Lois à densité

Lois à densité
1. Variable aléatoire suivant une loi à densité
I désigne un intervalle (borné ou non) de R
Définition
On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f définie sur I telle que :
1) f est continue et positive sur I
2) L’aire sous la courbe C de f est
égale à 1 u.a.
Définition
f désigne une densité de probabilité sur I.
Une variable aléatoire X suit la loi
de densité f si, pour tout intervalle
J inclus dans I, la probabilité de l’événement X ∈ J est donnée par :
p(X ∈ J) = Aire(D) où D est le domaine sous la courbe C sur l’intervalle J
Z b
Si J = [a; b], p(X ∈ J) =
f (x)dx
a
On dit aussi que X est une variable aléatoire continue de densité f .
2. Propriétés
Pour tous réels a et b de I :
1) p(X = a) = 0
2) p(X > a) = 1 − p(X ≤ a) et p(a < X < b) = p(X < b) − p(X ≤ a)
3. Espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire continue de densité f sur l’intervalle [a; b] alors l’espérance
mathématique de X est le réel défini par :
Z b
E(X) =
tf (t)dt
a
4. Exercice
1) Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0; 10] par : f (x) = 0, 006(10x − x2 ).
Vérifier que f est une densité de probabilité sur [0; 10].
2) Soit X une variable aléatoire continue ayant f pour densité de probabilité.
Calculer : p(X ≤ 7) et p(X > 6)
3) Calculer l’espérance mathématique E(X)
5. Loi uniforme sur [a ; b]
(a) Définition Soit a et b deux nombres réels tels que a < b.
La loi uniforme sur [a ; b] est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction
1
constante f définie sur [a; b] par : f (x) =
b−a
(b) Propriétés
x−a
1) Pour tout réel x appartenant à [a; b] : p(a ≤ X ≤ x) =
b−a
b+a
2) E(X) =
2
Démonstrations Exercice
1
6. Loi exponentielle
(a) Définition
Une variable aléatoire continue T suit une loi exponentielle de paramètre le réel
λ > 0 si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [0; +∞[ par :
f (x) = λe−λx
Dans ce cas,on a pour t > 0 :
Z t
t
p(T ≤ t) =
λe−λx dx = −e−λx 0 = 1 − e−λt
0
p(T > t) = e−λt
(b) Remarque (ROC) F
Si T suit la loi exponentielle de paramètre λ alors, pour tout t ≥ 0 et h ≥ 0, on a :
p(T ≥ t + h)
e−λ(t+h)
p ((T ≥ t + h) ∩ (T ≥ t))
=
=
= e−λh = p(T ≥ h)
pT ≥t (T ≥ t + h) =
−λt
p(T ≥ t)
p(T ≥ t)
e
On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement c’est-à dire, si, par
exemple, T donne la durée de vie d’un appareil en années alors, sachant qu’il a déjà fonctionné
t années, la probabilité qu’il fonctionne h années supplémentaires est la même que la probabilité
qu’il fonctionne au moins h années à partir de sa première mise en fonction.
(c) Espérance mathématique
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de densité f .
On définit l’espérance mathématique de X par :
Z t
E(X) = lim
xf (x)dx
t→+∞
0
(d) Propriété
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0.
1
Alors : E(X) =
λ
Démonstration(ROC) F
Soit t ≥ 0.
0
Pour tout x ≥ 0, xe−λx = e−λx − λxe−λx
Z t
Z t
Z t
0
−λx
−λx
Donc :
xλe dx =
e dx −
xe−λx dx
0
0
0
−λx t
−λx t
e
− xe
= −
0
λ 0
1 e−λt
= −
− te−λt
λ
λ
1
Quand t tend vers +∞, on obtient : E(X) =
λ
2
7. Loi Normale
(a) Loi normale centrée réduite
Une variable aléatoire continue X suit
la loi normale centrée réduite si sa densité f est définie sur R par :
x2
1
f (x) = √ e 2
2π
−
On note : X suit la loi N(0; 1).
(b) Remarque
La fonction f est paire donc sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On dit que cette courbe est une courbe en cloche ou courbe de Gauss.
(c) Propriétés
Soit X est une variable aléatoire qui suit la loi N(0; 1)
i. Pour tout nombre réel u :
p(X ≤ −u) = 1 − p(X ≤ u)
Démonstration
Par symétrie de la courbe en cloche
par rapport à l’axe des ordonnées,
p(X > −u) = p(X ≤ u) et donc :
p(X ≤ −u) = 1 − p(X ≤ u)
ii. Pour tout nombre réel α ∈]0; 1[, il existe un unique nombre réel positif uα tel que :
p(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α
Démonstration (ROC) F
Pour tout réel t positif, p(−t ≤ X ≤ t) = 2p(0 ≤ X ≤ t) = 2
Z
t
f (x)dx = 2G(t)
0
où G est la primitive de f sur R qui s’annule en 0. La fonction 2G est continue et strictement
croissante sur [0; +∞[. On a le tableau de variation ci-dessous :
t
2G
0
+∞
1
0
Si α ∈]0; 1[, 1 − α aussi.et d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il
existe un unique réel positif uα tel que 2G(uα) = 1 − α = p(−uα ≤ X ≤ uα )
iii. Cas Particuliers à connaître
Pour α = 0, 05 une valeur approchée de u0,05 est 1,96
Pour α = 0, 01 une valeur approchée de u0,01 est 2,58
u0,05 = 1, 96 soit p(−1, 96 < X < 1.96) ≈ 0, 95
u0,01 = 2, 58 soit p(−2, 58 < X < 2, 58) ≈ 0, 99
iv. L’espérance mathématique de X est 0 et sa variance est 1 où la variance de X est
définie par : V (X) = E ((X − E(X))2 )
3
(d) Loi Normale Générale
Soit µ un nombre réel et σ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres µ et σ 2 si le variable aléatoire
X −µ
suit la loi normale N(0; 1).
Z=
σ
On dit alors que X suit la loi N(µ; σ 2 )
i. Propriété Si X suit la loi N(µ; σ 2 ) alors son espérance est µ et sa variance σ 2
ii. Trois valeurs à connaître
X suit la loi N(µ; σ 2 )
* p(µ − σ < X < µ + σ) ≈ 0, 68
* p(µ − 2σ < X < µ + 2σ) ≈ 0, 95
* p(µ − 3σ < X < µ + 3σ) ≈ 0, 99
Exercice Vérifier ces résultats à l’aide de votre calculatrice.
iii. Théorème de Moivre-Laplace
Xn est une variable aléatoire qui suit la loi B(n; p) et Zn la variable aléatoire
Zn =
Xn − E(Xn )
Xn − np
=p
σ(Xn )
np(1 − p)
Pour tous nombres réels a et b avec a ≤ b et si f la densité de probabilité de la loi normale
centrée réduite alors
Z b
lim p(a ≤ Zn ≤ b) =
f (t)dt
n→+∞
iv. Exemple n = 36, p = 0, 5 donc np = 18, σ =
√
a
9=3
v. Remarque
Si on a n ≥ 30, np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5 la loi binomiale B(n; p) est très proche de la loi
normale de même espérance np et de même variance np(1 − p)
C Gerlein
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