Chapitre 1.8a – Le MUA à plusieurs paliers

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 1.8a – Le MUA à plusieurs paliers
Mouvement uniformément accéléré à plusieurs paliers
Les équations du MUA nous permettent de déterminer la position x et la vitesse
x
v en
fonction du temps t. L’accélération
x
a quant à elle doit être constante.
Si l’accélération n’est pas constante, mais varie brusquement d’une valeur constante à une
autre valeur constante, nous pouvons décomposer l’ensemble du mouvement en plusieurs
paliers à accélération constante :
 Il faudra découper le problème en plusieurs étapes et définir une position initiale
0
x
et une vitesse initiale
0x
v pour chaque accélération
x
a.
 Pour relier les paliers, la position et la vitesse finale d’un palier deviendront alors la
position et la vitesse initiale du palier suivant.
Exemple :
Une auto accélère à un rythme de
2
m/s5 , freine légèrement à
2
m/s2 et continue à
vitesse constante .
(
)
st
a
x
> 0
a
x
< 0
a
x
= 0
tavv
tatvxx
xxx
xx
+=
++=
0
2
00
2
1
tavv
tatvxx
xxx
xx
+=
++=
0
2
00
2
1
tavv
tatvxx
xxx
xx
+=
++=
0
2
00
2
1
MUA
(
)
2
m/s
x
a

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation 1
:
Entre deux arrêts
.
Un autobus se déplace en ligne droite entre deux arrêts
espacés de 210 m. Au démarrage, il prend 3 secondes pour atteindre sa vitesse maximale
de 54 km/h. Il roule ensuite à vitesse
constante, puis, à la fin de sa course, il prend
5 secondes pour s’arrêter. Lors des phases de démarrage et de freinage, on suppose que sa
vitesse en fonction du temps change à un taux constant. On désire déterminer, à l’aide du
graphique
(
)
tv
x
, pendant combien de temps l’autobus a roulé à vitesse constante.
Évaluons notre vitesse en m/s :
km/h54=
x
v
⇒
sec
60
min1
min
60
h1
k
1000
h
km
54 ∗∗∗=
x
v
⇒
m/s15
=
x
v
Voici la représentation graphique de la vitesse
x
ven fonction du temps de l’autobus pour
les trois accélérations
x
a différentes :
Déplacement total :
m210=∆x
15
0
x
v (m/s)
t
3 s
T
5 s
i ii
iii
Évaluons l’aire sous la courbe du graphique pour les régions i, ii et iii :
Aire d’un triangle Aire d’un rectangle Aire d’un triangle
(
)
m5,22153
2
1
i
=∗=∆x
(
)
TTx 1515
ii
=∗=∆
(
)
m5,37155
2
1
iii
=∗=∆x
Évaluons le temps T à partir de l’aire sous la courbe et du déplacement total x
∆
:
iiiiii
xxxx ∆+∆+∆=∆
⇒
(
)
(
)
(
)
5,37155,22 ++=∆ Tx (Remplacer
i
x∆ ,
ii
x∆ et
iii
x∆ )
⇒
Tx 1560
+
=
∆
(Simplifier)
⇒
(
)
T1560210 += (Remplacer 210
=
∆
x)
⇒
s10=T (Isoler T)

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Exercices
Exercice X : Un 200 m. Sur un parcours de 200 m, une voiture initialement immobile
accélère à
2
m/s3 sur les premiers 100 m puis freine à
2
m/s2 sur le reste du parcours. (a)
Combien de temps dure le trajet? (b) Quelle est la vitesse de la voiture à la fin du parcours?
1.8.9 C’est un départ. Une voiture démarre, accélère à
2
m/s4 pendant un certain temps,
puis roule à la vitesse constante
xC
v. Si 10 secondes après son départ, la voiture a parcouru
128 m, que vaut
xC
v?
Solutions
Exercice X : Un 200 m.
Accélération : Freinage :
( )
2
1
m/s3=
x
a
( )
2
2
m/s2−=
x
a
( )
m/s0
10
=
x
v
( ) ( )
vvv
xx
==
120
( )
vv
x
=
1 ( )
?
2
=
x
v
( )
m0
10
=x
( )
m100
20
=x
( )
m100
1
=x
( )
m200
2
=x (selon les chiffres, il va se rendre!!!)
( )
?
1
=t
( )
?
2
=t
1
er
mouvement : trouver la vitesse finale :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
1011
2
10
2
1
2xxavv
xxx
−+=
⇒
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0100320
22
−+=v
⇒
600
2
=v
⇒
5,24±=v
⇒
m/s5,24=v (acc. positive)
1
er
mouvement : trouver le temps de parcours :
( ) ( ) ( ) ( ) 11101
tavv
xxx
+=
⇒
(
)
(
)
(
)
( ) 1
305,24 t+=
⇒
( )
5,243
1
=t
⇒
( )
s17,8
1
=t

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
2
ième
mouvement : trouver le temps de parcours :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
222202020
2
1tatvxx
xx
++=
⇒
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
22
2
2
1
5,24100200 tt −++=
⇒
( ) ( )
01005,24
2
2
2
=−+− tt
Nous avons une équation du 2
ième
degré à résoudre :
( )
a
acbb
t
2
4
2
2
−±−
=
⇒
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) 12
100145,245,24
2
2
−
−−−±−
=t
⇒
( )
2
2005,24
2
±
=t Premier temps
⇒
( )
{
}
3,19,18,5
2
=t
⇒
( )
s18,5
2
=t
2
ième
mouvement : trouver la vitesse finale :
( ) ( ) ( ) ( ) 22202
tavv
xxx
+=
⇒
( )
(
)
(
)
(
)
18,525,24
2
−+=
x
v
⇒
( )
m/s1,14
2
=
x
v
Répondre aux questions :
(a) Le temps de parcours est :
( ) ( )
(
)
(
)
s35,1318,517,8
21
=+=+= ttt
(b) La vitesse finale est :
( )
m/s1,14
2
=
x
v

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1.8.9 C’est un départ.
Mouvement 1) Mouvement 2)
2
)1(
m/s4=
x
a
2
)2(
m/s0=
x
a
m/s0
)1(0
=
x
v
xCx
vv =
)2(0
xCx
vv =
)1( xCx
vv =
)2(
(accélération nulle)
m0
)1(0
=x m
1)2(0
Dx =
1)1(
Dx = m128
)2(
=x
1)1(
tt =
2)2(
tt =
Voici nos équations :
10
)2()1(
=+ tt
⇒
10
21
=+ tt ( eq1 )
2
)1()1()1()1(0)1(0)1(
2
1tatvxx
xx
++=
⇒
( )
2
1
2
11
24
2
1ttD == (
eq2 )
( ) )1()1()1(01
tavv
xxx
+=
⇒
(
)
11
44 ttv
xC
== ( eq3 )
2
)2()2()2()2(0)2(0)2(
2
1tatvxx
xx
++=
⇒
21
128 tvD
xC
+= ( eq4 )
Nous avons 4 équations et 4 inconnus :
eq2 dans eq4
⇒
2
2
1
2128 tvt
xC
+= ( eq5 )
eq3 dans eq5
⇒
2
2
4
2128 tv
v
xC
xC
+ =
⇒
2
2
8
128 tv
v
xC
xC
+= ( eq6 )
eq1 dans eq6
⇒
( )
1
2
10
8
128 tv
v
xC
xC
−+=
⇒
1
2
10
8
128 tvv
v
xCxC
xC
−+= ( eq7 )
eq3 dans eq7
⇒
−+= 4 10
8
128
2
xC
xCxC
xC
v
vv
v
⇒
4
10
8
128
22
xC
xC
xC
v
v
v−+=
⇒
012810125,0
2
=+−
xCxC
vv