NYA XXI - Chapitre 3.1b

Chapitre 3.1b – Le travail d’une force non-constante
Travail et aire sous la courbe
Le travail W est le résultat du produit d’une force F avec un déplacement s. Puisque la force
peut ne pas être constante tout au long du déplacement, elle doit se doit d’être une fonction
de la position ( F = F ( x ) ). Ainsi, le travail correspond à l’aire sous la courbe de la force
en fonction de la position.
Situation
v
v
Force F constante sur le déplacement s .
v
F
Graphique
Fx (N )
F cos(θ )
θ
W
xi
s
s
xf
x(m )
Travail d’une force constante :
v v
W = F ⋅ s = F s cos(θ )
où
v
W : Le travail effectué par la force F (J)
F : Module de la force qui effectue le travail (N)
s : Déplacement sur laquelle la force est appliquée (m)
( s = x f − xi )
θ : Angle entre l’orientation de la force et le déplacement
( Fx = F cos(θ ) )
Lorsque la force n’est pas constante, l’équation précédente n’est plus valide et le calcul de
l’aire sous la courbe devient nécessaire. Pour ce faire, il suffit de couper la surface W en
petits rectangles de travail dW et additionner le tout à vl’aide d’une intégrale. Le travail
infinitésimal dW correspond au travail de la force F effectué sur un déplacement
v
infinitésimal ds .
Équation de base :
Équation vectorielle :
v v
( dW = F ⋅ ds )
W = ∫ dW
v v
W = ∫ F ⋅ ds
Équation selon l’axe x :
( d W = Fx d x )
xf
W =
∫F
x
dx
x = xi
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 1
Situation 1 : Le signe du travail. Une
particule peut se déplacer sur une surface
horizontale sans frottement orientée le long
d’un axe x. Elle est soumise à une force
horizontale qui varie en fonction de la
position selon ce qui est indiqué sur le
graphique ci-contre. On désire déterminer
le travail effectué par la force sur la
particule lorsqu’elle se déplace (a) de
xi = 1 m à x f = 2 m ; (b) de xi = 2 m à
Fx (N)
4
0
x (m)
–4
1
xf =1 m .
2
Aire sous la courbe à évaluer :
Fx (N)
4
i
ii iii
0
iv
x (m)
–4
1
Aire d’un carreau :
2
2 N × 0,2 m = 0,4 J
⇒
Wi = 0,1 J
Aire ii : 1 carreau = 0,4 J
⇒
Wii = 0,4 J
Aire iii : ½ de 3 carreaux = 0,6 J
⇒
Wiii = 0,6 J
Aire iv : ¼ carreau = 0,1 J
⇒
Wiv = −0,1 J (Aire sous la courbe négative)
Aire i
(a)
: ¼ de carreau = 0,1 J
Travail de xi = 1 m à x f = 2 m
W1→2 = ∑ W = Wi + Wii + Wiii + Wiv = (0,1) + (0,4) + (0,6) + (− 0,1)
(b)
⇒
W1→2 = 1 J
⇒
W2→1 = −1 J
Travail de xi = 2 m à x f = 1 m
W2→1 = −∑ W = −(Wi + Wii + Wiii + Wiv ) = −(0,1) − (0,4) − (0,6) − (− 0,1)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Le théorème de l’énergie cinétique par l’intégrale
À l’aide du calcul différentiel, nous pouvons définir le théorème de l’énergie cinétique de la
façon suivante lorsqu’une force F est appliquée sur un déplacement le long de l’axe x selon
un angle θ par rapport à l’axe x :
W = ∆K
où
W : Travail effectué sur l’objet par la force F (J).
∆K : Variation de l’énergie cinétique de l’objet (J).
Preuve :
v
Appliquons le calcul du travail effectué par une force F long de l’axe x entre la position xi
et x f à partir de la 2ième loi de Newton :
∑ F = ma
⇒
F cos(θ ) = ma cos(θ )
v
(Multiplier par cos(θ ) , θ : Angle entre F et l’axe x)
⇒
F cos(θ ) = ma x
(Projection sur l’axe x, a x = a cos(θ ) )
⇒
F cos(θ ) = m
⇒
⇒
⇒
dv x
dt
dv dx
F cos(θ ) = m x
dt dx
dv
F cos (θ ) = m x v x
dx
vx
∫ F cos(θ )dx =
x = xi
(Remplace v x = dx / dt )
W =
(Multiplier par dx )
f
∫ m v dv
x
x
(Intégrale avec borne : xi à x f
xf
f
∫ m v dv
x
x
(Remplacer W =
v =vx i
vx
⇒
et v x i à v x f )
v =v x i
vx
⇒
(Multiplie par 1, 1 = dx / dx )
F cos(θ ) dx = m v x dv x
xf
⇒
(Reformulation de l’accélération, a x = dv x / dt )
W =m
∫ F cos(θ ) dx )
x = xi
f
∫v
x
dv x
(Factoriser la constante m l’intégrale)
v =v x i
vx
⇒
v 2 
W = m x 
 2  v x i
⇒
W =
⇒
W = ∆K
f
1
1
2
2
mv x f − mv x i
2
2
■
(Résoudre l’intégrale :
n
∫ x dx =
x n +1
)
n +1
(Évaluer l’intégrale)
1
(Remplacer K = mv 2 et ∆K = K f − K i )
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Situation A : Le freinage de la locomotive. Une locomotive de
40 tonnes (1 tonne = 1000 kg) roulant à 15 m/s (54 km/h) doit
s’immobiliser à une gare. La locomotive est munie de deux
systèmes de freinage : l’un efficace à faible vitesse et l’autre
efficace à grande vitesse. Mathématiquement, la force du
freinage est exprimée de la façon suivante en newtons en fonction de la position en
mètres : Fx = −200 x − 5 x 3 . On désire évaluer la distance de freinage de la locomotive.
Évaluons la variation de l’énergie cinétique de la locomotive :
∆K = K f − K i
⇒
⇒
⇒
⇒
1
(Remplacer K = mv 2 )
2
1
1
2
2
∆K =  mv f  −  mvi 
2
 2

1
2
∆K = − mvi
2
1
2
∆K = − 40 × 10 3 (15)
2
(
(Remplacer v f = 0 )
)
(Remplacer valeurs num.)
∆K = −4,5 × 10 6 J
(Calcul)
Évaluons l’expression du travail effectué par le système de freinage sur une distance s
indéterminée. Utilisons l’expression du travail W à l’aide de l’intégrale selon l’axe x :
xf
W =
xf
∫F
x
dx
⇒
W =
x = xi
∫ (− 200 x − 5 x )dx
3
(Remplacer Fx = −200 x − 5 x 3 )
x = xi
s
⇒
W =
∫ (− 200 x − 5 x )dx
3
(Borne : xi = 0 → x f = s )
x =0
⇒
s
s
x =0
x=0
W = −200 ∫ x dx − 5 ∫ x 3 dx
s
(Distribuer intégrale, factoriser const.)
s
⇒
 x2 
 x4 
W = −200   − 5 
 2 0
 4 0
(Résoudre l’intégrale)
⇒
 s2
  s4

W = −200 − 0  − 5 − 0 
 2
  4

(Évaluer l’intégrale)
⇒
W = −100 s 2 − 1,25 s 4
(Simplifier)
À partir du théorème de l’énergie cinétique, évaluons le déplacement s requis pour
immobiliser la locomotive :
W = ∆K
⇒
(− 100 s
⇒
1,25 s 4 + 100 s 2 − 4,5 × 10 6 = 0
(Réécriture)
⇒
1,25Y 2 + 100Y − 4,5 × 10 6 = 0
(Remplacer Y = s 2 )
2
) (
− 1,25 s 4 = − 4,5 × 10 6
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)
(Remplacer W et ∆K )
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Évaluons la solution au polynôme du 2ième degré :
− (100 ) ±
(100 )2
− b ± b 2 − 4 ac
Y=
⇒
2a
Y=
⇒
Y=
⇒
Y = {− 1938 , 1858}
(
− 4(1, 25 ) − 4,5 × 10 6
2(1, 25 )
− 100 ± 2, 251 × 10 7
2,5
) (Remplacer a,b et c)
(Simplifier)
(Solutions de Y)
Évaluons la distance s à partir de la relation entre Y et s :
Y = s2
⇒
s= Y
⇒
s=
⇒
s = {− 44,02 i , 44,02i , − 43,10 , 43,10}
(Solutions de s, i = − 1 )
⇒
s = 43,10 m
(Solution réelle et positive)
{− 1938 , 1858}
(Isoler s)
(Remplacer Y)
Exercice
3.1.X Forcer au cube. Un mobile contraint de se déplacer le long d’un axe x subit une
force donnée par Fx = −5x 3 , où Fx est en newtons et x est en mètres. (a) Déterminez la
formule qui permet de calculer le travail effectué par la force sur le mobile lorsque ce
dernier se déplace de la position initiale xi à la position x f . (b) Que vaut ce travail si le
mobile se déplace de xi = 2 m à x f = −1,5 m .
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Solution
3.1.X Forcer au cube.
a)
Avec la définition du travail
v
v
Force :
F = −5 x 3 i N
v
v
Déplacement :
ds = dx i m
Borne de l’intégrale : x = xi à x = x f
v v
W = ∫ F ⋅ ds
xf
⇒
W =
v
v
∫ F ⋅ dx
(Déplacement selon l’axe x de xi à xf)
x = xi
xf
⇒
W =
(∫ − 5x iv )⋅ (dx iv )
3
v
v
v
v
(Remplacer F = −5 x 3 i et dx = dx i )
x = xi
xf
⇒
W=
∫ − 5x
v v
dx (i ⋅ i )
(Isoler le produit scalaire)
3
dx
(Calculer i ⋅ i = 1 )
3
dx
(Sortir la constante de l’intégrale)
3
x = xi
xf
⇒
W =
∫ − 5x
x = xi
xf
⇒
W = −5
∫x
x = xi
(b)
Travail de xi = 2 m à x f = −1,5 m
−1, 5
−1, 5
W = −5
∫
3
x dx
⇒
 x4 
W = −5 
 4 2
⇒
 (− 1,5)4 (2)4 

W = −5
−

4
4


⇒
W = −5(− 2,73)
⇒
W = 13,67 J
x =2
N.B.
Le travail est positif, car la force (direction –x) est dans le même sens que le
déplacement (direction –x)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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