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Chapitre II : MATRICES ET OPERATIONS
I- Notion de matrice
Définition 1 : ݊ et ݌ désignent deux entiers naturels non nuls.
On appelle matrice de format (݊,݌) tout tableau de nombres réels à ݊ lignes et ݌ colonnes.
Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice et sont notés ܽ
௜௝
où ݅ désigne le
numéro de la ligne et ݆ celui de la colonne.
Notation générale : ܯ=൮ܽ
ଵଵ
ܽ
ଵଶ
ܽ
ଶଵ
ܽ
ଶଶ
… ܽ
ଵ௣
… ܽ
ଶ௣
⋮ ⋮
ܽ
௡ଵ
ܽ
௡ଶ
⋱ ⋮
… ܽ
௡௣
൲
ᇣ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇤ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇥ
௣ ୡ୭୪୭୬୬ୣୱ
ۙ
ۖ
ۘ
ۖ
ۗ
݊ lignes
Cas particuliers :
• Lorsque ݌=1, on dit que ܯ est une matrice colonne.
• Lorsque ݊=1, on dit que ܯ est une matrice ligne.
• Lorsque ݊=݌, on dit que ܯ est une matrice carrée d’ordre ݊. Dans ce cas, les coefficients ܽ
௜௜
s’appellent les coefficients de la diagonale ou coefficients diagonaux.
Exemples :
1) ܣ=ቀ−2 3
5 1ቁ : on a donc ܽ
ଵଵ
= ; ܽ
ଵଶ
= ; ܽ
ଶଵ
= et ܽ
ଶଶ
= .
2) La matrice identité d’ordre ݊ est la matrice carrée d’ordre ݊ dont tous les coefficients sont nuls
sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la note ܫ
௡
.
Par exemple, ܫ
ଷ
=൭100
010
001൱.
Définition 2 : Dire que deux matrices sont égales signifie qu’elles ont le même format et que les
nombres qui occupent la même position sont égaux.
Définition 3 : On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux
sont tous nuls.
Remarque : pour toute la suite du chapitre, on ne manipulera que des matrices carrées et des matrices
colonnes.
II- Opérations sur les matrices
1) Addition et soustraction de deux matrices
Définition 4 : Soient ܣ et ܤ deux matrices carrées de même taille (ou deux matrices colonne de même
taille). La somme (respectivement la différence) des matrices ܣ et ܤ, notée ܣ+ܤ (respectivement
ܣ−ܤ) est la matrice obtenue en additionnant (soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent
la même position.
Exemple : Soit ܣ=൭1 1 −1
−2 4 0
3 0 −1൱ et ܤ=൭3 −1 1
−2 1 −3
1 −1 1൱.
Alors ܣ+ܤ=൭ ൱ et ܣ−ܤ=൭ ൱

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2) Multiplication d’une matrice par un nombre réel
Définition 5 : Soient ܣ une matrice carrée (ou colonne) et ݇ un nombre réel. Le produit de la matrice ܣ
par le nombre réel ݇ est la matrice notée ݇ܣ obtenue en multipliant chaque coefficient de ܣ par ݇.
Exemple : Soit ܣ=൭1 −1 −1
341
−1 2 −5൱ et ܤ=൭4 −6 10
−2 2 −2
18 −6 12൱.
Alors 2ܣ=൭ ൱ et −
ଵ
ଶ
ܤ=൭ ൱
3) Multiplication d’une matrice par une matrice colonne
Définition 6 : Soient ܣ une matrice carrée de taille ݊ et ܤ une matrice colonne à ݊ lignes.
ܣ=൮ܽ
ଵଵ
ܽ
ଵଶ
ܽ
ଶଵ
ܽ
ଶଶ
… ܽ
ଵ௡
… ܽ
ଶ௡
⋮ ⋮
ܽ
௡ଵ
ܽ
௡ଶ
⋱ ⋮
… ܽ
௡௡
൲ et ܤ=൮ܾ
ଵ
ܾ
ଶ
⋮
ܾ
௡
൲
Le produit de la matrice ܣ par la matrice ܤ est la matrice colonne à ࢔ lignes notée ܣܤ dont le
coefficient de la i
ème
ligne est donné par : ܽ
௜ଵ
×ܾ
ଵ
+ܽ
௜ଶ
×ܾ
ଶ
+⋯+ܽ
௜௡
×ܾ
௡
.
Exemple : Soit ܣ=൭1 2 −2
2 3 1
−2 0 −2൱ et ܤ=൭−2
1
−1൱ alors ܣܤ=൭ ൱=൭ ൱
4) Multiplication de deux matrices carrées
Définition 7 : Soit ݊ un entier naturel non nul et soient ܣ et ܤ deux matrices carrées de taille ݊. Le
produit de la matrice ܣ par la matrice ܤ, noté ܣܤ, est la matrice carrée de taille ࢔ dont les colonnes
correspondent au produit de la matrice A par les colonnes de la matrice B.
Exemple : Soit ܣ=൭1 1 −1
−1 0 2
−2 −1 0൱ et ܤ=൭5 0 1
6 1 −3
0 0 1൱.
Alors ܣܤ=൭ ൱

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5) Propriétés du calcul matriciel
Soient A, B et C trois matrices carrées de même taille.
Soient ݇ et ݇’ deux réels.
a) Addition de matrices
Propriété 1 :
Commutativité : ܣ+ܤ=ܤ+ܣ
Associativité : (ܣ+ܤ)+ܥ=ܣ+(ܤ+ܥ)=ܣ+ܤ+ܥ
b) Multiplication d’une matrice par un nombre réel
Propriété 2 :
(݇+݇′)ܣ=݇ܣ+݇′ܣ
݇(ܣ+ܤ)=݇ܣ+݇ܤ
൫݇݇
′
൯ܣ=݇(݇
′
ܣ)
(݇ܣ)ܤ=݇(ܣܤ)=ܣ(݇ܤ)
c) Multiplication de matrices
Propriété 3 :
Associativité : (ܣ×ܤ)×ܥ=ܣ×(ܤ×ܥ)=ܣ×ܤ×ܥ=ܣܤܥ
Distributivité : ܣ×(ܤ+ܥ)=ܣ×ܤ+ܣ×ܥ et (ܣ+ܤ)×ܥ=ܣ×ܥ+ܤ×ܥ
 La multiplication des matrices n’est pas commutative :
Exemple : ܣ=ቀ1 0
0 0ቁ et ܤ=ቀ0 0 1 0ቁ
ܣ×ܤ= et ܤ×ܣ=
Remarque : Dans le cas particulier où ܣ×ܤ=ܤ×ܣ on dit que les matrices ܣ et ܤ commutent.
d) Propriétés de la matrice identité
Propriété 4 :
Pour toute matrice carrée A d’ordre ݊, on a : ܣ×ܫ
௡
=ܫ
௡
×ܣ=ܣ
6) Puissances des matrices carrées
Définition 8 : Soit ܣ une matrice carrée d’ordre n et p un entier naturel non nul.
On note : ܣ²=ܣ×ܣ
ܣ
ଷ
=ܣ×ܣ×ܣ
et plus généralement ܣ
௣
=ܣ×ܣ×…×ܣᇣ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇤ
ᇧ
ᇧ
ᇧ
ᇥ
௣ ୤୭୧ୱ
Par convention : Pour toute matrice carrée de taille ݊, on a ܣ
଴
=ܫ
௡
.

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III- Marches aléatoires – Première approche
On considère un graphe constitué de deux sommets.
(On reconnaît le graphe de l’activité 2 page 86)
On se déplace d’un sommet à l’autre en suivant les arêtes orientées.
On parle de déplacement ou de pas.
Les valeurs de la figure correspondent aux probabilités de se trouver sur le sommet extrémité sachant
que l’on est parti du sommet origine de la flèche : on les appelle les probabilités de transition d’un
sommet vers un autre.
Définition 9 : La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient
de la ligne i et de la colonne j est la probabilité d’arriver en i sachant qu’on est parti de j.
La matrice de transition du graphe ci-dessus est : ܣ=൭ ൱
Remarque importante : la somme des coefficients d’une même colonne est toujours égale à 1 !
Définition 10 : La matrice colonne « état de la marche aléatoire après ݊ pas » est la matrice colonne
donnant les probabilités d’arrivée en chaque sommet après ݊ pas.
Propriété 4 : Soit une marche aléatoire associée à un déplacement sur un graphe dont la matrice de
transition est notée ܣ et la matrice colonne de l’état après ݊ pas est notée ܺ
௡
.
On a alors, pour tout ݊∈ℕ,ܺ
௡ାଵ
=ܣ×ܺ
௡
et ܺ
௡
=ܣ
௡
×ܺ
଴
Exemple : On reprend le graphe de départ et on considère l’état initial ܺ
଴
=ቀ1
0ቁ
(C’est-à-dire que la marche aléatoire a pour départ le sommet n°1 du graphe)
Calculer ܺ
ଵ
, ܺ
ଶ
et ܺ
ଷ
.
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