Chapitre 1.8a – Le MUA à plusieurs paliers

Chapitre 1.8a – Le MUA à plusieurs paliers
Mouvement uniformément accéléré à plusieurs paliers
Les équations du MUA nous permettent de déterminer la position x et la vitesse v x en
fonction du temps t. L’accélération a x quant à elle doit être constante.
Si l’accélération n’est pas constante, mais varie brusquement d’une valeur constante à une
autre valeur constante, nous pouvons décomposer l’ensemble du mouvement en plusieurs
paliers à accélération constante :
Il faudra découper le problème en plusieurs étapes et définir une position initiale x0
et une vitesse initiale v x 0 pour chaque accélération a x .
Pour relier les paliers, la position et la vitesse finale d’un palier deviendront alors la
position et la vitesse initiale du palier suivant.
Exemple :
Une auto accélère à un rythme de 5 m/s 2 , freine légèrement à 2 m/s 2 et continue à
vitesse constante.
1
x = x0 + v x 0 t + a x t 2
2
(
a x m/s 2
)
vx = vx 0 + axt
ax > 0
ax = 0
ax < 0
t (s )
1
x = x0 + v x 0 t + a x t 2
2
vx = vx 0 + axt
x = x0 + v x 0 t +
MUA
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
1
axt 2
2
v x = vx0 + a x t
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Situation 1 : Entre deux arrêts. Un autobus se déplace en ligne droite entre deux arrêts
espacés de 210 m. Au démarrage, il prend 3 secondes pour atteindre sa vitesse maximale
de 54 km/h. Il roule ensuite à vitesse constante, puis, à la fin de sa course, il prend
5 secondes pour s’arrêter. Lors des phases de démarrage et de freinage, on suppose que sa
vitesse en fonction du temps change à un taux constant. On désire déterminer, à l’aide du
graphique v x (t ) , pendant combien de temps l’autobus a roulé à vitesse constante.
Évaluons notre vitesse en m/s :
v x = 54 km/h
km 1000 1 h
1 min
∗
∗
∗
h
k
60min 60 sec
⇒
v x = 54
⇒
v x = 15 m/s
Voici la représentation graphique de la vitesse v x en fonction du temps de l’autobus pour
les trois accélérations a x différentes :
vx (m/s)
Déplacement total :
15
∆x = 210 m
i
ii
3s
T
0
iii
5s
t
Évaluons l’aire sous la courbe du graphique pour les régions i, ii et iii :
Aire d’un triangle
∆xi =
1
2
(3 ∗ 15) = 22,5
m
Aire d’un rectangle
∆xii = (T ∗ 15) = 15T
Aire d’un triangle
∆xiii =
1
2
(5 ∗ 15) = 37,5
m
Évaluons le temps T à partir de l’aire sous la courbe et du déplacement total ∆x :
∆x = ∆xi + ∆xii + ∆xiii
⇒
∆x = (22,5) + (15T ) + (37,5)
(Remplacer ∆xi , ∆xii et ∆xiii )
⇒
∆x = 60 + 15T
(Simplifier)
⇒
(210) = 60 + 15T
(Remplacer ∆x = 210 )
⇒
T = 10 s
(Isoler T)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Exercices
Exercice X : Un 200 m. Sur un parcours de 200 m, une voiture initialement immobile
accélère à 3 m/s 2 sur les premiers 100 m puis freine à 2 m/s 2 sur le reste du parcours. (a)
Combien de temps dure le trajet? (b) Quelle est la vitesse de la voiture à la fin du parcours?
1.8.9 C’est un départ. Une voiture démarre, accélère à 4 m/s 2 pendant un certain temps,
puis roule à la vitesse constante v xC . Si 10 secondes après son départ, la voiture a parcouru
128 m, que vaut v xC ?
Solutions
Exercice X : Un 200 m.
Accélération :
Freinage :
a x (1) = 3 m/s 2
a x (2 ) = −2 m/s 2
v x 0(1) = 0 m/s
v x 0(2 ) = v x (1) = v
v x (1) = v
v x (2 ) = ?
x0(1) = 0 m
x0(2 ) = 100 m
x(1) = 100 m
x(2 ) = 200 m
t (1) = ?
t (2 ) = ?
(selon les chiffres, il va se rendre!!!)
1er mouvement : trouver la vitesse finale :
v x (1) = v x 0(1) + 2a x (1) (x(1) − x0(1) )
2
2
⇒
(v )2 = (0)2 + 2(3)((100) − (0))
⇒
⇒
v 2 = 600
v = ± 24,5
⇒
v = 24,5 m/s (acc. positive)
1er mouvement : trouver le temps de parcours :
v x (1) = v x 0(1) + a x (1)t (1)
⇒
(24,5) = (0) + (3)t (1)
⇒
3t (1) = 24,5
⇒
t (1) = 8,17 s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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2ième mouvement : trouver le temps de parcours :
x 0 ( 2 ) = x 0 ( 2 ) + v x 0 ( 2 )t ( 2 ) +
1
2
a x ( 2 )t ( 2 )
2
(200) = (100) + (24,5)t (2 ) + 1 (− 2 )t (2 ) 2
⇒
2
2
⇒
− t (2 ) + 24,5t (2 ) − 100 = 0
Nous avons une équation du 2ième degré à résoudre :
t (2 ) =
− b ± b 2 − 4ac
2a
⇒
t (2 ) =
⇒
t (2 ) =
⇒
t (2 )
− (24,5) ±
(24,5)2 − 4(− 1)(− 100)
2(− 1)
24,5 ± 200
2
= 5,18 , 19,3
{
}
Premier temps
⇒
t (2 ) = 5,18 s
2ième mouvement : trouver la vitesse finale :
v x ( 2 ) = v x 0 ( 2 ) + a x ( 2 )t ( 2 )
⇒
v x (2 ) = (24,5) + (− 2 )(5,18)
⇒
v x (2 ) = 14,1 m/s
Répondre aux questions :
(a)
Le temps de parcours est :
t = t (1) + t (2 ) = (8,17 ) + (5,18) = 13,35 s
(b)
La vitesse finale est :
v x (2 ) = 14,1 m/s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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1.8.9 C’est un départ.
Mouvement 1)
Mouvement 2)
a x (1) = 4 m/s 2
a x ( 2) = 0 m/s 2
v x 0(1) = 0 m/s
v x 0( 2) = v xC
v x (1) = v xC
v x ( 2) = v xC
x0(1) = 0 m
x0( 2 ) = D1 m
x(1) = D1
x( 2) = 128 m
t (1) = t1
t ( 2) = t 2
(accélération nulle)
Voici nos équations :
t (1) + t ( 2) = 10
x(1) = x0(1) + v x 0 (1) t (1) +
1
2
a x (1) t (1)
2
v x (1) = v x 0(1) + a x (1) t (1)
x( 2) = x0( 2 ) + v x 0( 2 ) t ( 2 ) +
1
2
a x ( 2) t ( 2)
2
⇒
t1 + t 2 = 10
⇒
D1 =
(eq2)
⇒
v xC
(eq3)
⇒
128 = D1 + v xC t 2
1
(4)t12 = 2 t1 2
2
= (4 )t1 = 4 t1
(eq1)
(eq4)
Nous avons 4 équations et 4 inconnus :
eq2 dans eq4
⇒
2
128 = 2t1 + v xC t 2
(eq5)
2
eq3 dans eq5
⇒
⇒
v 
128 = 2 xC  + v xC t 2
 4 
2
v
128 = xC + v xC t 2
8
(eq6)
2
eq1 dans eq6
⇒
⇒
v xC
+ v xC (10 − t1 )
8
2
v xC
128 =
+ 10v xC − v xC t1
8
128 =
(eq7)
2
eq3 dans eq7
⇒
⇒
⇒
v
v 
128 = xC + 10v xC − v xC  xC 
8
 4 
2
2
v xC
v xC
128 =
+ 10v xC −
8
4
2
0,125v xC − 10v xC + 128 = 0
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 5
Nous avons une équation du 2ième degré à résoudre :
v xC
− b ± b 2 − 4ac
=
2a
− (− 10 ) ±
⇒
v xC =
⇒
v xC =
10 ± 36
0,25
⇒
v xC =
10 ± 6
0,25
⇒
v xC = {16 , 64}
(− 10)2 − 4(0,125)(128)
2(0,125)
(Vitesses admissibles)
Puisque nous avons résolu une équation du 2ième ordre, les mathématiques ne tiennent pas
compte du signe de l’accélération. Nous garderons pour cette raison la vitesse de 16 m/s,
car elle est plus logique avec notre situation. Pour atteindre 64 m/s avec notre accélération,
il faut :
v
64
t= x =
vx = v x0 + a xt
⇒
= 16 s
ax
4
⇒
temps maximum est de 10 s, donc vitesse invalide.
Ainsi, nous avec une vitesse :
v xC = 16 m/s
Solution pour évaluer le temps d’accélération à l’aide de l’aire sous la courbe :
vx
vxC
vxC = 4u
ax = 4
∆xtotal = 128
10 − u
u
∆x = aire triangle + aire rectangle
t
4u ∗ u
+ (10 − u ) ∗ 4u
2
⇒
128 =
⇒
128 = 2u 2 + 40u − 4u 2
⇒
− 2u 2 + 40u − 128 = 0
⇒
u = { 4, 16 }
⇒
Choisir 4 s.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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