Corrigé DM4 - Dominique Frin

CORRIGÉ DEVOIR MAISON N° 4 TERMINALES L
Partie A: Les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme 2n – 1, où n est un nombre premier.
a) 22 – 1 = 3; 23 – 1 = 7; 25 – 1 = 31; 27 – 1 = 127 ; qui sont des nombres premiers.
b) 211 – 1 = 2047 = 23×89, donc 211 – 1 n'est pas un nombre premier.
c) On sait que pour tout réel x, et tout entier naturel p, xp – 1 = (x – 1)(xp – 1 + xp – 2 +... + x + 1).
Si d divise n, alors il existe un entier q tel que n = dq. En posant x = 2d , on trouve
2n – 1 = 2dq – 1 =
2dq
– 1 = (2d – 1)(
2dq1
+ (
2dq2
+ ... + (
2d2
+ 2d + 1) . Donc 2d – 1 divise 2n – 1.
d) On pose N = an – 1. La liste de ces nombres lorsque a {3 ;4 ;5 ;6 ;7} et n {2 ;3 ;4 ;5 }:
Dans cette liste, aucun nombre n'est premier. La conjecture
concernant a est: N peut être premier si et seulement si
a = 2.
D'après le rappel de la question c),
N = (a – 1)(an – 1 + an – 2 + an – 3 + …+ 1) , donc N est
premier si (a – 1) = 1, soit a = 2.
Les nombres n de l'ensemble
{2 ;3 ;5 ;7 ;13 ;17 ;19 ;31 ;61 ;89 ;107 ;127 ;521 ;607} sont
tous premiers. Les nombres de Mersenne 2n – 1 sont
premiers.
Partie B: Un entier est dit parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs autres que lui-
même.
1. a) Diviseurs de 6 : {1; 2; 3; 6}. Diviseurs de 28 : {1; 2; 4; 7; 14; 28}.
La somme des diviseurs de 6 autres que lui-même est 1 + 2 + 3 = 6.
La somme des diviseurs de 28 autres que lui-même est 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Donc 6 et 28 sont des nombres parfaits.
b) 496 = 24 × 31. Diviseurs de 496 : {1; 2; 4; 8; 16; 31; 62; 124; 248; 496}.
La somme des diviseurs de 496 autres que lui-même est
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496, donc 496 est un nombre parfait.
2. Soit n un nombre premier tel que le nombre de Mersenne p = 2n – 1 soit un nombre
premier. On considère l’entier N = 2n – 1× p .
a) L’entier N = 2n – 1 × p = (2n – 1 )×(2n – 1).
Pour n = 2 , N = (2)×(22 – 1) = 6 est un nombre parfait.
Pour n = 3, N = (22)×(23 – 1) = 28 est un nombre parfait.
Pour n = 5, N = (24)×(25 – 1) = 496 est un nombre parfait.
b) Comme p est premier, l’écriture N = 2n – 1 × p est la décomposition de N en produits de facteurs premiers. D'où
Diviseurs de N : {1; 2; 22; 23; ... ; 2n – 1 ; p; 2p; 22p ; 23 p; ... ; 2n – 1 p}.
c) On sait que 1 + 2 + 22 + ………+ 2n – 1 = somme de n termes d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme
1, donc 1 + 2 + 22 + ………+ 2n – 1 =
12
n
12
=
12
n
1
= 2n – 1 = p .
Et 1 + 2 + 22 + ………+ 2n – 2 =
12n1
12
=
12n1
1
= = 2n – 1 – 1.
d) La somme de tous les diviseurs de N différents de N est égale à 1 + 2 + 22 + ………+ 2n – 1 + p + 2p + 22p + 23 p +
... + 2n – 2 p = 1 + 2 + 22 + ………+ 2n – 1 + p(1+ 2 + 22 + 23p + ... + 2n – 2 ) = p + p(2n – 1 – 1) = p(2n – 1) = N. Donc N est
un nombre parfait.
3. Pour trouver un nombre parfait autre que 6, 28 et 496, il suffit de remplacer n par un nombre premier pour que le
nombre de Mersenne 2n – 1 soit premier et de calculer N = (2n – 1 )×(2n – 1). En prenant n = 7, on trouve N = 8128.
n a 3 4 5 6 7
2 32 – 1 = 8 15 24 35 48
3 26 63 124 215 342
4 80 255 624 1295 2400
5 242 1023 3124 7775 16806
n2n – 1
13 8191
17 13107
19 524287
31 2147483647
61
89
107
127
521
607