0)))e−|t|
Ce terme est intégrable, donc l’intégrale est bien définie.
L’invariance de cette distance par G résulte du fait que γ(v(t)) = γ(v)(t).
La preuve que cela défini vraiment une distance (la seule chose qui doit vraiment être
montrée est l’inégalité triangulaire) est laissée au lecteur.
Compactification de HOn note Hla compactification d’Alexandroff de H∪R. On
remarque que H∪Rpeut être munit avec la topologie induit par la distance euclidienne
sur H∪R. On a donc:
H=H∪H(∞) = H∪R∪ ∞
La topologie sur Hest cela donnée par la compactification d’Alexandroff.
On proplonge les isométries de HàHen utilisant les définitions suivantes:
1
∞= 0,1 0=∞, γ(∞) = a c.

Disque de Poincaré On remarque que l’application suivante
Ψ : H→D
z→iz−i
z+i
définit und bijection entre Het D.
Cette application munit Dd’une structure riemannienne. Dans ce modèle, les géodési-
ques sont les cercles qui sont perpendiculaires à S1. L’avantage de ce modèle pour ces
mémoires, c’est que dans ce modèle, la compactification D(∞) = S1est beaucoup plus
facile à traiter.
2.2 Propriétés des isométries
Dans cette section,on classifier les isométries. La classification sera invariante par con-
jugaison.
Les preuves, assez techniques, ne seront pas faites ici (Dal’bo, page 12 à 14).
On introduit la valeur absolue de la trace d’une isométrie hyperbolique qui est défini
par: |tr(g)|=|a+d|
On remarque ici que le fait que tr(AB) = tr(BA)pour n’importe quel couple de matri-
ces (A, B)implique:
tr(h−1gh) = tr(ghh−1) = tr(g),
donc la valeur absolue de la trace est invariante par conjugaison.
On a aussi besoin de la définition suivante: On note Mgla géodésique qui est la mé-
diatrice du segment hyperbolique [z, g(z)]h.
Isométries hyperboliques g est dit hyperbolique si |tr(g)|>2. C’est équivalent au fait
que g est conjugé à une isométrie de la forme γ(z) = az (a > 0). Si g est hyperbolique, il
fixe exactement deux points de Het ces deux points appartiennent à H(∞). On appelle
" axe de g" la géodésique définie par les deux points fixes de g.
Être hyperbolique est équivalent au fait que Mget Mg−1sont disjoints dans H.
Démonstation de la dernière assertation:
Par conjugaison, il suffit à traiter le cas γ(z) = az(a6= 1). Les médiatrices Mgresp.
Mg−1sont les cercles centrés en 0, qui passent par les points p±, qui sont inclus dans
les intervalles ouvertes bordées par iet ai resp. iet i
a. Comme a6= 1,p+et p−sont
différents, donc un des médiatrices et un cercle de rayon strictement inférieur que le rayon
de l’autre. Comme ils sont cenrtré au même point, Mget Mg−1sont donc disjoints.
Isométries paraboliques g est dit parabolique si |tr(g)|= 2. Dans ce cas, g fixe
exactement un point de Het ce point appartient à H(∞). Être parabolique est équivalent
au fait que Mget Mg−1ont exactement une éxtremité en commun.