Le caract`ere des nombres - la maison de serge et liyun

Le caractère des nombres
février 2009
Ils sont fous ces mathématiciens !
Dans l’antiquité, un certains nombres de mathématiciens (grecs, souvent)
jouaient beaucoup avec les nombres entiers. Ils les examinaient, les inspectaient
et leur trouvaient toute sorte de propriétés sympathiques.
Par exemple vous apprendrez que 7 est déficient, 220 et 284 sont sociables,
18 est abondant et 496 est parfait
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Les diviseurs (ils ne sont pas nés d’hier)
Tout nombre entier positif (dans N∗ ) possède des diviseurs. Au pire il est
divisible par 1 et par lui-même (auqeul cas il est premier). Mais la plupart en
ont un peu plus.
Exemple 1: les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8
1. Comment savoir si un nombre p en divise un autre n ?
Aide: pmodulo, ça vous rappelle quelque chose ?
2. Complétez la fonction suivante qui stocke dans d %T (respectivement %F)
si p divise (resp. ne divise pas) n :
function d=divise(p,n)
// juste une ligne pour vous
// avec un pmodulo quelque part
endfunction
3. Écrire un bout de code qui affiche à l’écran tous les diviseurs d’un nombre
(42 par exemple)
Aide: pour afficher l’entier n, vous utiliserez printf("%i ",n)
4. complétez la fonction suivante qui stocke dans le tableau diviseurs tous
les diviseurs de n
function diviseurs=quels_diviseurs(n)
diviseurs = [ 1 ] ;
// quels sont les autres diviseurs ?
// utilisez la fonction divise
endfunction
5. gardez cette fonction bien au chaud, elle est cruciale pour la suite !
1
Correction
function d=divise(p,n)
d=(pmodulo(n,p) == 0 )
endfunction
function diviseurs=quels_diviseurs(n)
diviseurs = [ 1 ] ;
j = 2 ;
for i=2:n
if divise(i,n)
diviseurs(j) = i
j=j+1
end
end
endfunction
v=quels_diviseurs(42)
for s=v
printf("%i ",s)
end
2
La somme
Ce qui va nous intéresser dans les exos suivants, c’est la somme des diviseurs
d’un nombre. On va donc compléter la fonction suivante
function s=somme_diviseurs(n)
// utilisons quels_diviseurs
endfunction
En fait on va s’intéresser à la somme des diviseurs strict d’un nombre, ce
qui exclu ledit nombre.
Exemple 2: les diviseurs de 8 sont 1, 2, 4 et 8 les diviseurs stricts de 8 sont 1,
2 et 4
Ajustez le code précédent pour qu’il calcul Écrivez la fonction somme diviseurs stricts
qui ressemble furieusement à la précédente.
1. Combien vaut la somme des diviseurs stricts de 8128 ?
2. Combien vaut la somme des diviseurs stricts de 220 ?
3. Combien vaut la somme des diviseurs stricts de 284 ?
Correction
function s=somme_diviseurs(n)
s=0;
for i=n
s=s+n
end
2
//s=sum(quels_diviseurs(n))
endfunction
function s=somme_diviseurs_stricts(n)
s=somme_diviseurs(n)-n
endfunction
n1=somme_diviseurs_stricts(8128)
n2=somme_diviseurs_stricts(220)
n3=somme_diviseurs_stricts(284)
printf("%i %i %i\n",n1,n2,n3)
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Les caractères
Je vais vous donner quelques astuces pour connaı̂tre le caractère d’un nombre
– un nombre est parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs stricts ;
– un nombre est déficient s’il est strictement supérieur à la somme de ses
diviseurs stricts ;
– un nombre est abondant s’il est strictement inférieur à la somme de ses
diviseurs stricts.
1. écrire un bout de code qui teste si un nombre est parfait, déficient ou
abondant
2. testez là sur les nombres 8128 220 et 284 (encore eux !)
Correction
function quel_caractere(n)
s=somme_diviseurs_stricts(n);
msg=""
if s == n
msg="parfait"
elseif s > n
msg="abondant"
else
msg="déficient"
end
printf("%i est %s\n",n,msg)
endfunction
quel_caractere(284)
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Les amis
Deux nombres sont amis si la somme des diviseurs stricts de l’un est égal à
l’autre et réciproquement. Testez si 220 et 284 sont amis. Mettre ça dans une
fonction qui dit si deux nombres sont amis !
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Correction
function amis(n,p)
s=somme_diviseurs_stricts(n);
t=somme_diviseurs_stricts(p);
msg="ne sont pas amis"
if (s==p) & ( t == n )
msg="sont amis"
end
printf("%i et %i %s\n",n,p,msg)
endfunction
amis(220,284)
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