XCH6 Derivation et intégration-exo2

D´ ERIVATION ET INT´ EGRATION
1. D´ erivation des fonctions ` a valeurs vectorielles
1.1. D´eriv´ee en un point, fonctions de classe C1.
Exercice 1.1.1.I
Soit f: ]−a, a[→Fespace vectoriel norm´e de dimension finie continue en 0 et telle qu’il existe
k > 0, k6= 1 tel que
lim
x→0
f(x)−f(kx)
x=L.
Montrer que fest d´erivable en 0.
Exercice 1.1.2.D
Si f: [a, b]→Fespace vectoriel norm´e, on suppose que fadmet une d´eriv´ee `a droite en a.
Montrer, en utilisant la convexit´e de la norme, que kfkadmet une d´eriv´ee `a droite en a.
1.2. Fonctions de classe Ck.
Exercice 1.2.1.F
Soit f:R→Ccontinue et (a, b)∈R2,a < b ; on pose :
g(x) = Zb
a
f(t−x)eit dt.
Montrer que gest de classe C1sur R.
Exercice 1.2.2.F
Soit El’ensemble des fonctions r´eelles de classe C1sur [0,1]. A toute fonction fde E, on
associe la fonction g=L(f) par :
∀x∈[0,1], g(x) = Zx
0
(x−t)n
n!f(t) dt n ∈N.
Montrer que Lest un endomorphisme de E. Quels sont ses ´el´ements propres ?
Exercice 1.2.3.I
Pour x > 0, on pose f(x) = Z1
0
et
t+xdt.
(1) Montrer que fest d´ecroissante, continue, d´erivable.
(2) D´eterminer lim
x→+∞f(x) et lim
x→0+f(x) ; donner dans les 2 cas un ´equivalent de f(on
montrera que lim
x→0+(f(x) + ln x) existe et vaut Z1
0
et−1
tdt).
1

2 D ´ ERIVATION ET INT´ EGRATION
2. Int´ egration sur un intervalle quelconque
2.1. Fonctions int´egrables `a valeurs positives.
Exercice 2.1.1.F
D´emontrer que Z+∞
1
x−[x]
x2dxest bien d´efinie et, en fonction de γ= lim
n→+∞n
P
k=1
1
k−ln n,
calculer cette int´egrale .
γest ce qu’on appelle la constante d’Euler et vaut `a peu pr`es 0,577.
Exercice 2.1.2.F T
Soit n∈N∗, on pose un=Z+∞
0
dx
(1 + x2/n2)n2.
Montrer que unest bien d´efinie et que lim
n→+∞un=√π
2.
Exercice 2.1.3.I
Calculer, pour n∈Net t > 0, In=Z+∞
0
e−x/txndx.
Montrer que, pour a > 0, on a :
Z+∞
a
e−x/txndx < e−a/(2t)n!(2t)n+1.
Exercice 2.1.4.I
Soit f:R+→R+une fonction continue par morceaux, born´ee, telle que
∀x∈R+, f(x)6a
3Zx
0
e−a(x−t)f(t) dt+a
3Z+∞
x
ea(x−t)f(t) dt+1
3e−ax/2, a > 0.
Montrer que f(x) tend vers 0 quand xtend vers +∞.
Exercice 2.1.5.D
Soit f∈ C(]0,+∞[,]0,+∞[) de carr´e int´egrable sur ]0,+∞[.
(1) Pour x > 0 fix´e, montrer que t7→ f(t) est int´egrable sur ]0, x].
On pose g(x) = Zx
0
f(t) dt.
(2) Soit 0 < a < b, on d´efinit
z= Zb
ag(x)
x2
dx!1/2 , α =Zb
a
f2(t) dt1/2 , β =(g(a))2
a.
Montrer que z2−2αz −β60.
En d´eduire l’existence de I=Z+∞
0g(x)
x2
dx.
Trouver kr´eel tel que I6kZ+∞
0
f2(t) dt.

D´ ERIVATION ET INT´ EGRATION 3
Exercice 2.1.6.I
´
Etudier pour tout (α, β)∈R2la nature de la s´erie Puno`u
un=nZ+∞
n
e−t
tαdtβ
pour n>1.
Exercice 2.1.7.I
Montrer que
lim
x→1+(x−1)
+∞
X
n=1
1
nx= 1.
Exercice 2.1.8.F
Soit Fune fonction positive, d´ecroissante de [0,+∞[ dans Ret int´egrable sur R+. Montrer
que :
lim
h→0+
+∞
X
n=1
hF (nh) = Z+∞
0
F(t) dt
(poser g(h) =
+∞
P
n=1
hF (nh)).
Exercice 2.1.9.F
´
Etudier la suite an=P(n)
S(n)o`u P(n) = Zn
0
F(t) dtet S(n) =
n
P
p=0
F(p).
(1) Dans le cas o`u Fa une limite non nulle en +∞.
(2) Dans le cas o`u Fd´ecroˆıt vers 0 en +∞(on ´etudiera s´epar´ement les cas selon que F(t)
est ou non int´egrable sur [0,+∞[).
Exercice 2.1.10.F
Soit fla fonction d´efinie par f(0) = 0 et pour x6= 0 par :
f(x) = xZx
0
e−tdt
p|t|.
(1) Montrer que fest de classe C1sur R.
(2) ´ Etudier ses variations, les branches infinies et la concavit´e du graphe (on admet que
Z+∞
0
e−x2dx=√π
2).
Exercice 2.1.11.F
On d´efinit f:R+\N→Rpar f(x) = e−xln(x−n) sur ]n, n + 1[.
Montrer, `a l’aide d’une s´erie, que Z+∞
0
f(t) dtest d´efinie.

4 D ´ ERIVATION ET INT´ EGRATION
Exercice 2.1.12.I
On pose In=Z+∞
0
t3e−nt
√1 + t4dt,n∈N∗.
´
Etudier lim
n→+∞Inet trouver un ´equivalent de Inquand ntend vers +∞.
Exercice 2.1.13.I
´
Etudier l’int´egrabilit´e sur [1,+∞[ de t7→ e−εt
√t2+ 1. On pose
I(ε) = Z+∞
1
e−εt
√t2+ 1 dt.
D´emontrer que, lorsque ε > 0 tend vers 0, I(ε) est ´equivalent `a −ln ε.
2.2. Fonctions int´egrables `a valeurs complexes.
Exercice 2.2.1.I
Soit f∈ C1(R,R) nulle sur un voisinage de +∞, montrer que
Z+∞
0
f2(t) dt62Z+∞
0
tf2(t) dt1/2 .Z+∞
0
tf′2(t) dt1/2 .
Par quelles hypoth`eses remplacer ”fnulle sur un voisinage de +∞” pour que cette in´egalit´e
soit toujours valable ?
Exercice 2.2.2.F
(1) D´eterminer les r´eels λtels que la suite In(λ) = Zπ
0
cos nt
1−2λcos t+λ2dtsoit d´efinie.
(2) ´ Etudier les propri´et´es des applications λ→In(λ).
(3) Calculer I0(λ) et I1(λ).
(4) Chercher une relation entre In−1(λ), In(λ) et In+1(λ).
(5) En d´eduire l’expression de In(λ).
Exercice 2.2.3.I
´
Etudier l’int´egrabilit´e sur ]0,+∞[ ou [0,+∞[ des fonctions :
1. √xsin(1/x2)
ln(1 + x)2. x+ 1 −√x2+ 2x+ 2
3. sin x
xα4. sin(x2)
Exercice 2.2.4.I
Calcul de :
(1) I=Zπ/2
0
ln(sin t) dtet J=Zπ/2
0
ln(cos t) dt.
(2) I=Z+∞
0Arctan t
t2
dt(poser u= Arctan tet utiliser le 1.).

D´ ERIVATION ET INT´ EGRATION 5
(3) I=Z+∞
0
dt
pt(1 + t)3.
(4) I=Zπ
0
dt
a−cos t.
(5) I=Z+∞
−∞
x2
1 + x4dx(calculer 1
√2lim
X→+∞Z+X
−X
g(x) dxo`u g(x) = x
1−x√2 + x2).
(6) I(a) = Za
0
xdx
p(a2−x2)(1 + x2)a > 0.
(7) I=Z+∞
−∞
dx
(x2+ 1)√x2+ 4.
(8) I(α) = Z+∞
1
dx
(x−cos α)√x2−1.
Exercice 2.2.5.I C
Soit fune application de [0,+∞[ dans R, uniform´ement continue int´egrable sur [0,+∞[.
(1) Montrer que lim
x→+∞f(x) = 0 (par l’absurde).
(2) En d´eduire que Z+∞
0
f2(t) dtexiste.
Exercice 2.2.6.F C
(1) Soit f:x7→ xn
p(a−x)(b−x)avec a < b, montrer que fest int´egrable sur ]a, b[. On
pose In(a, b) = Zb
a
xn
p(a−x)(b−x)dx.
(2) Montrer que :
In(a, b) = π
[n/2]
X
p=0
n!
2n+2p(n−2p)!(p!)2(a+b)n−2p(b−a)2p.
Exercice 2.2.7.F
Soit f: [1,+∞[→Cde carr´e int´egrable.
Montrer que f(t)
test int´egrable sur [1,+∞[.
Exercice 2.2.8.F
Soit f∈ C(R,R), 2T-p´eriodique ; on pose a=1
2TZ2T
0
f(t) dt.
(1) Si F(t) = Zt
0
(f(u)−a) dualors montrer que Fest 2T-p´eriodique.
(2) En d´eduire que Z+∞
1
f(t)−a
tdtest convergente et que Z+∞
X
f(t)−a
tdt=O1 X.
(3) On suppose fpaire ; soit G(t) = Zt
0
F(u) du: montrer que Gest 2T-p´eriodique et que
Z+∞
nT
f(t)−a
tdt=O1 n2.