Correction dernier DS : Ex 1 : 1. Faux : pour pouvoir appliquer le théorème de Fermat, il faut que p soit premier (c’est le cas ici, p = 11), et que p ne divise pas n. Donc, pour n = 22 (multiple de p = 11), 22 ≡ 0 [11], donc 2210 ≡ 0 [11]. 2. Faux : 2 6 12 4 et sont irréductibles, mais leur produit non : = . 3 5 15 5 3. Vrai : n ≥ 3. Soit k tel que 2 ≤ k ≤ n n!=1×2×…×k×…×n n!! est!divisible par k, donc n ! + k est divisible par!k ≥ 2, donc n ! + k n’est pas premier. 4. Faux : (E′) : x2 −52 x + 480 = 0 Δ = 2704 – 1920 = 784 = 282 > 0, donc 2 racines réelles. x1 = (52 – 28)/2 = 24 / 2 = 12 x2 = (52 + 28)/2 = 80 / 2 = 40. On cherche donc 2 entiers naturels n et p non nuls tels que : PGCD (n ; p) = 12 et PPCM (n ; p) = 40 (car PGCD ≤ PPCM) PGCD (n ; p) = 12, donc il existe deux entiers naturels premiers entre eux n’ et p’ tels que : n = 12 n’ et p = 12 p’. PPCM (n ; p) = 40 ⇔ 12 PPCM (n’ ; p’) = 40 ⇔ 3 PPCM (n’ ; p’) = 10. Or 3 ne divise pas 10 : PAS DE SOLUTION Ex 2 : 1°) a) Théorème de Bezout : deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux ssi il existe des entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1. -7 et 11 sont premiers entre eux, donc il existe un couple d’entiers reatifs (u ; v) tels que : 11u – 7v = 1. 11 = 1 × 7 + 4 7=1×4+3 4=1×3+1 On remonte : 1 = 4 – 3 = 4 – (7 – 4) = 2 × 4 – 7 = 2 × (11 – 7) – 7 = 2 × 11 – 3 × 7. Donc le couple (2 ; 3) convient. b) 2 × 11 – 3 × 7 = 1. On multiplie par 5 membre à membre : 10 × 11 – 15 × 7 = 5 Donc (x0 ; y0) = (10 ; 15) est une solution particulière de (E). c) (x ; y) solution de (E) ⇔ 11x – 7y = 5 ⇔ 11x – 7y = 11x0 - 7y0 ⇔ 11 (x – x0) = 7 (y – y0). 11 divise 7 (y – y0) et 11 et 7 sont premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, 11 divise (y – y0), donc il existe k entier tel que : y – y0 = 11k. En remplaçant, on obtient : 11 (x – x0) = 7 (11k) ⇔ x – x0 = 7k. Ainsi, (x ; y) = (10 + 7k ; 15 + 11k), avec k entier relatif. Vérification : 11(10 + 7k) – 7 (15 + 11k) = 110 + 77k – 105 – 77k = 5. Ainsi, S = { (10 + 7k ; 15 + 11k ), k ∈ Z}. d) On cherche les couples (x ; y) solutions de (E) appartenant à D. (x ; y) = (10 + 7k ; 15 + 11k) et 0 ≤ x ≤ 50 et 0 ≤ y ≤ 50. 0 ≤ 10 + 7k ≤ 50 et 0 ≤ 15 + 11k ≤ 50 ⇔ - 10 ≤ 7k ≤ 40 et - 15 ≤ 11k ≤ 35 ⇒ - 1 ≤ k ≤ 5 et – 1 ≤ k ≤ 3. Les valeurs possibles de k sont donc -1, 0, 1, 2 et 3. Il y a donc 5 points possibles : (3 ; 4), (10 ; 15), (17 ; 26), (24 ; 37) et (31 ; 48). 2°) (F) : 11x2 − 7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. a) 11 = 2 × 5 + 1 ≡ 1 [5], donc 11 x2 ≡ x2 [5] 7 = 1 × 5 + 2 ≡ 2 [5], donc 11 y2 ≡ 2y2 [5] (x ; y) solution de (F) ⇔ 11 x2 – 7y2 = 5. On a donc modulo 5 : x2 – 2y2 ≡ 0 [5] ⇔ x2 ≡ 2y2 [5]. x ≡ … [5] 0 1 2 3 4 x2 ≡ … [5] 0 1 4 4 1 Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 par 5 sont 0, 1 et 4. y ≡ … [5] 0 1 2 3 2 2y ≡ … [5] 0 2 3 3 2 Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de 2y par 5 sont 0, 2 et 3. 4 2 c) Si (x ; y) est solution de (F), on a x2 ≡ 2y2 [5]. D’après le b), la seule possibilité est si x ≡ 0 [5] et y ≡ 0 [5], c’est à sire x et y sont des multiples de 5. 3°) Soient x et y deux multiples de 5. Il existe x’ et y’ tels que x = 5 x’ et y = 5 y’. 11x2 − 7y2 = 11 × 25 x’2 – 7 × 25 y’2 = 25 (11 x’2 – 7 y’2). Si (x ; y) est solution de (F), on a alors : 25 (11 x’2 – 7 y’2) = 5 avec (11 x’2 – 7 y’2) entier. Donc 25 divise 5. Absurde. Donc l’équation (F) n’a pas de solutions entières.