Chapitre 2.5 – Les relations générales entre le potentiel et le champ

Chapitre 2.5 – Les relations générales entre le
potentiel et le champ électrique
Force conservative
Une force est dite conservative lorsque le travail effectué par cette force est indépendant
du chemin emprunté par le déplacement. Ceci à pour conséquence d’établir un lien en le
travail effectué par la force et une variation d’énergie potentielle :
Wc = − ∆U
où
ou
Wc = U i − U f
v
Wc : Travail de la force conservative Fc (J)
v
∆U : Variation de l’énergie potentielle associée à la force conservative Fc (J)
U i : Énergie potentielle associée à la configuration initiale du système (J)
U f : Énergie potentielle associée à la configuration finale du système (J)
Force conservative
Force gravitationnelle :
v
v
Fg = mg
Énergie potentielle gravitationnelle :
•
U g = mgy
(Champ constant)
•
mM
U g = −G
r
(Masse ponctuelle)
y(m )
yf
yi
0
v
g
v
s
m
U g i = mgyi
v
qQ
Fe = k 2 rˆ
r
Énergie potentielle électrique :
Force électrique :
• Ue = k
qQ
r
(Charge ponctuelle)
r (m )
U g f = mgy f
m
rf U = k qQ
ef
rf
q
Wg = − ∆U g
ri
Q
(force sens contraire de la vitesse)
** Pas de terme d’énergie potentielle **
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Uei = k
0
qQ
ri
v
fc3
Force non conservative
v
Force de frottement : Fc = − µ n vˆ
We = − ∆U e
q
v
s
v
v
v
s3
s4 f c 4
v
v
s2
f c1
m
v
m
s1
v
W1 ≠ W2 + W3 + W4
mg
v
f
v c2
n
Page 1
Une force conservative qui effectue un travail sur un parcours fermé (qui revient à son
point de départ) est toujours nul :
v
s2
v
v v
s3
5
v
v
Wc = Fc ⋅ ds = 0
si = 0 s 1
v
i =1
(travail nul pour une force conservative sur un parcours fermé)
s5
v
s4
∫
∑
(exemple d’un parcours fermé)
Différence de potentiel électrique et champ électrique
Une différence de potentiel électrique ∆V est la conséquence d’effectuer un déplacement
v
v
s dans un champ électrique E . C’est uniquement un déplacement parallèle au champ
électrique qui fait varier le potentiel électrique1. Un déplacement dans le sens du champ
électrique fait chuter le potentiel électrique et un déplacement dans le sens contraire du
champ électrique fait augmenter le potentiel électrique :
v v
∆V = − E ⋅ s = − Es cos (θ )
v
(Champ E constant)
où
∆V
v
E
v
s
v
ds
v v
∆V = − ∫ E ⋅ d s
v
(Champ E non constant)
Vf
v
E
v
: Différence de potentiel électrique associé au champ E (V)
: Champ électrique (N/C)
v
: Déplacement dans le champ E en Pi et Pf (m)
v
: Petit élément de déplacement dans le champ E (m)
v
v
θ : Angle entre le champ électrique E et le déplacement s
Vi
Pf
v
s
Pi
∆V = V f − Vi
Preuve :
À partir de la définition du travail, de la force électrique et de la relation énergie et
potentiel, évaluons la variation du potentiel électrique associée à un déplacement dans un
champ électrique :
v v
v
v
v v
W = ∫ F ⋅ ds
⇒
W = ∫ qE ⋅ ds
(Définition force électrique : F = qE )
1
⇒
v v
− ∆U = ∫ q E ⋅ d s
(Travail conservatif : Wc = − ∆U )
⇒
v v
∆U = − q ∫ E ⋅ d s
(Sortir la constante q de l’intégrale)
⇒
v v
q ∆V = − q ∫ E ⋅ d s
(Relation énergie-potentiel : ∆U = q∆V )
⇒
v v
∆V = − ∫ E ⋅ d s
■
(Simplifier la charge q)
v
v v v v v
Rappel du produit scalaire entre deux vecteurs A et B : A ⋅ B = A B cos θ = Ax B x + Ay B y
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 2
Situation A : Déplacement près de deux PPIUC, partie 1. Un bloc se déplace de la
coordonnée (x = 1 m, y = 3 m) à la coordonnée (x = 4 m, y = 5 m) près de deux PPIUC avec
une trajectoire est inconnue. La première PPIUC est parallèle à l’axe y et située en x = 6 m
et possède une densité de charge surfacique σ 1 = 2 µC/m 2 . La seconde PPIUC est
parallèle à l’axe x et situé en y = 1 m et possède une densité de charge surfacique
σ 2 = 5 µC/m 2 . On désire évaluer la variation du potentiel électrique associée au
déplacement du bloc.
Voici la représentation de la situation :
v
v
v
Position initiale : ri = ( i + 3 j ) m
v
v
v
Position finale : r f = (4 i + 5 j ) m
v
v
v v v
Déplacement : s = r f − ri = (3 i + 2 j ) m
y (m)
v
s
Pi
Pf
v
E2
+
v
E1
+
+
σ1
+
Orientation des champs électriques :
v
v
v
v
E1 = − E1i
et E 2 = E 2 j
+ + + + + + + + + + + + +
σ2
z (m)
Vue de haut
+
x (m)
(La véritable trajectoire du bloc est inconnue.)
Évaluons le module des champs électriques à partir de l’expression du module du champ
électrique produit par une PPIUC :
σ
E=
2ε 0
(2 × 10 )
σ1
=
E1 =
2ε 0 2(8,85 × 10 −12 )
⇒
E1 = 1,130 × 10 5 N/C
(5 × 10 )
σ2
=
E2 =
2ε 0 2(8,85 × 10 −12 )
⇒
E 2 = 2,825 × 10 5 N/C
−6
⇒
−6
Évaluons le champ électrique total :
v v
v
v
v
v
E = E1 + E 2
⇒
E = (− E1 i ) + (E 2 j )
v
v
v
E = (− 1,130 i + 2,825 j ) × 10 5 N/C
⇒
v
Évaluons la variationv du potentiel électrique causée par un déplacement s dans un champ
électrique constant E :
v v
v
v
v
v
∆V = − E ⋅ s
⇒
∆V = − (− 1,130 i + 2,825 j ) × 10 5 ⋅ (3 i + 2 j )
(Remplacer num.)
v
v
v
v
⇒
∆V = −1 × 10 5 (− 1,130 i + 2,825 j ) ⋅ (3 i + 2 j )
(Factoriser constante)
v v
⇒
∆V = −1 × 10 5 (− 1,130 ∗ 3 + 2,825 ∗ 2 )
( E ⋅ s = Ex sx + E y s y )
(
⇒
)
∆V = −2,26 × 10 5 V
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 3
Situation B : Déplacement près de deux PPIUC, partie 2. À partir de la situation
précédente, sachant que le bloc déplacé (masse : 0,5 kg , charge : -1 µC) avait une vitesse
de 1,2 m/s à la coordonnée (x = 1 m, y = 3 m) avec une orientation appropriée pour
atteindre la coordonnée (x = 4 m, y = 5 m), quel est le module de la vitesse du bloc après
son déplacement ?
Voici la représentation de la situation ainsi que les résultats obtenus précédemment :
v
v
v
Position initiale : ri = ( i + 3 j ) m
v
v
v
Position finale : r f = (4 i + 5 j ) m
v
v
v v v
Déplacement : s = r f − ri = (3 i + 2 j ) m
y (m)
Pf
v
vi
v
s
Pi
v
E1
v
E2
v
vf
+
+
+
σ1
+
Champs électriques :
v
v
v
E = (− 1,130 i + 2,825 j ) × 10 5 N/C
+ + + + + + + + + + + + +
σ2
z (m)
+
x (m)
Vue de haut
(Trajectoire hypothétique du bloc tel que
vx f > vx i et v y f < v y i , car v f < vi .)
Différence de potentiel :
∆V = −2,26 × 10 5 V
Évaluons la vitesse finale du bloc par conservation de l’énergie :
E f = Ei + Wnc
(Conservation de l’énergie)
⇒
E f = Ei
( Wnc = 0 )
⇒
(K
( E = K +U )
⇒
K f + (U e f ) = K i + (U e i )
( U = U e et U g = 0 )
⇒
K f + U e f − U ei = Ki
(Regrouper U e i et U e f )
⇒
K f + ∆U e = K i
( ∆U e = U e f − U e i )
⇒
K f + q∆V = K i
( ∆U e = q∆V )
⇒
K f = K i − q∆V
(Isoler K f )
⇒
1
1
2
2
 mv f  =  mvi  − q∆V
2
 2

(K =
⇒
1
(0,5)v f 2 = 1 (0,5)(1,2)2 − − 1 × 10 −6 − 2,26 × 10 5
2
2
⇒
0,25v f = (0,36 ) − (0,226 )
(Calcul)
⇒
v f = 0,7321 m/s
(Évaluer v f )
f
+ U f ) = (K i + U i )
(
)(
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
)
1 2
mv )
2
(Remplacer valeurs num.)
Page 4
Situation C : Le potentiel d’une TRIUC. Une TRIUC est une tige rectiligne infinie
uniformément chargée dont le champ électrique est orienté perpendiculairement à la tige
et dont le module est défini par l’expression
E=
2k λ
r
où λ est la densité linéique de charge et r est la distance entre un point P et la tige
mesurée perpendiculairement à la tige. On désire évaluer l’expression algébrique du
potentiel électrique associé à la TRIUC.
Voici une représentation graphique de la situation :
Déplacement infinitésimal dans le champ
électrique non uniforme :
v
ds = dr rˆ
+
+
+
+
Champ électrique radial à la tige :
v
ds
0
+
+
+
v 2kλ
E=
rˆ
r
v
v
Ei
r̂ Pi
Pf E f
rf r (m )
ri
Évaluons l’expression du potentiel électrique d’une TRIUC à partir de la variation du
potentiel électrique associée à un déplacement radial de ri à r f :
v v
∆V = − ∫ E ⋅ ds
(Définition de la variation du potentiel électrique)
rf
 2kλ 
rˆ  ⋅ (dr rˆ )
r 
r = ri
∆V = −
⇒
∆V = −2kλ ∫
⇒
v
v
(Remplacer E et ds )
∫ 
⇒
dr
rˆ ⋅ rˆ
r
dr
∆V = −2kλ ∫
r
(Factoriser les constantes)
(Produit scalaire : rˆ ⋅ rˆ = 1 )
rf
dr
r
r = ri
∫
⇒
∆V = −2kλ
⇒
∆V = −2kλ [ ln r
⇒
∆V = −2kλ ln rf − ln ri
⇒
∆V = −2kλ ln r f + 2kλ ln ri
⇒
∆V = − 2kλ ln r f − (− 2kλ ln ri
(Borne d’intégration : r = ri → r f )
]
rf
(Résoudre l’intégrale :
ri
(
(
⇒
)
∆V = −2kλ ln
ou
∆V = V f − Vi
rf
ri
)
1
∫ x dx
= ln x + C )
(Évaluer les bornes de l’intégrale)
(Distribuer la constante)
)
(Réécriture)
avec
ln A − ln B = ln
avec
V = −2kλ ln r
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
A
B
Page 5
Le champ électrique à partir du potentiel
Puisque la variation du potentiel électrique est obtenue à partir d’un déplacement dans un
champ électrique, nous pouvons obtenir le champ électrique à partir d’une variation de
potentiel électrique en effectuant l’opération mathématique inverse. Selon l’axe x, le champ
électrique E x correspond à la variation du potentiel électrique dV entre deux positions de
l’axe x divisé par la distance dx entre ces deux positions :
Ex = −
où
dV
dx
E x : Champ électrique selon l’axe x (N/C ou V/m)
dV : Variation du potentiel électrique entre deux positions de l’axe x (V)
dx : Variation de position entre les deux positions de l’axe x (m)
V f > Vi
Vf
v
v
E = −E i
Vi
xi
V f < Vi
v
v
E = Ei
Vi
x f x(m )
xi
Vf
x f x(m )
Preuve :
À partir de l’expression de la variation du potentiel électrique, isolons le champ électrique.
v
Supposons que le déplacement s dans le champ
électrique est uniquement selon l’axe x.
v
v
Ainsi, un petit déplacement ds sera égal à dx i :
v v
v v
⇒
dV = − E ⋅ ds
(Retirer l’intégrale : ∆V → dV )
∆V = − ∫ E ⋅ ds
v
v
v
v
v
v
v
⇒
dV = − E x i + E y j + E z k ⋅ (dx i )
(Remplacer E et ds = dx i )
v v
v v
⇒
dV = − E x dx
(Produit scalaire : i ⋅ i = 1 , i ⋅ j = 0 )
(
⇒
Ex = −
dV
dx
)
■
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Isoler E x )
Page 6
Situation 2 : Le champ d’une particule à partir du potentiel. On désire obtenir l’équation
qui exprime le champ électrique généré par une particule chargée à partir de l’équation qui
exprime le potentiel électrique.
Le potentiel électrique généré par une particule ponctuelle est égal à l’expression suivante :
q
Q
V (r ) = k
r
r
0
V =
r
kq
r
Évaluons le champ électrique le long de l’axe radial r de ce potentiel électrique à partir de
la relation champ-potentiel :
Ex = −
dV ( x )
dx
⇒
Er = −
dV (r )
dr
(Expression selon l’axe radial r)
⇒
Er = −
d  Q
k 
dr  r 
(Remplacer V (r ) = k
⇒
E r = −kQ
d 1
 
dr  r 
(Factoriser les constantes)
⇒
E r = −kQ
d −1
r
dr
(Réécriture)
⇒
E r = −kQ − r −2
(
(Dérivée d’un polynôme :
⇒
Er = k
( )
)
Q
r2
Q
)
r
d xn
= nx n−1 )
dx
(Réécriture)
Situation 3 : Du potentiel au champ électrique. Le
long d’un axe x, le potentiel électrique est donné par
le graphique V ( x ) représenté sur le schéma cicontre. On désire tracer le graphique de la
composante selon x du champ électrique en fonction
de x, c’est-à-dire le graphique E x ( x ) .
V (V)
4
2
0
2
4
–2
6
x (m )
–4
Développons une expression pour évaluer le champ électrique à partir de la pente du
graphique V ( x ) et de la relation potentiel-champ sachant que les pentes sont constantes :
Ex = −
dV
dx
⇒
Ex = −
⇒
Ex = −
∆V
∆x
V f − Vi
x f − xi
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
(Pente constante, d → ∆ )
(Remplacer ∆V et ∆x )
Page 7
Évaluons le champ électrique pour différentes régions de l’axe x :
Pour 0 < x < 1 :
Pour 1 < x < 3 :
Pour 3 < x < 5 :
Pour 5 < x < 6 :
(− 2) − (− 2) = 0
(1) − (0)
(4) − (− 2) = −3 V/m
=−
(3) − (1)
(− 2) − (4) = 3 V/m
=−
(5) − (3)
(− 2) − (− 2) = 0
=−
(6 ) − (5)
Ex = −
Ex
Ex
Ex
Voici la représentation du champ électrique
selon l’équation E x ( x ) : ( [x ] = m )
 0

− 3 V/m
E x (x ) = 
 3 V/m
 0

0 < x < 1

1 < x < 3

3 < x < 5
5 < x < 6 
Un tel champ peut être généré par un
système de plaques parallèles tel qu’illustré
ci-contre :
V (V)
4
2
0
2
4
6
–2
x (m)
–4
E x (V/m )
3
0
2
4
x (m )
6
–3
E x = −3 V/m
Ex = 0
Deux plaques négatives de densité
surfacique − σ et une plaque positive de
densité surfacique + 2σ
E x = 3 V/m
PPIUC vues
de côté
x (m )
6
0
Ex = 0
–2 V 1 V 4 V 1 V –2 V
L’effet piézoélectrique
Certains matériaux sous l’action d’une pression mécanique
subissent une polarisation électrique (séparation de charges)
ce qui provoque l’établissement d’une différence de potentiel
électrique. En reliant ces matériaux à un circuit, ils peuvent
établir un courant électrique. Un allume-gaz est un bon
exemple de piézoélectrique sous compression.
(Allume-gaz)
L’effet inverse permet de déformer ces matériaux sous la
présence d’un champ électrique externe. Un quartz dans une
horloge est un bon exemple de piézoélectrique en vibration.
(Horloge)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 8
Exercices
Référence : Note Science Santé – Chapitre 2 – Question 10
a) Quelle est la différence de potentiel VB – VA entre les
points A et B ?
b) Quelle sera la variation d’énergie potentielle d’un électron
passant de A en B ?
Référence : Note Science Santé – Chapitre 2 – Question 12
Deux plaques parallèles portent des densités de charges de +3
µC/m2 et -3 µC/m2.
a) Quel est le potentiel de la plaque positive, si on pose à 0
celui de la plaque négative ?
b) Quelle est l’énergie potentielle d’un électron en A, en
B, en C ?
c) Si l’électron a une vitesse nulle en A, quelle sera son
énergie cinétique en C, sa vitesse en C ?
Référence : Note Science Santé – Chapitre 2 – Question 13
Une petite boule de 5 g, chargée positivement, est suspendue à un fil et
placée entre deux plaques conductrices espacées de 5 cm. On charge
les deux plaques à une différence de potentiel de 600 V, la boule se
déplace en A’, le fil de suspension faisant un angle de 10o avec la
position initiale.
a) Laquelle des deux plaques est portée au potentiel le plus élevé
?
b) Quelle est la grandeur de la force électrique subie par la boule ?
c) Quelle est la charge portée par la boule ?
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 9
Solutions
Référence : Note Science Santé – Chapitre 2 – Question 10
a) Le champ électrique généré par la plaque du côté gauche aura la forme suivante :
v
σ v
E=−
i
2ε 0
Si l’on pose un potentiel de 0 V sur la plaque chargée, on peut évaluer le potentiel à une
certaine distance de la plaque à l’aide de l’équation suivante :
V f = V0 + ∆V0→ f
⇒
V f = (0 ) + ∆V0→ f
⇒
V f = ∆V0→ f
v v
En appliquant cette équation à la position A et B, nous avons : ( E // s et même sens)
(
)
(
)
v v
σ
2 × 10 −6
• VA = − E ⋅ s = − E s cos(θ ) = −
s cos(0°) = −
(5)(1) = −5,65 × 10 5 V
−12
2ε 0
2 8,85 × 10
(
)
v v
2 × 10 −6
σ
• VB = − E ⋅ s = − E s cos(θ ) = −
s cos(0 ) = −
(2)(1) = −2,26 × 10 5 V
−12
2ε 0
2 8,85 × 10
(
)
Ainsi :
(
) (
)
VB − VA = − 2,26 × 10 5 − − 5,65 × 10 5 = 3,39 × 10 5 V
b) Avec ∆U = q ∆V , nous avons :
(
)(
)
∆U = q∆V = − 1,6 × 10 −19 3,39 × 10 5 = −5,4 × 10 −14 J
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Page 10
Référence : Note Science Santé – Chapitre 2 – Question 12
Nous avons deux plaques chargées :
σ = 3 µC / m 2
σ + = +3 µC / m 2
σ − = −3 µC / m 2
Le champ électrique entre les deux plaques :
v
σ v
E=− i =−
ε0
a)
(3 × 10 )
−6
(8,85 × 10 )
−12
v
v N
i = −3,39 × 10 5 i
C
Évaluer le potentiel en C si le potentiel en A est zéro
v v
v v
∆V = − ∫ E ⋅ ds = −(E ⋅ s ) = E s = 3,39 × 10 5 (0,04 ) = 1,356 × 10 4 V
(
)
VC = V A + ∆V = 1,356 × 10 4 V
Ceci nous donne avec VA = 0 :
b)
v v
( E // s et sens opposé)
Évaluer l’énergie potentielle à différent point avec U = q V
U A = q VA = 0
U B = q VB = q
)(
)
Vc
1,356 × 10 4
= − 1,6 × 10 −19
= −1,08 × 10 −15 J
2
2
(
(
)(
)
U C = q VC = − 1,6 × 10 −19 1,356 × 10 4 = −2,17 × 10 −15 J
c)
Avec la conservation de l’énergie ∆U + ∆K = 0 et ( K i = 0 )
∆U + ∆K = 0 ⇒
⇒
Avec K =
⇒
v=
U C − U A + K f − Ki = 0
(
)
K f = U A − U C = 0 − − 2,17 × 10 −15 = 2,17 × 10 −15 J
mv 2
:
2
2K
=
m
2 ∗ 2,17 × 10 −15
9,1 × 10 −31
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
⇒
v = 6,91 × 10 7 m / s
Page 11
Référence : Note Science Santé – Chapitre 2 – Question 13
a)
La charge (+) se déplace vers la plaque négative.
La plaque négative étant par définition au potentiel le plus bas
⇒
b)
Avec
La plaque de gauche est portée au potentiel le plus élevé.
Nous allons utiliser la 2ième loi de Newton pour évaluer la force électrique.
v
∑F =0 :
v
v
v
∑ F = mg + F
Vectoriellement :
e
v
+T = 0
En x :
∑F
x
= Fe − T sin (θ ) = 0
En y :
∑F
y
= −mg + T cos(θ ) = 0 ⇒
Fe = T sin (θ )
⇒
mg = T cos(θ )
(
)
mg
5 × 10 −3 (9,8)
=
= 0,04976 N
cos(θ )
cos(10°)
⇒
T=
⇒
Fe = 0,00864 N
On peut évaluer Fe :
Fe = T sin (θ ) = (0,04976 )sin (10°)
c)
Pour évaluer la charge, nous allons utiliser la relation entre le potentiel et le champ
électrique.
Avec E x = −
∆V
, on peut obtenir :
∆x
v
∆V v
(0 − 600 ) iv
E=−
i =−
∆x
5 × 10 − 2 − 0
(
)
v
v
⇒ E = 12000 i V/m
v
v
Avec F = qE :
F = qE
⇒
q =
(
F
8,64 × 10 −3
=
E
(12000)
)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
⇒
q = 0,72 × 10 −6 C
⇒
q = 0,72 × 10 −6 C (selon énoncé)
Page 12