I) Division euclidienne II) Critères de divisibilité Critères « visuels

I) Division euclidienne
Définition Effectuer la division euclidienne d’un entier a par un entier b
différent de 0, c’est chercher les deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que :
a = b×q + r (le reste r étant plus petit que b)
Remarque La division euclidienne permet entre autres d’écrire une division en
utilisant un produit !
Exemple 1 Effectuer la division euclidienne de 75 par 9
On cherche donc deux nombres entiers q et r qui vérifient la relation : 75 = 9×q + r
(et le reste r doit être plus petit que 9)
On pose la division et on peut donc écrire 75 = 9×8 + 3
(ici q = 8 et r = 3)
Définitions Considérons un entier a et un entier b différent de 0.
Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0,
alors on dit indifféremment que : ● a est divisible par b
● a est un multiple de b
● b est un diviseur de a
Exemple 2 Effectuer la division euclidienne de 168 par 7
On cherche donc deux nombres entiers q et r qui vérifient la relation : 168 = 7×q + r
(et le reste r doit être plus petit que 7)
On pose la division et on peut donc écrire 168 = 7×24
(ici q = 24 et r = 0)
Et on peut dire : ● 168 est donc divisible par 7
● 168 est un multiple de 7
● 7 est un diviseur de 168
Application
a) Effectue la division euclidienne de a = 831 par b = 17
b) 7128 est-il un multiple de 12 ?
II) Critères de divisibilité
Remarque On ne va pas à chaque fois effectuer des divisions euclidiennes
pour savoir si un nombre est divisible par un autre ! On a des moyens simples et
rapides (appelés critères de divisibilité) pour quelques cas fréquents.
Critères « visuels »
Un nombre entier est divisible :
● par 2 si son dernier chiffre est pair.
Exemples : 0 ; 2 ; 36 ; 138
● par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5.
Exemples : 35 ; 790
● par 10 si son dernier chiffre est 0.
Exemples : 50 ; 980
● par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
Exemples : 28 ; 336 ; 9712 car 28, 36 et 12 sont divisibles par 4.
Critères « calculatoires »
Un nombre entier est divisible :
● par 3 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 3.
Exemples : 54 ; 12345 car 5+4=9 et 1+2+3+4+5=15
● par 9 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 9.
Exemples : 54 ; 675 car 5+4=9 et 6+7+5=18
● par 11 si la somme alternée de tous ses chiffres est divisible par 11.
Exemples : 91806 ; 649 car 9−1+8−0+6=22 et 6−4+9=11
7524 est divisible par 11 (car 7−5+2−4=0 et 0 est bien divisible par 11 ! )
Application
Utilise les critères de divisibilité sur les nombres suivants :
a) 432 b) 1325 c) 917180
Remarques
− On ne peut pas toujours appliquer les critères de divisibilité !
Par exemple, aucun critère de divisibilité par 7, par 13, …
.
− Quand les critères de divisibilité ne s’appliquent pas, on doit revenir à la
division euclidienne et l’effectuer.
9
8
75
3
7
24
168
0