Trigonométrie R

'Trigonométrie R'
1 Le radian
Définition 1
Le radian est, comme le degré une unité de mesure d’angles définie de la façon suivante :
Si Iet Asont deux points d’un cercle de centre Ode rayon 1 tels que la longueur de l’arc
IA soit égale à 1 alors l’angle α= IOA a une mesure égale à 1 radian.
1 radian : 1 rd '57,3°
La mesure en radians de l’angle [ IOM est égale à la longueur de l’arc géométrique c IM.
I
A
1
α
0
1
Propriété 1
Si Iet Msont deux points d’un cercle de centre Ode rayon Rtels que la
longueur de l’arc  IM soit égale à `alors la mesure en radians de l’angle
[
IOM est le réel α=`
R
I
M
R
α
0
`=αR
Remarque 1
Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians :
360 degrés = 2πradians ou encore 180 degrés = πradians
Exemple 1
On obtient le tableau de conversions suivant :
Angle plein plat droit fig.b fig.a fig.b
Mesure en degrés 360 180 90 60 45 30
Mesure en redians 2π π π
2
π
3
π
4
π
6
π
4
π
4
Figure a:
triangle rectangle isocèle π
3
π
6Figure b:
triangle équilatéral
1

2 Cercle trigonométrique
Définition 2
• Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou indirect.
• Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 orienté de telle sorte que le direct est celui du sens inverse des
aiguilles d’une montre.
Remarque 2
On peut donner aux sens plusieurs dénominations :
• Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Sens indirect : sens négatif, sens horaire.
3 Angles orientés
3.1 Mesure d’un arc ou d’angle orienté de vecteurs
(C) est le cercle trigonométrique de centre O,Aet Msont deux points de (C)
Définition 3
Une mesure, en radians, de l’arc orienté
y
AM ou de l’angle orienté ( [−−→ OA ,−−−→ OM ) est la longueur de chemin parcouru
pour aller de AàM.
Propriété 2
Si αest une mesure en radians de l’arc orienté d AM ou de l’angle orienté ( [−−→ OA ,−−−→ OM ), alors toutes les mesures en radians
de cet arc sont de la forme α+ 2kπ où kest un nombre entier relatif
Remarque 3
Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l’on effectue sans le sens direct si kest positif, et dans le sens indirect si
kest négatif
3.2 Mesure principale
Définition 4
On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l’intervalle ] −π;π]
4 Trigonométrie
4.1 Rappel : Trigonométrie
du collège
sinx=Opposé
Hypoténuse =HM OM .
cosx=adjacent
Hypoténuse =OH OM.
O
M
x°
H
Valeurs remarquables
xcosxsinx
0 1 0
30 ° √3
2
1
2
45 ° √2
2
√2
2
60 ° 1
2
√3
2
90 ° 0 1
2

4.2 Trigonométrie sur le cercle
Définition 5
Soit xun réel quelconque
On lui correspond un unique point Mde (C) tel que xsoit une mesure en
radians de ( [−−→ OA ,−−−→ OM )
• Le cosinus de x, noté cosx, est l’abscisse de Mdans le repère O,−→
i,−→
• Le sinus de x, noté sinx, est l’ordonnée de Mdans le repère O,−→
i,−→
cosxet sin xsont donc respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M
dans le repère O,−→ i,−→
On note : M(cosx; sin x)
M
x
cosx
sinx
0
−→
j
−→
i
Propriété 3
cos2x+ sin2x= 1 −16cosx61 et −16sin x61
Propriété 4
M et M’ sont symétriques autour de l’axe des ordonnées. x0=π−x.
cos(π−x) = −cosx
sin(π−x) = sinx
0
M
x
cosx
sinx
M0
x0
cosx0
sinx0
Propriété 5
M et M’ sont symétriques autour de l’axe des abscisses. x0=−x.
cos(−x) = cosx: La fonction cosinus est paire.
sin(−x) = −sin x: La fonction sinus est impaire.
0
M
x
cosx
sinx
M0
x0
cosx0
sinx0
Propriété 6
M et M’ sont symétriques autour de l’origine du repère. x0=x+π=x−π.
cos(x+π) = cos(x−π) = −cosx.
sin(x+π) = sin(x−π) = −sinx.
0
M
x
cosx
sinx
M0
x0
cosx0
sinx0
Propriété 7
cos(x+ 2π) = cosx. sin(x+ 2π) = sin x.
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π.
3

5 Angle de deux vecteurs non nuls
Définition 6
−→
u et −→ v sont deux vecteurs de représentants respectifs −−→ AB
et −−−→
CD .
Pour déterminer une mesure de l’angle −→
u ; −→ v
on construit, à partir d’un point O quelconque du plan,
les représentants −−−→ OB’ et −−−→ OD’ des vecteurs −→ u et −→ v .
Si on appelle I et M les intersections respectives des
segments [OB’] et [OD’] avec le cercle trigonométrique de
centre O alors −→
u ; −→ v=−−→
OI ; −−−→ OM 
C
D
A
B
O
B0
D0
I
Mx
Propriété 8
−→
u ;−−→ u=−−→ u ; −→ u=πAngle plat.
−→
u
−−→ u
π
−π
Propriété 9
Les angles −→ u ; −→ vet −→ v ; −→ usont opposés.
−→
u ; −→ v=−−→
v ; −→ uet −→
v ; −→ u=−−→
u ; −→ v
−→
u
−→
v
Propriété 10
−−→
u ;−−→ v=−→
u ; −→ v.
−→
u
−→
v
−−→ u
−−→ v
Propriété 11
−−→
u ; −→ v=−→
u ; −→ v+π.
−→
u
−→
v
−−→ u
Propriété 12
Relation de Chasles : −→ u ; −→ v+−→ v ; −→ w=−→ u ; −→ wou encore −−→ AB ; −−−→ CD +−−−→ CD ; −−→ EF =−−→ AB ; −−→ EF 
4