NYA XXI - Chapitre 3.1b

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 3.1b – Le travail d’une force non-constante
Travail et aire sous la courbe
Le travail W est le résultat du produit d’une force F avec un déplacement s. Puisque la force
peut ne pas être constante tout au long du déplacement, elle doit se doit d’être une fonction
de la position (
(
)
xFF = ). Ainsi, le travail correspond à l’aire sous la courbe de la force
en fonction de la position.
Situation
Force
F
v
constante sur le déplacement
s
v
. Graphique
F
v
θ
s
(
)
mx
i
x
f
x
s
W
(
)
N
x
F
(
)
θ cos F
Travail d’une force constante :
(
)
θ cossFsFW =⋅=
v
v
où W : Le travail effectué par la force
F
v
(J)
F
: Module de la force qui effectue le travail (N)
s
: Déplacement sur laquelle la force est appliquée (m) (
if
xxs −= )
θ
: Angle entre l’orientation de la force et le déplacement (
(
)
θ cos FF
x
=)
Lorsque la force n’est pas constante, l’équation précédente n’est plus valide et le calcul de
l’aire sous la courbe devient nécessaire. Pour ce faire, il suffit de couper la surface W en
petits rectangles de travail d W et additionner le tout à l’aide d’une intégrale. Le travail
infinitésimal d W correspond au travail de la force
F
v
effectué sur un déplacement
infinitésimal s
v
d .
Équation de base :
∫
=WW d
Équation vectorielle :
( sFW
v
v
dd ⋅= )
∫
⋅= sFW
v
v
d
Équation selon l’axe x :
( xFW
x
dd =)
∫
=
=
f
i
x
xx
x
xFW d

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 1
:
Le signe du travail
.
Une
particule peut se déplacer sur une surface
horizontale sans frottement orientée le long
d’un axe x. Elle est soumise à une force
horizontale qui varie en fonction de la
position selon ce qui est indiqué sur le
graphique ci-contre. On désire déterminer
le travail effectué par la force sur la
particule lorsqu’elle se déplace (a) de
m1=
i
xà m2=
f
x ; (b) de m2=
i
xà
m1=
f
x .
x
F
(N)
x
(m)
1 2
4
0
–
4
Aire sous la courbe à évaluer :
x
F
(N)
x
(m)
1 2
4
0
–
4
i
iii
iv
ii
Aire d’un carreau : J4,0m2,0N2 =×
Aire i : ¼ de carreau = 0,1 J
⇒
J1,0=
i
W
Aire ii : 1 carreau = 0,4 J
⇒
J4,0=
ii
W
Aire iii : ½ de 3 carreaux = 0,6 J
⇒
J6,0=
iii
W
Aire iv : ¼ carreau = 0,1 J
⇒
J1,0−=
iv
W (Aire sous la courbe négative)
(a) Travail de m1=
i
xà m2=
f
x
(
)
(
)
(
)
(
)
1,06,04,01,0
21
−+++=+++==
∑
→iviiiiii
WWWWWW
⇒
J1
21
=
→
W
(b) Travail de m2=
i
xà m1=
f
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1,06,04,01,0
12
−−−−−=+++−=−=
∑
→ iviiiiii
WWWWWW
⇒
J1
12
−=
→
W

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Le théorème de l’énergie cinétique par l’intégrale
À l’aide du calcul différentiel, nous pouvons définir le théorème de l’énergie cinétique de la
façon suivante lorsqu’une force F est appliquée sur un déplacement le long de l’axe x selon
un angle θ par rapport à l’axe x :
KW
∆
=
où W : Travail effectué sur l’objet par la force F (J).
K
∆
: Variation de l’énergie cinétique de l’objet (J).
Preuve :
Appliquons le calcul du travail effectué par une force
F
v
long de l’axe x entre la position
i
x
et
f
x à partir de la 2
ième
loi de Newton :
maF =
∑
⇒
(
)
(
)
θθ coscos maF = (Multiplier par
(
)
θ cos ,
θ
: Angle entre
F
v
et l’axe x)
⇒
(
)
x
maF = θ cos (Projection sur l’axe x,
(
)
θ cosaa
x
=)
⇒
( )
t
v
mF
x
d
d
cos = θ (Reformulation de l’accélération, tva
xx
d/d= )
⇒
( )
x
x
t
v
mF
x
d
d
d
d
cos = θ (Multiplie par 1, xx d/d1
=
)
⇒
( )
x
x
v
x
v
mF
d
d
cos = θ (Remplace txv
x
d/d = )
⇒
(
)
xx
vvmxF ddcos
=
θ
(Multiplier par dx )
⇒
( )
∫∫
==
=
fx
ix
f
i
v
vv
xx
x
xx
vvmxF ddcos θ (Intégrale avec borne : i x à f x et ix v à fx v)
⇒
∫
=
=
fx
ix
v
vv
xx
vvmW d (Remplacer ( )
∫
=
=
f
i
x
xx
xFW dcos θ
)
⇒
∫
=
=
fx
ix
v
vv
xx
vvmW d (Factoriser la constante m l’intégrale)
⇒
fx
ix
v
v
x
v
mW  =2
2
(Résoudre l’intégrale :
1
d
1
+
=
+
∫
n
x
xx
n
n
)
⇒
22
2
1
2
1
ixfx
mvmvW −= (Évaluer l’intégrale)
⇒
KW
∆
=
■ (Remplacer
2
2
1mvK = et
if
KKK −=∆ )

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Situation A : Le freinage de la locomotive. Une locomotive de
40 tonnes (1 tonne = 1000 kg) roulant à 15 m/s (54 km/h) doit
s’immobiliser à une gare. La locomotive est munie de deux
systèmes de freinage : l’un efficace à faible vitesse et l’autre
efficace à grande vitesse. Mathématiquement, la force du
freinage est exprimée de la façon suivante en newtons en fonction de la position en
mètres :
3
5200 xxF
x
−−= . On désire évaluer la distance de freinage de la locomotive.
Évaluons la variation de l’énergie cinétique de la locomotive :
if
KKK −=∆
⇒
− =∆
22
2
1
2
1
if
mvmvK (Remplacer
2
2
1mvK =)
⇒
2
2
1
i
mvK −=∆ (Remplacer 0=
f
v)
⇒
(
)
( )
2
3
151040
2
1×−=∆K (Remplacer valeurs num.)
⇒
J105,4
6
×−=∆K (Calcul)
Évaluons l’expression du travail effectué par le système de freinage sur une distance s
indéterminée. Utilisons l’expression du travail W à l’aide de l’intégrale selon l’axe x :
∫
=
=
f
i
x
xx
x
xFW d
⇒
( )
∫
=
−−=
f
i
x
xx
xxxW d5200
3
(Remplacer
3
5200 xxF
x
−−= )
⇒
( )
∫
=
−−=
s
x
xxxW
0
3
d5200 (Borne : sxx
fi
=→= 0 )
⇒
∫∫
==
−−=
s
x
s
x
xxxxW
0
3
0
d5d200 (Distribuer intégrale, factoriser const.)
⇒
ss
xx
W
0
4
0
2
4
5
2
200  − −=
(Résoudre l’intégrale)
⇒
−− −−= 0
4
50
2
200
42
ss
W (Évaluer l’intégrale)
⇒
42
25,1100 ssW −−= (Simplifier)
À partir du théorème de l’énergie cinétique, évaluons le déplacement s requis pour
immobiliser la locomotive :
KW
∆
=
⇒
(
)
(
)
642
105,425,1100 ×−=−− ss (Remplacer W et
K
∆
)
⇒
0105,410025,1
624
=×−+ ss (Réécriture)
⇒
0105,410025,1
62
=×−+ YY (Remplacer
2
sY =)

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Évaluons la solution au polynôme du 2
ième
degré :
a
acbb
Y
2
4
2
−±−
=
⇒
( ) ( ) ( )
(
)
( )
25,12
105,425,14100100
6
2
×−−±−
=Y(Remplacer a,b et c)
⇒
5,2
10251,2100
7
×±−
=Y (Simplifier)
⇒
{
}
1858,1938−= Y (Solutions de Y)
Évaluons la distance s à partir de la relation entre Y et s :
2
sY =
⇒
Ys = (Isoler s)
⇒
{
}
1858,1938−= s (Remplacer Y)
⇒
{
}
10,43,10,43,02,44,02,44 −−= iis (Solutions de s, 1−= i )
⇒
m10,43=s (Solution réelle et positive)
Exercice
3.1.X Forcer au cube. Un mobile contraint de se déplacer le long d’un axe x subit une
force donnée par
3
5xF
x
−= , où
x
F est en newtons et x est en mètres. (a) Déterminez la
formule qui permet de calculer le travail effectué par la force sur le mobile lorsque ce
dernier se déplace de la position initiale
i
x à la position
f
x. (b) Que vaut ce travail si le
mobile se déplace de m2=
i
xà m5,1−=
f
x .