Introduction. Statistique et calcul des probabilité en

INTRODUCTION
ET
EN
Le but de cette introduction est de foumir au lecteur, qui ne serait pas familiarisé avec
ces disciplines mathématiques, des indications suffisantes pour comprendre les applications
qui en seront faites au cours du présent ouvrage. C'est également d'en permettre l'application par le lecteur lui-même et notamment la conduite des calcu1s jusqu'au résultat
numérique.
C'est pourquoi, si nous nous sommes contentés d 'une simple esquissedes principes de
base, si nous n'avons donné aucune démonstration d'aucun théoreme fondamental, nous avons
par contre insisté, souvent lourdem~nt. sur certains détails de Ia pratique des calculs. Nous
introduirons également quelques tables pouvant être contenues dans le cadre de cet ouvrage :
aucunene sera cjtée sansque soient donnéesles référencesprécisespermettant de se Ia procurer.
I.
QUELQUES DÉFINITIONS GÉNÉRALES
A) Notion d'événement (symbole a, h...:
Le mot est employé dans son sens trivial: telle chose s'est produite (événementréalisé),
peut se produire (événement possible), etc. On.note que l'événement. a ne s'est pas produit
par le symbole ã (événement contraire).
Un certain nombre d' opérations dites « logiques» peuvent être définies sur les événements,
notamment :
Somme logique ou réunion : symbole a + b, signifie que a ou bien b s'est produit. C'est
également un événement.
Produit logique ou intersection : symbole a.b, signifie que a et b se sont produits. C'est
également un événement, etc., nous n'insisterons pas.
HYDROL()(1IE
B)
Notion
DE SURFACE
de probabilité
Épreuve. -Soit
une collection d'événements possibles a, b... l'épreuve est l'opération
élémentaire qui permet de réaliser un de cesévénements,ou plusieurs d'entre eux simultanément.
Probabj/jté d'un événement élémentaire : nombre positif compris entre O et 1 attribué
à un événementdonné, soit par la structure même du probleme étudié, soit par l'étude statistique
d'une collection expérimentale d'événements.
C)
Variable
aléatoire
On appelle ainsi une variable X qui peut prendre des valeurs XI
des probabilités PI
Pi
Pn (symbole v.a.).
Xi
Xn avec
.
Cas discret -cas continu :
Une v.a. est dite discrete lorsqu'elle ne peut prendre qu'un nombre dénombrable
(fini ou infini) de valeurs.
Une v.a. est dite continue lorsqu'elle peut prendre n'importe quelle valeur dans
un intervalle fini ou indéfini.
Pour Ia v .a. continue, on définit Ia probabi1ité élémentaire : probabilité pour que X soit
compris entre x et x + dx, que 1'on note f(x) dx. f(x) est appelée densité de probabilité.
La probabi1ité pour que x soit compris dans l'intervalle (Xl' x2) est donnée par
J x, f(x)
dx.
x.
Pour que f(x) représente vraiment une densité de probabi1ité, il faut que Ia valeur de 1'intégrale
étendue à tout l'intervalle des variations possibles de x soit égale à 1. Nous supposeronsdans
ce qui suit que la v.a. peut prendre toutes les valeurs possibles de -00 à+ 00, sans considérer ce fait comme une condition restrictive.
Moments
D)
On appelle moment d'ordre k la valeur de l'intégrale
,.-1-m
Xk f(x)
dx
(I)
...,
En particulier, le moment de premier ordre (k = 1) s'appelle Ia moyenne, on Ie note x
ou ml'
On appelle moment centré d'ordre k Ia vaIeur de I'intégraIe :
4+~
(x -X)k
f(x)
dx.
(2)
--
EQparticulier, le moment centré de second ordre (k = 2) s'appelle lavariance, on le note
IJ.2ou O"x2.Sa racine carrée est l'écart-type O"x.On appelle écart réduit, ou parfois variable
x-x
réduite de Gauss.
Ia v.a
-, -O"x
Signalons
enfin
l'existence
des parametres
statistiques
suivants
STATISTTQUE
-La
médiane
Xm
définie
ET
CALCUL
DES
PROBABILTTÉS
_~f(x)
xm
dx =
EN
HYDROLOGIE
19
par
f
f
+ ~ f(x)
dx
(3)
x",
-Le
mode ou valeur Ia plus fréquente corr;:spond au maximum
On I'obtient
donc en faisant df(x}
de Ia densité de probabiIité.
= 0.
dx
-La
moyenne
harmonique
X h définie
par
f
Xh--I
I
-La
moyenne
géométrique
Xg
définie
+-
x !(X)
(4)
par
log
E)
dx
x
f(x}
dx
(5)
Fréquence -Échantillonnage
On dit qu'un événement est favorable lorsqu'il répond à l'attente que l'on s'était
fixée, arbitrairement ou non, avant l'épreuve. Par exemple, dans le jeu de pile ou face on
peut décider avant la partie que pile sera l'événement favorable. Dans une analyse des débits
d'une riviere, si on s'intéresse aux débits supérieurs à 1000 m3/s, tout débit répondant à cette
condition sera .un événement favorable.
Si l'on dispose d'un échantillon de N événements, obtenus soit par des épreuves
répétées, soit par l'ob3ervation à intervalle,s de temps réguliers d'un phénomene naturel, il
peut contenir n événem~ntsfavorables, c'est-à-dire coIncidant avec l'événement attendu. Par
exemple, sur un échantillon de 30 débits moyens annuels, on en trouve 5 supérieursà 1 000 m3/s.
1
.
1
F = N'
n
...1
On appe le fréquence, ou fréquence expénmentale, e rapport
SOlt lC16.
Supposons maintenant que nous ayons un autre échantillon de 30 débits observés à Ia
mêm~ station : on dit, en statistique, tiré de Ia même population. On trouvera pour 1 000 m3/s
une fréquence expérimentale probablement différente. I1 en sera de même pour d'autres échantillons. La fréquence ainsi définie est donc égalementune variable aléatoire : sa Ioi de probabilité
est dite loi d'échantillonnage.
On .montre (théoreme de Bernouilly ou Ioi des grands nombres) que la fréquence calculée
sur un échantillon tend vers Ia probabilité Iorsque N augmente indéfiniment (convergence
dans Ie sens des probabilités).
Dans Ie cascontinu, nous calculerons soit Ia fréquence de non dépassement(n correspondant
au numéro de classementdes valeurs contenues dans I 'échantillon par ordre croissant), soit Ia
fréquence de dépassement(n : numéro de classement par ordre décroissant). La premiere est
notée Fx 'ou F(x) : elle correspond pour la population infinie à Ia probabilité de non dépassement f~~f(x)
dx. La secondeest notée F1(x) : elle correspond à Ia probabilité de dépasse-
ment r~ ~ f(x) dx. On désignesouvent, dans Ia pratique ciescalcuIs, Ies probabilités elles-mêmes
20
HYDROLOOm
DE SURFACE
par les symboles F(x) et F1(x) .que l'on appelle alors fréquencesthéoriques; F(x) est également
désignésousle nom de fonction de répartition.
On remarquera que la somme des fréquences F et Fl ainsi calculées est supérieure à 1,
ce qui est illogique. Soit 10 valeurs, pour fixer les idées, classéespar ordre décroissant. La
fréquence expérimenta1ede dépassementattribuée au nO 3 est ~ .Dans le classementinverse,
8
Ia fréquence de non dépassementest íõ et la fréquence de 1'événement : Ia valeur en question
Fig 1 -Fonction
de répartition
est dépassée,égalée ou non dépasséese trouve égale à 1,1 alors que, manifestement, elle
doit être égale à l'unité. Nous ne nous étendrons pas sur ce point; signalons seulement qu'on
n-.:
peut Iever cette anomalie soit en adoptant pour Ia fréquence expérimentaIe Ia valeur
avec
Ia formule
de
définition
~
N
et en
.
soit en calculant les deux fréquences
ainsi que nous l'avons admis, soit en prenant N~
F et
2
N
traçant
des
courbes
en
marches
d'escalier.
2. PROPOSITIONS ESSENTIEI..I.ES
nu CALCUL nES PROBABILITÉS
A)
Probabilités totales
Si plusieurs événements s'excluent mutue1lement, la probabilité pour que l'un ou l'autre
de ces événementsse produise est égale à la somme des probabilités relatives à chacun d'eux
(opération d'union sur des ensembles di~iflint,,)
STATISnQUB ET CALCUL DES PROBABILrrÉs
B)
Probabilités
EN HYDROLOGIE
21
composées
La probabilité pour que deux événements a et b soient réalisés simultanément est égale
à la probabilité del'un d'eux multipliée par la probabilité de l'autre, sachant que le premier
est réalisé. On écrit :
Pr
Ca.b)
=
Pr
(a).Pr
(6)
(b/a)
Le 2e facteur du second membre s'énonce elliptiquement : probabilité de b sachant que a ;
on l'appelle probabilité conditionnelle. La proposition s'étend au cas "de plusieurs
événements.
Evenement E 1
""'
Êvênement
E 2
/
1..- Opération
Opération
union
; 1(somme
point delogique)
I'ensemble
d'intersection
:1 point
(produit
Fig 2 .l 'Evenement
vu sous
est dans E1 ou
dans
-
de I'ensemble
est dans
E2
E1 ~
E2
logique)
I' angle
de Ia Théorie
des ensembles
On dit que les événementsa et b sont indépendants si la probabilité de b n 'est pas influencée
parceIledeac'est-à-diresi Pr (b/a) = Pr b. On a alors : Pr (a.b) = Pr (a).Pr (b). Le théoreme
des probabilités composées demande à être appliqué avec discernement : si son application
form~IIe est toujours correcte, un opérateur insuffisamment averti peut lui faire introduire
des conditions restrictives que lui-même n'a jamais envisagées.Prenons le cas de la synthese
d'une crue à partir d'une précipitation donnée; nous supposeronsque l'opération de synthese,
l'hydrogramme unitaire type du bassin étant connu, est entierement déterminée par la hauteur
de précipitation H cetpar les conditions préalab~esde saturation définies par exemple par Ia
capacité apparente moyenne d'absorption Cam. Si H1oreprésenteune aversedécennale,comme
dans1'étude descrues on s'intéresseaux probabilités de dépassem(nt,1'événementcorrespondant
est H> H1o : sa probabilité est égale à 1/10 (rapportée à l'année). A l'aide de cette pluie,
on fait la synthesede l'hydrogramme pour une valrur médiane de Cam : probabilité 1/2. On
sait que Cam et H sont pratiquement des v.a. indép::ndantes; l'opérateur applique Ie théoreme
des probabilités composéeset annonce fierement que l'on doit attribuer à la cl"Uetrouvée la
probabilité 1/20. Or, ce résultat est faux. En effet, il existe des crues de même importance
fournies par des pluies supérieuresà H]o et Cam inférieures à la valeur médiane et invers(ment.
En réalité, le résultat dépend de Ia maniere dont les deux variables élémentaires se composent
nmlr rlnnnPT1:1v:1rj:1hlprP.~lllt:1ntp(jl'i 1:1~nIP) C:ennint ~eTHnrécisé nHTIa suite.
22
HYDROLOGIE
C)
Loi
à deux variables
Nous ne nous occuperons
DE SURFACE
-Dépendance
que du cas continu,
stochastique
seul.intéressant
en climatologie
et en
hydrologie.
Considérons deux v.a. X et Y suivant, chacune pour son propre compte, des lois de probabilité définies par des densités de probabilité f(x) et g(y) .f(x) dx est Ia probabilité pour que
x < X < x + dx et g(y) dy Ia probabilité pour que y < Y < y + dy. La probabilité d'avoir
simultanément x < X < x + dx et y < Y < y + dy est définie par une probabilité élémentaire
p(x, y) dx dy, p(x, y) étant appelée densité de probabilité pour Ia loi du couple (x, y). Les lois
y
/
1.I
I! I
:. -: :::. ..:::.
~ I.I II
1f- Masse p(x,
y) dx dy
(probabilité
élémentaire
du couple)
:- ..:: .
y L-d';-::
Loi
de
---I!
, -loi conditionnelle (de Y sachant que X)
Courbe de densité de probabilité
1--III
I.I
IIi
-Loi
'íi
marginale
de X
I. lI
,.:)y
x
Fig
3 -Loi
à 2 variables
définies par f(x) et g(y) sont dites lois marginales du couple. On montre que la condition nécessaire et suffisante pour que x et y soient indépendantesest que :
p(x, y) = f(x) g(y)
(7)
produit d'une fonction de x seul par une fonction de y seul.
S'il n'en est pas ainsi, on dit qu'il y a dépendancestochastique. La force de cette dépendance, ou liaison, peut être mesuréepar le coefficient de corrélation :
r=
! !(x-X)(y-y)p(x,y)dxdy
(8)
O"x O"y
dans lequel figure au numérateur la covariance de x et de y (x et 1 : valeurs moyennes
de x et de y) et au dénominateur le produit des écarts-types de x et de y. Ce coefficient peut
varier en valeur absolue de O, pour des variables indépendantes, à 1 pour des variables liées
par une relation fonctionnelle. Les valeurs positives correspondent à des covariations de
même sens et les valeurs négatives à ces covariations de sens contraire.
Lorsqu'il y a dépendance.
stochastique(r significativement différent de zéro), Ia loi de probabilité de l'une des variables, sachant que l'autre a une valeur donnée, dépend de la valeur
de cette autre variable : c'est la loi de probabilité liée. Exemple Fy(x) : probabilité inté-
STATISTIQUE
ET CALCUL
DES PROBABILITÉS
EN HYDROLOGIE
23
grale de x liée par y; iIlui correspond une densité de probabilité liée fy(x) différente de Ia
densité marginalef(x). On définit de même une moyenne conditionnelle :
,,+~
x,,=
-\"fy(x)
(9)
dy
J-~
qui est une fonction de y. La courbe qui représente cette fonction est appelée courbe de régressiún
dex liée par y. I\ existeévidemment une régression dey liée par x.
La notion de corrélation sera précisée ultérieurement.
x
Fig 4 -Courbes
3.
de régression
LOIS DE PROBABn..ITÉ
A UNE V ARIABLE
D'apres la définition axiomatique de la probabilité (répartition d'une masseunité sur un
ensemble de points, fini ou infini, discrft ou continu), toute fonction monotone croissante
variant de Oà 1 pour les limites assignéesà Ia variable peut être considéréecomme représentant
une loi de probabilité : une telle fonction est dite fonction de répartition et nous avons vu que
dans le cas continu, si Ia dérivée existe en chaque point, la fonction dérivée est appelée
densifé de pr()babilifé.
En fait, dans l'application, la notion de probabilité est plus ou moins liée à celle de tirage
au sort et les lois qui prétendent rendre compte de l'observation ou de l'expérimentation ne
sont pas construites n 'importe comment.
Le tirage au sort le plus simple se rapporte au jeu de pile ou face dans lequel on considere
une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs O ou 1 avec la même probabilité 1/2.
Toutes les autres lois de probabilités se déduisent de ce modele tressimple en le compliquant
progressivement :
-Par
généralisation (ex. : de pile ou face à variables de Bernouilly en remplaçant .lesprobabilités 1/2, 1/2 par p et q);
-Par
addition (loi binomiale : somme de variables de Bernouilly);
-Par passageà la limite (convergenceen loi);
-Par
changements de variables.
Il n'est pas dans notre propos d'énumérer ne fut-ce que les .Iois les plus usuelles, mais
seulement celles qui seront utilisées dans cet ouvrage.
24
HYDROLOOm
A)
Loi
de Gauss
DE SURFACE
ou loi
normale
On peut i 'introduire comme ioi limite de Ia loi binomale pour un nombre infini d 'épreuves.
Elle est de ia forme :
-!.
e 2
FiQ 5 -Loi
x étant lamoyenne
(~
)2
"
dx
de Gauss (Variable de moyenne nulle e! d'écar!-
de lav.a., x etO'son écart-type, ~
(10)
!ype 1)
désigne donc l'écart d'une valeur
O'
x à la moyenne, mesuré en écart-type. On l'appelle écart réduit ou variable normale réduite.
Par la suite, "nous utiliserons généralement la loi de Gauss sous sa forme réduite, avec les
notations :
l
F(x) =
~
f
_lu'
"
e
-~
du
avec
x-x
u=--
(11)
0"
Les valeurs de F (x) ~ont fournies par la table de l'intégrale de Gauss, en fonction de
l'écart-réduit u (tableau I).
STAT.IST.IQUE
ET CALCUL
DES PROBAB.IL.ITÉS
TABLEAU
Valeurs de /'intégrale
(Probabilités
o
2
pour
25
HYDROLOG.IE
I
de Gauss pour u >
que u soit supérieur
1
EN
4
O
ou égal à...)
11
8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
48803
44828
40905
37070
33360
48405
44433
40517
36693
32997
48006
44038
40129
36317
32636
46812
42858
38974
35197
31561
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
29806
26435
23270
20327
17619
29460
26109
22965
20045
17361
29116
25785
22663
19766
17106
28096
24825
2l770
18943
16354
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
15151
12924
10935
91759
76359
14917
12714
10749
90123
74934
14686
l2507
10565
88508
73529
14007
11900
10027
83793
69437
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
63Q{)8
51551
41815
33625
26803
61780
50503
40930
32884
26190
60571
49471
40059
32157
25588
57053
46479
37538
30054
23852
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
21178
16586
12874
99031
75494
20675
16177
12545
96419
73436
20182
15778
12224
93867
71428
18763
14629
11304
86563
65691
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
57Q31
42692
31667
23274
16948
55426
41453
30720
22557
16411
53861
40246
29798
21860
15889
49400
36811
27179
19884
14412
3,0
31.
3:2
3,3
3,4
12228
87403
61895
43423
30179
11829
84474
59765
41889
.29086
11442
81635
57703
40406
28029
10350
73638
51904
36243
25071
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
20778
14171
95740
64072
42473
20006
13632
92010
61517
4()741
19262
131l2
88417
59059
39076
l7l80
11662
78414
52228
34458
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
27888
18138
11685
74555
47117
26726
17365
11176
71241
449'79
25609
16624
10689
68069
42935
22518
14575
93447
59340
37322
4,5
4,6
4,7
4,8
4.9
29492
18283
11226
68267
41115
28127
17420
10686
64920
39061
26823
16597
10171
61731
37107
23249
14344
87648
53043
.31792
9
26
HYDROLOGIE
DE SURFACE
La loi de Gauss offre une répartition symétrique de part et d.autre de la moyenne, qui est
en même temps la médiane et le mode. Son emploi est tres répandu en hydrologie et en climatoIogie pour représenter Ia répartition statistique de valeurs moyennes (par exémple : pluíes
annuelles ou débits moyens annueIs). Cette propriété de Ia Ioi de Gauss n'est pas fortuite; eIle
découle du THÉOREME
CENTRALLIMITEdont I'application est si importante pour I.hydrologue
et que nous énoncerons :
Si Zn est une combinaison Iinéaire de n v .a. Xj indépendantes,queIle que soit la Ioi suivie par
chacun desX.la loi derépartitionde Zntend vers uneloinormalelorsque n augmenteindéfiniment.
LOI DE GAL TON
On peut généra1iserIa loi de Gauss et Ia rendre dissymétrique, par des changementsde
variable appropriés. Le plus connu de ces changements de variable consiste à prendre comme
variable gaussiennele logarithme ou une fonction linéaire du logarithme de Ia variable étudiée.
On obtient ainsi la loi de Galton, dite aussi loi de Gibrat-Gauss. On la présente traditionnellement sous la forme
f
~
z
e-z'
dz
(12)
~
-~
avec
z = a log (x -Xo) + b
Ceci ne va pas sans quelque inconvénient car les tables de l'intégrale écrite ci-dessussont
de moins en moins usitées. I1 faut multiplier Ia variable z par v2 avant de l'introduire dans
les tables a.ctuel1ementclassiques.
Nous préférons donc adopter une représentation de Ia forme :
1
."
e
---
u.
2 du
(13)
~J~~
avec
u
=
a
log
(x
Xo)
+
b
Nous avons introduit pour certains besoins un changement de variable tout à fait analogue
mais comportant un parametre de moins. Dans cette loi, le logarithme népérien de Ia variable :
log x, suit une loi de Gauss. On Ia note :
f
..1
.-2
1./y-y
Y
)
e -2\0;~
dy
(14)
~~
y = Log x
avec
R)
Loi exponentielle
La fonction de répartition est de ia forme
F(x)
=
Cette loi est parfois utilisée en hydrologie
F(x) = 1-
e-PX
(15)
avec adjonction d 'un parametre supplémentaire :
e-p(x -x.)
(16)
27
STATISnQUE ET CALCUL DES PROBABILITÉS EN HYDROLOGIE
c'est ]a loi dite de Fiiller-Coutagne. On Ia donne engénéral sous la forme :
x(T) = xJ1 + (31ogT)
(17)
T étant la période de retour (inverse de la fréquence). Avec ces notations, la densité de probabi]ité s'écrit : 1
f(x)
= ~
e~
1 ( X-XI
-x;:- ) (M = 0,434...)
(18)
M[3x,
Loi de Goodrich
C)
C'est une généralisation de la loi de Filller par introduction
d'un parametre suppIémentaire,
on Ia présente souvent sous Ia forme :
x(T) = x1[l + ~ (Iog T)"]
T
étant
Ia
période
de
retour
(19)
=
F.
La fonction de répartition correspondante est donc
-2.3026
F(x)
et Ia densité
de probabiIité
pfUt
=
s'écrire,
fn posant
) ;;
~1
(20)
x.B
e
1
I
(
A = 2,3026(xl
~)-
I
;;
I
f(x)
1
= -A(x
n
D)
~ --A(x
xJn
-xJn
(21)
e
Loi de Gumbel
Elle a été créée pour l'étude de Ia distribution des fréquences de valeurs extrêmes
(maximums ou minimums annuelspar exemple)..On considere que sur les N' observations d 'une
donnée météorologique ou hydrologiquc que comporte une année, N peuvent être considérées
comme indépendantes.Si l'on désignepar h(x) le nombre moyen annuel de valeurs journalieres
supérieures à x, Ia probabilité pour que toutes les valeurs journalieres soient inférieures à x.
c.est-à-dire pour que le maximum annuel soit ínférieur à x. est égal, d'apres le théoreme des
probabilités composées, à:
1 -~
N
l
L
N
N étant assezgrand, on peut écrire avec une bonne approximation
Gumbel pose en outre h(x) .= e-- y et y = a(x -xo).
P =
exp
[-
h{x)J
D'ou Ia fonction de répartition (avec nos notationshabituelles) :
F(x) = exp [et ia densité de probabiiité
e- a(x-x.)]
(22)
:
f(x)
= ae- a(x -x,)
exp [-
e- a(x -Xo)]
(23)
HYDROLOGIE
E)
Loi
de
DE SURFACE
Jenkinson
La loi de Gumbel représente souvent assezmalla distribution des valeurs extrêmes. Elle
a été assouplie par Jenkinson. avec introduction d'un parametre supplémentaire. Cet auteur
propose de prendre x = Xo + a(l -ekJ'). y est liée à la fréquence de dépassement par la
relationy =-LogLog
~
(T étant la période de retour = ~).
La fonction de répar-
tition (fréquence de non dépassement)est alors de la forme :
F"
=
e
-(1-~)k
avec une densité de probabilité
I
-9)k
fx
=
(25)
~ ( 1
ak
Elle définit 3 types de fonctions suivant le signe de k (ak devant être toujours > O)
k > o <=>
type I
a > o
x varie de -00
à a + Xo (borne supérieure)
dy/dx est croissant
: Ia courbe y(x) asa concavité
tournée
vers le haut
k-*°
dy/dx -+
type II
1
~' y(x) est une droite : on retombe sur Ia Ioi de GumbeI
k
<O
<=>
x varie ,de a + Xo à 1+ 00 (borne
inférieure)
dy/dx
y(x)
est décroissant
: Ia courbe
asa
F)
0<0
.
concavité
Lois
de
tournée
vers Ie bas.
Pearson
On appelle intégrale eulérienne de secondeespece,oufonctipn gamma la fonction de a
,,00
-x
e
qui répond à Ia reIation fondamentaIe
r(a)
~i n p~t ,,~trpint
" Âtr~
Im
a-l
X
dx
:
= (a-i)
nomhre
entier
r(a
(m.
I)
on
voit
aisément
Que r(n)
= (n
1)
!
~
STATISnQUE ET CALCUL
dy
-=y
dx
DES PROBABILITÉS EN HYDROLOGm
29
x +d
ax2+hx+c
La loí III de Pearson, t.res ut.ílísée en hydrologie,
F(x)= m
I:
Ia :pour fonct.íon de répart.it.íon
p-QX
dx
xY
(29)
ou r (y) est la fonction eulériel1ne de seconde espece.
1
En!posant
ax
=
1',
on
a
dx
=
y
-dy,
,
x
=
d'Euler
F
)
. d
x
.
I
evJent
(1
incomplete
,
r y(y)
dy = fM
y y-l
v
F(x)
r y(y) est l'intégrale
(
-et
a
(:fo)
et le rapport
I (Y,y
1)=~
r(y)
est donné par les ta.bles de Pearson, moyennant du reste un changement de variable (voir
référence en fin de chapitre).
La loi V de Pearson est parfois utilisée en hydrologie. C'est égalementune loi r. La densj.té
de probabilité est de Ia forme :
f(x)
G)
=
a-r
~
r(y)
Lois
'Y-l
e
x
1"."\
de Halphen
Ce sont des"généralisations des lois de Pearson étudiées spécialementpour rendre compte
de Ia rcpartition statistique des débits de rivieres. On distingue deux types :
tlX--
typ::A
f(x)
= Ke
f(x)
= Ke
XI
type
B
T+13x
b
X
y-l
x
(33)
(34)
Les calculs relatifs à ces lois sont particulierement I.aborieux et il ne semble pas qu'elles
aicnt bcaucoup retenu l'attention des praticiens de l'hydrologie.
HYDROLOGIE
30
H)
Lois
DE SURFACE
tronquées
Supposonsqu'une variable aléatoire prenne avec une probabilité F(a) la valeur constante a
et que le reste du temps elle obéisseà une loi de distribution <D(x).On peut supposer également
que l'on ne s'intéressepas aux valeurs inférieures à a. <D(x)est la fonction de répartition d'une
loi tronquée et l'on a:
(35)
F(x) est Ia fonction
de répartition
pour toutes Ies vaIeurs possibIes de Ia variable. On a:
F(x) = F(a) + [1 -F(a)]
4.
MÉTHODE
clI(x)
D'ESTlMATION
(36)
DES PARAMETRES
DANS LES LOIS A UNE V ARIABLE
Il n'est pas dans notre intention de traiter, même sommairement, le probleme général de
l'estimation. Nous nous contenterons d'exposer trois recettes couramment utilisées par les
statisticiens pour l'estimation des parametres, puis de donner le détail des calculs pour quelques
lois classiques afin d'entrainer le lecteur à l'application de ces méthodes.
A)
Méthode
du maximum
de vraisemblance
Supposons qu 'un échantillon, tiré d 'un~ population-mere représentant la totalité des
valeurs d'une variable aléatoire X, comporte N valeurs Xi pouvant se produire chacune avec
probabilité P,. La probabilité pour qu'un échantillon de N valeurs obtenues par tirages indépendants soit précisément l'échantillon obtenu, est :
Pl X Ps
XPN
On appelle cette probabilité )lraisemblancede l' échantillon.
La méthode du maximum de vraisemblance consiste à déterminer les parametres de la loi
choisie de façon à rendre l'échantillon le plus )lraisemblablepossible.
Si la v .a. est continue, chacun des termes ci-dessus, et à priori le produit lui-même, sont
infiniment petits. On définit alors la vraisemblance de l'échantillon comme une quantité proportionnelle au produit des densités de probabilités, c'est-à-dire à:
9 = h.f2
avec
et
...j~
prob (X < XI) = J:oof(XI,
li
= I(xi,
a, h,
(37)
a, b, ...k)
dx
k)
Xi étant une valeur queIconque de I 'échantillon, a; h, ...k les parametres de Ia loi de probabilité
STATISnQUE
ET CALCUL
DES PROBABILITÉS
EN HYDROLOGIE
31
dont les valeurs sont inconnues. Le but cherché est de maximiser ./l" donc d'annuler les dérivées
partielles par t:apport aux différents parametres, ce qui donne un systeme de k équations :
õg
õa
II est souvent
plus
simple
(38)
~=o
~k
~
d'écrire
et
le
sys-
7\n
teme ci-dessuspeut être remplacé par
*!.~=o
LJi
()Q
1
(39)
*~.~=o
L., r,
;)k
Dans la pratiquedes calculs, on prend les dérivées partielles de Lf x par rapport à chacun
des parametres, puis on fait les sommations que l'onannu1e.
Cette méthode fournit toujours une estimation correcte des parametres, mais il peut
exister, pour un probleme déterminé, une estimation mei11eure,c'est-à-dire mettant en jeu des
caractéristiques t.iréesde l'échantillon moins dispersées.Nous n'insisterons pas. D'autre part,
la résolution du systeme d'équations auquel on about.it peut poser de sérieusesdifficultés.
R)
Estimation des parametres par le calcul des moments
Nous avons donné précédemment Ia définition d'un certain nombre de moments à partir
des Iois théoriques. Par exemple, Ie moment de niêmeordre :
,.+~
xn
f(x}
dx
-~
est évidemmentunefonctiondesparametres a; b ...k. Si I'on parvient à résoudre l'intégraIe
précédente, on aura donc une reIation entre Ies parametres. Pour avoir un systemepermettant
de caIcuIer Ies parametres, i.l faudra déterminer autant de reIations qu'iI y a de parametres,
c'est-à-dire caIcuIer à partir de Ia loi théorique a~tant de moments qu'iI y a de parametres.
li faudra d'autre part que ces moinents puissent ~tre estimés à partir de I'échantiIIon. On peut
montrer, en se Iimitant aux trois premiers moments, que I'on obtient des estimations absoIument correctes(convergenceforte) à partir des formules suivantes :
Moyenne
Variance
estlm..-l~
X
=
-""'
Xi
(40)
N
estim.
~
=
;:T
-}:;(Xi
1
X)2
(41)
HYDROLOGm
32
DE
SURFACE
Moment centré de troisieme ordre
estiro.
[J.a =
~
(N
N
1) (N -2)
y\3
~(XI
(42)
Certaines lois peuverit se mieux prêter au calcul théorique avec d 'autres estimateurs, tels
que la moyenne géométrique ou la moyenne harmonique. Mais l'estimation de ces caractéristiques à partir de l'échantillon souleve parfois des difficultés, notamment pour la moyenne
géométrique lorsque certaines valeurs expérimentales sont inférieures à l'unité ou que le
classementest fait par groupement dans des intervalles de classedonnés.
Il faut enfin noter que la recherche du meilleur estimateur, c'est-à-dire présentant la plus
faible dispersion d'échantillonnage, est un travail délicat demandant l'intervention d'un
statisticien averti. Faute de mieux, on se contentera donc des indications ci-dessus, d'autant
plus que le gain de confiance par 1'estimation la plus correcte est souvent iaible.
C)
Ajustement graphique des fonctions de répartition
évidemment); a et b se calculent alors d'apres la droite obtenue.
C'est le cas également de certaines lois tronquées pour lesquelles F(a) est mal estimée à
partir de l'échanti1lon lui-même. On la considere alors comme un simple parametre d'ajustement.
Si l'on prend par exemple la loi tronquée :
US
-F(O)
<II(x) =~
1-
=-F(õ)=~
1
.
f
e-2
du
(43)
u = Logx-Logx
O"Logx
on calcule d'apres l'échantillon des valeurs de F(x); en se donnant une valeur de F(O), on
calcule les valeurs correspondantes de cII(x) que l'on porte en abscisses gaussiques sur un
graphique, les valeurs de Log x étant portées en ordorinées. L 'ajustement de Fo consiste à
"Vi"'
faire varier les valeurs de ce parametre de façon à aligner les points expérimentaux.
STATISTIQUE
ET
CALCUL
D)
DES PROBABILITÉS
Le
test
EN HYDROLOGIE
do X2
Quelquesdéfinitions :
Nombre de degrésde liberté.
On app~1leainsi le nombre de parametres que l'on peut fixer librement dans le phénomene
étudié. Si l'échanti1lon de N valeurs a été divisé en k classes,on peut choisir arbitrairement
le nombre d'observations ni que l'on mettra dans chacune des classes, mais, k- 1 classes
étant choisies, la k iemeest fixée par la condition };::nl= N. Il y a donc k- 1 degrés de
fiberté dans l'opération de cloisonnement. Si, par ai1leurs,la loi comporte p parametre estimés
à partir des donnéesexpérimentales,on ap nouve1lesliaisons entre les ni, et le nombre de degrés
de liberté est en définitive égal à k -1 -p.
.
Définition du X2.
L 'échanti1lonétant divisé en un certain nombre 1(de classes,si ni est le nombre de valeurs
expérimentalescontenues dans la classe i et vlle nombre de valeurs qui, sur un échanti1lon de
grandeur N, est affecté par la loi théorique proposée à la classei, le X2est défini par la relation :
k
(44)
x.2=2~
1
Vi
pour le phénomeneétudié.
Le processusdu calcul est le suivant :
-Les N donnéesexpérimentales étant classéespar ordre croissant ou décroissant, on les
divise en k classesde façon que chacune des classescontienne au minimum 5 données expérimentales. La classei est bornée par les valeurs XI-I, XI choisies arbitrairement.
-On compte le nombre de points nl contenu dans chacune des classes.
-On calcule, à partir de la loi théorique choisie, les valeurs théoriques VI. Si f(x) est la
densité de probabilité correspondant à la loi théorique, on a:
"x
v/=N
f(x)
dx
(45)
-On
fait pour chaque classe Ia différence ni -Ví, on l'éleve au carré et on divise le
résultat par Vi. La somme des k quantités ainsi obtenues donne la valeur du X2.
-On calcule le nombre de degrés de liberté égal à k- 1- p et ondétermine, d'apres les
tables,Ia probabilité de dépassementcorrespondante.
-L 'interprétation des résu1tatsest une question d'appréciation. En premiere analyse, on
peut admettre avec Ia plupart des statisticiens que :
-Si la probabilité trouvée est supérieure à 5 %, l'ajustement est satisfaisant.
-Si elle est inférieure à 1 %, la loi choisie doit être rejetée.
34
HYDROLOGIE
DE
SURFACE
-Si elle est comprise entre 1 et S %, on ne peut pas conclure. Il faut poursuivre les
observations.
Il peut être parfois intéressant d'ajuster les parametres d'une loi en minimisant le X2,ce qui
a pour avantage de fournir directement un contrôle de l'ajustement. On notera toutefois que
les calculs sont en général assezlaborieux.
On trouvera ci-dessousune table des valeurs du X2(Tableau II).
TABLEAU
Table de distribution
Valeurs
Lorsque v>
II
de x.2 (Loi
de x.2 ayant Ia probabilité
de K. Pearson)
P d'être
30 on peut admettre que Ia quantité viii
dépassées
-v2V=1
~uit Ia Ioi normale réduite
35
STATISnQUE ET CALCUL DES PROBABILITÉS EN HYDROLOGIE
E) Exemples d'application pour quelqueslois classiques
a)
LOI
DE
GAUSS
L' estimation desparametres est particulierement simple puisque 1'un d ' eux est la moyenne,
l'autre l'écart-type. Nous avons vu que la moyenne s'exprime correctement à partir des données
/'1
/'1
de l'échantillon par x = N ~Xi et que l'écart-type est donné par (j2 = ~
~(Xi -X)2.
Lorsque les calculs se font à la machine, il est plus commode de mettre cette expression sous la
forme: ;;-2= ~
[ ~ Xi2-N
-fi:] (le signe /'- est souvent utilisé pour désigner une valeur
estiméed'apres un échantillon par opposition aux valeurs vraies inconnues (j et x).
Certaines machines de bureau, relativement peu onéreuses, telles que la Trétactys
(Olivetti) permettent de faire simultanément ~Xi2 et ~Xi en introduisant une seu1e fois
chacun des Xi.
h)
LOI
DE
GALTON
Nous avons vu que cette loi est susceptible d'un ajustement graphique. li est toutefois
possible d'en déterminer les parametres, soit par le maximum de vraisemblance, soit par le
calcul des moments.
Ajusfemenf
par [e calcul des momenfs.
La fonction de répartition est
f
1
F(x)
=
~
z
e
-~
1.
-i%
z = alQg (x -Xo)
avec
x =
d'ou
Xo +
eA(z-b)
dz
+ b
.en posant
A=
~
~
a
La loi comportant
3 parametres,
commode de calculer d'abord
il est nécessaire de faire intervenir
les intégrales suivantes :
I -1
f
+~
_!Zl
0--
2
V2;
dz =1
_~e
dz = eA(~-b)
1
-+
~
4
2A(z-b)
e
--z
e
2A(A-b)
'1
2
dz =e
-~
12=~
1
13 =
.
~f-
+
~
3A(z-b)
e
--z'
e
2
3A(~-b
dz
=e
)
3 moments. 11 est
36
HYDROLOGIE
DE SURFACE
Moyenne
1
x=
J ~-"-~
' -
":;T~
} e --z'21
A<Z-b)
Xo
[
-00
-A
dz -Xo
+e
Jo + II = XII + e
(A--h
2
)
(51
Variance
0"2 =
-+- mJ
moment de second ordre)
(m2
A<Z-b)] 2 e
I.
-z
2
Xo+ e
d'ou
(12
Moment
X2 + XO2 + 2xo e
=
centré de troisieme
(Ja = -xa
dz = X20JO+ 2xuIl + !2
(52)
2A(A-h\
A(~-b)
+e
(53)
ordre
-JX0"2
+ ma
moment
(ma
de troisieme
ordre)
1
A(Z-b)
m
3
=
]
3
--z'
Xo + e
e
dz = xo3Io + 3XO2Il+ 3xoI2 + Ia
2
(54)
On trouve en définitive
(x
(.La =
3(i
XO)3
Xo) 0"2+ e
3A(~A-b
)
(,,"\
Le systeme qui permettra d.évaluer les parametres à partir des 3 premiers moments
estimés d.apres l.échantillon est donc le suivant (on a supprimé les signes distinctifs des valeurs
estimées pour ne pas alourdir l.écriture) :
A'
--Ab
2
2A'
~A.
2
~
e
=x
-2Ab
e
-xD
= (x
=
(x
XO)2
+
0"2
XO)3 +
3(x
(57)
Xo)
0"2
+
!la
(58)
En éliminant successivementA et b entre ceséquations, on trouve une équation en Xoseul
0"4 -(X
~
-0-1
-XO)3
+
3(x
-XO)2
que l'on peut résoudre en Xo soit graphiquement,
soit par approximations
Xo étant ainsi estimé, on peut évaluer A et b par les relations :
A2 = Log [ 1 +
et
ou
h=
1,1513
-a
n
.517
a=
log (x
successives.
xn)
(61)
STATISnQUE ET CALCUL DES PROBABILlTÉS EN HYDROLOGIE
Ajustement par le maximum de vraisemblance.
Avec les notations
précédentes, Ia densité de probabiIité
[
f(x)
]
~
e
2
à x peut s'écrire
]1
1
.1 ---L(x-X.)
]
rapportée
+ b
A
(62)
~.Ã:<;;=-;;-;)
d'ou
L v]:-;; A
L/=
L(x
On dérive cette expression par rapport
systerne résolutif
Xo)
[
1
---L(x
2
1
(63)
A
à A, b et xo' on som me et on annule; d'ou le
:
A2N -Ab~L(Xi
XO) + NAb = O
~L(XiA2~-3-
+
Xo) = o
-xo) _}:::L2(Xi-
1
.
Ab~
+
~L(XI-X
)
0=0
x/-xo
XI-Xo
x/-xo
Les deux premieres équations permettent d'obtenir A2 et Ab en fonction de Xo.Les valeurs,
reportées dans la troisieme équation, donnent une relation ou seul figure Xo; nous l'écrivons
ci-dessous en revenant auk ]ogarithmes décimaux :
La détermination de Xo est assez laborieuse. Il faut tracer la courbe tp(xo) dont 1'intersection avec l'abcisse donne la valeur cherchée. Xo étant connu, A et b se calculent aisément
avec les formules
déduites des deux premieres équations
A2 = ~L2(Xi -xJ
N
ou, en rappelant
que A=
du systeme :
~2L(Xi -Xo)
N2
(68)
2,30259
a
(69)
et
(70)
3R
HYDROLOGIE
c) LOI
EXPONENTIELLE
DE SURFACE
OU
LOI
DE
Nous avons vu que Ia densité de probabilité
1
f(x)
(~
-~
=
e
M~
peut s'écrire
)
XI
FULLER-COUTAGNE
(XI
<
X<+
:
(X)
M(j XI
On calcule três facilement
les deux prerniers moments
x = xl(l
+ O,434~)
(71)
0"2 = (0,434(3xJ2
(72)
d'ou estimation des parametres
"'
--::- "'
1
(73)
X)2
xl=x-a=-Lxt
N
(3' = ~1
d)
LOI
DE
-,
a
(74)
GOODRICH
Elle est définie par une densité de probabilité
1
-
-I
.J
f(x)
-A(x-xJn
e
xJ"
=-A(x
n
Nous ferons l'estimation
(XI < X < + CX)
)
des parametres par l'intermédiaire
des 3 premiers moments
Moyenne
1
j
-T
-~oo
-A(x-x,)n
A
x-(x
x=
(15)
dx
e
xJn
X,
1
L'intégration
s'etfectue
en faisant
.X
u =A(x-xJn,
=
-(.l:
n
d'ou :
(76)
1
--I
X,)n
A
du
x=
de variable
= (i)n+"Xl
,
et
le changement
(77)
dx
._~
[ (~) n+ x]] e-u du= XnJI"+
un e-" du + XI
I:
p-udu
I:
(78)
L 'intégra.le du second terme est égale à 1'unité. On reconnait dans celle du premier terme
l'intégrale eu.lérienne de seconde espece : r(n + 1). La moyenne est donc égale à:
-1=
X
-(n
An
r
+
I)
XI
(79)
1Q
STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILITÉS EN HYDROLOGm
Variance
0'2=~_X2
ar
(80)
Moment de troisieme ordre
ma=f:~
En développant
[{i)"+Xl)3e-udU
le terme au cube et en intég~ant, on obtient
1
ma =Ã3ii r(3n
x
+ 1) + 3 ~
et Ie moment centré correspondant
r(2n
X2
+ 1) + 3fn r(n
:
+ 1) +x13
(82)
est donné par Ia reIation
!la = ma -3X0'2
+ ;X;3
En combinant et en simplifiant les trois équations précédentes, on obtient le systeme
1
+ Aií r I = O
(XI -X)
-(X
l
-X)2
-1 + ~
(XI -X)3
r 1 = r(n + I)
ou
+
1
-r
A2n
2
=
a2
r 3 = I; + 3a2(XI-X)
r, = r(2n + I)
et
r. = r(3n + I)
Les deux premieres équations permettent d'exprimer A et XI en fonction de n seul. En
reportant les valeurs trouvées dans Ia 3e équation, on trouve l'équation en n seul :
~ cst le coefficient
(J
d'assymétrie
de Pear~on. On voit que, pour Ia loi de Goodrich,
il
ne dépend que de n.
~ peut
(J
être estimé
à partir
des données
expérimentales,
au moyen
des formules
précé-
demment citées. La méthode de résolution consiste à tracer Ia courbe cp(n),ce qui peut être
fait une fois pour toutes. On peut également établir une tabulation sommaire qui permettra
de circonvenir le champ des approximations successives: une tel1e table est donnée ci-apres
(tableau III).
40
HYDROLOGrn
DE
SURFACE
TABLEAU
III
Loi de Goodrich
r 18
~-3r
: cp(n)
ra
-
[
2
(ri-r1)
de Ia fonction
ri
i
_1
TabIe sommaire
rl = r(n + I)
avec
r. = r(2n + I)
r. = r(3n + I)
L 'interpolation
linéaire
donne
des
valeurs
exactes
jusqu
'à
Ia troisiême
décimale.
Les deux autres parametres se calculent facilement au moyen des relations
-r1(j -.XI =x
,,/f'AA=
e)
DE
On a vu que Ia densité de probabiIité
f(x}
L 'intervalle
Application
de variation
(87)
I
[r;=r;ai
LOI
f'.1
-2ii
GUMBEL
s'exprime
par :
= ae--a(x-x,> e-e-a(x-x.>.
est
~),
du maximum de vraisemblance.
On a:
L/(x)
= La
a(x
-Xo)
-e-a(x-x.>
d'ou
f'Q(x)
f(x)
Le systeme résolutif
est donc le suivant
N
--~(XI-XJ
a
+
:
(xi-xo)
e-a(Xf-X,>
=
O
ST A TJSnQUE
ET
CALCUL
DES
N -}:;
PROBABJLJTÉS
e-a(xl-x.)=
EN
HYDROLOGIE
41
O
ou
eaxo
x + N
},:: Xi e-ax.
-
= O
a
eOXo
~ e-ax,
N
La seconde équatÍon donne
eOX.
et
Ia
premiete
peut
(O,)
e-ox,
s'écrire
~
XI
~
On a d'autre
1
---}:;
N
e-ax.
e-ax.
y
+
part
axo = LN-L~
et on obtient
en définitive
e
le systeme :
~ XI e-aXf
x
L e-ax.
-L
Xo =
1
-}:;
N
(98)
e-ax,
a
(99)
La premiere relation est une équation implicite en a qui ne peut être résolue que par
approximations successives.Les calculs sont Iongs du fait que I'on doit reprendre, à chaque
tentative, tous Ies termes des sommations. C'est pourquoi nous préfererons Ia méthode suivante,
baséesur Ie calcuI des deux premiers moments : eIle présente de tels avantages de simplicité
qu'on Iui sacrifiera volontiers Ia rigueur un peu plus grande de Ia méthode du maximum de
vraisernhlance.
E.\'fimation
par
Te caTcuT des moments.
Movenne
,.+~
x=
x
ae-a(x-x,)
-a(x-x,)
e -e
dx
-~
posons
u
e-a(x-x.)
L 'intervalle
de variation
devient
(+
00, O). On
a
1
dx
=--du
""
(101)
42
HYDROLOGIE
x=d'ou
f
DE
SURFACE
~+~
o
(
xo
~
LU)
e-udu
=
Xo
.+~
e-udu
a Jo
+~
,,+~
or
~+~
e-u
du
=
Lue-udu
et
o
est Ia constante
On a donc
d'EuIer
Lu e-u du
o
dont une vaIeur approchée est 0,577.
:
x = x
+
0,571
0-
a
Variance
tl2 = m2
I::
m12=-x2+
X2 ae-a(X-X,)
e-e
-a(x-x.)
dx
En utiIisant Ie même changement de variable que pour le calcul de Ia moyenne, on obtient
+~
(LU)2 e-u
f1.2=0"2=~[J+~
Lu e-u du )
du
O
.fo
et
1
O,780a
(1=
On p~ut donc estimer tres simplement les parametres au moyen des deux premiers moments
d'apres te systeme :
Xo=X-~
a
(108)
: = 0,7800"
a
Notons enfin que Xo est Ie mode de Ia Ioi de áumbeI.
i)
LOI
DE
RappeIons que Ia densité de probabiIité
PEARSON
III
est de Ia forme
nY
f(x)
Ona
= ~e-ax
r(y)
xy-l
.
Le caIcuI des parametres se fait tres aisément par Ia méthode du maximum de vraisemblance.
:
ax
d'ou
+
(r
1) + Lx
.[i=I
f
h
x
I)
Lx
(109)
(110)
(111)
STATISTIQUE
BT
CALCUL
DES PROBABILITÉS
BN
43
HYDROLOGIE
\j!(y1) est Ia dérivée logarithmique
de r(y). C'est ul1e fol1ction classique, tabulée.
Les tables dol1nent en généralles valeurs de \j! pour y compris entre 1 et 2. Le calcul pour les
autres valeurs se fait au moyen de Ia formule
de récurrence
1
IjI(X
On obtient
+n)
donc
=1jI(X).+~
1
1
:
+
+~
+X+2+~
x+]
(112)
x+n
le systeme
-La
+ lJi(y-1)
=
~Lxt
(113)
N
r -)::Xj
a-N=x
d'ou l'équation
-La
ou
= r..x-Ly
en y
cp(y) = Iog y -0,4343
ljI(y-
I) = Iog x -
~ log XI
N
TABLEAU
et Ia vaIeur
Loi de Pearson
de a :
Tabie
I a= ~
Le
tabIeau
IV
(116)
IV
donne
une tabuIation sommaire
Ia fonction {p(y).
de
de ia fonction
: 'f!(Y) = Log y -0,4343
tjI(y -I)
44
HYDROLOGIE
F)
DE SURFACE
La confiance statistique
Nous ayons YU qu'il existe des méthodes permettant de tester si telle hypothese sur Ia
distribution statistiq~e d'une Y. a. peut être retenue ayec une probabilité raisonnable d'être
exacte. On se gardera bien de dire qlle, si le test est fayorable, I'hypothese est confirmée, ce
qui impliquerait 'qu'elle est Ia seule possible au YU de l'échantillon analysé. Eh fait, nombreux
sont les cas ou plusieurs distributions théoriques peuyent raisonnablement s'appliquer à un
même échantillon; le bon sens yeut alors que les différentes hypotheses enyisagéesconduisent
à des courbes yoisines.
Une loi de distribution théorique, ou hypothese, dépend, nous l'ayons YU, d'un certain
nombre de parametres et nous ayons indiqué le moyen d'estimer ces parametres à partir des
données expérimentales. Le probleme qui se pose maintenant est de déterminer dans quelle
m~sure les yaleurs trouyées peuyent yarier suivant 1'échantillon utilisé. autrement dit, d 'étudier
pour chaque parametre sa loi de distribution d'échantillonnage.
Prenons comme exemple une Y. a. gaussienne : sa loi de distribution est eritierement déterminée par Ia moyenne x et l'écart-type O'x.Mais ce que nous connaissonsde ces deux parametres
se limite à des estimations faites à partir d 'un certain échantillon comportant n yaleurs de la
Y. a. que l'on note nm_"et ).-Sn.
Si l'on ayait opéré sur un autre échanti1l0n de même dimension,
tiré de la même population-mere (par exemple deux périodes consécutiyes d'observations de
débits de 25 annéeschacune), on aurait eu toutes les chances du monde de trouyer comme estimations de x et de O'des yaleurs différentes. On yoit donc sedessinerde nouyelles lois statistiques
intéressant non plus la distribution de la Y. a. x, mais sa moyenne x ou son écart-type O'xpour
un grand nombre d'échantillons comportant chacun n yaleurs de x. L 'étude théorique de
distributions d'échantillonnage sort du cadre de cet exposé; dans le cas de la loi normale,
disons seulement q1ie nmx se comporte comme une Y. a. normale de moyenne x et d'écart-type
O'x
.
.O'x
~,
et que '.Sx SUlt é ga1ement une 101
normale de moyenne O'xet d'écart-type --=.
Ces
vn
'
V2n
résultats ne sont du reste yalables que si les conditions du théoreme central limite sont respectées; il faut en particulier que n soit grand.
D'une façon générale, que Ia loi de x soit normale ou non, un moment empirique mk
d'ordre k, estimation d'un moment théorique fl.k, est distribué normalement ayec une moyenne
1
fl.k
et
une
yariance
-[(l2k
n
-fl.k2],
pour
autant
que
les
conditions
du
théoreme
central
limite sont respectées. On peut également déterminer la covariance de deux moments empiriques d'ordres différents par la formule :
1
cov (mk, mh) = : (fLh+ k
fLh
fLk]
(117)
Si enfin le parametre qui nous intéressen'est pas un moment, mais une fonction de plusieurs
moments, par ex:,:mpleÀ(!1.k,!1.h)estimé par l(mk, mh), on peut ayoir une yaleur approchée de
sa yariance en écriyant :
var
I =
(-var"I )
"mk
2
mk +
( )
"I 2
-var
"mh
"I
mh + 2-
"I
.-
"mk
cov
"mh
(mk,
mh)
(118)
On est donc ramené, si on possedeun échantilIon de taille suffisante, à étudier Ia variation
d'une v.a. normaIe, c'est-à-dire Ia marge d'incertitude que I'on peut s'attendre à trouver.
STATISTIQUE
ET CALCUL
DES PROBABILITÉS
EN
45
HYDROLOGIE
autour de Ia valeur centrale déterminée empiriquement, avec une probabilité donnée. C'est là
qu'intervient Ia notion de seuil de confiance et d'intervalle de confiance. Supposons que I'opérateur ne veuille pas prendre un risque supérieur à une probabilité de 5 % d'avoir, pour Ie
parametre étudié, une valeur théorique située en dehors de I 'intervalle de variation qu 'iI va
Iui assigner.En fonction de Ia moyenne empirique du parametre et de son écart-type d'échantiIlonnage estimé colnme il est dit plus haut, iI va construire une variabIe réduite de Gauss
Puis iI déterminera, au moyen de ia table de I 'intégrale de Gauss, Ia valeur absolue de ia variable.
réduite qui a une probabilité 0,025 d'être dépassée.Ceci Iui donne deux vaIeurs du parametre,
symétriques par rapport à Ia valeur moyenne, entre Iesquelles ii y a 95 % de chances que se
trouve Ia valeur théorique. L 'intervalle séparant Ies deux vaIeurs extrêmes est dit : infervalfe
de confianceà 95 %.
5.
RETOUR
Loi
A)
de
SUR LA NOnON
Gauss
à deux
DE RÉGRESSION
variables
-Régression
linéaire
Soit deux v. a. norma.les x et y de moyennes x et y, d'écarts-types
O'x et O'yet p .leur
coefficient de corré.lation. On montre que Ia loi du couple (x, y) est définie par .la densité de
probabilité
:
f(x,
y) = ~:a-:v
I.
=exp\
p2
2(1
[ -<X
1
-p2)
On en déduit Ia distribution
[
(v
if-
2.
] ~(119)
y-
-p
ia moyenn~
)i)
ax a...
1
2(1
est associée
.x)(y.
de y Iié par x
fx(Y) =
à laquelle
-2p
O'x'
I
(x
X)2
-p2)
a;
':;}12
~
(120)
conditionnelle
I
Yx
O"y
=y
p
-(x
-
(121)
-x)
O"x
On détermine de même Ia moyenne conditionneIle
x'y
de x lié par y
ji)
(122)
Les deux courbes d.estimation de y par x et.de x par Y. ou courbes de régression, sont
donc des droites.
On notera qu'elles se coupent au point (x = x, y = y).et different par leurs coefficients
angulaires. Une telle régression est dite finéaire et p est un coefficient de corréfation
linéaire.
Il est aisé de voir Que dans un plan (x, y) probabilisé suivant cette loi, c'est-à-dire dont
46
HYDROLOGIE
DE
SURFACE
chaque surface élémentaire dx dy est affectée d'un poids f(x, y)dx dy, les courbes d'égales
densités de probabilité sont des ellipses d'équation :
1
2ií=PiJ<X
2XY+Y1I)=
Log [27t O'xO'y V
y-y
ou
O"x
p2 D]
(123)
, D : densité de"probabilité.
a"
Fig 6 -Allure des éllipses d'égale densilé de probabililé
(0,01)
dans Ia 10i de Gauss à deux dimensions pour différenles
valeurs du coefficienl de corrélalion (x = V= o, O"x= O"y)
La considération d 'une loi de Gauss à deux yariables permet de résoudre au mieux le
probleme suiyant, d'application fréquente en h):'drologie et en climatologie :
Soit une yariable y dont on possedek observations (par exemple débit moyen annuel à une
station observée depuis k années) et une variable x dont on posseden > k observations (par
exemple n annéesd'observations du débit moyen annuel à une autre station de la même riviere
ou d'un bassin voisin). On suppose qu'il existe une certaine cQrrélation entre xet y et on s'intéresse à la moyenne de y.
Cette moyenne peut être estimée à partir des k valeurs fournies par l'observation directe
(kmy). Est-il possible d'améliorer cette estimation par la connaissancedes n-k va1eursobservées
pour x? Si oui, quelle valeur convient-il d'adopter comme moyenne de y, de préférence
à kmy?
Désignons par :
x
y
Ia moyenne de x ;
Ia moyenne de y;
(jx I'écart-type de x;
(jy I'écart-type de y;
pIe
coefficient de corréIation
entre x et v.
STATISTIQUE
ET CALCUL
DES PROBABILITÉS
EN HYDROLOGIE
47
Les valeurs empiriques de ces parametres, calculés d'apres l'échantillon sont, en désignant
par i une des k observations communes à x et à y et par j une des n -k
observations supplémentaires effectuées sur x :
1
Xk
=k
k
~Xi
Xn
= ~ (~ Xi + ~I XJ)= ~ 6, x
Vk
=
1
k
(125)
k
(126)
Ly
Xk)2
2
nS x =
1 ~
-
-L,
(x .
n i+J
) 2
(128)
Xn
k
kS2y = ~ L
(Yi
(129)
Yk)2
I
k
1 ~
krxy = k L,
(Xi
-
-Xk)
Yk)
(Y/
kSY kSx
1
On constitue alors un échantillon comportant k valeurs de y et n valeurs de x, on détermine
sa densité de probabilité et on lui applique la méthode du maximum de vraisemblance. Ceci
permet d'évaluer les valeurs les plus probables des parametres statistiques précédents, soit :
-"
x =x"
(12x
=
"s2x
ce qui est normal pour les parametres ne dépendent que de x, puisque c'est pour cette variable
que la période d'observation est la plus longue : on n'a donc rien à attendre des observations
faites sur v. Par contre :
"'
Y = Yk
kSy
krrv
( -
(111)
xJ
-Xk
kS",
â2"
=
kS2"
2
kr
xy
kSy
~
2
(
2
kSx
nSx2)
kSx
--;:; =
r'
"
kSy O'x
krxy-~,
kSx rr"
(133)
Il s'agit maintenant de savoir si ces nouvelles estimations de y et de (Jy améliorent Ia
connaissancede cesDarametresDar raDDort aux estimations par Yk et kSv.Pour ce faire, iI faut
48
HYDROLOGIE
étudier les lois de distribution
DE
SURFACE
des estimations y etâ2y. Le probleme a été traité par R. VÉRON
( Direction des Études et Recherches d' É/ectricité
"'
"'
moyenne de y = E(y) = y
-
var (j,) = E(j;
)
2
(12
y
de France -Hydr%gie)
.On trouve :
(134)
I
=~J
p2)
1.- )
(135)
\
2
moyenne
0"2y =
E(0"\)
=
~
~ k
k
(comprise
var
;;:2
=
E
y
(â2
y
-a2 )
y
I
entre
k-l
-0"2y
ct
k
0"2y)
4
=a
-L
[ A'
In2
+
B'
( 1
kl
p2) + C'(1
p2)21
avec
k
C' = k(n
k) ~ (k
2) (n
k +4)
4
3 [4k + (n
k.
2k.
k(n
k
+
2)
(k-6)
<k=3)---rk=55
k) (k
2)]
+
(k-8)
(138)
Pour l'étude de la moyenne, y, on dispose de deux estimateurs Yk et Y. Le probleme de
savoir si la prise en com1Jtedesn -k observations supplémentairesde x améliore la connaissance
"'
de y se ramene à l'étude de l'efficacité relative deyk et de -:ydéfiniepar E= ~,
soit, d'apres
.var
Yk
les calculs effectuésci-dessus :
E=
+ (1
~)
n
[ 1-
(k-2)
k-3
e~
]
2
a y
"
Pour que Ia moyenne Yk' dériyée de k' ob3eryations ait une yariance éga1eà 0,415 -,
11
10
2
2
faudrait que ~ = 0,415 ~ d'ou k' = 24,1. Autrement dit, la prise en compte des 40 yaleurs
de x permet de déterminer y ayec Ia même précision que si l'on ayait eu 24 yaleurs de cette
yariable obseryéesdirectement au lieu de 10. L 'interyalle de confiance à 95% s'en trouye notab1ement resserré.
Pour Ia yariance, Ia comparaison en efficacité des estimateurs~2y et kS2yest plus difficile
du fait des distorsions qu'ils comportent et à cause de Ia complexité de l'expression de Ia
yariance aléatoire de~y2. On se contentera en général de conserver l'estimation non biaisée :
k
-"1 kS2y,sauf si O"\ se trouyait être supérieur à cette expression. Cette erreur systématiQue
~
~
STAnSnQUE
49
ET CALCUL DES PROBABILlTÉS EN HYDROLOGIE
sur l'estimation de Ia variance -;:2yest due à Ia méthode même d'extrapolation : en remplaçant
les n- k valeurs non observéesde y par des expressionstirées de l'équation de régression en
x de y, on i~troduit en fait des moyennes conditionnel1esqui, étant des moyennes, sont à priori
moins disperséesque les valeurs naturel1es.Il est donc normal que, si la véritable structure de
l'échantillon le plus grand est Ia même que celle de l'échantil1on restreint, on arrive pour
1'écart-type à une valeur plus faible.
E)
Régression quelconque à deux ou plusieurs variables
Xl' X2' ...Xn étant des variables indépendantes, on peut envisager entre ces variables
et une variable Y, une relation stochastique que l'on écrira Y = F(Xl' X2' ...Xn). Cette
relation ne sera pas exacte, c'est-à-dire que pour Xl'
Xn données, une valeur expérimentale
Yi de Y sera différente de la valeur F(X1, ...Xn) fournie par l'expression analytique ou par la
courbe traduisant la relation.
Les causesdes écarts entre valeurs calculées et valeurs observéespeuvent être de natures
diverses :
-erreurs de mesures(systématiquesou fortuites). On s'efforcera de corriger les prernieres
lors de l'étude critique. Les secondesse répartissent en général assezbien suivant une loi de
Gauss;
non intégration
de tous Ies facteurs conditionneIs
s'iI s'agit d'une forme F anaIytique, imperfection
de Y dans Ia forme F(Xl
de Ia représentation
.
Xn)
adoptée.
a) Méthode des moindres carrés.
Cette méthode est théoriquement Ia meilleure Iorsqu'on peut affirmer queles écarts aléatoires despoints empiriques à Ia courbe moyenne suivent une Ioi de Gauss. En fait, on I'utilise
généralementcomme donnant une bonne approximation sans se préoccuper de Ia Ioi de distribution des écarts. Elle consiste à rendre minimale Ia somme des carrés des différences entre
va1eursempiriques et valeurs théoriques.
EIle supposeque I'on connait Ia forme analytique de Ia relation 1iant Ia variable étudiée y
aux variables indépendantes Xl' ...Xn.
Si I'on croit pouvoir exprimer une grandeur physique Y en fonction d'autres grandeurs
X1.,X2, ...Xn par une relation :
Y
=
F(X1,
X2'
...Xn;
~,
C2'
Ck)
C1' C2' ...Ck, étant des parametres d'ajustement, dimensionneIs ou non, le maximum de vraisemblancesera obtenu si, en posant e:i = Yi -Fi,les
dérivées de ~e:i2par rapport aux différents parametres son( toutes nulles. On obtient en. définitive un systeme de Ic équations à k
inconnues permettant de calculer Ies valeurs de ~, ...Ck.
y i désignantIe chiffre trouvé pour une valeur quelconque:deY, Xli' ...X2;, Xni les valeurs
correspondantestrouvées pour les facteurs conditionneIs, on ale systeme :
=o
~Ci
~113~e:i2
1[1
"F/
.~Y/~=~F/~
"F/
50
HYDROLOGm
DE
SURFACE
les sommes s'étendant à l'ensemble des valeurs expérimentales trouvées pour chacun des Y,
Xl' X2' ...Xn etj variant de 1 à.k. (142)représente doncunsystemedekéquations
àkinconnues
permettant en principe de calcu1er ~, C2' ...Ck.
Appliquons
Ia formule (142) à un cas tres simple : relation linéaire à une variable :
V=aX+h
On a immédiatement
~(aXI
}::;x,y
}:;y/
d'ou, N étant le nombre
+ h) XI
= }:;(aXl
+ h)
(144)
de couples (Xi, Y;) :
a =
N~XiYI.
N~XI2
-~Xi~Yi
(145)
-(~Xi)2
b = ~Xi2~yiN}::Xf
~Xi~XiY,
-(~X;)2
Dans le cas général d'une relation polynôrnale de d(gré n, à un stul fact(ur conditionn{}
on peut écrire :
+ kx"
v=a+bx+cx2+
(147)
et les coefficients sont donnés par le systemelinéaire
Na + (~Xi)
b
(~Xj2)
C
a + (~Xj2)
b
(~Xj3)
C
(~Xi2) a + (~Xj3)
b
(~Xi)
[(~Xjn)
a + (~Xjn+l)
(~X;4)
C
b + (~Xjn+2)
+ (~Xjn) k = ~yj
+
+ (~X,n+l) k =~Xjyj
+ (~Xin+2)k = ~Xj2yi
+
-1-
C
+ (~Xj2n)k = ~Xjnyj
L 'expression analytique est donc fort sirnple, mais Ies calcuIs nurnériques dcvienn(nt vite
irnpraticables Iorsque n croit. On ne peut pra.tiquern(nt dépasserIe 4e d(gré (n calculant à Ia
rnain sur une rnachine électrique d 'usagecourant. Au-delà, iI faut faire appel à Ia mécanographie.
Au cours de nos travaux, nous rencontrerons bien d'autr(s foIrnes analytiques dont Ia
résolution aIgébrique est tres cornpliquée, parfois rnêrneirnpossible. On peut alors toujours s'(n
tirer par une rnéthode d'approxirnations, parfois Iongue à appliquer, mais toujours sirnple.
Reprenons en effet I'expression générale (140) :
Y = F(X1, X2'
, Xn, C1,
Ck)
-On
se donne une valeur pour chacun des coefficients C.
-On
calcule }::;e:i2= (Yi- F;)2
-En
gardant C2. ...Ck constants. on fait vaI.ier ~. en calculant chaque fois: le }:e:i2
correspondant.
-On porte sur un graphique }:;e:i2en fonction 'de C1, et en déterrnine le minimurn auquel
correspond une valeur de ~ que I.on adopte provisoirement.
-On
fait la même chose pour, C2.
C/I. Puis on revient à C1. ...jusqu .à ce que les
valeurs trouvées pour les }:;e:i2soient pratiquernent constantes.
STATISTIQUE
ET CALCUL
DES PROBABILlTÉS
EN HYDROLOGIE
51
Pourvu que la fonction soit continue, les valeurs de ~ Ei2 convergent nécessairementvers
une limite inférieure. Même pour des cas parfaitement solubles algébriquement, il peut être
avantageux de procéder ainsi.
Si 1;:systemerésolutif seprésentesousforme de deux équations implicites à deux inconnues,
on utilisera une méthode graphique.
b) Méthodes
des déviotion.'i
résiduelles.
Considéronsune variable Y dépendant de n variables Xl' ...Xn. On supposera,ce qui est
souvent réalisé en pratiqu~, que l'on peut classer les X par ordre d'importance, c'est-à-dire
suivant leur influence plus ou moins grande sur la variable dépendante Y, et que cet ordre
correspond précisément aux indices 1, 2, ...n.
Pour simplifier les écritures, nous supposeronsque Y dépend de 3 variables seulement. On peut exprimer Y par Xi, facteur conditionnel
le plus important, au moyen d'une relation :
y = f(XJ
f}.1 y
Ll1 Y représente l'écart résiduel subsistant apres l'ajustement graphique d'une courbe
Y = f(XJ, fait à partir d~ n couples observés (Yi, X1;). Comme on sait qu'il existe d'autres
facteurs conditionn~ls de la grandeur physique Y, il est raisonnable supposer qu'une partie
au moins deLl1 est due à l'influence de X2 et Xs' et d'écrire :
~1 y = f(X2)
Ll2Y
!(Xa)
Ll2Y
+ ÂY
D'apre31'hypothese de départ, l'écart résiduel ~y ne peut être imputé à l'existence d'un
autre facteur conditionnel. Il provient donc, soit d'un mauvais tracé de Ia premiere courbe.
y = f(XJ soit d'erreurs de mesures à caractere aléatoire, soit de facteurs conditionnels non
envisag~3;il est po3sible d~ remédier à Ia premiere de ces causes de dispersion en retouchant
Ia courbe y = f(XJ, puis ~1y = f(X2) etc. On se contente en général' de deux approximations. En pratique, on opere de Ia façon suivante :
Premiere approximation
On porte sur un graphique tous les couples (Yi, X1Í) : Yen ordonnées et X1 en absciss(s.
Une courbe est adaptée graphiquement au nuage de points : c'est Ia courbe de premiere approximation représentant Y = f(XJ. Pour chaque point d .observation on observe une déviation
~1Í Y = Y i -f(X1Í) qui est reportée en ordonnées sur une autre graphique d 'abscissesX2.
On ajuste graphiquement une courb~ au nouveau nuage obtenu et on note Ies nouvelles
déviations Ll2i Y qui font I.objet d'un troisieme graphi:Jue d.abscisses~. On obtient alors Ies
déviations ~Y.
Deuxie111e
approxi111afion
:
Les déviations L\iY du troisieme graphique sont considérées comme provenant en grande
partie d'un ajustement déficient de Ia courb~ Y =f(XJ
t.racéeen premiere app..oximation.
On porte donc pour chaque point, dans un plan (Y, XJ, les déviations L\i Y à i)artir de Ia
premiere courb~ Y = f(XJ. Une nouve1lecourbe Y = f(XJ est.alors ajustée gra"hiquement
au nouveau nuage de points ainsi obtenu. Les déviations résidue1lesobservéesservent à corriger
Ia Ire courb~ L\l Y = f(X2), etc.
52
HYDROLOGIE
DE SURFACB
Finalement, Ia grandeur physique Y est estimée par la relation
Y = r(xJ
+ f' (X2) + f' (X3)
les valeurs des différçntes fonctions F étant prises sur les graphiques correspondant respectivement aux variables indépendantes Xl' X2 et X3.
On notera que l'app1ication de cette méthode n'exige aucune hypothese sur la forme
analytique de la régression. Elle:est de ce fait beaucoup plus générale que Ia méthode des
moindres carrés.
Il existe d'autres méthodes pour l'étude des corrélations multiples; citons en particu1ier
la méthode coaxiale, purement graphique. Lorsque les régressions sont linéaires, par exemp.le
dans .le cas de distributions marginales gaussiennes,on a parfois intérêt à calculer directement
les parametres de ces régressions, surtout si l'on s'intéresse à l'intensité des liaisons.
6.
NOTIONS D'ÉCHANTILLONNAGE
AV HASARD
L 'échantillonnage au hasard est en quelque sorte l'opération inverse de l'analyse statistique. Il consiste à construire un échantillon dont la structure correspond à une loi de probabilité donnée. C'est une technique parfois utilisée dans les applications de l'hydrologie,
notamment pour rendre compte de l'exploitation d'un aménagement au cours d'une période
de durée nettement supérieure à celle des observations. Pour la mettre en pratique, on peut
procéder par tirages au sort sur un échantillon type constitué à partir de la loi théorique
proposée.
On préfere en général utiliser les tables de nombres au hasard, établies d'apres des techniques fort difiêrentes suivant les auteurs. Ces tables fournissent des collections de nombres
dont la structure statistique correspond à une distribution uniforme, c'est-à-dire à une densité
de probabilité constante, pour une v .a. variant. de O à 1: les chiffres consignés dans les tables
.représentent donc des décimales de la v .a. et on en retient le nombre suffisant à la précision
désirée.
L'utilisation des tables de nombre~ au hasard fait appel à Ia notion d'anamorphose :
transformation d 'une loi de répartition F(x) en une autre loi quelconque G(x) par un changement
de variable approprié. Dans le cas qui nous intéresse l'anamorphose est rectangulaire, c'est-àdire que l'on prend pour variable auxiliaire (à introduire dans les tables), y = F(x); on vérifie
aisément que y varie bien de O à 1 avec une densité de probabilité constante.
La constitution d 'un échantillon au hasard est donc tres simple. On se fixe arbitrairement
un point de départ sur la table et on lit les chiffres en suivant dans un ordre quelconque. Si
on désire, par exemple, retenir 4 décimales,qn découpe dans la suite obtenue des groupes de
4 chiffres. Pour chaque nombre y ainsi obtenu, on détermine la valeur de x d 'apres la relation
y = F(x).
Bibliographie
EZEK{EL Mordxai.
KENDALL
M.G.
-Methods
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MORICE E. et CHARTIER
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de l'I.N.S.E.E.
-Imprimerie
STATISTIQUE ET CALCUL DES PROBABILlTÉS EN HYDROLOGIE
53
BARLOW.-Tables des carrés, cubes,racines carrées, racines cubiques et inverses de tous les
nombresentiersde 1jusqu'à10 000. -Librairie
Polytechnique Ch. Béranger, Paris et Liege.
BOLL Marcel. -Tables numériquesuniverselles.-Dunod,
Paris.
On y trouvera notamment des tables assezcompletes concemant la fonction r et sa dérivée
logarithmique, les logarithmes naturels, etc.
Centre de formation aux applications industrielles de la statistique. -Tables statistiques. Institut de statistique de l'Université de Paris.
Donnent, sous une forme condensée,dans un manuel particulierement. maniable, Ia plupart des tables correspondant aux fonctions de répartition usuelles et aux tests les plus
courants.
FlSCHERand Y ATES.-Statistical
Tables for biological agricultural and medical research.Oliver and Boyd, Londres.
Cestables comportent entre autres une série importante de nombres au hasard.
HAYASHIKeiichi. -Fiinfstellige
Tafeln der Kreis-und Hyperbelfunktionen. -Walter
de
Gruyter & Co, Berlin.
Tres utiles pour les fonctions exponentielles.
PEARSON
K. -Tables of the incomplete r function. University Press, Carnbridge.
Indispensablespour l'application de la loi III dePearson.