Introduction. Statistique et calcul des probabilité en

INTRODUCTION
ET EN
Le but de cette introduction est de foumir au lecteur, qui ne serait pas familiarisé avec
ces disciplines mathématiques, des indications suffisantes pour comprendre les applications
qui en seront faites au cours du présent ouvrage. C'est également d'en permettre l'applica-
tion par le lecteur lui-même et notamment la conduite des calcu1s jusqu'au résultat
numérique.
C'est pourquoi, si nous nous sommes contentés d 'une simple esquisse des principes de
base, si nous n'avons donné aucune démonstration d'aucun théoreme fondamental, nous avons
par contre insisté, souvent lourdem~nt. sur certains détails de Ia pratique des calculs. Nous
introduirons également quelques tables pouvant être contenues dans le cadre de cet ouvrage :
aucune ne sera cjtée sans que soient données les références précises permettant de se Ia procurer.
QUELQUES DÉFINITIONS GÉNÉRALES
I.
A) Notion d'événement (symbole a, h...:
Le mot est employé dans son sens trivial: telle chose s'est produite (événement réalisé),
peut se produire (événement possible), etc. On.note que l'événement. a ne s'est pas produit
par le symbole ã (événement contraire).
Un certain nombre d' opérations dites « logiques» peuvent être définies sur les événements,
notamment :
Somme logique ou réunion : symbole a + b, signifie que a ou bien b s'est produit. C'est
également un événement.
Produit logique ou intersection : symbole a.b, signifie que a et b se sont produits. C'est
également un événement, etc., nous n'insisterons pas.

HYDROL()(1IE DE SURFACE
B) Notion de probabilité
Épreuve. -Soit une collection d'événements possibles a, b... l'épreuve est l'opération
élémentaire qui permet de réaliser un de ces événements, ou plusieurs d'entre eux simultanément.
Probabj/jté d'un événement élémentaire : nombre positif compris entre O et 1 attribué
à un événement donné, soit par la structure même du probleme étudié, soit par l'étude statistique
d'une collection expérimentale d'événements.
C) Variable aléatoire
On appelle ainsi une variable X qui peut prendre des valeurs XI
des probabilités PI Pi Pn (symbole v.a.). Xi . Xn avec
Cas discret -cas continu :
Une v.a. est dite discrete lorsqu'elle ne peut prendre qu'un nombre dénombrable
(fini ou infini) de valeurs.
Une v.a. est dite continue lorsqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur dans
un intervalle fini ou indéfini.
Pour Ia v .a. continue, on définit Ia probabi1ité élémentaire : probabilité pour que X soit
compris entre x et x + dx, que 1 'on note f(x) dx. f(x) est appelée densité de probabilité.
La probabi1ité pour que x soit compris dans l'intervalle (Xl' x2) est donnée par J x, f(x) dx.
x.
Pour que f(x) représente vraiment une densité de probabi1ité, il faut que Ia valeur de 1 'intégrale
étendue à tout l'intervalle des variations possibles de x soit égale à 1. Nous supposerons dans
ce qui suit que la v.a. peut prendre toutes les valeurs possibles de -00 à+ 00, sans consi-
dérer ce fait comme une condition restrictive.
D) Moments
On appelle moment d'ordre k la valeur de l'intégrale
,.-1-m
Xk f(x) dx (I)
...,
En particulier, le moment de premier ordre (k = 1) s'appelle Ia moyenne, on Ie note x
ou ml'
On appelle moment centré d'ordre k Ia vaIeur de I'intégraIe :
4+~
(x -X)k f(x) dx. (2)
--
EQparticulier, le moment centré de second ordre (k = 2) s'appelle lavariance, on le note
IJ.2 ou O"x2. Sa racine carrée est l'écart-type O"x. On appelle écart réduit, ou parfois variable
x-x
réduite de Gauss. Ia v.a
-, -O"x
Signalons enfin l'existence des parametres statistiques suivants

STATISTTQUE ET CALCUL DES PROBABILTTÉS EN HYDROLOGIE 19
-La médiane Xm définie par
(3)
fxm f+ ~ _~f(x) dx = f(x) dx
x",
-Le mode ou valeur Ia plus fréquente corr;:spond au maximum de Ia densité de probabiIité.
On I'obtient donc en faisant df(x} = 0.
dx
-La moyenne harmonique X h définie par
If+- --I Xh- x !(X) dx (4)
-La moyenne géométrique Xg définie par
log x f(x} dx (5)
E) Fréquence -Échantillonnage
On dit qu'un événement est favorable lorsqu'il répond à l'attente que l'on s'était
fixée, arbitrairement ou non, avant l'épreuve. Par exemple, dans le jeu de pile ou face on
peut décider avant la partie que pile sera l'événement favorable. Dans une analyse des débits
d'une riviere, si on s'intéresse aux débits supérieurs à 1000 m3/s, tout débit répondant à cette
condition sera .un événement favorable.
Si l'on dispose d'un échantillon de N événements, obtenus soit par des épreuves
répétées, soit par l'ob3ervation à intervalle,s de temps réguliers d'un phénomene naturel, il
peut contenir n événem~nts favorables, c'est-à-dire coIncidant avec l'événement attendu. Par
exemple, sur un échantillon de 30 débits moyens annuels, on en trouve 5 supérieurs à 1 000 m3/s.
1 . 1Fn ...1
On appe le fréquence, ou fréquence expénmentale, e rapport = N' SOlt lC16.
Supposons maintenant que nous ayons un autre échantillon de 30 débits observés à Ia
mêm~ station : on dit, en statistique, tiré de Ia même population. On trouvera pour 1 000 m3/s
une fréquence expérimentale probablement différente. I1 en sera de même pour d'autres échan-
tillons. La fréquence ainsi définie est donc également une variable aléatoire : sa Ioi de probabilité
est dite loi d'échantillonnage.
On .montre (théoreme de Bernouilly ou Ioi des grands nombres) que la fréquence calculée
sur un échantillon tend vers Ia probabilité Iorsque N augmente indéfiniment (convergence
dans Ie sens des probabilités).
Dans Ie cas continu, nous calculerons soit Ia fréquence de non dépassement (n correspondant
au numéro de classement des valeurs contenues dans I 'échantillon par ordre croissant), soit Ia
fréquence de dépassement (n : numéro de classement par ordre décroissant). La premiere est
notée Fx 'ou F(x) : elle correspond pour la population infinie à Ia probabilité de non dépas-
sement f~~f(x) dx. La seconde est notée F1(x) : elle correspond à Ia probabilité de dépasse-
ment r~ ~ f(x) dx. On désigne souvent, dans Ia pratique cies calcuIs, Ies probabilités elles-mêmes

20 HYDROLOOm DE SURFACE
par les symboles F(x) et F1(x) .que l'on appelle alors fréquences théoriques; F(x) est également
désigné sous le nom de fonction de répartition.
On remarquera que la somme des fréquences F et Fl ainsi calculées est supérieure à 1,
ce qui est illogique. Soit 10 valeurs, pour fixer les idées, classées par ordre décroissant. La
fréquence expérimenta1e de dépassement attribuée au nO 3 est ~ .Dans le classement inverse,
8
Ia fréquence de non dépassement est íõ et la fréquence de 1 'événement : Ia valeur en question
Fig 1 -Fonction de répartition
est dépassée, égalée ou non dépassée se trouve égale à 1,1 alors que, manifestement, elle
doit être égale à l'unité. Nous ne nous étendrons pas sur ce point; signalons seulement qu'on
n-.: 2
N .
peut Iever cette anomalie soit en adoptant pour Ia fréquence expérimentaIe Ia valeur
ainsi que nous l'avons admis, soit en prenant N~ soit en calculant les deux fréquences
F et avec Ia formule de définition ~ et en traçant des courbes en marches d'escalier.
N
2. PROPOSITIONS ESSENTIEI..I.ES
nu CALCUL nES PROBABILITÉS
Probabilités totales
A)
Si plusieurs événements s'excluent mutue1lement, la probabilité pour que l'un ou l'autre
de ces événements se produise est égale à la somme des probabilités relatives à chacun d'eux
(opération d'union sur des ensembles di~iflint,,)

21
STATISnQUB ET CALCUL DES PROBABILrrÉs EN HYDROLOGIE
B) Probabilités composées
La probabilité pour que deux événements a et b soient réalisés simultanément est égale
à la probabilité del'un d'eux multipliée par la probabilité de l'autre, sachant que le premier
est réalisé. On écrit :
(6)
Pr Ca.b) = Pr (a).Pr (b/a)
Le 2e facteur du second membre s'énonce elliptiquement : probabilité de b sachant que a ;
on l'appelle probabilité conditionnelle. La proposition s'étend au cas "de plusieurs
événements.
Êvênement E 2
Evenement E 1
""'
/
1..- Opération union ; 1 point de I'ensemble est dans E1 ou dans E2
(somme logique) -
Opération d'intersection :1 point de I'ensemble est dans E1 ~ E2
(produit logique)
Fig 2 .l 'Evenement vu sous I' angle de Ia Théorie des ensembles
On dit que les événements a et b sont indépendants si la probabilité de b n 'est pas influencée
parceIledeac'est-à-diresi Pr (b/a) = Pr b. On a alors : Pr (a.b) = Pr (a).Pr (b). Le théoreme
des probabilités composées demande à être appliqué avec discernement : si son application
form~IIe est toujours correcte, un opérateur insuffisamment averti peut lui faire introduire
des conditions restrictives que lui-même n'a jamais envisagées. Prenons le cas de la synthese
d'une crue à partir d'une précipitation donnée; nous supposerons que l'opération de synthese,
l'hydrogramme unitaire type du bassin étant connu, est entierement déterminée par la hauteur
de précipitation H cet par les conditions préalab~es de saturation définies par exemple par Ia
capacité apparente moyenne d'absorption Cam. Si H1o représente une averse décennale, comme
dans 1 'étude des crues on s 'intéresse aux probabilités de dépassem(nt, 1 'événement correspondant
est H> H1o : sa probabilité est égale à 1/10 (rapportée à l'année). A l'aide de cette pluie,
on fait la synthese de l'hydrogramme pour une valrur médiane de Cam : probabilité 1/2. On
sait que Cam et H sont pratiquement des v.a. indép::ndantes; l'opérateur applique Ie théoreme
des probabilités composées et annonce fierement que l'on doit attribuer à la cl"Ue trouvée la
probabilité 1/20. Or, ce résultat est faux. En effet, il existe des crues de même importance
fournies par des pluies supérieures à H]o et Cam inférieures à la valeur médiane et invers(ment.
En réalité, le résultat dépend de Ia maniere dont les deux variables élémentaires se composent
nmlr rlnnnPT 1:1 v:1rj:1hlp rP.~lllt:1ntp (jl'i 1:1 ~nIP) C:e nnint ~eTH nrécisé nHT Ia suite.