Correction dernier DS

Correction dernier DS :
Ex 1 : 1. Faux : pour pouvoir appliquer le théorème de Fermat, il faut que p soit premier (c’est le cas ici,
p = 11), et que p ne divise pas n.
Donc, pour n = 22 (multiple de p = 11), 22 ≡ 0 [11], donc 2210 ≡ 0 [11].
2. Faux :
!
2
3
et
!
6
5
sont irréductibles, mais leur produit non :
!
12
15 =4 5
.
3. Vrai : n ≥ 3. Soit k tel que 2 ≤ k ≤ n n ! = 1 × 2 × … × k × … × n
n ! est divisible par k, donc n ! + k est divisible par k ≥ 2, donc n ! + k n’est pas premier.
4. Faux : (E′) : x2 −52 x + 480 = 0 Δ = 2704 – 1920 = 784 = 282 > 0, donc 2 racines réelles.
x1 = (52 – 28)/2 = 24 / 2 = 12 x2 = (52 + 28)/2 = 80 / 2 = 40.
On cherche donc 2 entiers naturels n et p non nuls tels que :
PGCD (n ; p) = 12 et PPCM (n ; p) = 40 (car PGCD ≤ PPCM)
PGCD (n ; p) = 12, donc il existe deux entiers naturels premiers entre eux n’ et p’ tels que :
n = 12 n’ et p = 12 p’.
PPCM (n ; p) = 40 ⇔ 12 PPCM (n’ ; p’) = 40 ⇔ 3 PPCM (n’ ; p’) = 10.
Or 3 ne divise pas 10 : PAS DE SOLUTION
Ex 2 : 1°) a) Théorème de Bezout : deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux ssi il
existe des entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1.
-7 et 11 sont premiers entre eux,
donc il existe un couple d’entiers reatifs (u ; v) tels que : 11u – 7v = 1.
11 = 1 × 7 + 4 7 = 1 × 4 + 3 4 = 1 × 3 + 1
On remonte : 1 = 4 – 3 = 4 – (7 – 4) = 2 × 4 – 7 = 2 × (11 – 7) – 7 = 2 × 11 – 3 × 7.
Donc le couple (2 ; 3) convient.
b) 2 × 11 – 3 × 7 = 1. On multiplie par 5 membre à membre : 10 × 11 – 15 × 7 = 5
Donc (x0 ; y0) = (10 ; 15) est une solution particulière de (E).
c) (x ; y) solution de (E) ⇔ 11x – 7y = 5 ⇔ 11x – 7y = 11x0 - 7y0
⇔ 11 (x – x0) = 7 (y – y0).
11 divise 7 (y – y0) et 11 et 7 sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Gauss, 11 divise (y – y0), donc il existe k entier tel que : y – y0 = 11k.
En remplaçant, on obtient : 11 (x – x0) = 7 (11k) ⇔ x – x0 = 7k.
Ainsi, (x ; y) = (10 + 7k ; 15 + 11k), avec k entier relatif.
Vérification : 11(10 + 7k) – 7 (15 + 11k) = 110 + 77k – 105 – 77k = 5.
Ainsi, S = { (10 + 7k ; 15 + 11k ), k ∈ Z}.
d) On cherche les couples (x ; y) solutions de (E) appartenant à D.
(x ; y) = (10 + 7k ; 15 + 11k) et 0 ≤ x ≤ 50 et 0 ≤ y ≤ 50.
0 ≤ 10 + 7k ≤ 50 et 0 ≤ 15 + 11k ≤ 50
⇔ - 10 ≤ 7k ≤ 40 et - 15 ≤ 11k ≤ 35
⇒ - 1 ≤ k ≤ 5 et – 1 ≤ k ≤ 3.
Les valeurs possibles de k sont donc -1, 0, 1, 2 et 3.
Il y a donc 5 points possibles : (3 ; 4), (10 ; 15), (17 ; 26), (24 ; 37) et (31 ; 48).
2°) (F) : 11x2 − 7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs.
a) 11 = 2 × 5 + 1 ≡ 1 [5], donc 11 x2 ≡ x2 [5]
7 = 1 × 5 + 2 ≡ 2 [5], donc 11 y2 ≡ 2y2 [5]
(x ; y) solution de (F) ⇔ 11 x2 – 7y2 = 5. On a donc modulo 5 : x2 – 2y2 ≡ 0 [5] ⇔ x2 ≡ 2y2 [5].
x ≡ … [5]
0
1
2
3
4
x2 ≡ … [5]
0
1
4
4
1
Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 par 5 sont 0, 1 et 4.

y ≡ … [5]
0
1
2
3
4
2y2 ≡ … [5]
0
2
3
3
2
Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de 2y2 par 5 sont 0, 2 et 3.
c) Si (x ; y) est solution de (F), on a x2 ≡ 2y2 [5].
D’après le b), la seule possibilité est si x ≡ 0 [5] et y ≡ 0 [5], c’est à sire x et y sont des multiples de 5.
3°) Soient x et y deux multiples de 5.
Il existe x’ et y’ tels que x = 5 x’ et y = 5 y’.
11x2 − 7y2 = 11 × 25 x’2 – 7 × 25 y’2 = 25 (11 x’2 – 7 y’2).
Si (x ; y) est solution de (F), on a alors : 25 (11 x’2 – 7 y’2) = 5 avec (11 x’2 – 7 y’2) entier.
Donc 25 divise 5. Absurde.
Donc l’équation (F) n’a pas de solutions entières.