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Chapitre II : MATRICES ET OPERATIONS I- Notion de matrice Définition 1 : ݊ et désignent deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice de format (݊, )tout tableau de nombres réels à ݊ lignes et colonnes. Les nombres réels du tableau sont appelés coefficients de la matrice et sont notés ܽ où ݅ désigne le numéro de la ligne et ݆ celui de la colonne. ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ ۗ ܽଶଵ ܽଶଶ … ܽଶ ۖ Notation générale : = ܯ൮ ⋮ ⋱ ⋮ ൲ۘ ݊ lignes ⋮ ܽଵ ܽଶ … ܽ ۖ ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇧᇥ ۙ ୡ୭୪୭୬୬ୣୱ Cas particuliers : • Lorsque = 1, on dit que ܯest une matrice colonne. • Lorsque ݊ = 1, on dit que ܯest une matrice ligne. • Lorsque ݊ = , on dit que ܯest une matrice carrée d’ordre ݊. Dans ce cas, les coefficients ܽ s’appellent les coefficients de la diagonale ou coefficients diagonaux. −2 3 ቁ : on a donc ܽଵଵ = ; ܽଵଶ = ; ܽଶଵ = et ܽଶଶ = . 5 1 2) La matrice identité d’ordre ݊ est la matrice carrée d’ordre ݊ dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à 1. On la note ܫ . 1 0 0 Par exemple, ܫଷ = ൭0 1 0൱. 0 0 1 1) = ܣቀ Exemples : Définition 2 : Dire que deux matrices sont égales signifie qu’elles ont le même format et que les nombres qui occupent la même position sont égaux. Définition 3 : On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les coefficients non diagonaux sont tous nuls. Remarque : pour toute la suite du chapitre, on ne manipulera que des matrices carrées et des matrices colonnes. II- Opérations sur les matrices 1) Addition et soustraction de deux matrices Définition 4 : Soient ܣet ܤdeux matrices carrées de même taille (ou deux matrices colonne de même taille). La somme (respectivement la différence) des matrices ܣet ܤ, notée ܣ+ ( ܤrespectivement ܣ− )ܤest la matrice obtenue en additionnant (soustrayant) deux à deux les coefficients qui occupent la même position. 1 1 −1 3 −1 1 Exemple : Soit = ܣ൭−2 4 0 ൱ et = ܤ൭−2 1 −3൱. 3 0 −1 1 −1 1 Alors ܣ+ = ܤ൭ ൱ et ܣ− = ܤ൭ ൱ 1 2) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Définition 5 : Soient ܣune matrice carrée (ou colonne) et ݇ un nombre réel. Le produit de la matrice ܣ par le nombre réel ݇ est la matrice notée ݇ ܣobtenue en multipliant chaque coefficient de ܣpar ݇. 1 −1 −1 4 −6 10 Exemple : Soit = ܣ൭ 3 4 1 ൱ et = ܤ൭−2 2 −2൱. −1 2 −5 18 −6 12 Alors 2 = ܣ൭ ൱ et − = ܤ൭ ଵ ଶ ൱ 3) Multiplication d’une matrice par une matrice colonne Définition 6 : Soient ܣune matrice carrée de taille ݊ et ܤune matrice colonne à ݊ lignes. ܽଵଵ ܽଶଵ =ܣ൮ ⋮ ܽଵ ܽଵଶ ܽଶଶ ⋮ ܽଶ … ܽଵ ܾଵ … ܽଶ ܾଶ ⋱ ⋮ ൲ et = ܤ൮ ⋮ ൲ … ܽ ܾ Le produit de la matrice ܣpar la matrice ܤest la matrice colonne à lignes notée ܤܣdont le coefficient de la ième ligne est donné par : ܽଵ × ܾଵ + ܽଶ × ܾଶ + ⋯ + ܽ × ܾ . 1 2 −2 −2 Exemple : Soit = ܣ൭ 2 3 1 ൱ et = ܤ൭ 1 ൱ alors = ܤܣ൭ −2 0 −2 −1 4) Multiplication de deux matrices carrées ൱=൭ ൱ Définition 7 : Soit ݊ un entier naturel non nul et soient ܣet ܤdeux matrices carrées de taille ݊. Le produit de la matrice ܣpar la matrice ܤ, noté ܤܣ, est la matrice carrée de taille dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par les colonnes de la matrice B. 1 1 −1 5 0 Exemple : Soit = ܣ൭−1 0 2 ൱ et = ܤ൭6 1 −2 −1 0 0 0 Alors = ܤܣ൭ 1 −3൱. 1 ൱ 2 5) Propriétés du calcul matriciel Soient A, B et C trois matrices carrées de même taille. Soient ݇ et ݇’ deux réels. a) Addition de matrices Propriété 1 : Commutativité : ܣ+ ܤ = ܤ+ ܣ Associativité : ( ܣ+ )ܤ+ ܣ = ܥ+ ( ܤ+ ܣ = )ܥ+ ܤ+ ܥ b) Multiplication d’une matrice par un nombre réel Propriété 2 : (݇ + ݇′) ܣ݇ = ܣ+ ݇′ܣ ݇( ܣ+ ܣ݇ = )ܤ+ ݇ܤ ൫݇݇ ′ ൯ ݇(݇ = ܣ′ )ܣ (݇)ܤ݇(ܣ = )ܤܣ(݇ = ܤ)ܣ c) Multiplication de matrices Propriété 3 : Associativité : (ܥܤܣ = ܥ × ܤ × ܣ = )ܥ × ܤ( × ܣ = ܥ × )ܤ × ܣ Distributivité : ܤ( × ܣ+ ܤ × ܣ = )ܥ+ ܥ × ܣet ( ܣ+ ܥ × ܣ = ܥ × )ܤ+ ܥ × ܤ 1 0 0 0 ቁ et = ܤቀ 0 1 0 ቁ 0 La multiplication des matrices n’est pas commutative : Exemple : = ܣቀ = ܤ×ܣ et = ܣ × ܤ Remarque : Dans le cas particulier où ܣ × ܤ = ܤ × ܣon dit que les matrices ܣet ܤcommutent. d) Propriétés de la matrice identité Propriété 4 : Pour toute matrice carrée A d’ordre ݊, on a : ܫ × ܣ = ܫ × ܣ = ܣ 6) Puissances des matrices carrées Définition 8 : Soit ܣune matrice carrée d’ordre n et p un entier naturel non nul. On note : ܣ² = ܣ × ܣ ܣଷ = ܣ × ܣ × ܣ et plus généralement ܣ = ܣ ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ × ܣ×… × ܣ ୭୧ୱ Par convention : Pour toute matrice carrée de taille ݊, on a ܣ = ܫ . 3 III- Marches aléatoires – Première approche On considère un graphe constitué de deux sommets. 1/5 4/5 1 2 7/10 3/10 (On reconnaît le graphe de l’activité 2 page 86) On se déplace d’un sommet à l’autre en suivant les arêtes orientées. On parle de déplacement ou de pas. Les valeurs de la figure correspondent aux probabilités de se trouver sur le sommet extrémité sachant que l’on est parti du sommet origine de la flèche : on les appelle les probabilités de transition d’un sommet vers un autre. Définition 9 : La matrice de transition d’une marche aléatoire est la matrice carrée dont le coefficient de la ligne i et de la colonne j est la probabilité d’arriver en i sachant qu’on est parti de j. La matrice de transition du graphe ci-dessus est : = ܣ൭ ൱ Remarque importante : la somme des coefficients d’une même colonne est toujours égale à 1 ! Définition 10 : La matrice colonne « état de la marche aléatoire après ݊ pas » est la matrice colonne donnant les probabilités d’arrivée en chaque sommet après ݊ pas. Propriété 4 : Soit une marche aléatoire associée à un déplacement sur un graphe dont la matrice de transition est notée ܣet la matrice colonne de l’état après ݊ pas est notée ܺ . On a alors, pour tout ݊ ∈ ℕ, ܺାଵ = ܺ × ܣ et ܺ = ܣ × ܺ 1 Exemple : On reprend le graphe de départ et on considère l’état initial ܺ = ቀ ቁ 0 (C’est-à-dire que la marche aléatoire a pour départ le sommet n°1 du graphe) Calculer ܺଵ, ܺଶ et ܺଷ. 4
