Chapitre 9 : La division euclidienne

Chapitre 9 : LA DIVISION EUCLIDIENNE.
0)- Objectifs de la leçon
 Connaître le vocabulaire d’une division euclidienne.
 Savoir effectuer une division euclidienne.
 Comprendre le sens du quotient et du reste d’une division euclidienne.
 Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5 et 9.
 Utiliser la division dans des problèmes concrets.
Soit le problème suivant à résoudre :
Pour ses cadeaux de fin d’année, Noémie a fabriqué 420 fleurs artificielles. Elle veut faire 24 bouquets
contenant chacun le même nombre de fleurs. Noémie se demande combien de fleurs elle peut mettre
dans chaque bouquet.
1. Raisonner en utilisant un schéma.
On cherche parmi les multiples de 24, lesquels encadrent 420.
En faisant « dérouler la table » de 24 on obtient :
17 x 24 = 408 18 x 24 = 432. Ainsi 17 x 24 < 420 < 18 x 24
Avec 420 fleurs, on peut mettre au plus 17 fleurs dans chacun des 24 bouquets.
Et 420 – (17 x 24) = 420 – 408 = 12.
12 est le nombre de fleurs restantes.
2. Le vocabulaire de la division euclidienne.
 17 est le plus grand nombre entier de fois 24 que peut contenir 420.
 On dit que 17 est le quotient entier de la division euclidienne de 420 par 24.
 On calcule : 420 – (17 x 24) = 12. Le reste de cette division est 12.
 420 est le dividende et 24 s’appelle le diviseur de cette division.
3. Technique de la division euclidienne ou comment la poser ?
4
2
0
2
4
2
4
1
7
1
8
0
1
6
8
1
2
L’égalité correspondant à cette division euclidienne est : 420 = (17 x 24) + 12 avec 12 < 24.
Soit :  Dividende = quotient entier x diviseur + reste avec reste < diviseur
18 x 24
420
17 x 24
408
432
12
Table de 24
24 x 0 = 0
24 x 1 = 24
24 x 2 = 48
24 x 3 = 72
24 x 4 = 96
24 x 5 = 120
24 x 6 = 144
24 x 7 = 168
24 x 8 = 192
24 x 9 = 216
24 = 24 x 1 donc je mets 1
dans la 1ère colonne
180 : 168 = 24 x 7 donc je mets
7 dans la 2ème colonne

4. Comprendre le sens du mot « divisibilité »
On a par exemple 450 = 45 x 10.
Si on divise 450 par 10, le reste de cette division euclidienne sera égal à zéro.
450 est donc un multiple de 10.
On peut dire aussi que 450 est divisible par 10 ou que 10 est un diviseur de 450.
5. Critères de divisibilité.
 Divisibilité par 2 et par 5.
 Si un nombre entier a pour chiffre des unités
0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8, alors il est divisible par 2.
 Si un nombre entier a pour chiffre des unités
0 ou 5, alors il est divisible par 5.
Exemple :
4 236 est divisible par 2 car son chiffre des
unités est 6.
4 236 n’est pas divisible par 5 car son chiffre des
unités n’est ni 0 ni 5.
 Vocabulaire
Les nombres entiers divisibles par 2 sont appelés nombres pairs les autres nombres impairs.
 Divisibilité par 3 et par 9.
 Si la somme des chiffres d’un nombre entier
est un multiple de 3, alors ce nombre est divisible
par 3.
 Si la somme des chiffres d’un nombre entier
est un multiple de 9, alors ce nombre est divisible
par 9.
Exemple : 4236 est-il multiple de 3 ?
4 + 2 + 3 + 6 = 15 et 15 est un multiple de 3.
Donc 4 236 est divisible par 3.
Exemple : 4236 est-il multiple de 9 ?
15 n’est pas un multiple de 9.
Donc 4 236 n’est pas divisible par 9.
 Divisibilité par 4.
 Pour savoir si un nombre entier est divisible par
4, on examine ses deux derniers chiffres. Si ce
nombre est un multiple de 4, alors le nombre
initial est divisible par 4
Exemple : 4236 est-il multiple de 4 ?
36 est un multiple de 4 car 36 = 9 x 4.
Donc 4 236 est divisible par 4